MATEMÁTICA. Teorema de Tales e Semelhança de Triângulos. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1

Transcrição

1 MATEMÁTICA Teorema de Tales e Semelhança de Triângulos Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1

2 Teorema de Tales O Teorema de Tales foi estabelecido por Tales de Mileto, consiste em uma interseção entre duas retas paralelas e transversais que formam segmentos proporcionais. O Teorema de Tales é determinado pela intersecção entre retas paralelas e transversais, que formam segmentos proporcionais. Foi estabelecido por Tales de Mileto, que defendia a tese de que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinados. Partindo desse principio básico observado na natureza, intitulou uma situação de proporcionalidade que relaciona as retas paralelas e as transversais. Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais. Observe: No esquema acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r são transversais. De acordo com o Teorema de Tales, temos as seguintes proporcionalidades: Observe que a relação estabelecida envolve noções de razão e proporção, o segmento AB está para o segmento BC assim como o segmento A B está para o segmento B C. A igualdade entre as duas razões formam uma proporção, o cálculo dessa proporção será resolvido através de uma simples multiplicação cruzada, ou de acordo com a propriedade das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Observe o seguinte exemplo, nele aplicaremos o Teorema de Tales para encontrar o valor do segmento desconhecido: Monster Concursos 2

3 O Teorema de Tales possui inúmeras aplicações nas diversas situações envolvendo cálculo de distâncias inacessíveis e possui grande aplicabilidade nas questões relacionadas à Astronomia. Exemplo 1 Calcule o comprimento da ponte que deverá ser construída sobre o rio, de acordo com o esquema a seguir. De acordo com a figura temos um triângulo ABC e o segmento DE dividindo o triângulo, sendo formado o triângulo ADE. As informações que temos são as medidas dos seguintes segmentos: AD = 10m, AE = 9m, EC = 18m e DB = x. O valor de DB será determinado através do Teorema de Tales que diz: retas paralelas cortadas por transversais formam segmentos proporcionais. Desse modo, podemos estabelecer a seguinte relação: Portanto, a ponte terá 20 metros de comprimento. Monster Concursos 3

4 Exemplo 2 Determine o valor de x na figura. Exemplo 3 Na figura, as retas r, s e t são paralelas, de acordo com Teorema de Tales determine p valor de x. Semelhança de Triângulos Sabemos que triângulos são polígonos. Sendo assim, o estudo que é feito para identificar a semelhança de figuras poligonais será válido para o estudo da semelhança de triângulos. Com isso, dois triângulos serão semelhantes se satisfizerem duas condições simultaneamente: se seus lados correspondentes possuírem medidas proporcionais e se os ângulos correspondentes forem iguais (congruentes). Se invertermos a afirmação feita acima, teremos um fato verdadeiro: as condições são satisfeitas somente quando os triângulos são semelhantes. Vejamos um desenho para que possamos compreender melhor: Monster Concursos 4

5 Antes, temos que determinar a correspondência dos vértices de cada triângulo, pois assim determinaremos a correspondência dos lados e dos ângulos entre estes dois triângulos. Os vértices A, B, C correspondem, respectivamente, aos vértices A, B, C. Sendo assim, montaremos as razões de proporcionalidade entre os lados correspondentes. Uma das condições é que todos os lados correspondentes possuam uma proporcionalidade, que chamaremos neste caso de k. Ressaltando que essa razão foi construída pela divisão de cada lado correspondente: veja que o lado A B do segundo triângulo corresponde ao lado AB do primeiro triângulo. Por este fato, a divisão foi feita entre eles, e de mesmo modo com os outros lados. Entretanto, apenas a condição de proporcionalidade dos lados não é suficiente para afirmarmos a semelhança entre os dois triângulos. Necessitamos que seus ângulos correspondentes sejam iguais. Sendo assim, indicaremos a semelhança destes triângulos desta forma: Resumo MONSTER: Casos de congruência: 1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes. Monster Concursos 5

6 2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes. 3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente. 4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado. Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração. Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Exemplo: Verifique se os triângulos a seguir são proporcionais. Ao verificarmos a congruência dos ângulos, teremos que: Monster Concursos 6

7 Temos agora que verificar a proporcionalidade dos lados. Note que todos os lados possuem a mesma razão de proporcionalidade (1/2). Sendo assim, podemos afirmar que Atividades MONSTER de Fixação 1. Determine a medida do segmento de x em cada figura. 2. Nas Monster Concursos 7

8 figuras mostradas, a//b//c. Calcule a medidas de x. 3. Nos triângulos abaixo, determine a medida x indicada. 4. Nas figuras mostradas as cevianas indicadas são bissetrizes. Calcule o valor de x em cada uma. 5. No triângulo ABC, de perímetro igual a 88 cm, a bissetriz do ângulo A determina sobre o lado BC, que mede 22 cm, segmentos de 12 e 10 cm. Calcule os outros dois lados do triângulo. a) 28 e 34 b) 26 e 40 c) 22 e 44 d) 30 e Os lados de um triângulo ABC são AB = 15 cm, BC = 10 cm e AC =20 cm. Se AM = 3 cm e MN//AC e MP//BC, calcule o perímetro do paralelogramo MNCP é, em cm: a) 28 b) 30 c) 32 d) O quadrado MNPQ está inscrito no triângulo equilátero ABC. Se o perímetro do quadrado é 8, calcule o perímetro deste triângulo. Monster Concursos 8

9 8. Na figura abaixo, o segmento AB é paralelo ao segmento DE. Determine o valor de x. 9. Na figura, as medidas estão dadas em centímetros. Determine o comprimento do segmento DE, em centímetros. 10. Calcule a medida, em centímetros, do lado do quadrado AFDE. Monster Concursos 9