Teorema fundamental da proporcionalidade

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1 Teorema fundamental da proporcionalidade Sadao Massago Maio de 2010 a Fevereiro de 2014 Sumário 1 Preliminares 1 2 Teorema Fundamental da proporcionalidade 1 Referências Bibliográcas 6 Neste texto, o Teorema fundamental da proporcionalidade será demonstrado 1 Preliminares Uma das propriedades dos números reais a ser utilizado é Propriedade 11 (Arquimediana dos números reais) Dado um número real, existe um número natural maior que ele A propriedade arquimediana é equivalente a dizer que,para todo número real ε > 0, existe um número natural n tal que 1 n < ε Também vamos precisar do teorema de Tales Teorema 12 (Tales) Se três retas paralelas determina (dois) segmentos congruentes a uma reta concorrente, então determina (dois) segmentos congruentes em qualquer das retas concorrentes Signicado Sejam r 1, r 2 e r 3 três retas paralelas entre si Suponha que s seja concorrentes a estas retas e A 1, A 2 e A 3 são pontos de intersecções de s com r 1, r 2 e r 3 respectivamente de modo que A 1 A 2 = A 2 A 3 Neste caso, para qualquer reta t cruzando r 1, r 2 e r 3 em B 1, B 2 e B 3 respectivamente, tem-se que B 1 B 2 = B 2 B 3 2 Teorema Fundamental da proporcionalidade Uma consequência do Teorema de Tales é Proposição 21 (Corolário do Teorema de Tales) Se um conjunto das retas paralelas determinam segmentos congruentes numa reta concorrente, então determina segmentos congruentes em qualquer das retas concorrentes Signicado Sejam r i com i = 0,, n as retas paralelas Se s 1 é uma reta concorrente a estas na qual os pontos A i determinado como intersecção com r i são igualmente espaçados, então para toda reta concorrente s 2, os pontos B i determinados como intersecção com r i também são igualmente espaçados 1

2 Demonstração Consideremos as retas paralelas r 0, r 1,, r n que cortam a reta s 1 nos pontos P i respectivamente, determinando segmentos congruentes, isto é, P i P i+1 = P i+1 P i+2 para i = 0,, n 2 Se s 2 for reta concorrente a r 0, será concorrente a todos r i Consideremos o ponto de intersecção Q i de s 2 com r i (Figura 1) s 1 s 2 r 0 P 0 Q 0 r i P i Q i r n P n Q n Figura 1: O corolário do Teorema de Tales Para cada i = 0,, n 2, P i P i+1 = P i+1 P i+2 implica que Q i Q i+1 = Q i+1 Q i+2 pelo Teorema de Tales, por r i, r i+1 e r i+2 serem retas paralelas Logo, r i determinam segmentos congruentes sobre s 2 Proposição 22 Dado um número inteiro positivo n, qualquer segmento AB pode ser dividido em n partes iguais Demonstração Seja AB um segmento e n > 0 um número inteiro Considere C fora da reta determinada pelo A e B Na semirreta de origem em A determinado pelos pontos A e C, considere pontos P 0 = A, P 1 = C e P i ordenados sobre a semi reta com espaçamento AC, para i = 0,, n (Figura 2) P n P i P 1 = D P 0 = A = Q 0 Q 1 Q i B = Q n Figura 2: Dividindo o segmento AB 2

3 Passando retas r i paralelas a P n B pelos pontos P i, e sejam Q i a intersecção desta reta com o prolongamento de AB Como r i não pode cruzar a reta r n e P i estão no mesmo lado de A relativamente a r n, Q i também estarão Da mesma forma, Q i estarão no mesmo lado de B relativamente a reta r 0 passando por A Desta forma, Q i estão sobre AB Como P i são igualmente espaçados, Q i também serão igualmente espaçados pelo corolário do Teorema de Tales (Proposição 21) Dois conjunto dos números {a i } e {b i } são ditos proporcionais se existir um numero λ tal que b i = λa i para todo i Quando a divisão é permitida, é equivalente a dizer que a i b i = λ para todo i Tal λ é denominado de razão da proporcionalidade Denição 23 Dois triângulos são ditos semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais Signicado ABC e DEF são semelhantes se, A = D, B = E e C = F, além de ter AB = BC = AC DE EF DF A razão das medidas entre os lados correspondentes num triângulo semelhante é denominado de razão da semelhança Exercício 24 Mostre que a razão entre dois lados de um triângulo é igual a razão entre dois lados correspondentes do triângulo semelhante a ele Signicado ABC e DEF são semelhantes então AB = DE, AB = DE AC DF BC EF e BC AC = EF DF O teorema fundamental da proporcionalidade caracteriza os triângulos semelhantes Teorema 25 (fundamental da proporcionalidade) Dois triângulos tem ângulos correspondentes congruentes se, e somente se, tem os lados correspondentes proporcionais Signicado ABC e DEF tem A = D, B = E e C = F se, e somente se, AB = BC = AC DE EF DF Demonstração ( = ) Se provarmos que a razão entre um par de lados correspondentes é igual a razão entre outro par de lados correspondentes, podemos concluir que a razão entre qualquer dos lados correspondentes são iguais Considere ABC e A B C com ângulos correspondentes congruentes Se eles tiverem um lado igual, serão congruentes por ALA e terão todos lados congruentes e os triângulos são semelhantes com razão de semelhança 1 Agora consideremos o caso de ter lados não congruentes Sem perda de generalidade, podemos supor que A B < AB Então podemos construir ADE congruente a A B C sobreposta a ABC Para isso, considere D sobre AB tal que AD = A B e E sobre AC tal que AE = A C, o que garante a congruência de ADE com A B C por LAL Como ângulos correspondentes entre ABC e ADE são iguais, ADE = B que são ângulos correspondentes formado pela intersecção de AB com DE e BC Logo, DE é paralelo a BC Assim, podemos considerar o caso ABC e ADE com D sobre AB e DE paralelo a BC na qual queremos mostrar que AD = AE AB AC Inicialmente, consideremos os pontos A = P 0, P 1,, P n 1, P n = B de forma que P i dividam o segmento AB em n partes iguais, isto é, P i P i+1 = AB para i = 0,, n 1 (Figura 3) n Como D está em AB, estará em algum segmento P kn P kn+1 de modo que AP kn AD < AP kn+1 Como P i são igualmente espaçados, AP i = i AB e temos k n n AB AD < (k n n +1) AB n Dividindo por AB, temos kn AD < kn+1 = kn + 1 Subtraindo kn AD, temos 0 kn < 1 n AB n n n n AB n n Assim, AD < 1 para todo n > 0 n AB kn n 3

4 P 0 = A P 1 P kn+1 P kn D E B = P n C Figura 3: Dividindo o lado AB Agora precisamos vericar o que acontece no lado AC Traçaremos as retas r i paralelas a BC (e logo a DE também) pelos pontos P i e consideremos os pontos Q i obtidas como intersecção de r i com o prolongamento do lado AC É fácil ver que Q 0 = A e Q n = C Para i = 1,, n 1, como r i não podem cruzar nem r 0 e nem o r n, P i estar entre eles implica que Q i também estarão entre eles e consequentemente, Q i estão no segmento AC Como r i são paralelas e determinam segmentos congruentes sobre AB, também determinará segmentos congruentes sobre AC (Figura 4) pelo corolário do Teorema de Tales (Proposição 21) r 0 P 0 = A = Q 0 r 1 P 1 Q 1 r kn+1 r kn P kn+1 P kn D Q kn E Q kn+1 r n B = P n C = Q n Figura 4: As retas paralelas passando por P i Como DE é paralelo a r i, ele não poderá cruzar r kn nem o r nk +1 de forma que E deverá car entre Q kn e Q nk +1 De forma análoga ao caso feito pelo D e P i, temos que AE kn AC n < 1 para n todo n > 0 Assim, temos que AD AE = AE kn + kn AE AB AC AC n n AD kn AC AB n + AE kn AC n < = 2 AD para todo n > 0 Então = AE, pois caso contrário, AD AE n n n < 2 implicaria AB AC AB AC n que 2 n <, signicando que existe um número real maior que qualquer número inteiro, AD AE AB AC 4

5 contradizendo a propriedade arquimediana dos números reais (Propriedade 11) Portanto A B = A C AB AC ( =) Seja ABC e A B C com lados proporcionais Se AB = A B então dois triângulos são congruentes por ALA e logo tem ângulos correspondentes congruentes Se estes lados não forem congruentes, podemos supor sem perda de generalidade que A B < AB Seja D um ponto sobre AB de forma que AD = A B Considere E sobre AC de forma que DE é paralelo a BC Então ADE e ABC tem ângulos correspondentes congruentes e pelo que já demonstramos, terá os lados correspondentes proporcionais Como AD = A B, a razão de semelhança de ADE e A B C com o ABC é igual, o que implica que ADE e A B C são congruentes por LLL Logo, A B C tem ângulos correspondentes congruentes com ADE que por sua vez, tem os ângulos correspondentes congruentes com ABC O teorema acima garante que os triângulos com ângulos correspondentes congruentes são semelhantes e os triângulos com lados correspondentes proporcionais também são semelhantes O Teorema de Tales generalizada, também conhecido como Teorema da projeção paralela é um resultado equivalente ao Teorema fundamental da proporcionalidade Teorema 26 (Tales generalizado) Dado três retas paralelas, eles determinam segmentos com a mesma proporção, independente da reta concorrente Signicado Sejam r i com i = 1, 2, 3 as retas paralelas Se s 1 e s 2 são as retas concorrentes à r i, determinando pontos de intersecção A i e B i com r i, então A 1A 2 = B 1B 2 A 2 A 3 B 2 B 3 Demonstração Sejam r 1, r 2 e r 3 as retas paralelas e s 1 e s 2 são retas concorrentes a r i Precisamos mostrar que os segmentos determinados por r i sobre s 1 são proporcionais aos segmentos determinados sobre s 2 Consideremos A 1, A 2 e A 3, os pontos de intersecção de s 1 com as retas r 1, r 2 e r 3 respectivamente Também consideremos B 1, B 2 e B 3, os pontos de intersecção de s 2 com as retas r 1, r 2 e r 3 respectivamente Queremos provar que A 1A 2 = B 1B 2 A 2 A 3 B 2 B 3 Sejam P e Q, os pontos sobre as retas r 2 e r 3 respectivamente, obtido pela intersecção com a reta paralela ao s 1 passando pelo ponto B 1 Então A 1 A 2 P B 1 e A 2 A 3 QP são paralelogramos e consequentemente, A 1 A 2 = B 1 P e A 2 B 3 = P Q Logo, basta mostrar que B 1P P Q = B 1B 2 B 2 B 3 Como B 1 P B 2 = P QB 3 por ser ângulos correspondentes formado por B 1 Q e as retas paralelas r 1 e r 2, temos que B 1 P B 2 e B 1 QB 3 tem ângulos congruentes (pois B 1 é comum) e pelo teorema fundamental da proporcionalidade, tem lados proporcionais (Figura 5) s 1 s 2 r 1 A 1 B 1 r 2 A 2 P B 2 r 3 A 3 Q B 3 Figura 5: As retas paralelas determina segmentos proporcionais Logo, B 1P B 1 Q = B 1B 2 B 1 B 3 Mas B 1 Q = B 1 P + P Q e B 1 B 3 = B 1 B 2 + B 2 B 3, tendo a igualdade 5

6 B 1 P = B 1 B 2 B 1P +P Q B 1 P +P Q B 1 B 2 +B 2 B 3 B 1 P B 2 B 3 B 1 B 2 B 1P = B 1B 2 P Q B 2 B 3 = B 1B 2 +B 2 B 3 B 1 B P Q B 1 P = 1 + B 2B 3 B 1 B 2 P Q B 1 P = Exercício 27 (Teorema da projeção paralela) Dado três retas paralelas, mostre que os segmentos determinados numa reta concorrente é proporcional aos segmentos determinados em qualquer outra transversal Exercício 28 Dado um conjunto de retas paralelas, mostre que os segmentos determinados numa reta concorrente é proporcional aos segmentos determinados em qualquer outra transversal Referências [1] Toyo, Takami, Kika-kogi (zen-pen) (Curso de geometria, parte 1 de 2), seção editoral da Universidade de Saneda, Japão, ano não especicado [2] Moise, Edwin E e Downs Jr, Floyd L, (tradução de Renate G Watanabe), Geometria Moderna, Vol 1 e 2, Edgard Blucher, 1971 [3] Euclides (versão latino de Commandino, F; ilustração e adição de Simons, R; revisão de Anibalfaro), Elementos de Geometria, edições cultura, 1944 [4] Rezende, Eliane Q F e Queiroz, Maria L B de, Geometria Euclidiana plana e construções geométricas, Editora UNICAMP, 2000 [5] Greenberg, Martin J, Euclidean and non-euclidean geometries, W H Freeman and company,