CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS DE VOTORANTIM. OBJETIVOS ( Módulo 5)

Transcrição

1 CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS DE VOTORANTIM OBJETIVOS ( Módulo 5) Nesta U.E. você será capaz de: - Usar a proporcionalidade para resolver problemas; - Aplicar o Teorema de Pitágoras na solução de situações-problemas.

2 MÓDULO 5 Freqüentemente, engenheiros arquitetos, construtores e urbanistas têm a precaução de desenhar e mostar suas obras em dimensões reduzidas, como um primeiro passo para a sua construção. Para isso, esses profissionais fazem uso de maquetes e plantas em seus respectivos trabalhos. O desenho da planta de um apartamento, um desenho e sua imagem vistam por uma lupa, são exemplos de semelhança. FIGURAS SEMELHANTES Ítalo e Aline fazem ginástica diariamente. Veja a foto e sua ampliação: Observe que as medidas dos lados das duas fotos são diferentes, mas as medidas dos ângulos são iguais.

3 46 mm 32 mm 69 mm 48 mm 124 º 35º 124 º 35º 66 cm 99 cm Na matemática, uma foto e sua ampliação são exemplo de figuras semelhantes. Pode-se dizer que dois triângulos têm a mesma forma, uma vez que ambos têm forma triangular, mas nem sempre são semelhantes. Porém, dois triângulos eqüiláteros são sempre semelhantes. Eles têm a mesma forma! Dois círculos são sempre semelhantes: Em figuras semelhantes há certas propriedades notáveis. Uma delas referese a comprimentos. Observe que as medidas das figuras (Ítalo e Aline) são diretamente proporcionais aos comprimentos correspondentes da outra. Multiplicando os comprimentos da figura menor por 1,5 obtemos os comprimentos da maior. Dizendo de outra maneira, temos: 99 mm = 69 mm = 48 mm 66 mm 46 mm 32 mm Figuras semelhantes têm também uma propriedade referente a ângulos. Os ângulos de uma figura são iguais aos ângulos correspondentes da outra. (Veja bem, aqui não entra proporcionalidade). Em dois triângulos semelhantes: Os ângulos congruentes (mesmas medidas) são chamados ângulos correspondentes; Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados lados homólogos. Você verá que a semelhança de triângulos é muito utilizada no Teorema de Tales.

4 TEOREMA DE TALES Curiosidades sobre Tales de Mileto Você sabe quem foi Tales? - Foi um legislador, filósofo matemático e astrônomo. - Tales nasceu em Mileto (atualmente pertence à Turquia) no ano 646 ac. e morreu em 546 ac. - A ele são atribuídas as seguintes descobertas geométricas: m n Três ou mais retas paralelas (r,s,t) cortadas por duas retas transversais (m,n) determinam segmentos proporcionais: a = c b d

5 ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAÇÕES NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS Quando dois triângulos são semelhantes, os seus lados correspondentes são proporcionais. O Teorema de Tales estabelece que: Um feixe de retas paralelas determina em duas transversais, segmentos proporcionais Observe que aplicando o teorema das proporções você pode determinar a medida de um dos segmentos das retas transversais = 20 multiplicando X. 20 = X 10 x 10 X. 20 = 120 X = x = 6 Você sabe que existem situações em que é difícil efetuar medições então, podemos usar o Teorema da Proporcionalidade (Tales) usando a teoria dos triângulos semelhantes. Imagine que uma ponte deve ser construída sobre um rio. Como calcular a largura do rio para saber qual será o comprimento da ponte? Veja o esquema e observe como resolve a proporção para achar o valor de x.

6 O formato de um triângulo fica completamente definido quando são conhecidos os seus ângulos. Para isso basta conhecer dois ângulos, pois o terceiro é o que falta para que a soma dos três seja igual a 180º. A SOMA DOS TRÊS ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO QUALQUER É SEMPRE IGUAL A 180º. Essa propriedade dos triângulos tem inúmeras aplicações práticas. Veja o exemplo abaixo. Imagine que para fazer um mapa, seja necessário saber a largura de um rio. Graças a essa propriedade dos triângulos a largura pode ser obtida facilmente. Veja: Representação matemática X Medem-se os ângulos B e C e a distância BC. X 105 5,8 4 Apenas com essas medidas resolve-se o problema. Para isso desenha-se um triângulo semelhante àquele do rio. Veja a representação dos dois triângulos ao lado. Medindo-se os lados e usando proporcionalidade encontra-se a largura do rio.

7 Calculando a largura do rio dessa maneira, evita-se muito trabalho. Nem é preciso atravessar o rio. É por isso que a semelhança de triângulos é um conhecimento importante para geógrafos, cartógrafos, agrimensores, topógrafos e engenheiros. EXERCÍCIOS 1 - Observando o exemplo anterior, resolva em seu caderno. Um homem de 1,80 de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 9 m de comprimento. Qual é a altura da árvore? Representação matemática X 1,80 m 60º 60º 2,70 m 9 m 2) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representado pela figura abaixo. Qual é a largura do lago? Faça a representação matemática. Observe que têm dois triângulos: um menor dentro do outro maior. x

8 Exemplo resolvido. Calcule o comprimento de X x 2,1 17 4,2 4,2 X = 2,1 17 X = 35,7 4,2 X = 8,5 EXERCÍCIOS 3 ) Faça em seu caderno. (multiplica cruzado) 4 ) Como você pode calcular a altura da torre de uma igreja que projeta uma sombra de 18 m de comprimento se, no mesmo instante, uma vara de 1,5 m produz uma sombra de 2,5m? X 1,5m sombra 18m sombra 2,5m

9 5 ) Uma haste de um metro projeta uma sombra de 2m, qual será a altura de um poste de iluminação que no mesmo instante tem uma sombra de 15 m? SUGESTÃO; faça a representação do problema com os desenhos dos triângulos. 6 ) Três retas paralelas ( a, b, c ) são cortadas por duas retas transversais (s, t ) formando quarteirões com as respectivas medidas. Determine a medida do quarteirão x. a b c x m 50 m s t TEOREMA DE PITÁGORAS No século VI a.c. foi descoberta uma propriedade válida em todos os triângulos retângulos. Recordando: Elementos do Triângulo Retângulo cateto Hipotenusa (é o lado maior, oposto ao ângulo reto) Cateto ( lados que formam o ângulo reto 90º ) Teorema de Pitágoras. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

10 Exemplo: 3 X 4 Hip² = cat² + cat² X² = 3² + 4² X² = X = 25 X = 5 2 ) Observe o terreno triangular abaixo e descubra a medida do terceiro lado. 24 (cateto) 25 (hipotenusa) X (cateto) Hip² = cat² + cat² 25² = x² + 24² 625 = X² = x² X² = 49 X = 49 X = 7 EXERCÍCIOS: 7 ) O carpinteiro precisa calcular o comprimento dos caibros do telhado: 10 X 2,90 Nesta situação você encontra um triângulo retângulo. Usando o Teorema de Pitágoras descubra o comprimento do caibro.

11 8 ) Os lados de um quadrado medem 10 cm. Qual é o comprimento de suas diagonais? Dica : DIAGONAL: SEGMENTO DE RETA QUE UNE VÉRTICES OPOSTOS. Veja o desenho ao lado e observe que a diagonal passa a ser a hipotenusa dos dois triângulos retângulos formados. Diagonal = hipotenusa 9 ) Para que o portão ganhe rigidez ( lembra-se da rigidez do triângulo? ) o carpinteiro deve colocar uma trave de madeira que se estenda do ponto A até C ( conforme figura): A GABARITO X 130 MÓDULO C 1) 6 m 2) 250 m 3) 8,4 4) 10,8 5) 7,5 m 6 ) 160 m 7) 10,41 m 8 ) 14,142 9) 198,49 cm GABARITO

12 Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes ATUALIZADA EM 2008 APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim