CONVECÃO NATURAL. É o processo de transferência de calor induzido por forças gravitacionais, centrífugas ou de Coriolis.

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1 CONVECÃO NAURA É o processo de transferência de calor indzido por forças gravitacionais, centrífgas o de Coriolis. A convecção natral ocorre na circlação atmosférica e oceânica, sistemas de refrigeração de máqinas elétricas e reatores ncleares, cavidades aqecida o resfriadas, fontes eletrônicas de potência, etc. O escoamento é indzido pelo empo, devido a ação de força de corpo agindo em gradientes de densidade, qe por sa vez, srgem devido a gradientes de temperatra e concentração em m flido. 1

2 CONVECÃO NAURA Qando convecção natral ocorre devido ao empo casado por ma sperfície aqecida em m meio em reposo, sem fronteiras, esta é chamada de convecção livre. Assim como a convecção forçada, a convecção natral pode ser classificada em interna e eterna, laminar e trblenta.

3 Convecção Natral aminar ao longo de ma Placa Vertical com emperatra Constante Imersa em m Meio Flido Infinito o

4 As aproimações de camada limite são válidas e portanto as eqações qe governam o escoamento e as condições de contorno são: Eqações da Camada imite Continidade: v y 0 Qantidade de movimento direção : v y y b p Qantidade de movimento direção y: p y 0 Energia: c p v y y Condições de Contorno (i) y = 0 = v = 0 e = w (ii) y= = 0 e =

5 Nas eqações apresentadas, a dissipação viscosa foi desprezada, pois as velocidades esperadas são peqenas e a diferença de temperatra não é. Desprezo-se também, a possibilidade do flido ser resfriado enqanto sobe, se epandindo na pressão mais baia eistente em posições mais altas. Este fenômeno é importante em meteorologia. Antes de prossegir, devemos analisar o gradiente de pressão e a força de corpo, b. De m modo geral a força de corpo é devido ao efeito gravitacional, logo b = g. 5

6 Como p/y = 0, o gradiente de pressão em, pode ser avaliado longe da parede, onde as eqações de movimento mostram qe o flido encontra-se estagnado (=0) p / g Como resltado, tem-se b p g Eistem diversas maneiras para ocorrer o forçamento o O mais comm é a dependência da massa específica na temperatra, onde o movimento do flido srge, pois o flido mais qente é menos denso, sbindo. o Em sitações com transferência de massa, as espécies menos densas, também se deslocam para cima. o Eistem sitações onde os dois efeitos podem estar presentes, o ainda, ma efeito se oponha ao otro. 6

7 7...! ) (! ) ( ) (...! ) ( ) ( 1 ) ( o Nos restringiremos aqi, a dependência da massa específica com a temperatra. o Utilizaremos a aproimação de Bossinesq Pela definição de coeficiente de epansão térmica Epandindo a massa específica em série, temos De acordo com Bossinesq, a variação da massa específica só é significativa no termo de empo

8 8 0 y v g v y y ( ) y p y c v As eqações da camada limite para o problema, tornam-se Condições de Contorno (i) y = 0 = v = 0 e = w (ii) y= = 0 e =

9 Perfis eperimentais sgerem a possibilidade de perfis similares. Eistem diversas formas para se obter estas solções. Pode-se tilizar m procedimento análogo ao tilizado para obter a solção de Blasis. Introdz-se a fnção de corrente para se eliminar o componente v da velocidade. ambém é conveniente introdzir ma temperatra adimensional, y v w 9

10 eqação de qantidade de movimento y y y g w y eqação da energia y y d y d w y 10

11 A hipótese de qe os perfis de velocidade e temperatra são similares, diferindo apenas no fator de alongamento, sgere qe a seginte variável similar seja definida y H() Com esta mdança de variáveis, obtêm-se das eqações diferenciais parciais para e o objetivo agora é redzir essas eqações para eqações diferenciais ordinárias, a e técnica clássica de separação de variáveis pode ser tilizada. f ( ) G( ) O conjnto resltante de eqações, se redz a eqações diferencias ordinárias se Gr G( ) 1 Gr H( ) 11

12 onde Gr é o número de Grashof Gr g ( w ) O número de Grashof pode ser interpretado como a razão entre as forças de empo e forças viscosas. As variáveis adimensionais são y Gr f ( ) / Gr 1

13 A eqação diferencial ordinárias resltante para temperatra constante na parede é d d f f d d f d f d 0 d d Pr f d d 0 As condições de contorno são i. = 0 em y = 0 logo f (0)= 0 ii. 0 em y f ()= 0 iii. v = v w em y = 0 v f ( 0) w c c ) g ( w Se não hover injeção v w =0 e f(0) = 0 iv. = w em y = 0 (0)= 1 v. = em y ()= 0 1

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15 A velocidade atinge m máimo próima a placa e pois a temperatra, tende as condições ambientes longe da placa, redzindo o forçamento para o escoamento. Para grandes números de Prandtl, a camada limite térmica é mais fina do qe a camada limite de velocidade. Como na camada limite de convecção forçada, a essência da solção do problema é encontrar as das qantidades desconhecidas f (0) e (0), qe estão relacionadas com o atrito e troca de calor na sperfície da placa. Uma vez qe as eqações são acopladas, os perfis de velocidade e temperatra dependem de dois parâmetros separados: número de Prandtl Pr e número de Grashof, Gr. A tabela 1-1 apresenta a solção nmérica para Pr =1. Diversas otras tabelas são necessárias para otras combinações de Pr e Gr. 15

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17 O coeficiente de transferência de calor local pode se determinado a partir destas solções, ma vez qe qw k y y0 h ( w ) o em fnção das variáveis de similaridade qw k( w ) 0 y H ( ) h ( w ) 1 Gr H( ) N h '( 0 ) / Gr k 1 Gr g ( w ) logo observa-se qe h / h 17

18 O número de Nsselt local depende de Pr e Gr. Solções para '( 0 )/ obtidas por Ostrach e otros são apresentadas na tabela a segir Pr 0,01 0,1 0,7 1, N Gr - 0,0570 0,16 0,57 0,01 0,87 1,55,80 A seginte correlação de Ede apresenta boa concordância com os dados da tabela Pr N / Gr 5 ( 1 Pr Pr Pr1 18

19 O coeficiente de transferência de calor médio também pode ser obtido, ma vez qe o flo de calor total é Q w ( w ) As h ( w ) As O coeficiente médio de troca de calor é h h d sendo h h da / h d B d B B N h k h h O número de Nsselt médio, em termos de número de Grashof local é '(0) 1 h B 0 Gr s h 19

20 0 Como vimos o número de Nsselt depende de Pr e Gr. Podemos então rescrever o número de Nsselt médio como N h k A Pr Gr onde Ra é o número de Rayleigh, Ra =Gr Pr. Note qe N N N h k A Ra O parâmetro A encontrase na tabela 1-. Para sitações limites de Pr, pode-se obter solção simplificada. Pr 0 Pr N N 0, 600 ( Gr 0, 50 ( Gr Pr Pr) )

21 De forma análoga, a tensão cisalhante local é w y y0 y qe em fnção dos grpos adimensionais é w ( Gr ) f ( 0) logo observa-se qe w Observe qe em contraste com a camada limite térmica forçada, a tensão cisalhante cresce com a distância da borda de ataqe. 1

22 A tensão média pode ser obtida a partir da força qe ata na placa F A w s das w As w w 1 0 w ( ) d 1 C 5/ C d C 5 / w w w 5 w s 5 ( Gr ) / f (0) w 5 ( Gr ) 5 / f (0) ( Gr ) f (0) w ( Gr ) f (0)

23 A tabela 1- apresenta os valores de (0) f (0 ) jntamente com a variável A para diversos Pr.

24 A concordância do perfil de velocidade e temperatra com dados eperimentais é mito boa, como pode ser visto na figra

25 Número de Nsselt Médio verss número de Rayleigh 5

26 Apesar da concordância com os dados do campo de velocidade e temperatra, observa-se qe o coeficiente de transferência de calor médio é m poco mais alto do qe os valores previstos. A figra anterior apresenta ma comparação realizada por Ede, na qal a linha sólida representa as previsões da camada limite, e os pontos as medidas eperimentais. o Entre Ra = 10 5 e 10 8, a concordância é satisfatória. o Fora desta faia, as previsões se afastam dos dados medidos, e mesmo na região de melhor concordância, a previsão fica abaio dos dados eperimentais. 6

27 Os desvios encontrados a altos números de Rayleigh, provavelmente são devidos ao desenvolvimento da trblência, e para baio números de Rayleigh, devido ao amento da imprecisão das hipóteses da camada limite, devido a grande espessra da mesma. Para número de Prandtl aproimadamente nitário, McAdams sgere a seginte correlação h N 0, 555( ) Ra 10 Ra 10 9 k a qal correlaciona bem com os dados eperimentais, como pode ser visto na figra a segir, obtida para ar. 7

28 Número de Nsselt Médio para o ar sobre placas planas verticais, para Pr peqeno, verss número de Rayleigh 8

29 Como levar em consideração a dependência da temperatra nas propriedades, tem sido motivo de estdo de diversos pesqisadores. Em geral considera-se qe as propriedades devem ser avaliadas na temperatra de filme f w para sar as correlações de propriedades constantes. De acordo com Sparrow e Gregg, para gases e mercúrio líqido, a seginte temperatra de referência fornece melhores resltados r w 0, 8 ( w ) 9

30 Mecanismo dominante Como vimos, as eqações da camada limite para o problema de convecção natral ao longo de ma parede vertical são y v y v y 0 cp y v y y ( ) g Condições de Contorno (i) y = 0 = v = 0 e = w (ii) y= = 0 e = Analisando a eqação de conservação de qantidade de movimento, observa-se qe a eqação da camada limite é formada de parcelas: Vamos analisar, em qe condições o Inércia = atrito + empo escoamento é governando pela inércia e empo o atrito e empo 0

31 1 0 y v g v y y ( ) y p y c v Vamos realizar ma análise de ordem de grandeza V U ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y v V U U U U ) ( g U U U U U ) ( 1 g g comu e dividindo g 1 g g e mltiplicando e dividindo por

32 g g 1 Pr Gr g g ; Ra Bo ; g Prandtl Grashof Rayleigh Bossinesq ( / ) ( / Ra Pr inércia/ empo Ra Gr Pr ; Bo Ra Pr ) Ra atrito / empo 1 A comparação da inflência entre inércia e atrito depende de Pr: o Pr>>1: C é dominada pelo balanço entre atrito e empo o Pr<<1: C é dominada pelo balanço entre inércia e empo

33 Caso 1: Pr>1 Ra H k q k h N k h q w w O movimento do flido não fica restrito à zona aqecida: d > d y 1 / Ra α Ra eqilíbrio entre forças viscosas e empo: / / / Pr Ra Ra Região II Região II Pr

34 Caso : Pr<1 só eiste movimento dentro da camada limite térmica ( Ra Pr) Região II Região I α ( Ra Pr) y Ra Pr g α Ra Pr ( Ra Pr) Pr ( Ra Pr) Gr Gr q w h k N h k Ra Pr H Bo H Pr

35 5

36 Convecção Natral em Canais Verticais y Caso 1: D>>δ (não há interferência) Caso : D<<δ 6

37 Caso = região totalmente desenvolvida (H/D>>1) 7 cte : << 0 v Eqação de continidade Eqação de qantidade de movimento g p y p ; 0 0 g y Esta eqação de energia deve ser resolvida acoplada com a eqação de energia y Solção aproimada / D / y Ra D D / D y D g D g Ra D 0 Ra D D D 1 1 / / ma

38 Flo de massa: m D W Flo de calor: spondo flido saindo do canal o Q Calor transferido ao flido mc D W c p 0 p 0 Q W Flo de calor médio D c p 0 qw Número de Nsselt médio: N D N D hd k 1 qwd D 0 Ra D k o N D H c p D k 1 Ra D g D Ra D 0 8

39 Verificando a validade da hipótese de escoamento desenvolvido ( e <<) : δ D/ qando y é da ordem de e. Então: Na região de entrada deve ser peqena em relação ao comprimento do canal, e << Pr 1 e / Ra e D / Pr 1 / Bo D / e D e Bo e H D Ra ( Bo Ra Pr) Condição de escoamento desenvolvido e H Pr 1 / D Ra e Pr 1 / D Bo e

40 Convecção Mista: Natral + Forçada mecanismo predominante é determinado pela menor camada limite - δ (CN) o δ (CF ) : δ (CN) < δ (CF) : CN predomina δ (CN) > δ (CF) : CF predomina CN : ( CN ) Ra Pr 1 CF : ( CF ) Re Pr Pr 1 ogo, para Pr > 1: 1 Convecção forçada Ra 1 Convecção mita Re Pr 1 Convecção natral CN : ( CN ) Bo Pr 1 CF : ( CF ) Pe Pr 1 ogo, para Pr < 1: 1 Convecção forçada Bo 1 Convecção mita Pe 1 Convecção natral 0

41 Convecção Natral não confinada 1

42 - Cilindro longo horizontal - Correlação de Morgan: N D CRa D n - Correlação de Chrchill e Ch: 6 N D D / 16 8/ 7 Ra D Ra 1 ( / Pr)

43 Escoamento estável instável - Para gases e líqidos, cai com 1 < 1 > troca de calor por convecção Flido qente (mais leve) sobe, e vai sendo resfriado, mas o flido mais frio (mais pesado) desce, sitação instável, ocorre circlação do flido 1 > 1 < : troca de calor por condção (não há movimento)

44 -Placas horizontais e inclinadas -Força de empo tem m componente normal a placa -Escoamento resltante é -D -N pode ser calclado sando as correlações anteriores e sbstitindo g por gcos, nas regiões onde o escoamento não é -D. Nas regiões -D não há correlações disponíveis na literatra s < s >

45 -Placas horizontais: força de empo só tem a componente normal a sperfície s < placa sperior - s > placa inferior - s < N 0.5Ra N 0.15Ra (10 Ra 10 7 ) (10 7 Ra ) placa sperior - s < placa inferior - s > N 0.7Ra (10 5 Ra ) s >

46 Convecção Natral em Espaços Confinados Reslta da complea interação entre o flido e todas as paredes qe o circndam Podemos dividir os problemas em tipos: o espaços confinados aqecidos lateralmente o espaços confinados aqecidos pela sperfície inferior 6

47 Aqecimento lateral Eqações de conservação para flido incompressível, regime transiente, propriedades constantes, hipótese de Bossinesq: A solção das eqações é obtida nmericamente 7

48 Além da C térmica, as paredes laterais desenvolvem jatos de velocidade (viscos wall jets), de espessra δv. Fora da C térmica, δv pode ser obtido da eq. de mom. Nesta região, o efeito do empo é peqeno: inércia atrito. Condição necessária para a troca de calor (Ra H >1) Dependendo de H/-Ra H, regiões representando m regime diferente em condições de regime permanente pode ser identificado: 8

49 1: imite de condção: a temperatra varia linearmente através da cavidade. A troca de calor entre os lados é da ordem de khδ/. O gradiente de temperatra Δ/ gera ma recirclação (fraca) no sentido horário.. imite para alto espaço confinado (H/>>1): temperatra varia linearmente entre os lados e Q khδ/. Recirclação no sentido horário, com camadas distintas no topo e no fndo da cavidade.. imite para espaço confinado raso: troca de calor é dominada pela presença de C térmicas verticais (Q khδ/δ,f ). Este é m valor máimo para Q, pois a largra etensa da cavidade força m isolamento na região central.. imite para altos Ra H (reg. C): C térmicas verticais distintas ao longo das paredes laterais. Q khδ/δ,f. O centro da cavidade fica praticamente estagnado e estratificado termicamente.

50 Cavidades com parede inferior aqecida Δ tem qe eceder m valor crítico para o início do movimento 50

51 Cavidades com parede inferior aqecida Δ tem qe eceder m valor crítico para o início do movimento Ra < Ra,c =1708, forças de empo são menores do qe as forças viscosas e não ocorre movimento roca de calor por condção < Ra < 510, movimento do flido se dá em forma de céllas igalmente espaçadas Para maiores valore de Ra, as céllas se qebram e o movimento é trblento -Correlação de Globe e Dropkin (para baios H/): N = h k = 0.069Ra H Pr < Ra H < propriedades a m =( 1 + )/ 51