FENÔMENOS DE TRANSPORTE

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1 FENÔMENOS DE TRANSPORTE RESOLUÇÃO DA LISTA DE EXERCÍCIOS PARA TRABALHO 1) ) 3) ) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 1) 13) 1) 15) 16) 17) 18) 19) Vol = 1,5 m³ ; m = k ; =.10 - k/m.s ρ =? ; =? ρ = m/vol = 3000/1,5 =.000 k/m³ = /ρ =.10 - /000 = 1, m²/s 0) Re = ρvd μ = 0,15 milipoise = 0, poise = 0, = 0, k/sm Re = 96 0,6 (6 0,05) 0,15 10 = >>>.000 Reime trblento

2 1) θ Fc P θ F = m.a; a = 0 F = 0 Em : Fc = P.senθ Como a força Fc é decorrente da tensão iscosa na área da base do bloco: Fc =.A Considerando ma distribição linear da elocidades do flido entre o bloco e o plano: = μ V V/ A = P.senθ V = P sen θ A ) D = 0 cm d e = 6,0 cm d i = 6,00 cm = 0,01cm = 0,01cm Fc V F F = m.a F = Fc

3 dfc =.da Fc =. da S com o flido: ; interando ao lono da sperfície do eio (ri) em contato Fc =.A ; onde A = ri L Considerando ma distribição linear de elocidade no flido entre o eio e o mancal: = μ V F = (μ V ) ( ri L) = μ V r i L dados do problema: e d = μ ρ = ρ. d = ρ ρ áa ρ = d.ρ áa = d.ρ áa. ; considerando ρ áa = k/m³ : F = d ρ áa ν V r i L = 0, ,003 0, 0,03 0, 0, , N 3) D = 0 cm r e = 130 mm r i = 10 mm = 0,01cm = 0,01cm f=60 rpm M=1,5 N.m Distribição linear de elocidade df, V r i r e Flido dm = df.ri =.da.ri M =. r i. da S em contato com o flido: ; interando ao lono de toda a sperfície do eio

4 M =. ri. A ; onde A = ri L Considerando ma distribição linear de elocidade no flido entre o eio e o mancal: = μ V M = π μ V r i L ; onde V =.ri =..f. ri : M = π μ f r i 3 L μ = M π f r i 3 L μ = M = 1,5 (0,130 0,10) 5 π f r 3 i L π 60 (Letra B) 60 (0,1)3 0, π ) Vista lateral D V Fc Vista sperior A F = m.a - Fc = m.a Fc =.A Considerando ma distribição linear de elocidade no flido entre o disco e a mesa: = μ V - (μ V ) (πd πd ) = m.a - V = m.dv dt - V = m dv πd dt dt = - m πd dv V dt = - k dv V V t = - k. dv V 0 V t = - k.( ln V - ln V0 ) t = - k.ln V/V0, como V>0 t = - k.ln (V/V0), considerando t0 = 0 t = - k.ln (V/V0)

5 k = m μπd = 0, ,050 1, π 0,09 V0 = 10 m/s 5. t = -5, ln( V / 10 ) a) t = -5. ln( 1 / 10 ) 10 s = min b) lim t(v) = 5, lim ln ( V ), o seja, nnca irá parar. V 0 10 V 0 c) t = - k.ln (V/V0) V = V0 e t k t S = Vdt t 0 t = V0 e t k dt t 0 = -10 5, (e 10 5, - 1) 71 m = V0. (-k). (e t t k) t0 = - V0 k (e t k 1) 5) Isolando-se ma faia na sperfície do disco a ma distância r do centro e com espessra dr obtémse: df V r da dr dm = r df dm = r df dm = r (τ da) (mltiplicado por para representar ambas as forças qe atam por cima e por baio do disco), mas, considerando ma distribição linear de elocidade: τ = μ V, V = Ω r e da = π r dr loo, dm = r μ Ω r πμω π r dr = r 3 dr

6 M = πμω R r3 dr 0 = πμω R = πμωr 6) V = i + j + k Onde: V é o campo de elocidades;, e são as componentes em, e z, respectiamente, do etor elocidade, em fnção da posição (,,z) e do tempo t; i, j e k são os etores nitários nas direções,, e z, respectiamente. Se V = Kt i Kt j + 0 k, então: = Kt e = -Kt Para as linas de corrente: d = d = dz d Kt = d Kt para K e t 0 d = d, interando: d = d ln = -ln + C ln. = C. = e C, sbstitindo a constante e C pela constante c:. = c Para c = 0: (ráfico coincidente com os eios) Para c = 1:

7 Para c = : - - 7) Para as linas de corrente: d = d = dz d Vcosθ = d Vsenθ, d como V 0 = t θ () = tθ + C d 1 C= C=1 C=0 C=-1-1 C=- - 8) Pela fórmla do coeficiente adimensional de arrasto têm-se: F D = 1 C D ρ U A Para escoamentos trblentos, têm-se qe o coeficiente de arrasto de ma esfera lisa é aproimadamente 0,5. Loo:

8 F D = 1 0, (π 0,1 ) = 785,N 7,8 10 N > 3,16 10 N Resp.: ) Vazão Q = (V n ) da A = πr da = πrdr R Q = C(R r ) πr dr = πc (R r ) r dr = πc (R r dr r 3 dr) 0 R 0 0 R 0 R = πc ( R R R ) = πc Velocidade média Q = V m A V m = Q A R πc = πr = CR 30) Para - reime permanente - entradas e saídas nidimensionais, a eqação do princípio da continidade é:, sendo: m s m e = 0 m i = ρ i V nri A i = ρ i Q i Assmindo qe a azão em 3 seja de saída (caso seja de entrada o resltado será neatio): m + m 3 m 1 = 0 ρ V A + ρ 3 Q 3 ρ 1 Q 1 = 0 para áa à temperatra constante é constante, loo: V A + Q 3 Q 1 = 0 Q 3 = Q 1 V A = Q 1 V πd 1 Q 3 = 0,0107 m3 s m3 = 0, = π(0,05) = 3,5 m3 = 0,0107 m3 s

9 V 3 A 3 = Q 3 V 3 = Q 3 A 3 = Q 3 πd 3 = Q 3 πd = 0,0107 = 9,6 m/s 3 π (0,0) 31) Analoamente à qestão anterior: m 1 = m = 0 k s ρ V 1 A 1 = m 1 V 1 = m 1 ρ A 1 = ρ V A = m V = m ρ A = m 1 0 ρ πd 1 = = 1,57 m/s 998 π(0,18) m 1 0 ρ πd = = 0, m/s 998 π(0,05) 3) Pelo princípio da continidade para entradas e saídas nidimensionais em reime permanente: m s = m e m + m 3 + m = m 1 ρ V A + ρ 3 V 3 A 3 + ρ V A = ρ 1 V 1 A 1 Como VA = Q e o flido é imcompressíel ρ 1 = ρ = ρ 3 = ρ : V A + V 3 A 3 + Q = V 1 A 1 V = V 1A 1 V 3 A 3 Q 5.0, 1.0,15 0,1 = =,5 m/s o,5 m/s para dentro da jnção A 0, 33) Pelo princípio da continidade para entradas e saídas nidimensionais: d dt ρ d + m s m e = 0 VC, onde e para o referido reseratório: m i = ρ i V nri A i = ρ i Q i Então: d = πd d d dt VC πd ρ d + ρq ρq 1 ρq 3 = 0

10 d πd (ρ dt ) + ρq ρq 1 ρq 3 = 0 ρ πd d dt + ρq ρq 1 ρq 3 = 0 d dt = (Q 1 Q + Q 3 ) πd 3) Pelo princípio da qantidade de moimento em reime permanente e para entradas e saídas nidimensionais: F = (m V) s (m V) e Assmindo-se qe após incidir na placa o jato se diida em das partes iais, pelo princípio da continidade temos: e Então, aplicando-se a primeira eqação no eio : e em : F = m jv j = ρ V j π D j m 1 = m = m j m j = ρ V j A j = ρ V j π D j F = 0 = π(0,1) = 501,6 N o 501,6 N para a esqerda 35) Trata-se de m problema nidimensional (ertical), portanto, pode ser adotada a eqação da qtd. de mo. linear com entradas e saídas nidimensionais aplicada apenas ao eio z: F = d dt VC ρd + (m ) s - (m ) e Definindo o olme de controle como o foete e aplicando a eqação acima com referencial no foete, qe terá então elocidade nla e força inercial (referencial não inercial), teremos: -m d dt -m = 0 + m ( j) - 0, onde j é a elocidade do jato qe sai do foete. Eplicitando-se a aceleração: a = d dt = m j - (i) m

11 Interando ambos os lados da eqação acima ao lono do tempo: V d 0 = m j dt m 0 t t - dt 0 A massa m do foete em qalqer instante pode ser dada por m(t) = m 0 m t V(t) = - j ln (1- m t m 0 ) - t (ii) a) Utilizando a eqação (i) tem-se: a = /00 9,81 = 33,9 m/s b) Utilizando a eqação (ii) para t=10 s, tem-se: V=-3500 ln(1-5 10/00) - 9,81 10 =369,3 m/s 36) Pelo princípio da qantidade de moimento em reime permanente e para entradas e saídas nidimensionais: F = (m V) s (m V) e Pelo princípio da continidade, para reime permanente e entradas e saídas nidimensionais: m s = m e m s = m 0 = ρ 0 V 0 A 0 Aplicando em : Em módlo: F = m 0( V 0 ) m 0 V 0 = m F 0 = ρ 0 V 0 A 0 = ρ 0 V 0 πd 0 0 V 0 = ρ 0 V 0 A 0 = V 0 = 1 D 0 F 0 ρ 0 π 37) No instante representado, a conca se moe para direita com elocidade V = R. Se considerarmos o referencial na conca, a elocidade do jato será V j - R e então o problema será semelante ao anterior: Para Pot máima temos: F = ρ (V j ΩR) A j Potência = P = FV = ρ (V j ΩR) A j ΩR = ρ A j (V j ΩR) ΩR dp dω = 0 e d P dω < 0 Ω = V j 3R 38) Pelo princípio da continidade, para reime permanente e entradas e saídas nidimensionais: m 1 = m ρ V 1 A 1 = ρ V A V 1 = V D D 1 = =,5 m/s

12 Pelo princípio da qantidade de moimento em reime permanente e para entradas e saídas nidimensionais: F = (m V) s (m V) e F pressão F parafso = m V m 1 V 1 = ρπ [(V D ) (V 1 D 1 ) ] Para cálclo da força de pressão sobre a sperfície, pode ser considerada a pressão manométrica, resltando então na pressão (6-103,)kPa sobre a sperfície 1 e zero para o restante. Loo: π(1 0,05) F pressão = p 1 A 1 = = 11,57 kn F parafso = 7,6 kn 39) Pelo princípio da continidade, para reime permanente e entradas e saídas nidimensionais: m s = m e m = m 1 + m comb = m 1 + m 1 30 = m 1 Pelo princípio da qantidade de moimento em reime permanente e para entradas e saídas nidimensionais: em : F = (m V) s (m V) e F = m V m 1 V 1 = m 1 ( V V 1 ) = ρ 1 V 1 A 1 ( V V 1 ) ρ 1 é a massa específica do ar à 0 C e 1 atm qe é 1, k/m³ F = ρ 1 V 1 A 1 ( V V 1 ) = 1, 50 0,5 ( ) = 10 kn 30

13 0) F F1 1 Das pressões idrostáticas aplicadas das fronteiras 1 e obtém-se as forças resltantes, sendo L a larra do canal. F 1 = ρ 1 L e F = ρ L (i) Tratando-se de m escoamento permanente e com entradas e saídas nidimensionais, a eqação interal da continidade é m s = m e, o seja, m s = m e ρv 1 A 1 = ρv A V 1 1 L = V L V 1 1 = V (ii) e da qantidade de moimento linear é: F = (m V) s (m V) e, o seja, F 1 F = m V m 1V 1 = m 1(V V 1 ) F 1 F = ρv 1 1 L(V V 1 ) (iii) Sbstitindo (i) e (ii) em (iii): ρl ( 1 ) = ρv 1 1 L(V V 1 ) ( 1 ) = V 1 (V 1 V 1 1 ) (ii) ( 1 ) = V 1 (V 1 V ) = V 1 V ( 1 ) ( 1 + )( 1 ) = V 1 V ( 1 ) ( 1 + ) = V 1 V V = V 1 ( 1 + ) (i) Sbstitindo (i) em (ii): V 1 1 = [ ( V 1 + )] V 1 1 = 0, qe é ma eqação de ra, em relação à incónita. Aplicando Baskara: = 1 ( V 1 1 ) Para obter V, basta sbstitir em (ii):

14 1 V = V 1 = V 1 ( V 1 ) 1 1 1) A nclear poer plant on a rier mst eliminate 55 MW of aste eat to te rier. Te rier conditions pstream are Q i =,5 m³/s and T i = 18 C. Te rier is 5 m ide and,7 m deep. If eat losses to te atmospere and rond are neliible, estimate te donstream rier conditions (Q 0, T 0). Por aplicação da 1 a Lei da termodinâmica: γ + V 1 + z 1 = ( p γ + V + z ) + 1 q bomba + trbina + atrito p 1 Não aendo bombas, trbinas nem perda por atrito e considerando-se a mesma cota e mesma pressão (atmosférica), a epressão acima se redz a: V 1 = (V 1 ) + 1 q Pelo princípio da continidade, para reime permanente e entradas e saídas nidimensionais: m 1 = m ρ 1 V 1 A 1 = ρ V A Spondo-se por ipótese qe a ariação da temperatra é relatiamente peqena e conseqüentemente casará ma ariação de massa específica desprezíel: V 1 = V Então, ceamos a relação final para eneria: = q Loo, todo calor recebido será transmitido para eneria interna do flido, qe é fnção da temperatra: Q = mc T Q = m c T Q T = m c = Q ρ Q c = ,5 180 = 5,3 T 0 = ,3 = 3,3 C ) Para o caso permanente com entradas e saídas nidimensionais, tem-se a eqação da eneria (1ª Lei da Termodinâmica): ( p 1 γ + V 1 + z 1) = ( p γ + V + z ) + 1 q bomba + trbina + atrito Como não é considerada troca de calor e não á trbina, esta se redz a: ( p 1 γ + V 1 + z 1) = ( p γ + V + z ) bomba + atrito (i) Escolendo-se como ponto 1, a entrada da tblação (1,8 m de profndidade) e como ponto a saída do bico: p 1 = γ = 1,8 γ p = 0

15 Pelo princípio da continidade: A D m 1 = m ρv 1 A 1 = ρv A V 1 = V = V A 1 D = 36 ( 1 6 ) = m/s Aplicando em (i), com referencial de z na sperfície d áa: 1,8 γ ( ,8) = (0 + γ 9,8 9,8 + 3) bomba + bomba 69 m Pot T = Pot de H η = dt η = dm dt η = m η η = Pot H Pot T = ρva η π(6 0,05) 998 = 9, ,5 kw 0,75 3) Considerando-se qe não á perda de eneria, pode-se aplicar a eqação de Bernolli entre a sperfície do reseratório (ponto 1) e a saída do jato (ponto ): γ + V 1 + z 1 = p γ + V + z p H = 0 + V + V = (H ) Após sair do reseratório com elocidade V, cada partícla eecta m moimento de lançamento desde a saída, com elocidade inicial orizontal, até atinir o cão. Desprezando-se o atrito com o ar, tem-se: em : moimento com elocidade inicial nla e aceleração constante e ial a - Moimento retilíneo niformemente ariado: S = V 0 t 1 t t = em : moimento com elocidade constante e de intensidade ial a V S = V t X = (H ) = (H ) X = (H ) Reescreendo X em fnção de r = /H para H constante: X(r) = H H (1 ) = H r(1 r) H Então X é máimo qanto o radicando da eqação acima é máimo, loo:

16 dx = 0 r = 0,5 dr H = 0,5 ) Sendo m escoamento permanente de entrada e saída nidimensional e desprezando-se as perdas de eneria, a eqação de Bernolli pode ser aplicada para o ponto de estranlamento do escoamento (ponto 1) e o ponto de saída para atmosfera (ponto ) : γ + V 1 + z 1 = p γ + V + z p 1 Considerando-se a mesma cota z (eio do escoamento) e a pressão manométrica (p atm=0): p 1 γ + V = 0 + V + 0 V 1 = V p 1 γ V 1 = V p 1 ρ (i) Pela eqação da continidade (permanente, nidimensional, incompressíel): A 1 D 1 V 1 A 1 = V A V = V 1 = V A 1 D (ii) (i) e (ii): V 1 = V D 1 1 D p 1 ρ V 1 (1 D 1 D ) = p 1 ρ (iii) Em ma sitação estática, a pressão em 1 pode ser calclada por: p a = p 1 + γ Sendo a pressão manométrica da atmosfera ial a 0 e a condição para qe o flido na colna de altra sba, tem-se: p 1 < γ p 1 > γ com (iii) V 1 (1 D 1 D ) = ( p 1) > (γ) = ρ ρ V 1 (1 D 1 D ) > V 1 > D D D 1 V 1 > D D D 1

17 5) A distribição de elocidades médias na frente e lateral do tbo de Pitot é representada na fira abaio. entrada frontal oricífios laterais Como pode-se obserar, a elocidade das partíclas imediatamente antes da entrada frontal é ial à elocidade V do flido. No entanto, deido a distribição de elocidades na camada limite, a elocidade das partíclas nos orifícios laterais, assim como em toda a lateral do tbo, é nla. Portanto, a diferença de pressão p qe casa o desníel do flido no tbo em U (..) é eqialente, enereticamente, à diferença parcela cinética entre a entrada frontal e os orifícios laterais (V /): V = p γ ar V = ρ áa ρ ar V = ρ áa ,8 0,15 = ρ ar 1, 9 m/s 6) Eqação diferencial da continidade: ρ t + (ρv ) = 0 Para m escoamento permanente e incompressíel pode ser simplificada para: Então: (3) 0 + ρ V = 0 V = 0 + (C) + () = 0 C = 3 z

18 7) z t z z p z t z p z t z p z i- Forças de campo (raidade) ii- Forças de contato (pressão) iii- Forças de contato (iscosidade) i- Aceleração local - Aceleração conectia i + - Aceleração total 8) Por ser tratar de m problema nidimensional, pois as randezas só dependem da posição, apenas a eqação de Naier-Stokes referente a este eio é necessária. Portanto: ρ dp dz + μ ( + + z ) = ρ ( t z ) Não á radientes de pressão aplicados: dp/dz. O escoamento é permanente: / t = 0. O escoamento é nidirecional: = = 0 O escoamento é nidimensional: / = / z = 0 Loo, a eqação se redz a ρ + μ = 0 = ρ μ = ρ μ + C 1 () = ρ μ + C 1 + C Aplicando as condições de contorno () = ( ) = 0, tem-se: () = ρ μ ( ) i ii iii i

19 9) a) Re = ρvl μ = = 500 Reime laminar b) Trata-se de m problema nidimensional e permanente, pois o escoamento é laminar, só á ariação da elocidade na direção ertical (perpendiclar às placas) e a elocidade V da placa, qe casa o moimento do flido, é constante. Portanto, considerando o eio como coincidente com a elocidade V da placa e o eio z ertical, das eqações de Naier-Stokes, a qe apresenta termos não nlos é: ρ dp d + μ ( + + z) = ρ ( t Não á radientes de pressão aplicados: dp/d =.0 O escoamento é permanente: / t = 0. O escoamento é nidirecional: = = 0 O escoamento é nidimensional: / = / = 0 Não á raidade na direção do escoamento: = 0 Loo, a eqação se redz a: z = 0 () = C 1 + C z ) Aplicando as condições de contorno (0) = 0 e () = V (elocidade das partíclas em contato com a placa é ial a elocidade da placa): () = V Concli-se qe o escoamento laminar entre das placas planas orizontais tem ma distribição de elocidades linear. c) Conforme dedzido pelo item anterior, a distribição de elocidade entre as placas é linear, conseqentemente, a tensão cisalante pode ser calclada pela eqação simplificada: τ = μ V F = τa = μ V A = = 1 N 10 3