Fenômenos de Transporte. Farlei Roberto Mazzarioli

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1 Fenômenos de Transporte Farlei Roberto Mazzarioli

2 Sumário 1. Movimento dos fluidos 2. Equação da continuidade Prof. Farlei 3. Equação da energia 4. Máquinas e fluido real

3 1. Movimento dos fluidos Escoamento Viscosidade Tensão de cisalhamento Força Força normal Força tangencial hcmdhit9uck/tidc7njztwi/aaaaaaaaads/i_ha7c Uw828/s1600/95_scaled.jpg

4 Escoamento laminar Escoamento turbulento XXXP/Modern-Art-Jumping-Laminar-Jet-Fountain-With.jpg XXA/ /HTB1StpqHVXXXXXjXVXXq6xXFXXXA.jpg

5 Experimento de Reynolds echgimyshgr_jwr8ltl9z1zhdgio-cdwkbj- 1rwtNufsrQecXo6MdWAGbDoQ4K_7_hc4R1Exr8vYOGbYIGgI7_UMQ

6 Número de Reynolds R e = ρ v D μ Reynalds crescendo ρ = massa específica do fluido (kg/m³) v = velocidade do fluido (m/s) μ = viscosidade dinâmica do fluido (N.s/m²) D = diâmetro da tubulação (m) O número de Reynolds (Re) é adimensional. Escoamento linear Escoamento de transição Escoamento turbulento Reynalds

7 Viscosidade ν = μ ρ Viscosidade crescendo ν = viscosidade cinética (m²/s) μ = viscosidade dinâmica (N.s/m² ou Pa.s) ρ = massa específica (kg/m³) Letras parecidas, não confundir a viscosidade cinética ν e velocidade v. Viscosidade dinâmica = viscosidade absoluta. 1 centipose = 0,01 pose = 0,001 Pa.s 1 centistoke = 0,01 St (stoke) = 1 cm²/s Fluidez crescendo

8 Tensão de cisalhamento Força Força normal Pressão normal p = F N A Força tangencial Tensão de cisalhamento (Pressão tangencial ) τ = F t A p = pressão normal (N/m²) τ = tensão de cisalhamento (N/m²) F = força (N) A = área (m²) O imperador Júlio César tem o nome césar porque nasceu de cesariana, que é corte, então tensão de cisalhamento é tensão de corte.

9 Tensão de cisalhamento para velocidade constante τ = μ dv dy τ = μ v 0 ε τ = tensão de cisalhamento (N/m²) μ = viscosidade dinâmica (N.s/m²) v₀ = velocidade constante (m/s) ε = espessura do fluido (m)

10 Exercício resolvido Uma placa retangular com dimensões 0,5 m por 0,4 m e massa de 10 kg, desliza sobre um plano inclinado com ângulo θ de 30 com a horizontal, conforme figura a seguir. A placa desliza sobre o plano inclinado com velocidade constante de 2,5 m/s. Entre a placa e o plano inclinado existe uma película de óleo de 1 mm de espessura. Determine a viscosidade absoluta μ do óleo. Dados: g = 10 m/s 2 ; F t = P.senθ; τ = F t /A; τ = μ.v 0 /ε. Resposta: 0,1 Pa.s.

11 Organizando dados Juntando as fórmulas e substituindo v 0 = 2,5 m/s ε = 1 mm = 10 ³ m τ = F t A τ = μ v 0 ε Área de contato A = 0,5.0,4 = 0,2 m² Força tangencial F t = P.senθ = 100.sen30 = 50 N F t A = μ v 0 ε 50 0,2 = μ 2, μ = 0,1 Pa. s

12 Exercício resolvido Em um processo industrial, um longo cilindro de metal de diâmetro 5 cm penetra a velocidade constante de 2 cm/s um orifício de 1 cm de profundidade. Há lubrificação de espessura de 1 mm, viscosidade cinética 1, m 2 /s e massa específica 850 kg/m 3. Determine a força de penetração do cilindro. Dados: ν = μ/ρ; τ = F t /A; τ = μ.v 0 /ε. Resposta: 0,04 N. Organizando os dados v 0 = 2.10 ² m/s ε = m L = 1.10 ² m ν = 1, m 2 /s ρ = 850 kg/m 3 F t =? N

13 Área de contato A = 2.π.R.L = 2.π.2, = 1, m² Viscosidade absoluta ν = μ ρ 1, = μ 850 μ = 1,275 Pa.s Tensão de cisalhamento F t A = μ v 0 ε F t 1,57.10 ³ = 1, ² F t = 4.10 ² N

14 Exercício resolvido Determine o torque resistente originado pela lubrificação entre o eixo cilíndrico e o orifício representado em perfil na figura a seguir. O eixo tem diâmetro D de 4 cm, o comprimento L do orifício é 7 cm, a espessura ε do óleo é 2 mm e a viscosidade absoluta μ do óleo é 5,08 N.s/m 2. Nesse momento a rotação do eixo é 600 rpm. Dados: 1 Hz = 60 rpm; ω = 2πf; τ = F t /A; τ = μ.v 0 /ε; A = 2π.R.L; v = ω.r; M = F.d. Resposta: 0,56 N.m. Organizando os dados D = m f = 600 rpm = 10 Hz L = m μ = 5,08 N.s/m 2 ε = m M =? N.m

15 Área de contato A = 2.π.R.L = 2.π = 8, m² Velocidade tangencial v = ω.r = (2πf).R = 2π = 1,26 m/s O torque é o produto da força F pela distância d da força ao eixo de rotação, que no caso de um cilindro girando em torno do próprio eixo essa distância é o próprio raio R do cilindro. Tensão de cisalhamento F t A = μ v 0 ε F t 1,26 = 5,08 8, F t = 28,16 N Torque (ou momento angular) M = F.d = F.R = 28, = 0,56 N.m M = 0,56 N.m

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17 2. Equação da continuidade Na natureza, nada se cria e nada se perde, tudo se transforma Antonie Lavoisier Um fluido bem comportado em uma tubulação sem vazamento preservará a sua continuidade, assim a vazão inicial será igual à vazão final.

18 Vazão Vazão volumétrica Vazão em massa Vazão em peso Q m = ρ Q Q = t Q m = m t Q G = G t γ = ρ g Q ꓯ = vazão volumétrica (m/s) Q m = vazão em massa (kg/s) Q G = vazão em peso (N/s) t = tempo (s) ꓯ = volume (m 3 ) m = massa (kg) G = peso (N) ρ = massa específica (kg/m 3 ) γ = peso específico (N/m 3 ) g = gravidade (m/s 2 )

19 Vazão volumétrica Q = t = d. A t = d t. A = v m. A Q = v m. A Vazão em massa Q m = m t = ρ. V t d. A = ρ. t = ρ. v m. A Q m = ρ. v m. A Vazão em peso Q G = G t = γ. V t d. A = γ. t = γ. v m. A Q G = γ. v m. A Volume = área x distância = A. d ρ = m m = ρ v v = velocidade média (m/s) m = d t

20 Velocidade média e velocidade máxima O fluido não possui velocidade uniforme dentro da tubulação, o atrito com as paredes da tubulação diminuem a velocidade tendo a velocidade máxima no centro e decaindo radialmente. Usamos basicamente a velocidade média v m. Ԧv v m = 1 2 v máx

21 Equação da continuidade Fluido incompressível Vazão volumétrica A 1 A 2 v 1 v 2 Q inicial = Q final Q 1 = Q 2 v 1. A 1 = v 2. A 2 Q = v m. A Seção 1 Seção 2 Se aumenta a área, diminui a velocidade. Se diminui a área, aumenta a velocidade.

22 Exercício resolvido Em uma cena de crime em uma construção civil jaz o corpo do engenheiro chefe atingido com dois disparos e um encanamento de óleo com um furo de bala, provavelmente no mesmo momento. Não há vídeos e nem testemunhas. Um perito criminal, que é engenheiro, chega às 6:00hs e mede que a vazão do óleo no furo de 1 cm de diâmetro preenche um copo de 200 ml em 8 segundos e observa que todo o óleo que vazou preenche uma canaleta retangular de 20 cm x 3,5 m até uma altura de 24 cm. Considere o deslocamento do fluido como sendo laminar e contínuo o suficiente para a precisão desejada. Com base nos dados determine o horário da morte. Resposta: 4:08 hs.

23 Vazão medida no copo Q = t = 0, Volume da canaleta = m 3 /s = 0,2 3,5 0,25 = 0,168 m 3 Hora da morte t = s = 112 min = 1 h 52 min 6:00 1:52 = 4:08 hs Hora da morte = 4:08 hs Tempo de enchimento da canaleta Q = t = 0,168 t t = s

24 Exercício resolvido Em um avião, o seu motor a propulsão a jato queima 3 kg/s de combustível quando este voa a velocidade constante de 200 m/s. Sabe-se que a área de entrada de ar no motor é de 0,5 m 2 e a área de saída é de 0,2 m 2, a massa específica do ar na entrada é de 1,2 kg/m 3 e dos gases ejetados é de 0,5 kg/m 3. Determine a velocidade dos gases provenientes da propulsão provenientes da propulsão. Dado: Q = ρ.a.v. Resposta: m/s.

25 Organizando os dados Vazão em massa Q 2 = 3 kg/s v 1 = 200 m/s A 1 = 0,5 m 2 A 3 = 0,2 m 2 ρ 1 = 1,2 kg/m 3 ρ 3 = 0,5 kg/m 3 v 3 =? m/s Q inicial = Q final Q 1 + Q 2 = Q 3 ρ 1 v 1. A 1 + Q 2 = ρ 3 v 3. A 3 1, ,5 + 3 = 0,5 v 3 0,2 v 3 = m/s Q m = ρ v m A

26 Exercício resolvido Durante um processo industrial, dois fluidos incompressíveis (1 e 2) são misturados para obter um novo fluido homogêneo (3). O fluido 1 tem massa específica 1500 kg/m 3 e é injetado no misturador em vazão volumétrica 0,05 m 3 /s, da mesma forma, o fluido 2 tem massa específica 800 kg/m 3 e é injetado a 0,02 m 3 /s. A área de saída do fluido 3 é m 2. Determine a velocidade de saída e a massa específica do fluido 3. Dados: Q = A.v (em m 3 /s); Q = ρ.a.v (em kg/s). Resposta: 17,5 m/s e 1300 kg/m 3.

27 Dados Q ꓯ1 = 0,05 m 3 /s ρ 1 = 1500 kg/m 3 ρ 2 = 800 kg/m 3 Q ꓯ2 = 0,02 m 3 /s A 3 = m 2 v 3 =? m/s ρ 3 =? kg/m 3 Vazão volumétrica Q inicial = Q final Q 1 + Q 2 = Q 3 0,05 + 0,02 = Q 3 Q 3 = 0,07 m 3 /s Vazão na seção 3 Q 3 = v 3. A 3 0,07 = v v 3 = 17,5 m/s Vazão em massa Q inicial = Q final Q m1 + Q m2 = Q m3 ρ 1 Q 1 + ρ 2 Q 2 = ρ 3 Q , ,02 = ρ 3 0,07 ρ 3 = 1300 kg/m 3

28 Exercício resolvido Uma tubulação com 10 cm de diâmetro transfere um fluido de massa específica de 1400 kg/m 3. Este fluido, durante o intervalo de 10 segundos, preenche os reservatórios 1 com 22 kg, o reservatório 2 com 48 kg, e o reservatório 3 com 55 kg. Determine a velocidade máxima do fluido na tubulação. Dado: Q = ρ.a.v; v m = v máx /2. Resposta: 2,3 m/s. Vazão total Q m = 2,2 + 4,8 + 5,5 = 12,5 kg/s Área da seção da tubulação A = π. D2 4 = π. 0,12 4 = 7, m 2 Vazão em massa Q m = ρ v m A 12,5 = 1400 v m 7, v m = 1,14 m/s Velocidade máxima v m = 1 2 v máx 1,14 = 1 2 v máx v máx = 2,28 m/s

29 Momento dos patrocinadores... que nem estão sabendo disso CAFÉ DOM BERTRAND CAFÉ DOM BERTRAND Restaura a realeza em você

30 3. Equação da energia Bernoulli ajustou a equação da conservação da energia mecânica para os fluidos e, ao invés de usar a unidade de energia, ele usou a carga (H) em metros. E p = m g h H = z + p ρ g + v2 2 g Energia da altura Energia da pressão Energia da velocidade E pr = න p d E c = 1 2 m v2

31 Tubo de Venturi O estreitamento do tubo aumenta a velocidade e gera diferença de pressão, o que permite construir câmara de vácuo, pulverizador, oxigenação em aquário e6669e e51ee4970c-320wi a/fabio/p_120090_14161s-1000x1000.jpg

32 Tubo de Pitot Um tubo que mede a pressão na ponta em um ponto de estagnação cuja velocidade é zero (v = 0) e a outra pressão em um ponto lateral do tubo consegue medir a velocidade relativa entre o medidor e o fluido. Ponto de estagnação /fluido_compr_estag01.png OE090tn_2bQ/TbL4Cqd1HQI/AAAAAAA ACFo/tRgugiFicEY/s1600/pitot-tube+0.jpg

33 Exercício resolvido Um reservatório de grandes dimensões está cheio de água, sendo a altura da água z 1 de 5 m e está aberto. Esta água escoa livremente por uma tubulação de diâmetro de 10 cm na seção 2, onde é liberada no ambiente. Determine a vazão da água em litros por segundo. Dados: Dados: H = z + P/ρ.g + v 2 /2.g; Q = A.v; ρ água = 1000 kg/m 3 ; g = 10 m/s 2. Resposta: v 2 = 10 m/s; Q = 78,54 l/s.

34 Organizando os dados v 1 = 0 (grandes dimensões) z 1 = 5 m p 1 = 0 (aberto) D 2 = 10 cm R 2 = m p 2 = 0 (aberto) z 2 = 0 (no chão) Q ꓯ2 =? L/s ρ água = 1000 kg/m 3 g = 10 m/s 2 Equação da energia (ou de Bernoulli) H 1 = H 2 z 1 + p 1 ρ g + v g = z 2 + p 2 ρ g + v g = v v 2 = 10 m/s Cálculo da vazão na seção 2 Q 2 = A 2 v 2 = 7, = 78, m 3 /s A = π R 2 = π = 7, m 2 Q 2 = 78,5 L/s

35 Exercício resolvido O esquema na figura a seguir representa uma forma de se produzir vácuo utilizando um estreitamente em um cano. O sistema tem vazão de 30 litros/s e as perdas de carga são desprezíveis. Na figura, a seção tem altura z 1 de 40 cm e diâmetro de 20 cm, e a seção 2 tem altura z 2 de 10 cm e diâmetro de 10 cm. Determine a pressão de vácuo produzida na câmara de vácuo. Dados: ρ água = 1000 kg/m 3 ; g = 10 m/s 2 ; H = z + P/ρ.g + v 2 /2.g. Resposta: v 1 = 0,95 m/s; v 2 = 3,82 m/s; p 2 - p 1 = -3,84 kpa.

36 Vazão volumétrica nas seções 1 e 2 Equação da energia (ou de Bernoulli) Q 1 = A 1 v = π v 1 v 1 = 0,95 m/s A = π R 2 H 1 = H 2 z 1 + p 1 ρ g + v g = z 2 + p 2 ρ g + v g Q 2 = A 2 v 2 A = π R 2 0,4 + p , = 0,1 + p , = π v 2 v 2 = 3,82 m/s p 2 p 1 = 0, p 2 p 1 = 3,84 kpa

37 Exercício resolvido Um tudo de Venturi é utilizado para medir a velocidade de um fluido dentro de uma tubulação através da diferença de pressão entre as seções 1 e 2, conforme figura a seguir. As áreas das seções 1 e 2 são respectivamente 40 cm 2 e 10 cm 2. Em cada uma das seções foi conectado um tubo em U usando mercúrio como fluido manométrico, que indicou uma altura h de 20 cm. Determine as velocidades v 1 e v 2 nas respectivas seções 1 e 2. Dados: ρ água = 1000 kg/m 3 ; ρ Hg = kg/m 3 ; g = 10 m/s 2, p = p 0 + ρ.g.h. Resposta: p 1 p 2 = 25,2 kpa ; v 2 = 4.v 1 ; v 1 = 1,8 m/s ; v 2 = 7,3 m/s.

38 Princípio de Stevin p A = p B p = p 0 + ρ g h Equação da continuidade Q 1 = Q 2 p 1 + ρ ág g h 1 = p 2 + ρ Hg g h 2 p ,2 = p ,2 p 1 p 2 = Pa = 25,2 kpa v 1. A 1 = v 2. A 2 v = v v 2 = 4 v 1 to be continued... Ponto A Ponto B

39 Equação da energia (ou de Bernoulli) H 1 = H 2 z 1 + p 1 ρ g + v g = z 2 + p 2 ρ g + v g p 1 p 2 ρ g = v v 2 2 g = v v ,2 = v v z 1 = z 2 v 2 = 4 v 1 25,2 = v v ,2 2 = v v 1 2 v 1 2 = 3,36 v 1 = 1,8 m/s v 2 = 4 v 1 v 2 = 4 1,8 v 2 = 7,3 m/s

40 Exercício resolvido O tubo de Pitot é utilizado para medir a velocidade de fluidos ou de um veículo em relação à esse fluido, como no caso e aviões e até mesmo carros de Fórmula 1 para não reduzir a potência efetiva. Suponha um avião, cuja pressão medida no ponto de estagnação, que fica na ponta do tubo, é de 900 kpa e a pressão ambiente, medida na lateral, é de 200 kpa, determine a velocidade do veículo. Dado: ρ ar 1,2 kg/m 3. Resposta: 1080 m/s. OE090tn_2bQ/TbL4Cqd1HQI/AAAAAAA ACFo/tRgugiFicEY/s1600/pitot-tube+0.jpg pitot/grandi/0x jpg

41 Organizando os dados Seção 1: ponta do tubo v 1 = 0 (ponto de estagnação) p 1 = 900 kpa = Pa Seção 2: lateral do tubo p 2 = 200 kpa = Pa v 2 =? m/s z 1 = z 2 (mesma altura) ρ ar 1,2 kg/m 3 g = 10 m/s 2 Equação da energia (ou de Bernoulli) H 1 = H 2 z 1 + p 1 ρ g + v g = z 2 + p 2 ρ g + v g , = , v v 2 = 1080 m/s

42 Momento dos patrocinadores... que nem estão sabendo disso Usar drogas é coisa de vacilão arrombado! Frase de tradução livre.

43 4. Máquinas e fluido real A equação da energia ganha novos termos na presença de máquinas (bombas e turbinas) e da perda de carga em um fluido real. H M + H 1 = H 2 + H P1,2 Perda de carga da seção 1 para a seção 2. Máquina (M) Bomba (B): adiciona energia ao fluido Turbina (T): retira energia do fluido H M = +H B H M = - H T

44 Bomba x Turbina br/imagens/informacoes/bombahidraulica-eletrica-02.jpg m.com.br/wpcontent/uploads/2012/04/solu coes-usinagem-revista85-07.jpg Potência fornecida ao fluido N = H B Q γ Rendimento da bomba η = N N B Potência da bomba N B = 1 H η B Q γ B Potência retirada do fluido N = H T Q γ Rendimento da turbina η = N T N Potência da turbina N T = η H T Q γ

45 Exercício resolvido Um reservatório de grandes dimensões armazena água para produção de energia elétrica por meio de uma turbina T dentro da barragem, conforme figura. A altura h da água é de 4 m (seção 1) e no cano de saída (seção 2) a vazão é de 0,4 m 3 /s com diâmetro de 40 cm. Considere a água como fluido ideal e que a turbina tenha rendimento de 75%. Determine a potência da turbina. Resposta: v 2 = 3,18 m/s; H T = 3,49 m; N = 13,97 kw; N T = 10,48 kw.

46 Organizando os dados v 1 = 0 (grandes dimensões) p 1 = 0 e p 2 = 0 (aberto) z 1 = 4 m z 2 = 0 (no chão) g = 10 m/s 2 ρ água = 1000 kg/m 3 Q 2 = 0,4 m 3 /s γ água = 10 4 N/m 3 η = 75% = 0,75 N T =? Vazão volumétrica na seção 2 Q 2 = v 2. A 2 A = π R 2 0,4 = π v 2 v 2 = 3,18 m/s Equação da energia (ou de Bernoulli) H M + H 1 = H 2 H M + z 1 + p 1 ρ g + v g = z 2 + p 2 ρ g + v g H M + 4 = 3, H M = 3,49 m Potência da turbina N T = η H T Q γ H T = 3,49 m N T = 0,75 3,49 0, = ,18 W N T = 10,48 kw

47 Exercício resolvido A água é bombeada de um reservatório cilíndrico de grandes dimensões, em regime permanente, conforme figura. Sabe-se que a área do cano é de 20 cm 2, a perda de carga entre as seções 0 e 1 é de 1 m e o rendimento da bomba B é de 80%. Na seção 2 foi medido a pressão de 300 kpa e velocidade de 5 m/s. Determine a potência da bomba B e a perda de carga entre as seções 2 e 3. Dados: z 0 = 4 m; z 3 = 6 m; ρ água = 1000 kg/m 3 ; g = 10 m/s 2. Resposta: H 2 = 31,25m; H 3 = 7,25m; H 1 = 3m ; H B = 28,25 m ; H P2,3 = 24 m ; Q 2 = 0,01 m 3 /s; N = 2,8 kw; N B = 3,5 kw.

48 Organizando os dados v 0 = 0 (grandes dimensões) p 0 = 0 e p 3 = 0 (aberto) z 1 = 0 e z 2 = 0 (no chão) A = 20 cm 2 = m 2 H P1,2 = 1 m η B = 80% = 0,8 p 2 = 300 kpa = Pa v 2 = 5 m/s N B =? W H P2,3 =? m z 0 = 4 m z 3 = 6 m ρ água = 1000 kg/m 3 γ água = 10 4 N/m 3 g = 10 m/s 2. Calculando as cargas H = z + p ρ g + v2 2 g H 0 = = 4 m H 2 = H 3 = = 31,25 m = 7,25 m A área da tubulação é sempre a mesma, massa específica e a vazão também, logo a velocidade é mesma em todo o tubo. v 1 = v 2 = v 3 = 5 m/s Vazão para todo o tubo Q = A v = Q = 0,01 m 3 /s

49 Equação da energia H 0 = H 1 + H P0,1 4 = H H 1 = 3 m H 1 + H B = H H B = 31,25 Potência da bomba N B = 1 η B H B Q γ N B = 1 0,8 28,25 0, = 3.531,25 W N B = 3,53 kw H B = 28,25 m H 2 = H 3 + H P2,3 31,25 = 7,25 + H P2,3 H P2,3 = 24 m

50 Momento dos patrocinadores... que nem estão sabendo disso Resort-gulag do titio Stalin 3x mais eficaz que o concorrente alemão Opositores sempre terão vagas garantidas É muito legal, palavra de camarada Curta o inv f erno na Sibéria!!