FENÔMENOS DE TRANSPORTES AULA 7 E 8 EQUAÇÕES DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE

Transcrição

1 FENÔMENOS DE TRANSPORTES AULA 7 E 8 EQUAÇÕES DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE PROF.: KAIO DUTRA

2 Equação de Euler Uma simplificação das equações de Navier-Stokes, considerando-se escoamento sem atrito (viscosidade 0) é denominada Equação de Euler. Essa equação estabelece que, para um fluido invíscido, a variação na quantidade de movimento de uma partícula fluida é causada pela força de campo (considerada somente a gravidade) e pela força líquida de pressão.

3 Equação de Bernoulli Comparada às equações de Navier-Stokes para escoamentos viscosos, a equação da quantidade de movimento ou de Euler para um escoamento incompressível e sem viscosidade é matematicamente mais simples, mas a sua solução ainda apresenta dificuldades consideráveis. Uma aproximação conveniente para um problema de escoamento em regime permanente é integrar a equação de Euler ao longo de uma linha de corrente, originando a equação de Bernoulli. Restrições: (1) Escoamento em regime permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento sem atrito. (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.

4 Energias Mecânicas Associadas a um Fluido Em uma análise simplificada, três energias estão associadas ao escoamento de um fluido: Energia Potencial (E P ): É o estado de energia devido à sua posição no campo da gravidade em relação a um plano de referência. A vadiação desta energia é dada pela variação de sua altura em: E P = dmgz = ρd gz

5 Energias Mecânicas Associadas a um Fluido Em uma análise simplificada, três energias estão associadas ao escoamento de um fluido: Energia Cinética (E C ): É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Para um elemento dm, a energia cinética pode ser calculada da seguinte forma: E C = dmv2 2 = ρv3 da 2

6 Energias Mecânicas Associadas a um Fluido Em uma análise simplificada, três energias estão associadas ao escoamento de um fluido: Energia Cinética (E C ): Para o caso de uma tubulação sabe-se que a velocidade não é uniforme ao com a área. Desta forma para resolver a formula da energia para um tubo, utiliza-se um fator α para simplificar a resolução da integral E C = ρv3 da = α ρv 3 A m 2 2 O termo α é denominado coeficiente da energia cinética. Em geral a variação da energia cinética é pequena comparada com outros termos de energia em um fluido, ou seja, em uma mudança de velocidade α 1 = α 2. Em casos como escoamentos turbulentos, pode-se considerar α=1.

7 Energias Mecânicas Associadas a um Fluido Em uma análise simplificada, três energias estão associadas ao escoamento de um fluido: Energia de Pressão (E Pr ): Esta energia correspondem ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido. E Pr = Fds = PdAds = pd

8 Energias Mecânicas Associadas a um Fluido A energia mecânica total associada a um fluido é determinada pela soma algébrica das três energias previamente apresentadas: E T =E P +E C +E Pr E T = ρd gz + ρd V2 + pd 2 Para um sistema sem dissipação de energia a energia total E T permanece constante ao longo do escoamento, de forma que podemos cancelar o volume d. E T = ρgz + ρv2 2 + p = Constante

9 Exemplo 1 Ar escoa em regime permanente e com baixa velocidade através de um bocal (por definição um equipamento para acelerar um escoamento) horizontal que o descarrega para a atmosfera. Na entrada do bocal, a área é 0,1 m² e, na saída, 0,02 m². Determine a pressão manométrica necessária na entrada do bocal para produzir uma velocidade de saída de 50 m/s.

10 Exemplo 2

11 Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica A pressão, p, que utilizamos na dedução da equação de Bernoulli, é a pressão termodinâmica; ela é comumente chamada de pressão estática. A pressão de estagnação é obtida quando um fluido em escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito. Na equação de Bernoulli, o primeiro termo refere-se a energia associada a pressão estática e o segundo termo refere-se e energia associada ao movimento.

12 Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica Para escoamento incompressível, a equação de Bernoulli pode ser usada para relacionar variações na velocidade e na pressão ao longo de uma linha de corrente nesse processo. Desprezando diferenças de elevação, a equação de Bernoulli teremos: Se a pressão estática é p em um ponto do escoamento no qual a velocidade é V, então a pressão de estagnação, P 0, no qual a velocidade de estagnação, V 0, é zero.

13 Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica O segundo termo da soma que gera a pressão de estagnação é chamado de pressão dinâmica (1ρV 2 /2). Desta forma, constata-se, pela equação abaixo, que a pressão de estagnação (ou total) é igual a pressão estática mais a pressão dinâmica. Pressão dinâmica Pressão Estática Pressão de Estagnação

14 Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica A pressão de estagnação pode ser medida utilizando um instrumento denominado de tubo de Pitot. Neste instrumento, mede-se a pressão de estagnação e a pressão estática através de orifícios diferentes, conforme ilustrado.

15 Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica O tubo de Pitot é bastante usado na aviação para medição da velocidade do escoamento, conforme mostrado na equação abaixo.

16 Exemplo 3 Um tubo Pitot é inserido em um escoamento de ar (na condição-padrão) para medir a velocidade do escoamento. O tubo é inserido apontando para montante dentro do escoamento de modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de estagnação. A pressão estática é medida no mesmo local do escoamento com uma tomada de pressão na parede. Se a diferença de pressão é de 20 mm de mercúrio, determine a velocidade do escoamento. Dados: Densidade do ar:1,23kg/m³; SG HG =13,6; Densidade da água: 1000Kg/m³;

17 Exemplo 3

18 Equação da Energia na Presença de uma Máquina Uma máquina para efeito deste estudo, será qualquer dispositivo introduzido no escoamento, que forneça energia (bombas e compressores) ou que retire energia (turbinas), na forma de trabalho. Considere o escoamento apresentado na figura, onde H 1 representa a energia no ponto 1, H 2 a energia no ponto 2 e M uma máquina inserida entre estes trechos. Caso não houvesse a máquina, nem perda de energia, H 1 seria igual a H 2. Inserindo a energia fornecida ou retirada pela máquina (H M ), teremos: H 1 +H M =H 2

19 Potência da Máquina e Rendimento A potência de um fluido, por definição, é o trabalho por unidade de tempo. O termo energia mecânica/peso é denominado carga H e o termo peso/tempo refere-se a vazão mássica do fluido. De forma que podemos escrever N como o produto da carga H pelo peso específico ϒ e a vazão Q:

20 Potência da Máquina e Rendimento No caso da presença de uma máquina, verifica-se que a energia fornecida ou retirada do fluido, por unidade de peso, é indicada por H M, denominada carga manométrica. No caso da transmissão de potência, sempre existem perdas, portanto, a potência recebida ou cedida pelo fluido não coincide com a potência da máquina, que é definida como sendo a potência no seu eixo.

21 Potência da Máquina e Rendimento Então, para uma bomba, devido as perdas na transmissão da potência ao líquido N<N B. Com isso, define-se rendimento de uma bomba como a relação entre a potência recebida pelo fluido e a fornecida pelo eixo.

22 Potência da Máquina e Rendimento No caso de uma turbina, o fluxo de energia é do fluido para a máquina e, portanto, N T <N. Defini-se rendimento de uma turbina como a relação entre a potência da turbina e a potência cedida pelo fluido.

23 Exemplo 4 Uma bomba remove água de um reservatório com 5 metros acima de seu nível. A água é bombeada, através de um tubo (D=1 ), para outro reservatório situado a 10 metros acima do nível da bomba, com uma vazão de 10L/s. O rendimento da bomba é de 0,86. Desprezando as perdas nas tubulações, calcule o potência da bomba.

24 Exercícios

25 Exercícios

26 Exercícios

27 Exercícios Um tubo Pitot é inserido em um escoamento de ar (na condição-padrão) para medir a velocidade do escoamento. O tubo é inserido apontando para montante dentro do escoamento de modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de estagnação. A pressão estática é medida no mesmo local do escoamento com uma tomada de pressão na parede. Se a diferença de pressão é de 30 mm de mercúrio, determine a velocidade do escoamento. Dados: Densidade do ar:1,23kg/m³; SG HG =13,6; Densidade da água: 1000Kg/m³; Resp.: V=80,8 m/s

28 Exercícios 10- Um tubo de Pitot instalado em uma tubulação, por onde escoa água, registra uma deflexão de 30 mm, conforme mostrado na figura abaixo. Sabendo que a densidade do mercúrio é 14000Kg/m³ e a densidade água é 1000Kg/m³, determine a velocidade do escoamento. Resp.: V=2,8m/s.

29 Exemplo 4