LOQ Fenômenos de Transporte I

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1 LOQ Fenômenos de Transporte I FT I 07 Equações básicas na forma integral para o volume de controle Prof. Lucrécio Fábio dos Santos Departamento de Engenharia Química LOQ/EEL Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.

2 Roteiro 1. Introdução. Leis básicas para um sistema 3. Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle. 4. Conservação de Massa

3 1. Introdução Muitos problemas de mecânica dos fluidos podem ser resolvidos a partir da análise do comportamento do material contido numa região finita do espaço: volume de controle. A base desde método de solução é formada por alguns princípios básicos da física como a conservação de massa, a segunda lei de Newton, a primeira e segunda leis da termodinâmica. As equações adequadas para análise de volumes de controle são derivadas a partir das equações que representam as leis básicas aplicadas a sistemas. 3

4 . Leis básicas para um sistema As leis básicas para um sistema são resumidas a seguir: Conservação de Massa Como um sistema é, por definição, uma porção arbitrária de matéria de identidade fixa, ele é constituído da mesma quantidade de matéria em todos os instantes. A conservação de massa exige que a massa, M, do sistema seja constante. Numa base de taxa, temos: 4

5 A Segunda Lei de Newton Para um sistema, movendo-se em relação a um eixo referencial fixo, a segunda lei de Newton estabelece que a soma de todas as forças agindo sobre o sistema é igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear do sistema. Onde, P, a quantidade de movimento linear do sistema é dada por: 5

6 O Princípio da Quantidade de Movimento Angular O princípio da quantidade de movimento angular (ou do momento da quantidade de movimento) para um sistema estabelece que a taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual à soma de todos os torques atuando sobre o sistema. Onde, H, a quantidade de movimento angular do sistema é dada por: 6

7 Primeira Lei da Termodinâmica A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da conservação da energia para um sistema. Em termos médios, esta equação pode ser escrita na forma de taxa como de Q W ( 7 ) de dt Sistema Q W ( 8 ) onde a energia total do sistema é dada por: e E edm e ρdv ( 9 ) sistema M(sistema) V e u gz ( 10 ) V(sistema) 7

8 Na equação (7), taxa de transferência de calor ( Q ) é positiva quando o calor é transmitido ao sistema pela vizinhança e a taxa de trabalho (Ẇ ) é positiva quando o trabalho é realizado pelo sistema sobre a vizinhança (convenção). Na equação (10), u é a energia interna específica, V a velocidade, e z a altura (relativa a uma referência conveniente) de uma partícula de substância de massa dm Q ( + ) W ( - ) Sistema Fronteira do sistema Q ( - ) W ( + ) 8

9 A Segunda Lei da Termodinâmica Se uma quantidade de calor, Q, for transferida para um sistema à temperatura T, a segunda lei da termodinâmica estabelece que a variação da entropia, ds, do sistema satisfaz a relação: ds Q T ( 11 ) Em termos médios, a equação (11) pode ser escrita na forma de taxa: ds Q ( 1 ) dt T sistema onde a entropia total do sistema é dada por: S sdm s ρdv ( 13 ) sistema M(sistema) V(sistema) 9

10 3. Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle. Normalmente quando estudamos escoamento de fluidos é conveniente fixar uma certa região do espaço e analisar o que acontece no interior desta região com o tempo. Essa região fixa recebe o nome de volume de controle (VC), ou seja, em vez de acompanhar as partículas, analisamos seu comportamento numa região fixa no espaço. 10

11 Mas, como estabelecer as equações de um escoamento para volume de controle a partir da descrição de sistema? Antes de responder especificamente esta questão, podemos descrever a dedução em termos gerais. A fim de desenvolver a formulação para volume de controle de cada lei básica, partindo da formulação para sistema, usaremos o símbolo N para designar qualquer propriedade geral do sistema (N = M, P, H, E, S). A propriedade geral correspondente por unidade de massa por η. onde: N ( 14 ) m ETA ( ) 11

12 Considere uma porção arbitrária de um fluido em escoamento em algum instante t 0, conforme Figura 1(a). Essa forma inicial do sistema fluido é escolhida como nosso VC, o qual está fixo no espaço em relação às coordenadas xyz. Figura 1(a, b) Configuração para sistema e volume de controle Ao observar a Figura 1(a, b), nota-se que: Em t = t 0, o sistema está inteiramente dentro do volume de controle (a); Em t = t 0 + t, o sistema está parcialmente fora do volume de controle (b); Nesta situação, são identificadas três regiões: I, II e III. 1

13 Lembre-se, nosso objetivo é relacionar a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária (N) do sistema com quantidades associadas com volume de controle. Então, da definição de derivada, a taxa de variação de N sistema é dado por: dn Ns N t0 t s t lim 0 dt t 0 t sistema ( 15 ) Da geometria da Figura 1, tem-se: N N s s t N 0 VC t0 N N N N N t 0 t II III t 0 t VC I III t 0 t 13

14 Substituindo na definição de derivada do sistema, obtemos: 14

15 O termo (1) na equação (16) é simplificado para: lim t 0 N VC t 0 t t N VC t 0 N t VC t ρdv VC ( 17 ) Para avaliar o termo (), primeiro será desenvolvida uma expressão para N III ) to + t, Para essa sub-região, temos: dn ρdv ( 18 ) III t t t0 0 Precisamos obter uma expressão para o volume desse cilindro, então: t 15

16 O vetor comprimento do cilindro é dado por: Δl= VΔt O volume do cilindro prismático, cuja área da está em um ângulo α com relação ao seu comprimento é: 16

17 Podemos desenvolver uma análise similar para a sub-região (1) da região I e obter, para o termo (3) da equação (16). Quando o escoamento é para o interior da superfície de controle (), será sempre negativo (α > 90 o ), o que requer um sinal negativo para produzir um resultado positivo. Finalmente, podemos usar as equações (17), (1) e () para obter: 17

18 As duas últimas integrais podem ser combinadas porque SC I e SC III constituem a superfície de controle inteira, A equação (4) é a relação fundamental entre a taxa de variação de qualquer propriedade geral arbitrária, N, de um sistema e as variações dessa propriedade associadas com um volume de controle. Alguns autores referem-se à equação (4) como o Teorema de Transporte de Reynolds (TTR). 18

19 19

20 Avaliação do produto escalar 0

21 4. Conservação de Massa O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e de volume de controle é o princípio de conservação da massa: a massa do sistema permanece constante dm dt sistema 0 ( 1 ) onde M sistema dm ρdv ( ) M(sistema) V(sistema) 1

22 As formulações de sistema e de volume de controle são relacionados pela equação (4). onde N dm ρdv ( 5 ) sistema M(sistema) V(sistema) Para deduzir a formulação de volume de controle da conservação de massa, fazemos N M e 1

23 3

24 4

25 Exemplo 01 Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos, conforme mostrado no diagrama abaixo. As áreas das seções são: A 1 = 0, m, A = 0, m e A 3 = 0,15 m. O fluido também vaza do tubo através de um orifício (em 4), com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 m 3 /s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são V 1 = 5m/s e V 3 = 1m/s, respectivamente. Determine a velocidade do escoamento na seção. Solução: Considerações: 1- Escoamento permanente (dado); - Escoamento incompressível; 3- Propriedades uniformes em cada seção. 5

26 6

27 Ao examinar os três primeiros termos na equação (1) e os sentidos dos vetores velocidades e áreas, tem-se: 7

28 Usando estes resultados na equação (1), temos: V A V V 1 1 V A 1 V A 1 V3A A V A Q Q 5m/s 0,m 1m/s 0,15m 4 4 0,m 0 3 0,1m /s V 4,5m/s Lembre-se de que V representa o módulo da velocidade, que assumimos apontar para fora do volume de controle. O fato de V ter sinal negativo significa que, na verdade, temos uma entrada de escoamento na seção, portanto a nossa hipótese inicial não estava correta. 8

29 Exemplo 0 A Figura abaixo mostra o desenvolvimento de um escoamento laminar de água num tubo reto, de raio R. O perfil de velocidade na seção 1 é uniforme com velocidade U paralela ao eixo do tubo. O perfil de velocidade na seção é assimétrico, parabólico, com velocidade nula na parede do tubo e velocidade máxima (V máx ) na linha de centro do tubo. a) Qual é a relação que existe entre U e V máx? b) Qual é a relação que existe entre a velocidade média (V m ) na seção e a velocidade máxima (V máx )? V 1 = U r V Vmáx 1 R 9

30 Solução: Considerações: 1- Escoamento permanente, - Escoamento incompressível, 3- As propriedades não são uniformes em cada seção. A equação geral para um volume de controle é a equação (7), porém podemos escrever imediatamente a equação (9) por conta das considerações 1 e. r V Vmáx 1 R 30

31 a) b) V máx U V m V máx 31

32 Exemplo 03 Um óleo incompressível é despejado com uma vazão Q constante em um reservatório cilíndrico de diâmetro D. O óleo vaza através de um orifício de diâmetro d, localizado na base do reservatório, com uma velocidade de saída dada por V = (gh) 1/, em que h é o nível do óleo, conforme é mostrado na Figura. Considerando que o jato de óleo possui diâmetro d no orifício de saída, determine: a) A equação diferencial que descreve a evolução, com o tempo, do nível h de óleo supondo um nível inicial qualquer; b) O nível máximo(h máx ) de óleo no reservatório a partir do qual o escoamento fica em regime permanente. c) Considerando que o tanque não tenha alimentação, qual seria o tempo para esvaziá-lo a partir de h? 3

33 Solução a) Conforme figura, o volume de controle é o volume ocupado pelo óleo, de forma que a variação do nível h implica variação do VC com o tempo. Aplicando a equação 7, tem-se: Q +z A 1 A V 33

34 π D dh 4 dt dh 4Q dt π D Q d D gh gh π d 4 ( 0 equação diferencia l ) b) No regime permanente qualquer característica ou propriedade do escoamento não sofre variação com o tempo, ou seja, a partir do instante em que o escoamento fica permanente tem-se: dh dt 4Q π D máx 0 d D gh máx 8 h máx 4 π Q d g 34

35 c) A variação do nível h implica na variação do volume de controle com o tempo. +z A V 35

36 d g hd t 1/ t 0 1/ 0 h 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ dt g D d h dh dt g D d h dh h g D d dt dh gh D d dt dh 0 4 π d gh dt dh 4 π D 36

37 Proposto 01 Um fluido, com massa específica de 1050 kg/m 3, flui em regime permanente através da caixa retangular. Dados: A 1 = 0,05 m ; A = 0,01 m ; A 3 = 0,06 m ; V 1 = 4i m/s e V = - 8j m/s. Determine a velocidade V 3. 37

38 Proposto 0 A água do mar escoa em regime permanente no bocal cônico mostrado na figura abaixo. No bocal, está instalada uma mangueira e esta é alimentada por uma bomba hidráulica. Qual deve ser a vazão em volume da bomba para que a velocidade de descarga da seção do bocal seja igual a 0 m/s? Resposta: Q = 0,051 m 3 /s 38

39 Proposto 03 EXERCÍCIO 5 DA LISTA 5 Água está entrando em um tanque bem agitado com uma vazão de 68,1 kg/h e 13,6 kg/h de sal (NaCl) também entra no sistema. A solução resultante está saindo do tanque com uma vazão de 54,48 kg/h. Por causa do efeito da boa agitação realizada, a solução que deixa o tanque é a mesma que a da solução no interior do sistema. Considerando-se que existem 45,4 kg de água pura no interior do tanque, no início da operação, e que as vazões de entrada e saída são mantidas constantes, calcular a concentração de saída (fração mássica de sal: w) após 1 hora. H O NaCl 68,1 kg/h 13,6 kg/h 45,4 kg de água para t = 0 Resposta: Solução 54,48 kg/h 39