Hidrodinâmica. dm dt. d dt FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (CONSERVAÇÃO DE MASSA): Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

Transcrição

1 FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (CONSERVAÇÃO DE MASSA): Considere um Volume de Controle indeformável (Região II) A Região I é definida de tal forma que sua massa entra no V.C. no intervalo de tempo t e a Região III é formada pela massa que sai do V.C. no mesmo intervalo de tempo. Por definição, a massa do Sistema é constante. m I, t mii, t mii, tt miii, tt lim t0 m II, tt t m II, t lim t0 m I, t m t III, tt dm m entra m sai d dv m entra m [ i ] sai

2 FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (CONSERVAÇÃO DE MASSA): Quando queremos determinar a vazão em volume (Q [m 3 /s]) de um escoamento pelo interior de um tubo, basta que multipliquemos a velocidade média do fluido pela área de seção do tubo: m Q V A m s 3 m Q No caso de um tubo, o escoamento é sempre perpendicular à área de seção do mesmo. Imaginemos agora uma pequena área diferencial,, circular, na superfície de controle: A vazão normal à superfície é dada por: V N ou V s é definido como o vetor normal à superfície com módulo igual à área diferencial e sempre apontando para fora do volume de controle.

3 FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (CONSERVAÇÃO DE MASSA): Então: m entra A. entrada V cos pois, o cos, quando o escoamento é para o interior da Superfície de controle, será sempre negativo ( > 90º). m sai A. saida V cos Pois, neste caso, o cos é sempre positivo. Voltando à equação d V. C. d d dv m entra m sai V cos A. entrada A. saida Chegamos à forma integral da Equação da Continuidade: [i]: V cos Se o escoamento for PERMANENTE, a massa total dentro do V.C. é constante e independe do tempo, portanto: m entra m sai d d V V. C S. C

4 FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (CONSERVAÇÃO DE MASSA): EXERCÍCIO: Um fluido incompressível escoa de modo permanente através do duto com duas saídas. O perfil de velocidades é reto nas seções 1 e, porém é parabólico na seção 3. Calcule a velocidade V 1. Dados: A 1 = 3ft ; A = ft ; A 3 =1ft ; V =1ft/s r ft V R s Escoamento permanente: S. C S. C V 0 0 V V V V V 0 V V V V V 1A1 3V 1 0 V V A 1 3V 1 R 0 V ft s V R 3 0 V 3 3 V rdr 3 dr R 3 r r 4 1 rdr 8 r dr R R R 0 r R

5 Relembrando, quando estudamos a dinâmica de corpos rígidos: dv a P mv F m a F dmv É O MOMENTO (OU QUANTIDADE DE MOVIMENTO). TEOREMA DO TRANSPORTE DE REYNOLDS: Seja N, a magnitude de uma propriedade física presente em um meio material contínuo. Se esta propriedade está sendo transportada pela ação do escoamento do material, com velocidade V, então, o Teorema do Transporte de Reynolds afirma que a taxa de variação com o tempo da quantidade total de N é igual às variações instantâneas de N no interior do volume de controle, somadas à integral (em toda a superfície de controle) da taxa na qual N está sendo transportada através da superfície de e para a vizinhança. dn sistema t d V é a propriedade intensiva, correspondente a N, igual a N por unidade de massa.

6 Se considerarmos a massa, M, como sendo a propriedade N. Então teremos: N M dm sistema 0 M M 1 Aplicando o Teorema do Transporte de Reynolds: dn sistema t d V t 0 d V d V d V. C S. C Que é a forma integral da Equação da Continuidade (conservação de massa)!

7 Se considerarmos o momento, P mv, como sendo a propriedade N. Então teremos: N P mv dp sistema F mv m V Aplicando o Teorema do Transporte de Reynolds: dn sistema t d V F t Vd VV Lembrado-nos que: AV m

8 Consideremos o Volume de Controle ao lado, que tem uma entrada (seção (1)) e uma saída (seção ()). O escoamento transmite momento para dentro e para fora do V.C. Em regime permanente, a força resultante que atua sobre o V.C. é igual à diferença entre as taxas de momento saindo e entrando no V.C. que acompanham o fluxo de massa. F t Vd VV 0 (escoamento permanente) F m mv mv1 m V V Em regime permanente: 1 1 m A Equação do Momento é uma equação vetorial. As componentes x, y e z de F são F x, F y e F z. As componentes da velocidade são u, v e w. A vazão mássica (em massa) é dada por: m AV

9 EXEMPLO: Um jato de água sai de um bocal com velocidade uniforme V = 3,05 m/s, atinge a superfície plana de um defletor e é desviado em um ângulo. Determine a força de ancoragem necessária para manter o defletor parado, em função de. HIPÓTESES: Regime permanente; Água é incompressível ( = 1000 kg/m 3 ); A pressão é a atmosférica em todo o V.C. Para o V.C. do lado direito da figura, as componentes x e y da equação do momento ficam: F X m u u 1 F Y m v v 1

10 EXEMPLO: Uma vez que a pressão é a atmosférica em toda a superfície de controle, a força total líquida de pressão é nula. Então o somatório de forças em cada eixo x e y se resume às forças de ancoragem F AX e F AY : F AX cos V m V1 cos m Vsen 0 m Vsen m V F AY Como m AV F AX AV 1 cos F AY AV sen Substituindo os valores: F AX ,6 10 3,05 1 cos 5,11 cos N 5,1 sen N O sinal negativo de F AX indica que a componente horizontal da força de ancoragem é exercida para a esquerda. F AY

11 EXEMPLO: F AX ,6 10 3,05 1 cos 5,11 cos N 5,1 sen N F AY Se = 90º, as forças seriam: F AX = - 5,1N e F AY = 5,1N Assim, conforme a figura, a força de ancoragem deve se opor ao momento do fluido entrando no V.C. e fornecer o momento de saída. Já se = 180º, o jato retorna e as forças serão: F AX = -104,N e F AY = 0