TÉCNICAS AVANÇADAS DE MODELAÇÃO E SIMULAÇÃO

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1 Universidade de Coimbra Faculdade de Ciência e Tecnologia Departamento de Engenharia Química TÉCNICAS AVANÇADAS DE MODELAÇÃO E SIMULAÇÃO PROFESSOR NUNO DE OLIVEIRA MODELAGEM DE UM SEPARADOR POR MEMBRANA GRUPO : ANDRÉ CAETANO PRADO DIAN CELANTE INGRID LARISSA AKI NAKAMURA

2 INTRODUÇÃO O presente trabalho tentar modelar um separador por membrana tubular. A Figura 1 exemplifica o equipamento em questão. Figura 1 - Representação do equipamento/processo O separador é constituído de um cilindro oco com a parede porosa (membrana). A alimentação é de uma solução salina. Conforme a solução vai passando pelo equipamento, o solvente e uma fração menor do soluto atravessam a membrana permeável. Este processo descrito é também conhecido por osmose reversa. A osmose reversa possui como driving forces a diferença de concentração e diferença de pressão hidráulica e osmótica entra as partes interna (retido) e a externa (permeado). ALGUMAS CARACTERÍSTICAS DO SISTEMA A Figura 2 exemplifica os fenômenos que acontecem nestes sistemas de separação por membranas. O fenômeno chamado de contradifusão ocorre devido a uma polarização da concentração de soluto na superfície da membrana. O resultado disto é que todas as driving forces de potencial químico entre os dois lados ficam sujeitas a uma concentração interna que não é igual à concentração da solução, e sim de uma concentração na superfície da membrana. Esta concentração na superfície da membrana é a concentração efetiva que é utilizada para os cálculos. Ainda na Figura 2 são representados todos os fluxos que abordaremos nesta modelagem.

3 Figura 2 - Apresentação dos fluxos e dos fenômenos envolvidos na transferência de massa No sentido de dentro para fora, há os fluxos de solvente e de soluto. O de solvente tem como driving force a diferença de pressão hidráulica entre os lados, e o soluto tem devido à diferença de concentração. No sentido de fora para dentro há o fluxo de solvente e de soluto. O de solvente é devido à diferença de pressão osmótica e o de soluto devido ao fenômeno de polarização da concentração. Somando todos os fluxos, o fluxo resultante é de dentro para fora da membrana, de forma a concentrar a solução interna (alimentação) e formar um permeado pouco concentrado. MODELAGEM MATEMÁTICA Devido à geometria do equipamento, a modelagem matemática realizada foi de parâmetros distribuídos em coordenadas cilíndricas. O volume de controle para efeitos matemáticos é toda a parte interna do separador, ou seja, a parte oca do cilindro. A extensidade a ser analisada é massa, mais especificamente a vazão mássica que passa por dentro do separador. Abaixo é apresentada a equação geral de balanço de extensidade microscópica:

4 Todas variáveis em negrito (bolded) representam um vetor. Para o sistema de separação, não haverá geração de massa, pois é não ocorrem reações químicas, existindo assim somente o fenômeno de transferências de massa. Assim: Decompondo o vetor nas suas componentes temos: Onde: é nulo, pois há apenas transferência de massa; representa a massa que é transportada pelo efeito da vazão (velocidade). Esta quantidade é dada pela expressão: Onde [ ] o é a densidade da solução que passa internamente em [ ]; o [ ]; é a velocidade média da solução que passa internamente em representa a massa que é transportada pelos efeitos de gradientes de massa e pressão. No caso da membrana tubular, possui as componentes de diferença de pressão entre os dois lados, a componente da difusão pela membrana devido à diferença de concentração entre os dois lados e a contradifusão gerada pela concentração da polarização. Somando as três componentes temos: ( ) ( ) ( ) [ ] Onde o é a constante de permeabilidade da água pura na membrana em [ ]; o é a pressão no lado Bulk (de dentro da membrana) em ; o é a pressão no lado do Permeado (de fora da membrana) em ; o é a constante de proporcionalidade da pressão osmótica em [ ];

5 o o [ ]; é a constante de transporte do soluto através da membrana em é o coeficiente de concentração da polarização e é definido como Onde é o coeficiente de transferência de massa do soluto no solvente em [ ]; é o fluxo volumétrico total através da membrana que pode ser transformado pelo fluxo mássico total através da membrana pela expressão: o é a concentração de soluto no bulk em [ ]; o é a concentração de soluto no permeado em [ pode ser definido como: ], que também o [ ]; é a concentração de soluto na superfície da membrana em Conforme solvente e soluto vão atravessando a membrana, a pressão vai se alterando em custo da massa que sai pela parede, já que a velocidade da vazão se mantém constante (fluido incompressível). Analisando um segmento de membrana, chega-se em uma expressão que nos informa a variação da velocidade da solução em função de z, relacionando com a massa que escoa para fora do volume de controle: ( ); mas, então Como já citado, na realidade não há variação na velocidade no fluido que passa no tubo, já que estamos trabalhando com soluções aquosas e estas são praticamente incompressíveis. Assim, pelo principio de Bernoulli, há transformação de energia cinética em piezométrica.

6 A relação anterior demonstra matematicamente que a variação de velocidade, que supostamente aconteceria pela perda de massa, se transforma em variação de pressão. Dentro do tubo, além da perda de pressão devido à perda de massa pelo volume de controle, há perda de carga devido ao atrito existente entre o fluido e a superfície da membrana. Para isto, recorremos à equação de Fanning: Onde do tubo. é o coeficiente de atrito que depende do regime da vazão dentro Para regime laminar ( ): Para regime turbulento ( ): Sabendo que o Número de Reynolds vale: Assim sendo, a expressão final que indica a perda de pressão dentro do tubo semipermeável é: As correlações para o coeficiente de transferência de massa em função do número de Sherwood e do coeficiente de difusão do soluto, que futuramente serão utilizadas: Onde pode ser calculado pelas seguintes correlações: ( ) para regime laminar Sabendo que o número de Schmidt (Sc) vale: para regime turbulento

7 Voltando ao balanço de massa, tendo hipótese de que não há geração, a expressão fica: Abrindo o termo do fluxo: ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )( )) Aplicando o divergente nas variáveis acima, a equação final fica: ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) Vale ressaltar aqui que a hipótese de que a vazão dentro do tubo será turbulenta (quase pistão) foi aplicada, isto para efeito de simplificações do termo da derivada da velocidade em função do raio. Para resolvê-lo é necessário substituir as derivadas espaciais das diversas variáveis em derivadas da densidade de extensidade. E mesmo assim, haverá na equação a mesma variável com derivadas espaciais e temporais. Isto torna a resolução da equação difícil na forma que se encontra. Por isso, faremos algumas simplificações para conseguir resolver a equação. RESOLUÇÃO Para facilitar a resolução do balanço, apresentaremos somente um perfil de concentrações ao longo do comprimento do tubo em estado estacionário, ou seja: Além disso, faremos simplificações nos diferentes fluxos existentes se baseando em valores reais de dessalinização de água. É Sabido que, aproximadamente, somente 1% do sal da água atravessa a membrana, ou seja, o fluxo mássico de dentro para fora da membrana é constituído

8 essencialmente de água. Por isso, eliminaremos o fluxo de soluto através da membrana: Os fluxos totais pela direção radial da membrana, então, ficam: e ( ) E o nosso balanço, com estas simplificações, fica: ( ) Como comentado anteriormente, a solução salina é praticamente incompressível, sendo assim, toda queda de pressão não altera a velocidade no tubo. Assim toda variação de massa resulta em uma variação de pressão, portanto: Agora, para facilitar a resolução, substituiremos as derivadas espaciais das variáveis e por equações auxiliares em função da nossa extensidade, assim: Precisamos encontrar uma função que nos demonstre a variação da densidade devido à variação de massa de agua que sai da membrana: Balanço de massa diferencial: Aplicando o limite: Onde representa a concentração de água, ou em outras palavra, a densidade de água. Também é valida a expressão:

9 Para a variável podemos fazer a seguinte simplificação: Se Temos que: Porém a derivada espacial de é mais complexa para determinar, já que esta será função de outras três derivadas espaciais. Além disso, uma é dependente da outra, o que tornaria nosso meio de resolver iterativo de tentativa e erro. Porém, a prática demonstra que normalmente esta variação não é tão brusca, já que os separadores de membranas são dimensionados para que a concentração da polarização não seja muito proeminente, pois isto diminuiria muito o fluxo de agua pela membrana, aumentando os custos do processo. Assim sendo: Com todas as simplificações feitas, nosso balanço microscópico fica: Substituindo as derivadas espaciais: e O balaço então: Isolando :

10 ( ) Este balanço microscópico foi alcançado sob as seguintes hipóteses: Fluido incompressível ( ); Temperatura constante; Membrana permeável somente para o solvente ( ); Coeficiente da polarização da concentração não varia com z ( ); Difusividade do soluto no solvente e viscosidade da água constantes; Raio do tudo e pressão do lado de fora constantes; As condições de fronteira para as variáveis a serem integradas foram: As variáveis foram integradas de até. As Figuras 3 a 6 mostram os resultados da simulação para a membrana. É mostrado o perfil das concentrações de massa total ( ), da concentração de água ( ), da concentração de soluto ( ), do fluxo mássico de água pela membrana ( ) e a pressão interna ( ). Figura 3 - Perfil de densidade total da solução dentro do separador

11 Figura 4 - Perfil de concentração da água dentro do separador Figura 5 - Perfil da concentração de sal (soluto) dentro do separador

12 Figura 6 - Perfil do fluxo de água que atravessa a membrana Figura 7 - Perfil de queda de pressão dentro da membrana

13 DISCUSSÃO Analisando os resultados da modelagem, pode-se perceber que o modelo proposto é válido para a situação em questão. Isso é corroborado pelo fato de a concentração de água diminuir ao longo da membrana, em contrapartida do aumento da concentração de soluto, que não a atravessa. A densidade da solução interna, assim, aumenta conforme a solução vai passando pela extensão da membrana. Pode-se também ver que o fluxo de água ao longo da membrana não é constante. Isso se deve ao efeito de polarização por concentração, que se caracteriza pelo acúmulo de soluto na superfície de uma membrana semipermeável. A pressão osmótica do lado interno aumenta e o caudal de permeado diminui, já que há uma diminuição na driving force do sistema. A queda de pressão no tubo em questão não foi proeminente principalmente devido às dimensões e caudais estipulados para o equipamento. A pequena queda de pressão existente é devido à quantidade de massa que atravessa a membrana e ao atrito existente no escoamento do fluido.