Mecânica dos Fluidos I

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1 Mecânica dos Fluidos I Aula prática 5 (Semana de 19 a 23 de Outubro de 2009) EXERCÍCIO 1 Um reservatório de água, A, cuja superfície livre é mantida a Pa acima da pressão atmosférica, descarrega para outro, B, aberto para a atmosfera. O nível no segundo reservatório está 0,5 m acima do nível no reservatório pressurizado. Admita que neste problema a dissipação de energia na conduta de ligação, devida ao atrito, é desprezável. A conduta de ligação tem diâmetro constante. Figura 1: Escoamento de água entre dois reservatórios, no sentido de A para B. 1. Calcule a velocidade da água na conduta de ligação. 2. Se o diâmetro da conduta de ligação não fosse constante, a velocidade à saída seria diferente? 3. Se a conduta de ligação for horizontal e de diâmetro constante, qual a diferença de pressão entre a entrada e a saída? 4. Qual é o reservatório que impõe a pressão na conduta? Qual a diferença entre as linhas de corrente no reservatório de entrada da conduta (0 1) e no reservatório de saída (2 3), que justifica a resposta? 5. Não se pode utilizar a equação de Bernoulli stricto sensu entre um ponto 2, à entrada do reservatório de descarga até um ponto da mesma linha de corrente onde a velocidade se possa considerar praticamente nula, por exemplo 3 ou B, porque os efeitos viscosos são apreciáveis. Faça um balanço de energia à água do reservatório de descarga e determine o erro da equação de Bernoulli stricto sensu.

2 2 A equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente como a representada na figura 1, entre um ponto genérico 0 de velocidade nula e um ponto 2 vem: p 0 + ρ g z ρ 2 v2 0 = p 2 + ρ g z ρ 2 v2 2. Por sua vez, p 0 é a pressão hidrostática do reservatório pressurizado à cota z 0 : p 0 = p A + ρ g (z A z 0 ) e p 2 é a pressão hidrostática do reservatório de descarga à cota z 2 : p 2 = p B + ρ g (z B z 2 ). Portanto v 2 = 2 ρ [ p0 p 2 + ρ g (z 0 z 2 ) ] = 2 (pa p B ) ρ + 2 g (z A z B ) = 20, 0 m/s. A velocidade média na secção transversal é a mesma ao longo de toda a conduta, por balanço de caudal. A velocidade à saída não depende do diâmetro da conduta. Mas a velocidade na conduta poderia variar se a área da sua secção transversal não fosse a mesma. Nestas condições, a equação de Bernoulli entre as secções 1 e 2 mostra que a pressão seria idêntica ao longo de toda a conduta. É o reservatório de descarga que impõe a pressão na conduta. Isso resulta de que a água sai em jacto para esse reservatório, à pressão hidrostática do reservatório de descarga. A pressão na região de entrada da conduta não é hidrostática porque as linhas de corrente são radiais (não em jacto, como à saída). A equação de Bernoulli entre 0 e 1 mostra que a pressão em 1 é igual à pressão hidrostática no reservatório de alimentação menos a pressão dinâmica. A pressão é hidrostática em todo o reservatório de descarga, incluindo a saída da conduta (como o ponto 2) e a superfície livre (como o ponto B). Portanto, a força de pressão e o peso estão equilibradas e o trabalho da resultante destas forças é zero. Só o caudal de energia cinética que atravessa a fronteira do volume de controlo à saída da conduta, secção 2, não está compensado por caudais simétricos de energia cinética (nas paredes e na superfície livre o caudal de energia cinética é nulo). Conclui-se do balanço de energia que a energia cinética que atravessa a fronteira em 2 se converte em energia interna no interior do reservatório, aquecendo a água. O erro da equação de Bernoulli stricto sensu é p, p 2 + ρ g z ρ v2 2 = p B + ρ g z B ρ v2 B + p, com p = 1 2 ρ v2 2. Era de esperar este resultado porque, uma vez que a pressão é hidrostática, p 2 + ρ g z 2 = p B + ρ g z B e no ponto B, 1 2 ρ v2 B = 0. EXERCÍCIO 2 Um manómetro de tubos em U, contendo água, está ligado à tubeira de um túnel aerodinâmico aberto para a atmosfera, conforme se mostra na figura 2. A razão de áreas da tubeira é A 2 /A 1 = 0, 25. Em operação, o manómetro indica uma diferença de nível h = 94 mm. Nas condições do ensaio, a massa volúmica da água é ρ ag = 1000 kg/m 3 e a do ar é ρ ar = 1, 23 kg/m 3.

3 3 Figura 2: Escoamento monofásico numa tubeira. 1. Determine o módulo da velocidade média do ar na secção de saída da tubeira, A Represente qualitativamente a distribuição longitudinal de pressão. 3. Descreva a distribuição de pressão na secção de saída da tubeira. A velocidade média do ar é v 2 = 2 ρ ag g h = 40, 0 m/s. As variáveis supõem-se expressas num sistema de unidades consistente. Por exemplo, ρ ar [1 (A 2 /A 1 ) 2 ] h = m, etc. Figura 3: Distribuição de pressão e velocidade na tubeira. A distribuição de pressão é a representada na figura 3, em que x é a direcção longitudinal e P a pressão total do escoamento. A distribuição de pressão relativa à

4 4 hidrostática local é a mesma para todas as linhas de corrente; a distribuição de pressão absoluta difere de linha de corrente para linha de corrente por causa da parcela hidrostática da pressão. Na secção de saída, a distribuição de pressão absoluta é hidrostática (portanto, não varia horizontalmente e reduz-se linearmente com a cota). A pressão relativa à hidrostática local é uniformemente nula. EXERCÍCIO 3 Um reservatório de água, esquematizado na figura 4, é alimentado por forma a manter constante o nível H da superfície livre. A saída da água do reservatório processa-se através de um difusor de comprimento l e pequeno ângulo de abertura (de modo que os efeitos viscosos são relativamente pequenos). Os diâmetros de entrada e de saída do difusor são D 1 e D 2, respectivamente, conforme é indicado na figura 4. As dimensões do reservatório são muito grandes, comparadas com as dimensões do difusor, ou seja, a área da superfície livre do reservatório é muito grande quando comparada com a área de saída do difusor. Figura 4: Difusor de pequeno ângulo de abertura, à saída de um reservatório, descarregando para a atmosfera. 1. Determine a velocidade do escoamento à saída do difusor, sobre a linha central. 2. Represente qualitativamente a distribuição de pressão ao longo da linha central do difusor, desde a entrada na tubeira até à secção de saída. 3. Represente qualitativamente a distribuição de velocidade na secção de saída do difusor no caso de H D 2. Justifique. A menos de variações da pressão atmosférica com a cota e de efeitos viscosos, a velocidade à saída, no eixo central do jacto, à distância H da superfície livre, é v 2 = 2 g H.

5 5 Figura 5: Distribuição de pressão e velocidade do escoamento de água num difusor que descarrega para a atmosfera. A distribuição de pressão é a representada na figura 5, em que x é a direcção longitudinal e P a pressão total do escoamento. Repare-se que a secção 2 tem a pressão imposta pela atmosfera que circunda o jacto. Em consequência, a pressão na secção 1 é inferior à pressão atmosférica. Note também que dentro do reservatório, perto da secção de entrada 1, a pressão não é hidrostática, porque o fluido não está em repouso. Inclusivamente, como se vê, a pressão é inferior à atmosférica. Na secção de saída, a distribuição de pressão absoluta é aproximadamente a pressão hidrostática da atmosfera para a qual o jacto descarrega. Como o jacto é de água, a variação de pressão hidrostática do ar será, em geral, desprezável. Ao contrário do problema anterior, este escoamento não é monofásico e, portanto, a impulsão (do ar) não equilibra o peso (da água): o problema não pode ser estudado com base na pressão relativa à hidrostática local. Tomando a pressão atmosférica como uniforme, a velocidade na secção de saída depende da raiz quadrada da distância à superfície livre. Como se viu na primeira alínea, no eixo do jacto essa distância é H; na parte superior da secção de saída a distância seria um pouco menor que H e em baixo a distância será um pouco maior. Em consequência dessas diferenças na distância à superfície livre, a velocidade à saída também aumenta, ligeiramente, de cima para baixo. EXERCÍCIO 4 Considere um tubo de Pitot num escoamento de ar no interior de uma conduta. O tubo está alinhado com o escoamento de modo que a pressão sentida na sua

6 6 extremidade é a pressão de estagnação. A pressão estática é medida na mesma secção do escoamento, através de um pequeno furo na parede (designado por tomada de pressão estática). Qual seria a velocidade do escoamento se a diferença entre os valores das pressões total e estática for 70 mm de H 2 O e a pressão relativa no interior da conduta for 200 mm de H 2 O? A pressão atmosférica é 76,2 cm de mercúrio, a temperatura 16 C e a humidade relativa de 70%. A massa volúmica do mercúrio é kg/m 3. A pressão dinâmica seria 70 mm de H 2 O, ou seja, 685 Pa (usou-se 998 kg/m 3 para a massa volúmica da água). A pressão atmosférica nas condições do ensaio é g 0, 762 = 1, Pa; a pressão estática é 1956 Pa superior. Nestas condições, consultando tabelas ou diagramas psicrométricos, conclui-se que a massa volúmica do ar é ρ = 1, 205 kg/m 3. A velocidade do ar é 33,7 m/s.