Introdução aos Escoamentos Compressíveis

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1 Introdução aos Escoamentos Compressíveis José Pontes, Norberto Mangiavacchi e Gustavo R. Anjos GESAR Grupo de Estudos e Simulações Ambientais de Reservatórios UERJ Universidade do Estado do Rio de Janeiro 30 de julho a 5 de agosto de 07

2 Conteúdo do curso. Escoamentos tridimensionais:. Equações Básicas;. Escoamentos Potenciais Compressíveis.. Escoamentos quase unidimensionais:. Escoamentos Isoentrópicos;. Choque Normal;.3 Escoamentos com Transf. de Calor Linha de Rayleigh;.4 Escoamentos com Atrito Linha de Fanno;.5 Choque Oblíquo. 3. Resolução Numérica de Escoamentos Compressíveis.

3 Escoamentos Isoentrópicos Bocal convergente - divergente 8A/A * p 0 A * x Relação área-velocidade: Entropia: T Ds Dt = ρ τ : grad v + κ ρ T + Q ρ Quant. movimento: u du = dp u du = dp dx ρ dx ρ u du = ( ) p dρ. = a dρ ρ ρ ρ s 3

4 Relação área-velocidade u du = a dρ ρ dρ ρ + da A + du u = 0 Obtém-se: ( ) du M u = da A u du = a ( da A + du u onde: M = u a (Compressível) ) ( ) du Fr u = dl l onde: Fr = u gh (Canal aberto) 4

5 Analogia Compressível Hidráulica de Canal Aberto Compressível Canal Aberto: p 0 8A/A * A * ρ A u = C te p + ρu = (p + p) + ρ (u + u) p = u u x x x+ x l(x) x h(x) A u = h l u = C te h + u g = (h + h) + (u + u) /g h = u u/g 5

6 Relação de T, P e ρ com o M esc. isoentrópicos 6 Hipóteses:. Gás perfeito;. C p T 0 = C p T + u ( ) p 3. s = C te = a ρ s 4. C p C v = R, C p C v = γ Obtém-se: T 0 T = + γ M ρ 0 ρ = p 0 p = ( + γ ) γ/(γ ) M onde T 0 : tempertura de estagnação ( + γ ) /(γ ) M

7 Relação de T, P e ρ com o M esc. isoentrópicos Caso M = na garganta e γ =, 4: T T 0 = ρ ρ 0 = p p 0 = ( + γ ) M = 0, 833 ( + γ ) /(γ ) M = 0, 634 ( + γ ) γ/(γ ) M = 0, 58. 7

8 Perfis subsônicos, supersônicos e choque normal * p 8A/A s p 0 M s< A * x M 3 0 x * p 8A/A s p 0 M s> A * M 0 x x p 0 M * 8A/A 0 A * choque p s M s> x x p/p x p/p 0 0 x p/p 0 0 x T/T 0 T/T 3 0 T/T x 0 x 0 x Subsônico Supersônico Choque normal 8

9 Bocal isoentrópico e com choque normal 9

10 Choque normal a relação de Rankine Hugoniot Choque normal: Descontinuidade do campo, com passagem do supersônico para o subsônico, aumento de pressão e produção de entropia. O choque é induzido por:. Pressão mais alta a juzante;. Adição de calor ou efeitos viscosos. Conservam-se massa, quantidade de movimento e energia: ρ u = ρ u A B p + ρ u = p + ρ u p,, v A p, ρ, v A ρ A B B B C p T + u = C p T + u = C pt 0 Em particular, conserva-se a temperatura de estagnação, T 0. 0

11 Choque normal a relação de Rankine Hugoniot Obtém-se: ρ ρ = u u = T T = p p γ + p + γ p γ + γ + p p γ + γ + p + γ + γ p p p Há um limite de aumento de ρ. ρ /ρ p /p. Compressão isoentrópica;. Choque normal.

12 Choque normal Outras propriedades:. u u = a (Relação de Prandtl-Meyer);. M M = ; 3. Um lado é supersônico e o outro, subsônico; ( s s γ M 4. No entanto: ) 3 R (γ + ) > 0; 3 O choque se dá no sentido Supersônico Subsônico; s s 5. γ + ( ) p 3 R γ p Choques fracos: a produção de entropia é O( p) 3.

13 Choque normal Outras relação entre propriedades dos dois lados do choque: T (γ ) γm = + + ) (M T (γ + ) M u = ρ = (γ + )M u ρ + (γ )M p = + γ ) (M p γ + p p = γ γ + (M ) M = + (γ ) M γm γ + 3

14 Linha de Rayleigh Linha de Rayleigh aquecimento em duto de seção constante. Conservam-se massa e quantidade de movimento: ρ u = ρ u h=t/t* p + ρ u = p + ρ u S = (s-s*)/r 4. Alteram-se: C p T t = C p T + u p t = p + ρu. Ramo superior (supersônico): aquecimento reduz M até M = ; 3. Ramo inferior (subsônico): aquecimento aumenta M até M = ; 4. Há um limite de entropia, isso é, de aquecimento.

15 Linha de Rayleigh Dois efeitos:. Aquecimento além do limite da Linha de Rayleigh provoca drástica mudança nas condições de entrada do duto:. Supersônico, obtido em bocal convergente-divergente: choque normal na região divergente e retorno ao subsônico;. Subsônico: Redução da pressão na entrada do duto até que M = seja atingido com a quantidade de calor fornecido.. Transição entre os regimes supersônico e subsônico:. Aceleração subsônico supersônico: fornecimento de calor até M = e retirada de calor com M > ;. Desaceleração supersônico subsônico: fornecimento de calor até M = e retirada de calor com M <. 5

16 Linha de Fanno Linha de Fanno escoamento com atrito em duto de seção constante. Conservam-se massa e energia:. Fanno dρ ρ + du u = 0 C p T 0 h=t/t* = C p T + u s Rayleigh 6

17 Linha de Fanno Quantidade de movimento: Taxa de acumulação Fluxo líquido de de quantidade de mo-vimento dentro do vomento para fora do quantidade de movi- = + lume de controle volume ( ) Forças de atrito com (Forças de pressão) + as paredes Obtém-se: F a = ( p B ρub + p A ρua ) πd 4 onde: F a = τ xr πd x = ρu f πd x e: f fator de Fanning 7

18 Linha de Fanno Distância entre dois pontos cujos números de Mach são prescritos: ( ) [ ] 4f L D = γ M M + γ + γ ln M + M (γ ) / M + M (γ ) / Comprimento crítico L : distância entre o ponto onde o número de Mach é M e o ponto onde M =. 4f L D = M γm + γ + γ ln (γ + ) M + (γ ) M. Se M = : 4f L D = 0, 85 (γ =, 4) 8

19 Linha de Fanno Dutos com comprimento maior que o crítico:. Escoamento inicialmente subsônico: redução do número de Mach e da vazão de entrada:. Escoamento inicialmente supersônico: estabelecimento de onda de choque no bocal de origem e passagem ao regime subsônico. 9

20 Linha de Fanno Relações entre as propriedades do ponto onde o número de Mach é M e as do ponto onde M = : T T = γ + + (γ ) M p p = [ γ + M + (γ ) M ρ ρ = M [ + (γ ) M γ + ] / ] / p 0 p0 = [ ] + (γ ) M (γ+)/(γ ). M γ + 0

21 Efeitos viscosos e de adição de calor resumo: Adição de calor Linha de Rayleigh Supersônico:. Aumentam: p e T 0 ;. T aumenta para M < γ / e diminui para M > γ / ; 3. Diminuem: M, p 0 e u. Subsônico:. Aumentam: M, T 0, T e u;. Diminuem: p e p 0. Atrito gás/duto Linha de Fanno Supersônico:. Aumentam: p e T ;. Diminuem: M, p 0 e u. Subsônico:. Aumentam: M e u;. Diminuem: p, T e p 0.

22 Choque oblíquo Choque oblíquo: induzido por mudança de direção imposta ao escoamento. M = w a M = w a v w u β β θ u choque w v w choque w β θ Existência do choque oblíquo: sen M < β < π β = π ou: u = u = a a não há deflexão (θ = 0); A deflexão tem um máximo entre os dois limites.

23 Choque oblíquo 80 Ângulo do choque - β (graus) ,05,,4,6 θ=θ max,0 3,0 M < M > M = 4,0 5,0 0,0 M = Ângulo de deflexão do escoamento- θ (graus) 3

24 Choque oblíquo escoamento sobre cunhas e diedros (a) M choque M β θ (b) M M choque M β M θ (c) M choque M (d) choque destacado β M, β M, θ, θ M θ>θmax 4

25 Choque oblíquo Propriedades do choque oblíquo:. Para uma dada deflexão θ há dois valores possíveis de β;. β < β max choque fraco, β > β max choque forte; 3. Choque fraco: M > exceto em pequena região do diagrama β θ; 4. O valor de β selecionado depende da pressão a juzante; 5. Existência de valor limite θ max ; 6. θ > θ max choque destacado corpo; 7. Relação entre propriedades dos dois lados: obtidas das relações de choque normal, substituindo-se: M M sen β. 5

26 Choque oblíquo Propriedades do choque oblíquo: ρ = (γ + )M sen β ρ + (γ )M sen β p p = γ ( ) M p γ + sen β T (γ ) γm = + sen β + ( ) T (γ + ) M sen M β sen β 6