AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA

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1 AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA Soluções elementares Equação do Potencial Aerodinâmico Prof. Roberto GIL Ramal: 6482 em regime supersônico 1

2 Equação do potencial aerodinâmico Equação do potencial, regime subsônico e supersônico: E a solução elementar obtida é dada por: Note que temos duas soluções na realidade. Busca-se portanto uma interpretação física para o entendimento destas soluções. 2

3 Solução elementar: regime subsônico E o que representa esta solução? Vamos supor uma frente de propagação de uma perturbação em um tempo t 0 =τ, de acordo com o diagrama ao lado A onda esférica em um instante de tempo t > τ possui o centro da esfera em uma posição correspondente ao trajeto de convecção da onda de U(t -τ ) 3

4 Convecção das perturbações A fonte colocada da origem gera um pulso em um determinado instante de tempo t 0 (ou τ). Decorrido um intervalo de tempo, sendo o tempo final igual a t, a onda gerada no instante inicial é convectada a uma velocidade U. Como a velocidade do som é finita, a velocidade da onda no sentido oposto à direção do escoamento será menor que a velocidade da onda que se propaga na direção do escoamento U; Resolvendo a equação para a esfera de perturbação : 4

5 Tempo de retardo (Retardedtime) Resolvendo a equação: Temos como solução: Que representa o tempo de retardo das informações aerodinâmicas devido ao efeito da compressibilidade, ou seja ao fato que a velocidade do som é finita e invariante com relação ao referencial.. 5

6 Caso subsônico: Observando a figura ao lado nota-se que podemos identificar que apenas uma das raízes é válida para o regime subsônico Neste regime, M < 1, R > x para que τ < t, o que restringe escolher : 1 τ = t + Mx R 2 aβ ( ) E a solução elementar poderá ser escrita como: 6

7 E no caso supersônico? A equação governante é a mesma, entretanto, como O número de Mach é maior que 1, deve-se usar uma transformação apropriada para se chegar a uma forma da equação da onda convectada conhecida como equação de Helmholtz. Note que: ( ) β = > β = β M, M 1, 1 M 1 2 = i M 1, E a transformação de Lorentz-Galileu ficará na seguinte forma: 7

8 Comparação entre os regimes Veja que: M>1 M<1 8

9 Equações do potencial aerodinâmico: Regime subsônico 2U = 2 βφxx φyy φzz φ 2 xt φ 2 tt a 0 a 0 0 Regime supersônico 2U 1 = βφ 2 φ φ xx yy zz 2 xt 2 tt a φ 0 a φ 0 0 Onde os sinais negativos vem da derivada segunda com relação às coordenadas cartesianas transformadas por Lorentz-Galileu. 9

10 Obtenção da solução elementar Partindo da equação transformada por Lorentz-Galileu: Obtemos a for de Helmholtz, no domínio da frequência no espaço e uma equação no domínio do tempo. Chega-se exatamente a mesma solução elementar pois a equação da onda transformada é a mesma: No entanto, ao se transformar de volta para o sistema original, observa-se que a solução elementar fica diferente do caso subsônico: 10

11 Obtenção da solução elementar No regime supersônico, portanto temos: Notando que: Ao contrário do caso subsônico onde a onda sempre é de avanço e a solução para uma onda que retrocede (como uma implosão) não interessa pois sabe-se que o potencial emana da localização da fonte para o infinito. Todavia, agora o efeito de onda que retrocede surgirá pois é sentido em um ponto ap;os a passagem da fonte que se move a uma velocidade maior que a de propagação das perturbações em um fluido, isto é, a velocidade do som. 11

12 Fonte que se move Graficamente podemos ver que um ponto no espaço percebe duas vezes uma perturbação, uma de uma onda que avança e outra de uma que retrocede: 12

13 Interpretação física Note que da mesma forma, a perturbação ocorreu em um instante de tempo t 0 = τ, e de tão rápido que se move, perturba um determinado ponto no espaço de duas formas através de uma frente de onda que avança a a frente da onda que passou, ou seja, a que retrocede com relação a fonte que perturbou o meio em dois instantes seguinte t 1 e t 2. É importante notar que o ponto deve estar dentro do espaço perturbável, o qual se observa apresentar uma forma cônica. Este cone é conhecido como cone de Mach é é delimitado por uma superfícies de perturbação cônica conhecida também por onda de Mach. O ângulo deste cone a partir do seu vértice, onde a fonte se localiza é dado por: 13

14 O cone de Mach O seu significado compreende a uma região perturbável pela fonte que se move. Fora deste cone não existe perturbação até que a onda de Mach atinja um determinado ponto, passado algum tempo que a fonte se moveu. Analisemos as equações das duas esferas circunscritas dentro do cone: 14

15 Solução elementar Resolvendo as duas equações tem-se: com chegando a: 15

16 Retenção dos dois termos de atraso Comparado a solução elementar: (M>1) Com a correspondente para M<1 : Nota-se que se pode reter as duas soluções que compreendem a formação de duas ondas que se expandem. 16

17 Forma final: Substituindo na forma final as constantes temporais na solução elementar tem-se: φ ( ) iω t φ 2 i i φ aβ ωr = + = 2 R R aβ M x x, y,z,t e e e cos ( ) ( ωτ ) 1 ωτ2... e compare com o caso subsônico: φ ( ) ( iωτ) ( ) M x R iω + t φ 2 0 φ 0 aβ x, y,z,t = e = e R R 17

18 Método Mach Box Problemas de superfícies de sustentação; Domínio de solução (V) restringe-se ao upstream Mach cone Mas o que é extamente este domínio? 18

19 Domínio de dependência O ponto dentro de um cone de Mach de painéis a montante, definem o domínio de dependência: 19

20 Upstream Mach Cone Domínio de dependência é na realidade delimitado por uma hipérbole: ou seja: 20

21 Limites de integração Sabendo que o cone de Mach é delimitado pela hipérbole; definem-se os novos domínios de integração como função das zonas de influência contidas no cone de Mach upstream : 21

22 Solução final: Após realizadas transformações de coordenadas, chega-se a: 22

23 O Método Mach Box Pines Djugundji e Neuringer criaram um método para o cálculo do carregamento não estacionários em regime supersônico; Divide a asa em painéis retangulares (boxes) como: 23

24 O Método Mach Box Onde a deflexão vertical de cada box cujo centre está localizado em (ξ c,η c ) é dada por: E a correspondente condição de contorno: Simplificadamente: 24

25 O Método Mach Box Conhecido o downwash, pode-se substituí-lo diretamente na relação integral: com Assumindo o downwash constante em cada box, pode-se simplificar a relação acima limitando a região de integração no cone de Mach a montante 25

26 O Método Mach Box Cálculo da pressão Associada ao salto de pressão: E que pode ser aproximada por: 26

27 O Método Mach Box Adimensionalizando para um comprimento característico dos boxes s, temos: Frequência reduzida: Parâmetro compressível: Pressão é dada por: Onde: Coeficientes de influência de pressão 27

28 O Método Mach Box Solução do problema numérico: sabendo que: temos: Solução válida para bordo de ataque supersônico, pois se considera que o extradorso é absolutamente isolado do intradorso. No caso de bordo de ataque subsônico, deve-se introduzir um novo conceito. 28

29 O Método Mach Box O diafragma de Evvard: 29

30 O Método Mach Box Região que se adiciona à forma em planta da asa cujo downwash é desconhecido; O cálculo de pressão através das relações anteriores é realizado sobre esta nova forma em planta; A diferença é que deve-se notar que no diafragma não temos salto de pressão; Todavia, existirá um downwash através do diafragma que modificará a distribuição da pressão sobre a asa É uma correção que se resume a uma subtração de pressão da distribuição sobre a asa. 30

31 O Método Mach Box O tratamento do diafragma em conjunto com a forma em planta da asa leva a um sistemas de equação modificado com relação ao caso da asa com bordos de ataque supersônicos: onde: 31

32 O Método Mach Box A partição correspondente ao diafragma pode ser reescrita como: de onde se obtém a nossa nova incógnita, o downwash no diafragma que por enquanto é desconhecido 32

33 O Método Mach Box 33

34 O Método Mach Box Uma vez obtido o downwash no diafragma, pode-se substituí-lo na relação para a pressão sobre a asa: Chegando a uma expressão final similar ao caso da asa com bordos de ataque supersônicos: 34