AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA

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1 AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA Escoamentos Potenciais Compressíveis Prof. Roberto GIL Ramal:

2 Equação do potencial aerodinâmico Equação do potencial, agora considerando a compressibilidade: Válida para escoamento subsônicos e supersônicos linearizados. Plano de trabalho Escoamento incompressível 3D não estacionário Escoamento compressível 3D não estacionário M<1 Escoamento compressível 3D não estacionário M>1 Método de solução subsônico Doublet Lattice Method (DLM) Método de solução supersônico Mach Box Method (MBM) 2

3 Escoamento incompressível 3D Caso estacionário: Solução elementar: O potencial independe do tempo: Em coordenadas esféricas: 3

4 Solução elementar Fonte: fácil de entender através de uma representação em coordenadas esféricas que a fonte é uma solução elementar da equação de Laplace - solução elementar:. As componentes de velocidade são, por sua vez: Ou seja: O que representa linhas de corrente radiais, cujas partículas de fluido passam por um ponto no espaço definido como a origem da FONTE, e se afastam deste ponto com velocidade decrescente num fator quadrático com as distância. A produção de partículas de fluido é dada pela intensidade da fonte φ 0, ou sorvedouro (- φ 0 ). 4

5 Escoamento incompressível não estacionário Assumindo que o potencial é uma função linear, tal como se idealizou, pode-se assumir que sendo ele agora não estacionário, podemos escrever: φ x, y, z, t = g x, y, z h t ( ) ( ) ( ) Substituindo na Eq. de Laplace: h t g = ( ) 2 0 Pois somente g depende de x, y e z. 5

6 Escoamento incompressível não estacionário Esta independência do tempo da Equação de Laplace permite que se considere qualquer função h(t) em conjunto com a solução elementar da equação de Laplace de forma que: φ x, y, z, t = ( ) φ 0 ( t) x + y + z O que caracteriza a propriedade cinemática da equação de Laplace. 6

7 Escoamento potencial compressível Caso estacionário: Transformação de Prandtl-Glauert reduz a equação do potencial aerodinâmico não estacionário para a equação de Laplace: 7

8 Prandtl-Glauert Rule (PG) Glauert (Glauert, H.: The Effect of Compressibility on the Lift of an Aerofoil. R. & M. No. 1155, British A.R.C., 1927.) e Prandtl (Prandtl, L.: General Considerations on the Flow of Compressible Fluids. NACA TM 805, 1936.) demonstram que em velocidades subsônicas, a distribuição de um potencial que satisfaz a equação de Laplace também satisfaz a equação linearizada no regime compressível, se a distribuição dos potenciais for encolhida na direção do escoamento. O procedimento baseado nesta transformação assume que o aerofólio é mais longo do que o real, e através da solução aerodinâmica para escoamento incompressível, pode-se obter a solução para o escoamento compressível. 8

9 Solução elementar Para o caso compressível, transformando por Prandtl-Glauert: em coordenadas transformadas. Ou em coordenadas cartesianas : 9

10 Escoamento potencial compressível Caso não estacionário: φ 2 2U φ U φ φ = a t x t x Poderíamos assumir que o referencial esteja no fluido para se obter de uma forma trivial a versão acústica: φ φ 2 = 2 a τ Que também pode ser obtida aplicando uma transformação de coordenadas de um sistema móvel para o fixo, conhecida como transformação de Galileu. 0 x = x Ut, z = z y = y, t = τ 10

11 Escoamento potencial compressível A transformação de Galileu apresenta um conteúdo físico importante, principalmente no caso de escamentos compressíveis. Sabe-se que independente do referencia, a velocidade do som sempre será a mesma, esteja o referencial na velocidade que for, a sempre será o mesmo. Isto indica que o tempo nos dos referenciais também deverá ser transformado convenientemente de forma que a condição de constância da velocidade do som seja satisfeita. Esta transformação conveniente preservará uma característica importante da equação do potencial aerodinâmico linearizada, modelagem convecção das perturbações. Note que esta propriedade é perdida quando modelamos um campo de perturbações potenciais quando se adota um referencial fixo do fluido, ou seja empregando a equação do onda. 11

12 Escoamento potencial compressível Caso não estacionário: As coordenadas cartesianas são transformadas da mesma forma que no caso estacionário: Porém, o tempo agora requer uma transformação: 12

13 Escoamento potencial compressível O objetivo desta transformação é obter uma equação não estacionária similar à do caso incompressível, separável em uma função exclusivamente dependente do espaço e outra do tempo. Esta equação será definida em um plano transformado no mesmo sentido do caso estacionário compressível, onde se empregou a transformação de Prandtl-Glauert No entanto, a sua representação envolverá uma transformação não só das coordenadas espaciais, mas também do tempo. A equação resultante será a equação da onda convectada, representada em um plano tal que ela seja separável em duas funções, uma do espaço e outra do tempo Esta separação permitirá obter uma solução elementar não estacionária que representará explicitamente uma propriedade fundamental dos escoamento compressível não estacionários, o tempo de retardo aerodinâmico devido a velocidade do som ser finita. 13

14 Transformação de Lorentz Transformação espaço-tempo, no mesmo sentido do que se conhece da teoria da relatividade. Esta transformação vem do fato que as perturbações aerodinâmicas somente ocorrem a uma velocidade constante que independe do referencial; Esta velocidade é conhecida como velocidade do som (analogamente, da teoria da relatividade, a velocidade constante que independe do referencial é a velocidade da luz) 14

15 Transformação de Lorentz O operador de transformação é obtido adotando dois referenciais, por exemplo um fixo no fluido e outro no corpo, desde que existe uma velocidade relativa entre os dois sistemas. Por exemplo, em aerodinâmica podemos assumir que o primeiro move-se a uma velocidade U com relação ao segundo, velocidade esta alinhada com o eixo x. Equivale a transformar no sentido de Galileu, mas assumindo que a transformação é mais ampla, na forma: x y z t s s s s s s s s = s s s s s s s s x y z t x y z t fixo x y z t Móvel a uma velocidade U 15

16 Transformação de Lorentz Adicionalmente, a constância da velocidade da som é representada na forma: x + y + z = a t x y + z = a t O que representa o comportamento de propagação esférica de uma perturbação que ocorre no máximo a velocidade a. O resultado são as relações: x x + Ut Ux t =, t = + a 2 β β β y = y, z = z, β = 1 M 2 16

17 Transformação de Lorentz Entretanto, queremos uma transformação que seja para um referencial não fixo no escoamento, mas sim no corpo sobre o qual passa o escoamento Por este motivo, a transformação de Lorentz será modificada através de mais uma transformação adicional de Galileu, passando a se chamar como Transformação de Lorentz-Galileu: x Ut + Ut x Mx x = =, t = + tβ β β aβ y = y, z = z, β = 1 M Note que a característica relativística desta transformação é preservada, ou seja, foi introduzida uma dilatação do tempo representada pela relação espaço-temporal acima. 2 17

18 Transformação de Lorentz Note que o espaço na direção do escoamento é deformado devido o efeito da compressibilidade ou seja a constância da velocidade do som. E o mais importante, o tempo é retardado pelo efeito da compressibilidade Aplicando uma transformação de Prandtl-Glauert chega-se a uma forma explícita desta transformação que permitirá obter a equação da onda convectada, forma conveniente para se se chegar a uma solução elementar para este tipo de modelo potencial, compressível e não estacionários. Mx x = x, t = + t 2 aβ y = β y, z = β z, 18

19 Equação da onda convectada Aplica-se o mesmo procedimento adotado no caso de uma transformação de Galileu, assumindo agora as relações espaçotemporais de Lorentz. Cada uma das derivadas da equação : são transformadas para as novas coordenadas aplicando a regra da cadeia, chegando a: que não deixa de ser uma equação da onda. 19

20 Equação da onda convectada Note que o processo de aplicação da transformada de Lorentz- Galileu permitiu chegar a uma equação onde o termos convectivo é representado por: β = 1 M pois a equação representa o escoamento passando pelo corpo em um sistema definido sobre o mesmo. A transformação de Lorentz-Galileu criou de certa forma uma distorção temporal decorrente do fato que a velocidade do som é finita e sempre a mesma independentemente do referencial. Esta equação agora permite que seja realizada uma separação de variáveis: 2 também devido a linearidade do escoamento. 20

21 Equação de Helmholtz A separação de variáveis permite que ao se substituir na equação da onda convectada as funções g e h chegue-se a: Uma forma de se resolver esta equação é assumir a hipótese de movimentos harmônico simples forçando o aparecimento de uma constante comum às duas equações tal que: que pode ser escrita separadamente como: Equação de Helmholtz 21

22 Soluções elementares As soluções elementares para cada uma desta equações diferenciais é dada por: onde:, e Assim, a solução elementar para a equação da onda convectada é dada pela multiplicação das duas soluções elementares, no mesmo sentido quando foi realizada a separação: E no sistema fixo no corpo original (x,y,z,t) temos: com: 22