Adimensionalizando a expressão acima utilizando mais uma vês a velocidade da ponta da pá e o comprimento da pá: 4 1.3

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1 1 Teoria conjunta elementos de pá e momento linear A teoria de elementos de pá parte de um determinado número de simplificações sendo que a maior (e pior) é que a velocidade induzida é uniforme. Na realidade é não uniforme. Pode-se mesmo demonstrar que uma velocidade induzida uniforme resulta na menor potência induzida possível. Uma maneira de contornar este problema é a utilização de modelos para a velocidade induzida, como foi feito na secção anterior, que é apenas válida para as situações paraa o qual o modelo foi desenvolvido. A aplicação destes modelos para outras situações de vooo acarreta a erros maiores que invalidam a aplicação destes modelos. É necessário então desenvolver uma teoria mais geral que permitisse entrar em conta com a variação da velocidade induzida. É evidente que esta teoria conjunta também tem aproximações que fogem à realidade, no entanto das expressões que se iram obter pode-se encontrar aplicações práticas no estudo da forma das pás do rotor. Consideremoss então que temos uma secção do nosso rotor de espessura dy, posicionada a uma distância y do centro de rotação. Figura 1 Elemento do disco de espessura dy posicionado a uma distância y do centro de rotação. Sabendo que a área deste elemento de disco é 2, o caudal mássico neste elemento vem dado por: Da teoria do momento linear tínhamos chegado à conclusão que a propulsão gerada era igual ao caudal mássico vezes a velocidade na esteira que por sua vez era igual a duas vezes a velocidadee induzida no rotor:

2 Adimensionalizando a expressão acima utilizando mais uma vês a velocidade da ponta da pá e o comprimento da pá: Todas as adimensionalizações obtidas do lado esquerdo da equação 1.3 já tinham sido definidas, logo a o coeficiente de propulsão pode ser escrito da seguinte forma: E dado que a potência é relacionada com a propulsão através da velocidade no plano: Assumindo que a dimensão das pás vai desde o centro de rotação até às ponta e sabendo que em voo pairado 0 as equações 1.4e 1.5 são simplificadas para: 0: e 0: Sendo as equações 1.6 e 1.7 válidas para qualquer variação de. Assim podemos assumir que a variação de é dada por uma potência de : : Dado que a pairar o coeficiente de propulsão é igual ao coeficiente de peso podemos relacionar com a partir da equação 1.8:

3 Da mesma forma o coeficiente de potência é calculado: : Podemos substituir a expressão obtida para (equação 1.9) na equação da potência 1.10 obtendo: Tínhamos visto no capítulo anterior (teoria do momento linear) que a expressão obtida para o coeficiente da potência induzida podia ser corrigido para valores mais reais utilizando uma correcção (factor da potência induzida): Comparando as equações 1.11 e 1.12 concluímos que: O que é pretendido é que a potência induzida seja o mínimo possível ou seja 1. Ora isto é conseguido quando 0. Isto é conseguido se: Para qualquer valor >0 teremos >1 ou seja maiores valores para a potência induzida sendo os valores do rácio da velocidade induzida maiores junto à ponta da pá. Concluímos assim que o objectivo a conseguir no projecto da pá é que a distribuição da velocidade induzida seja o mais uniforme possível e iremos ver que este objectivo pode ser conseguido através da variação da torção e da corda da pá ao longo do seu comprimento. 1.1 Rotor ideal Relembrando agora que o coeficiente de propulsão pode ser dado pela equação obtida no capitulo anterior utilizando para o coeficiente de sustentação:

4 1.15 podemos igualar a equação 1.15 à equação 1.4: E podemos escrever: A solução desta equação quadrática em é:, Podemos aplicar esta solução à situação de voo pairado 0 e a equação 1.18 simplifica-se para:, Vemos que o rácio da velocidade induzida depende quer da solidez do rotor, de, e do produto do ângulo de picada pela coordenada adimensional. Da equação 1.13 tinha-se chegado à conclusão que, para minimizar a potência induzida, o rácio da velocidade induzida tinha que ser constante ao longo da pá. Esta imposição na equação 1.19 implica que. ou seja: Ou seja o ângulo de picada da pá parte de um valor finito na ponta da pá,, onde 1, até na raiz onde 0. Evidentemente que não é possível construir uma pá com este tipo de torção, no entanto este resultado leva-nos a crer que a introdução de uma torção na pá tem efeitos benéficos na potência induzida, levando a uma redução desta para a geração da mesma propulsão. Ao rotor com este tipo de torção chama-se rotor ideal dado que permite ter a uma velocidade induzida constante levando a que a potência induzida seja igual à ideal dada pela teoria do momento linear. Tendo então definido a torção do rotor ideal podemos calcular qual o coeficiente de propulsão:

5 Relembrando que. podemos escrever: Se aplicarmos estas equações à situação de pairar (equação 1.19), onde a propulsão é igual ao peso, e sabendo que da teoria do momento linear obtivemos a relação entre o rácio da velocidade induzida e o coeficiente de propulsão: De onde facilmente tiramos o valor de baseado na propulsão (peso), características do rotor (solidez) e características do perfil: De notar também que para este caso de rotor óptimo: Ou seja a propulsão varia linearmente. Integrando ao longo de toda a pá: Rotor óptimo Na última secção encontramos a torção do rotor ideal que consegue consumir o mínimo de potência induzida para gerar uma determinada propulsão. Vimos também que seria impossível de produzir uma pá com uma torção igual ao do rotor ideal. Por outro lado qualquer aproximação real ao rotor ideal teria de ser feita com muita atenção dado que implica valores de picada altos junto à raiz da pá o que pode levar à entrada em perda do perfil nesta zona, invalidando assim qualquer benefício deste tipo de torção. Por outro lado já tínhamos visto que para além da potência induzida tínhamos também encontrado a potência para vencer a resistência aerodinâmica. Podemos então estudar o caso em que

6 queremos minimizar não apenas a potência induzida mas a potência total (induzida mais a para vencer a resistência aerodinâmica). Optimizando então o nosso rotor para o consumo mínimo da potência total temos que: A potência induzida é mínima se a velocidade induzida for constante A potência para vencer a resistência aerodinâmica será mínima se todos os perfis da pá estiveram a trabalhar no ângulo de ataque para o qual o rácio entre a resistência aerodinâmica e a sustentação gerada for mínimo. Chamaremos a este ângulo de ataque Podemos então escrever que, pela teoria dos elementos de pás, o coeficiente de propulsão é dado por: Em que na primeira igualdade de 1.27 introduzimos a condição para potência induzida mínima e na segunda igualdade a condição para a potência para vencer a resistência aerodinâmica mínima. Igualando esta equação à obtida anteriormente relacionando a velocidade induzida com o coeficiente de propulsão (equação 1.6) na situação de pairar: e podemos tirar que: Esta equação tem que ser constante ao longo da pá (imposição para a minimização da potência induzida). Assumindo que temos o mesmo perfil ao longo de toda a pá e que as características deste são independentes do número de Reynolds Re e do número de Mach M, então. e. Logo: Ou seja para a minimização da potência total para além da torção ideal a corda da pá tem que variar ao longo da pá na forma: 1.31 O que dá uma variação do tipo indicado na Figura 2.

7 Figura 2 Variação da corda da pá para o rotor óptimo Como o rotor óptimo o rotor ideal é de manufactura impossível de realizar dado que a corda junto à raiz tende para valores infinitos. No entanto a utilização de afilamentos, mesmo que lineares e que só sejam aplicados a uma zona da pá, tem efeitos benéficos na diminuição da potência consumida. Estudemos agora o rotor óptimo com a sua torção ideal e ângulo de ataque constante: Sabendo as características do rotor podemos encontrar qual a variação do ângulo de picada: Para este rotor a propulsão gerada será: Podemos escrever a solidez do rotor como:

8 Substituindo a relação entre e obtida na equação 1.34 na equação 1.33 temos: Em que na ultima igualdade utilizamos a expressão obtida na teoria do momento linear. 1.3 Estimação da potência No rotor real a não uniformidade de λ implica um cálculo numérico do coeficiente de potência: 1.37 Vimos também que o factor de potência induzida pode ser calculado pelo rácio entre a potência induzida real e a ideal: Por outro lado tínhamos chegado à conclusão a potência para vencer a resistência aerodinâmica é dada por: 1.39 Nos cálculos anteriores tínhamos utilizado um. o que é válido apenas para ângulos de ataque próximos do ângulo de ataque para sustentação nula. A expressão mais correcta para a variação de com o ângulo de ataque é: 1.40 Esta equação pode ser verificada na seguinte figura:

9 Figura 3 Variação do coeficiente de resistência com o ângulo de ataque Com esta expressão podemos calcular um vamos mais correcto para o coeficiente de potência para vencer a resistência aerodinâmica: 1.41 Considerando a pá com torção ideal, para. mas com corda constante (pá rectangulares).. podemos obter: Introduzindo na equação 1.42 a expressão obtida na equação 1.24: Ao comparar esta expressão 1.43 com os resultados experimentais () verificamos que os a teoria segue estes resultados se a solidez for menor mas ao aumentar a solidez e principalmente o ângulo de ataque aparece um desfasamento entre os dois.

10 Figura 4 Variação do coeficiente de potência com o ângulo de ataque para rotores com solidez diferentes. Tendo a expressão para um cálculo mais correcto do coeficiente de potência pode-se calcular a eficiência: Função da perda da ponta da pá de Prandtl A ideia das perdas na ponta da pá já foi introduzida anteriormente através do factor B em que a zona da ponta da pá dada por R-BR não produzia sustentação. Prandtl desenvolveu um modelo e encontrou uma solução para o problema da perda de sustentação perto da ponta da pá, em que as folhas de vórtices curvas helicoidais da esteira são substituídas por uma série de folhas 2D, o que implicaria que o raio de curvatura da ponta da pá fosse grande. Os resultados finais obtidos por Prandtl com este modelo podem ser expressos em termos de um factor de correcção,, do rácio da velocidade induzida : 2 cos,

11 Figura 5 Variação da função de perda da ponta da pá de Prandtl com a posição adimensional ao longo da pá. Vemos na Figura 5 que a função depende do número de pás e influencia somente a ponta da pá. De notar da expressão 1.45 que se se aumentar o número de pás, b, aproximando-se o rotor de um disco actuador então a função aproxima-se do valo unitário, F 1, como seria de esperar. Podemos agora introduzir esta expressão na equação 1.16 aplicando-a ao caso de voo pairado: Obtendo-se a equação quadrática em : Cuja solução é : No entanto e dado que F é uma função de λ a solução da equação acima tem que ser obtida por meios numéricos.

12 1.3.2 Correcções devido à compressibilidade Até agora considerámos que as características aerodinâmicas do perfil eram independentes do número de Mach. Vamos utilizar a regra Glauert para entrar em conta com a influência de M: Considerando que o número de Mach local na pá (a pairar) é dado por: 1.50 a correcção ao valor de quando o número de Mach é igual a 0.1 pode ser dada por: Então o coeficiente de propulsão vem: Assumindo torção ideal (. e pá rectangular (.: Na equação anterior o valor de é dado por: E vemos na equação 1.54 que se 0 então 1 e obtemos o resultado incompressível.

13 1.4 Solidez ponderada Encontramos para um rotor óptimo, a expressão que nos diz que a corda, c, varia com distância adimensional r. Neste casos onde c varia ao longo da pá a solidez do rotor é diferente da solidez local do perfil: á 1.55 O objectivo da solidez ponderada é ajudar a comparação do desempenho de rotores com pás com formas diferentes. Assim podemos transformar o rotor num rotor equivalente de pás rectangulares com o mesmo desempenho o que permite uma comparação directa Solidez ponderada de propulsão Para a solidez ponderada de propulsão o que se está a tentar comprar é evidentemente a propulsão e para isso vamos transformar o nosso rotor num rotor equivalente de pás rectangulares (corda. que gera a mesma propulsão: 1.56 Assumindo que é constante: Com a expressão equivalente para a corda: Solidez ponderada de potência Neste caso a comparação feita é a potência e temos: 1.59 De onde obtemos:

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