AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA

Transcrição

1 AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA Aerofólio fino em regime incompressível não estacionário (baseado nas Notas de Aula do Prof Donizeti de Andrade) Prof. Roberto GIL Ramal:

2 Relembrando Euler 1. Gás perfeito (forças intermoleculares desprezadas) 2. Conservação da massa (continuidade) 3. Conservação da quantidade de movimento 4. Conservação da energia (escoamento adiabático) 5. Forças de campo nulas (gravitacionais, em particular) 6. Forças viscosas não significativas 2

3 A existência do potencial Vorticidade e circulação Velocidade angular de um elemento de fluido retangular 3

4 Teorema de Stokes Relação entre integral de linha e de superfície 4

5 Circulação Circulação é definida como: 5

6 Circulação Casos com e sem circulação: 6

7 Movimento rotacional e irrotacional Diferenças: 7

8 Teorema de kelvin Vórtice ligado e vórtice de esteira 8

9 Lei de Biot Savart Escoamento irrotacional e incompressível 9

10 Vorticidade induzida Supondo um seguimento de vórtices 10

11 Hipóteses 7. Escoamento incompressível ou barotrópico (isentrópico) 8. Declividades (inclinações) do corpo pequenas 9. Pequenas perturbações aplicadas a todos os parâmetros do escoamento 10. Mudanças com o tempo não muito bruscas 11

12 Bases (hipóteses) físicas Formulação do Problema Perfil imerso em meio fluido infinito Perfil acelerado instantaneamente a partir de uma situação inicial de repouso para uma velocidade U Todo campo do escoamento inicialmente em repouso Circulação Total Nula ( = 0 ) para todo t (devendo assim permanecer, pelo Teorema de Kelvin) ( RHS se anula quando o fluido é... incompressível ou quando o escoamento é barotrópico---processo no qual existe uma relação única pressão-densidade---) 12

13 Fenômeno de Crescimento da Sustentação Definição: Linha de Corrente de Estagnação é a linha de corrente que separa o escoamento local em duas direções na superfície do corpo, i.e., partículas que se movem através dela são levadas ao repouso onde a linha de corrente entre em contato com o perfil. 13

14 Fenômeno de Crescimento da Sustentação (cont.) Presença de uma pequena quantidade de viscosidade no fluido: suas partículas aderem no contato com as do corpo ( non-slip condition) Ludwig Prandtl observeu que o escoamento exterior à camada-limite é essencialmente irrotacional para valores elevados de número de Reynolds (~10^6) V(x,y) é a velocidade potencial no exterior da camada-limite 14

15 Fenômeno de Crescimento da Sustentação (cont.) Circulação Local ; 15

16 Fenômeno de Crescimento da Sustentação (cont.) Sentido da vorticidade e da circulação total em torno do perfil em um escoamento incompressível no momento exato em que parte da vorticidade no extradorso é emanado para a esteira ( STARTING VORTEX ) 16

17 Pouco tempo depois de o escoamento no sentido anti-horário no extradorso emanar-se para a esteira, o ponto de estagnação traseiro move-se de volta para o bordo de fuga, e uma condição estável é alcançada Circulação Total igual a zero (Teorema de Kelvin) Bound Circulation : magnitude total das esteiras de vórtices no extradorso e intradorso do perfil Crescimento positivo da bound circulation é acompanhada do movimento para trás do ponto de estagnação traseiro 17

18 Resumo: (1) emanação de vórtice a partir do bordo de fuga; (2) aumento da bound circulation ; (3) movimento para trás do ponto de estagnação traseiro Continuidade do Processo... (1)... Até que o ponto de estagnação traseiro atinge o bordo de fuga (fluido não mais tem necessidade de mudar de direção no bordo de fuga)--- velocidades no extradorso e no intradorso iguais no bordo de fuga!--- CONDIÇÃO DE KUTTA (2)... Se esse não for o caso, a emanação de vórtices continua, o ponto de estagnação continua a mover-se em torno do bordo de fuga e todo o processo se inicia de novo, de modo a forçar o ponto de estagnação traseiro de volta ao bordo de fuga (quando cessa a emananação de vórtices)---. Nessa situação a circulação em torno do perfil torna-se constante e, finalmente, a esteira de vórtice na esteira é transportada para o infinito. 18

19 Nomenclatura: γ a, vorticidade ligada; γ w, vorticidade na esteira Caso do Escoamento Estacionário Vórtice de Partida no infinito, escoamento estabelecido Perfil fino (t/c menor ou igual a 12%) Folha de vorticidade no extradorso e no intradorso muito próximas Modelo: vórtice incompressível que satisfaz a equação do escoamento potencial Problema a ser resolvido: determinar a intensidade da vorticidade ligada tal que a condição de contorno na superfície do perfil e a condição de Kutta sejam satisfeitos 19

20 Vorticidade ligada distribuída ao longo do eixo x, abrangendo um comprimento 2b (corda do perfil) Cálculo da velocidade induzida em um ponto qualquer do campo de escoamento pelo elemento diferencial de vórtice γ(ξ) dξ : 20

21 Modelo Matemático Componentes da velocidade induzida onde ; Cálculo da circulação 21

22 Componentes da velocidade induzida (cont.) presença de uma singularidade integrável em x = ξ Valor Principal de Cauchy (processo limite) Condições: exceto na singularidade, o restante do integrando é contínuo Comum a problemas relativos ao cálculo em superfícies de sustentação na teoria de perfis finos, onde uma variável desconhecida, γ a, encontra-se no integrando, enquanto o termo conhecido, w, pode ser calculado através da condição de contorno na superfície. 22

23 Inversão de Carleman-Schwarz Condições para a inversão 1. f (-1) é singular; E 2. f (1) é ZERO ou FINITA, E 3. a função f é contínua entre esses limites. 23

24 Coeficiente de pressão Sustentação onde 24

25 Perfil fino, simétrico, ângulo de ataque estacionário Exemplo de Aplicação ; ; 25

26 Considerações iniciais Escoamento Não-Estacionário Desenvolvimento muito similar ao feito no caso estacionário Diferenças: 1. γ a, vorticidade ligada, varia em intensidade como função do tempo (emissão contínua de vorticidade na esteira a partir do bordo de fuga, convected downstream ). 2. efeito da vorticidade na esteira, γ w, a uma distância finita do perfil deve ser considerada. 26

27 Escoamento Não-Estacionário (cont.) Ambas as vorticidades, γ a e γ w, estão distribuídas no plano z = 0 27

28 Escoamento Não-Estacionário (cont.) Condição de Kutta Escoamento Estacionário Descontinuidade de velocidade e pressão = 0 + Vorticidade na esteira = 0 Escoamento Não- Estacionário Vorticidade na esteira + descontinuidade de velocidade podem existir + Descontinuidade de pressão = 0 28

29 Escoamento Não-Estacionário (cont.) Coeficiente de pressão onde 29

30 Coeficiente de pressão (cont.) Enfoque geral para solução: transformada de Laplace onde ;, 30

31 Perturbações impostas do tipo harmônico simples ; ; i.e., obtém-se a transformada da vorticidade na esteira como função da transformada da vorticidade ligada. 31

32 Equação de transformação para o normalwash nãoestacionário que pode ser re-arranjada como e a forma final para a vorticidade ligada fica 32

33 Equação de transformação para o normalwash nãoestacionário (cont.) Trabalhando a parcela relativa à vorticidade na esteira, que pode ser escrita como 33

34 Parcela relativa à vorticidade na esteira (cont.) onde a função de Hankel pode ser definida em termos das funções de Bessel de primeiro e segundo tipo, e a transformada da circulação ligada pode ser expressa como. Calculando, recupera-se o valor estacionário 34

35 Escoamento Não-Estacionário (cont.) Relação entre a transformada da vorticidade total ligada e a transformada do normalwash na superfície do perfil Normalwash a partir da condição de contorno na superfície do corpo pode ser colocada na seguinte forma:,, e. 35

36 Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis Coeficiente de pressão diferencial, formulado em termos das derivadas dos potenciais de perturbação para o extradorso e intradorso,. Em termos da transformada de Laplace, e tendo em conta que, chega-se a, onde,. 36

37 Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis Função de Theodorsen, que pode ser graficamente representada por onde é a frequência reduzida Sustentação circulatória apenas: ou 37

38 Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial, onde, 1. Recuperando os resultados do estado estacionário: Tomando o limite quando p 0 na equação da vorticidade ligada,, tem-se, e chega-se a recuperando-se o valor estacionário. 38

39 Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial (cont.), onde, 2. Tomando o limite quando p 0 na função de Theodorsen,. Assim, chega-se a que é a componente quase-estacionária do coeficiente de pressão. Obs. A dependência em p é mantida no normalwash ; é a contribuição da vorticidade ligada ao diferencial de pressão. 39

40 Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial (cont.), onde, 3. Tomando o limite quando U 0 Sendo a transformada do normalwash dado por,, tomando-se o,, mostra-se que, i.e., trata-se do termo de massa aparente (não-circulatório). 40

41 Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial (cont.), onde 4. A terceira parcela contém a contribuição da vorticidade na esteira, sendo, portanto, uma contribuição circulatória. 41

42 Classificação da Aerodinâmica, baseada nos movimentos não-estacionários 1. Aerodinâmica Não-Estacionária Caso em que todos os três termos são incluídos e devem ser utilizados para frequências características acima de 10 Hz para aeronaves convencionais operando no regime subsônico. 2. Aerodinâmica Quase-Não Estacionária Nesse caso, despreza-se o termo de massa aparente e oferece resultados satisfatórios para frequências entre 2 e 10 Hz. 3. Aerodinâmica Quase-Estacionária Para frequências abaixo de 2 Hz, apenas a componente quase-estacionária precisa ser retida; i.e, apenas se considera a taxa de variação temporal devida à contribuição da vorticidade ligada. É normalmente utilizada em análises de estabilidade dinâmica. 42

43 4. Aerodinâmica Estacionária Essa análise é utilizada para o mesmo domínio de frequências que no caso quase-estacionário. A diferença se encontra no fato de que, no caso estacionário, apenas a declividade instantânia da superfície do perfil é levada em consideração no cálculo do ângulo de ataque. Pontos/questões interessantes... I. Sustentação circulatória deve ser desenvolvida através da emissão de vorticidade na esteira (e isso acontece toda vez que houver oscilação da superfície de sustentação na presença de um valor finito de velocidade). II. Por que a oscilação constante do perfil não o esgota de vorticidade? III. Se um perfil não está mudando de atitude e, aparentemente, não emana vorticidade, por que não existe um acúmulo contínuo de vorticidade em sua superfície? 43

44 A Aerodinâmica Não-Estacionária lida com a formalização das equações associadas com o escoamento perturbado devido à presença de um corpo sólido em movimento dentro do mesmo, para o qual a dependência da variável tempo é o ponto focal. A Aerodinâmica Clássica lida com o movimento do corpo composto predominantemente pelo movimento estacionário, sobre o qual apenas perturbações estacionárias são analisadas. Para o tratamento de problemas aeroelásticos (como flutter e estabilidade devida à distribuição de cargas aeroelasticas reais), a análise envolvendo uma ferramenta mais ampla e abrangente é necessária. 44