Detecção de Esteira de Vórtice em um Escoamento Laminar em Torno de uma Esfera, Utilizando Método de Galerkin.

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1 Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Pós Graduação em Engenharia Mecânica IM458 - Tópicos em Métodos Numéricos: Métodos Numéricos em Mecânica dos Fluidos Alfredo Hugo Valença Morillo Detecção de Esteira de Vórtice em um Escoamento Laminar em Torno de uma Esfera, Utilizando Método de Galerkin. CAMPINAS 2015

2 SUMÁRIO SUMÁRIO 1 Introdução 1 2 Escoamento em Torno de uma Esfera 2 3 Método de Galerkin Variando número de Reinolds até Resultados Para número de Reynolds maiores que Conclusão 11 6 Referências 12

3 1 Introdução Quando tem-se um escoamento laminar em torno de uma esfera, ocorre o que chama-se esteira de vórtice. Por conta do comportamento deste escoamento não ser linear, não é possível identificar esta esteira utilizando de solução analítica. Para solucionar este problema, um método comum é o de resíduos ponderados, que é normalmente usado para equacionar a formulação fraca de elementos finitos. Neste trabalho, foi utilizado o resíduo ponderado de Galerkin, onde escreve-se a função resíduo em igual a aproximação que descreve o problema. Para simplificar o trabalho, não foi utilizado elementos finitos, o resido ponderado foi aplicado para todo o domínio do problema. A função de corrente normalmente são aproximadas para polinômios de primeira ou segunda ordem, pois o mesmo descreveria bem o comportamento de pequenos elementos. Porém por ser utilizar uma função para descrever todo o domínio, será utilizado um polinômio de 4ª ordem. 1

4 2 Escoamento em Torno de uma Esfera Considerando uma escoamento em uma esfera de raio a, e assumindo que longe da esfera, a velocidade de escoamento é constante U ao longo do eixo x e por ser axial, pode-se resolver o problema para um caso de 2 dimensões, pode-se simplificar a equação de Navier-Stokes para: [ ] v ρ t v ( v) = ( p + 12 ) ρ v2 μ v (2.1) onde: v = 1 ψ r 2 sin θ θ ˆr 1 ψ r sin θ r ˆθ (2.2) Para simplificar as operações, determina-se a variável ξ: ξ = cos θ (2.3) obtêm-se: sendo: Substituindo as Eq. 2.2 e 2.3 na Eq. 2.1 e aplicando o conceito do número de Reynolds, 2 Re D4 ψ 1 r 2 ( ψ ξ r ψ r ξ 2ξ 1 ξ 2 ψ r 2 r ) ψ D 2 ψ = 0 (2.4) ξ D 2 = 2 r ξ2 r 2 2 ξ 2 (2.5) As condições de contornos são: ψ(r,θ) ψ(a,θ) = 0 ψ r (a,θ) = 0 (2.6) ψ(r,θ) = 1 2 r2 (1 ξ 2 ) com r 2

5 3 Método de Galerkin 3.1 Variando número de Reinolds até 100 Primeiro passo para solucionar a Eq. 2.4 é determinar uma equação que possa descrever o problema de forma satisfatória. Para aproximar a função de corrente, foi utilizado o polinômio de Legendre, assumindo a seguinte aproximação. φ = ( 1 2 r2 + A 1 r + A 2 r + A 3 2 r + A ) ( 4 (1 ξ 2 B1 ) + 3 r 4 r + B 2 r + B 3 2 r + B ) 4 ξ(1 ξ 2 ) (3.1) 3 r 4 Segundo passo é aplicar a aproximação escolhida nas condições de contorno (Eq. 2.6), e verificar se a equação satisfaz as mesmas. Fazendo isto, obtêm-se as seguintes relações: A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 1 2 A 1 + 2A 2 + 3A 3 + 4A 4 = 1 B 1 + B 2 + B 3 + B 4 = 0 B 1 + 2B 2 + 3B 3 + 4B 4 = 0 (3.2) Desta forma têm-se 8 incógnitas e 4 equações. É possível descrever mais duas equações quando aplica-se a Eq. 3.1 na Eq Deve-se fazer isto no ponto r = 1, sendo este r adimensional onde 1 representa o raio da esfera. 9A A A 4 = 0 B 1 6B 3 21B 4 = 0 (3.3) Sabendo que serão necessárias mais 2 equações, aplica-se dois resíduos de Galerkin, sendo o primeiro (1 ξ 2 ) e o segundo ξ(1 ξ 2 ). O método de resíduo ponderado a multiplicação resíduo pela equação diferencial que des- 3

6 creve o problema e fazendo a integral em todo o domínio sendo igualado a zero. Isto é feito para que a média do erro seja zero, reduzindo assim ao máximo o erro que existirá no problema. u(ξ)w i (ξ).dd = 0 (3.4) D neste caso, u(ξ) representa a equação de Navier-Stokes e w i (ξ) é cada uma das funções resíduos. As duas equações obtidas foram: A Re B A B = Re A B A 1 B Re = 0 (3.5) Com as 8 equações que estão descritas em Eqs. 3.2, 3.3 e 3.5 é possível resolver as constantes da aproximação feita na Eq Na literatura consta que esta aproximação trás bons resultados para problemas de Reynolds entre 10 e 80. No próximo capítulo constam alguns testes que foram realizados. 4

7 4 Resultados Para teste do método numérico, foi aplicado um número de Reynolds de 70 e aplicado isto nas 8 equações determinadas no capítulo anterior. Com isto foi possível obter as seguintes constantes: Tabela 4.1: Constantes obtidas ao ser aplicado Re = 70 na solução das Eqs. 3.2, 3.3 e 3.5. Constante Valor A A A A B B B B Este valor de Re = 70 está dentro da tolerância que a literatura determina para esta aproximação. Na Fig. 4.1 está apresentado o gráfico que descreve este escoamento. Figura 4.1: Gráfico que apresenta escoamento onde Re = 70 em torno de uma esfera. 5

8 Verifica-se na Fig. 4.1 que ocorre a formação da esteira de vórtice já para um valor de Reynolds baixo. Outra dado interessante que pode-se tirar, é o coeficiente de arrasto do problema, que conforme apostila, é descrito pela equação: Cd = 32 3Re (8A A A 4 ) Re (2A 2 + 5A 3 + 9A 4 ) (4.1) O valor do coeficiente de arrasto para um caso de Re = 70 é de Segue na Fig. 4.2 um gráfico que descreve como varia o Cd quando variado o número de Reynolds, dentro da faixa de 1 até 100. Figura 4.2: Gráfico que demonstra comportamento do coeficiente de arrasto em função ao número de Reynolds. Percebe-se na Fig. 4.2 que após aproximadamente 40 Reynolds, o coeficiente de arrasto fica 6

9 próximo a 1, de forma quase constante. Novamente utilizando o número de Reynolds de 70, é possível identificar neste trabalho o tamanho desta esteira de vórtice, de forma adimensional para 1 sendo igual ao raio da esfera. Utilizando da Eq. 4.2 apresentada a seguir, conclui-se que o tamanho da esteira foi de , ou seja, 38.13% do tamanho da esfera A 1 + B 1 r 3 + A 2 + B 2 r 4 + A 3 + B 3 r 5 + A 4 + B 4 r 6 = 0 (4.2) esta equação foi obtida utilizando da Eq. 3.1 igualando a 0 quando ξ for igual a 1. Isto acontece devido a ξ ser igual a 1 quando θ for 0, obtendo assim a distância onde a linha de corrente estiver no mesmo eixo do centro da esfera. Como feito para o coeficiente de arrasto, a distância adimensional da esteira de vórtice varia conforme a Fig. 4.3 quando variado o número de Reynolds de 1 à 100. Figura 4.3: Gráfico que demonstra comportamento do comprimento da esteira de vórtice em função ao número de Reynolds. 7

10 Na Fig. 4.3 é possível perceber que não existe esteira de vórtice até aproximadamente 40 Re. 4.1 Para número de Reynolds maiores que 100 Quando variasse o número de Reynolds de 101 até 1100, não se percebe problemas ao plotar gráficos de coeficiente de arrasto e de comprimento da esteira de vórtice, isto pois os gráficos apresentam uma continuidade que aparentemente faz sentido. Segue na Figs. 4.4 e 4.5 gráficos que apresentam coeficiente de arrasto e comprimento da esteira respectivamente. Figura 4.4: Gráfico que demonstra comportamento do coeficiente de arrasto em função ao número de Reynolds. 8

11 Figura 4.5: Gráfico que demonstra comportamento do comprimento da esteira de vórtice em função ao número de Reynolds. Observa-se no gráfico da Fig 4.4 que aparentemente o valor do coeficiente irá variar até um valor próximo de Na Fig. 4.5 o comprimento ira estacionar em O que de fato acontece quando utiliza-se deste método. Fazendo comparações com varores obtidos para 2000 Re ou 3000 Re, valores não mudaram muito dos obtidos no final das Figs. 4.4 e 4.5. Porém ao plotar o escoamento para estes valores de Reynolds, é possível tirar algumas conclusões. Na Fig. 4.6 conta o gráfico de escoamento em tonro de uma esfera para número de Reynolds de

12 Figura 4.6: Gráfico que apresenta escoamento onde Re = 500 em torno de uma esfera. Na Fig 4.6 é possível identificar um desprendimento da esteira de vórtice, o modelo desenvolvido não foi feito para captar este tipo de fenômeno, isto acaba sendo um limitador de número de Reynolds para aplicação deste modelo. Ouro fator importante, é que mesmo aumentando drasticamente o número de Reynolds, o gráfico praticamente não muda, o que explica a não variação do coeficiente de arrasto e do comprimento da esteira. O modelo não consegue captar mudança de escoamento laminar para turbulento de forma alguma, como também não capta com precisão o que ocorreria em uma caso de escoamento laminar com número de Reynolds maiores do que 100, como o apresentado na Fig

13 5 Conclusão Conforme apresentado pela literatura, é possível concluir que este modelo é válido para uma faixa de baixo número de Reynolds, muitos algumas referências aceitam este modelo para valores de até 80 Re, mas é possível perceber que valores de 100 Re ou pouco maiores, obtêm-se resultados satisfatórios. Outra conclusão importante é a variação do comprimento da esteira de vórtice, até 40 Re, ela manteve-se quase não existia e após este valor ela surgiu e aumentou de maneira brusca, chegando próximo ao raio da esfera. De maneira contrária foi a variação do coeficiente de arrasto, para valores de Reynolds muito baixos, ele possui valores enormes, somente a partir de 40 Re o coeficiente se estabiliza em valores próximos a 1. Por fim, conclui-se que este método resulta em valores satisfatórios quando varia-se o número de Reynolda de 40 até 100. Podendo ser aceitas pequenas extrapolações destes limites. 11

14 6 Referências BIRINGEN, S. e CHOW, C.Y. An introduction to computational fluid mechanics by example. John Wiley & Sons, ISMAIL, K.A.R. e MOURA, L.F.M. Métodos numéricos em mecânica dos fluidos, Apostila desenvolvida junto à Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP. 12