Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I 2º Semestre 2014/15. 1º Exame, 9 de Junho de 2015 Nome :

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I º Semestre 014/15 1º Exame, 9 de Junho de 015 Nome : Hora : 11:30 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta ª Parte : onsulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina 1ª Parte Em cada alínea, assinale com verdadeiro () ou falso () cada um dos quadrados, sabendo que podem existir todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso. A cotação das respostas é a seguinte: Quadrado correctamente preenchido 0,5 valores. Quadrado em branco 0 Quadrado incorrectamente preenchido -0,15 valores. 1. Num perfil sustentador a pequenos ângulos de ataque e em fluido perfeito, o ângulo de sustentação nula depende da curvatura do perfil. o bordo de ataque é sempre um ponto de estagnação. a variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque é linear e o declive da recta depende da espessura do perfil. e em escoamento subsónico (número de Mach menor do que o Mach crítico), o coeficiente de sustentação a um determinado ângulo de ataque depende do número de Mach.. O potencial complexo ( ) 4 i W z = z com z = x + iy = re θ define o escoamento bidimensional, incompressível e irrotacional em torno de um diedro de ângulo α. α =. 8 4 A função de corrente ψ r sen( 4θ ) =. As linhas de pressão constante (isobáricas) são circunferências ( r = constante ). A componente vertical da velocidade,, ao longo do eixo imaginário positivo é igual a 3 = 4y.

2 3. A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos. O corpo que exibe um coeficiente de resistência menos depend dependente ente do número de Reynolds é o. O coeficiente de resistência do corpo A é essencialmente devido à resistência de atrito (tensão de corte na parede) de). O coeficiente de sustentação médio dos três escoamentos é nulo. Para o escoamento representado na figura B a separação da camada da limite ocorre em regime laminar. 4. A figura em baixo apresenta o escoamento estacionário, irrotacional, bidimensional e incompressível obtido a partir da sobreposição de um escoamento uniforme de velocidade U e uma linha de singularidades de intensidade I. I=Uh/. ψ A +ψ B = 0. A linha de singularidades gularidades é uma linha de fontes fontes. A distância da linha de singularidades ao ponto de estagnação é menor do que h.

3 5. A figura em baixo ilustra dois escoamentos estacionários, irrotacionais, bidimensionais e incompressíveis. O escoamento do plano escoamento no plano ζ. z é obtido aplicando a transformação de Joukowski ao Os dois escoamentos têm a mesma circulação e coeficientes de sustentação idênticos. O coeficiente de pressão máximo no plano z é menor do que o coeficiente de pressão máximo no plano ζ. O coeficiente de pressão mínimo no plano z encontra-se no ponto transformado do ponto de coeficiente de pressão mínimo do plano ζ. 6. A figura em baixo apresenta a distribuição de circulação Γ, coeficiente de sustentação l, ângulo de ataque efectivo α e e ângulo de ataque induzido α i ao longo da semi- Λ=8,57 a um envergadura (raíz da asa em y=0) de uma asa finita com um alongamento ângulo de ataque de 0º, cuja secção é um perfil simétrico A B D α Γ/(U c r ) l y/c r y/c r 0 A linha B corresponde ao ângulo de ataque induzido. A asa tem afilamento. A asa tem torção negativa. A linha corresponde ao coeficiente de sustentação.

4 7. Em escoamento permanente, incompressível e irrotacional de um fluido perfeito a função de corrente obedece à equação de Laplace para escoamento bi ou tridimensional. a velocidade radial induzida por uma fonte pontual é inversamente proporcional à 1 distância à fonte d, r. d não há condições de fronteira para a componente tangencial da velocidade numa superfície sólida. só se pode aplicar a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente. 8. A figura em baixo apresenta as distribuições de pressão medidas no multimanómetro do Laboratório para ângulos de ataque de -5º graus e º graus. As 36 tomadas de pressão medem a pressão total e estática do escoamento à entrada do túnel e 34 pressões estáticas ao longo da secção central da asa incluindo o bordo de ataque e o bordo de fuga. Ângulo A Ângulo B O ângulo de ataque A corresponde a -5º graus. O primeiro tubo do multimanómetro (tubo mais à esquerda nas imagens) mede a pressão estática de referência à entrada do túnel. Os tubos ímpares (5 a 35) medem a pressão estática no intradorso e os tubos pares (4 a 34) medem a pressão estática no extradorso. A pressão estática no bordo de fuga (último tubo) é menor do que a pressão total do escoamento de aproximação porque o bordo de fuga não é um ponto de estagnação.

5 Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I º Semestre 014/15 1º Exame, 9 de Junho de 015 Nome : Hora : 11:30 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta ª Parte : onsulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina ª Parte 1. O circuito de arrefecimento de uma fábrica retira um caudal M da margem de um rio com velocidade média U utilizando duas tomadas (A e B) colocadas na margem a uma distância d, tal como ilustra a figura em baixo. Admita que a água é um fluido perfeito e que o escoamento é permanente, bidimensional, incompressível e irrotacional. Despreze o efeito da outra margem do rio (que não está representada na figura). a) Indicando claramente o sistema de eixos que utilizou, escreva o potencial complexo que representa o escoamento para as seguintes situações: i) Admissão em A e descarga em B. ii) Descarga em A e admissão em B.

6 O caudal emitido/absorvido pela fonte/poço tem de ser igual a M porque apenas metade do caudal é emitido/absorvido para 0 θ. Para o sistema de eixos representado em cima temos M M = Uz + ln M ln M z + d ln i) W ( z) = Uz ln( z + d ) + ( z d ) ii) W ( z) ( ) ( z d ) com com 0 θ ou y 0. 0 θ ou y 0. b) Qual das soluções anteriores (i ou ii) se deve utilizar para garantir que não há recirculação de água no circuito de arrefecimento? Justifique a resposta. A existência de recirculação de água no circuito de arrefecimento depende do comportamento das linhas de corrente divisórias. A condição que garante que o caudal emitido pela fonte não é absorvido pelo poço é a existência de um ponto de estagnação na parede entre A e B, i.e. d x d y 0. = dw Os pontos de estagnação são determinados pela equação = 0 dz seguintes soluções: M i) z = ± d 1. Ud M ii) z = ± d 1 +. Ud o que conduz às A solução ii) nunca exibe pontos de estagnação entre a fonte e o poço. A linha de corrente divisória inclui a fonte e o poço (os pontos de estagnação estão à esquerda da fonte e à direita do poço) o que quer dizer que todo o caudal emitido pela fonte é absorvido pelo poço. +M -M X X

7 A mesma conclusão podia ter sido obtida graficamente analisando as velocidades induzidas por cada um dos três escoamentos elementares que compoem a solução deste escoamento. É óbvio que não se pode obter pontos de estagnação entre a fonte e o poço. A igualdade de intensidade da fonte e do poço garante que os pontos de estagnação estão à mesma distância da fonte e do poço. A solução i) conduz a dois pontos de estagnação entre o poço e a fonte para valores M de que garantam raízes reais para os pontos de estagnação. Graficamente, pode-se Ud ver que só podem existir pontos de estagnação no eixo real entre o poço e a fonte. Por exemplo, para um valor de M Ud = 8 temos -M +M X X c) Para uma distância entre tomadas de 50m e uma velocidade média do rio de 0,5m/s, determine o caudal máximo de água M max para que não haja recirculação de água no circuito de arrefecimento.

8 A situação limite para evitar recirculação de água no circuito de arrefecimento M corresponde a um raíz dupla da equação z = ± d 1 em z = 0. O que Ud M equivale a 1 = 0 M = Ud = 19, 6 m /s. As linhas de corrente Ud 4 correspondentes estão ilustradas na figura em baixo. -M +M X X d) Utilizando como condições de referência (p e U =U) a pressão e velocidade no rio a grandes distâncias das tomadas de água, determine a localização dos pontos na margem do rio em que o coeficiente de pressão é igual a zero, p =0. Para as condições de referência dadas complexo se escreve dw dz p dw = U = ± U dz = 0 U = U que em termos de potencial. Na margem do rio z = x e a velocidade só tem componente real cujo valor absoluto é igual ao módulo da velocidade. A montante do poço e a juzante da fonte o módulo da velocidade tem de ser maior do que U e tende para U quando x. Entre o poço e a fonte a velocidade só se pode satisfazer a condição pretendida se dw / dz for igual a - U, o que equivale a

9 M 1 1 z M U + U 1 = = ± z d z d. + d Ud Para as condições da alínea c) obtem-se z = ±0,707d.. onsidere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto 0 ; i 0, 0 do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo ( ) α, ( α </6), com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ=b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque α indicando claramente o sistema de eixos que utilizou. Para um centro do cilindro dado por ζ = 0 + i0, 0 define-se um sistema de coordenadas o * * * * iα * iα auxiliar ζ = ξ + iη dado por ζ = ( ζ ζ o ) e ou ζ = ζ o + ζ e. A circulação Γ necessária para garantir que o ponto de coordenadas ζ = b é um ponto de estagnação é

10 igual a Γ = 4 U ( α + β ) com β = arcsen( 0,0) = 0,0rad = 1,146 º sen * * 1 Γ * complexo é dado por ( ζ ) = U ζ + i ln( ζ ). O potencial W. * ζ b) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual o produto das coordenadas reais de todos os pontos de coeficiente de pressão máximo e mínimo é menor do que 0,05. nmin nmax ( ξ ( ) ) ( ( ) ) < 0, 05 min ξ max j. n p i p min é o número de pontos onde o coeficiente de i j pressão é mínimo e n max é o número de pontos onde o coeficiente de pressão é máximo. Para um ângulo de ataque genérico α, existem dois pontos de estagnação em que o coeficiente de pressão é máximo (e igual a 1). A coordenada real destes dois pontos determina-se facilmente a partir da figura em baixo. ( ) = b max 1 ( ) = cos( + α + β ) ξ( p ) ξ ( p ) max ( ) = cos( β ) ξ( p ) ξ( ) max 1 ( ) = cos ( α + β ) p max O(s) ponto(s) de coeficiente de pressão mínimo encontram-se na intersecção do eixo perpendicular ao escoamento de aproximação (η * ) com a circunferência tal como ilustrado na figura em baixo.

11 α β ( ) = cos + α = sen( α ) ξ( ) p min 3 ( ) = cos + α = sen( α ) α β ξ( p ) min Para satisfazer a condição pedida temos: α > β ( ξ( ) )( ξ ( ) ) ξ( ) < 0,05 sen α cos β α < β ( ) ( ) ( ) cos( α + β ) < 0,05 p min p max 1 p max ( ξ( ) )( ξ ( ) ) ( ξ( ) ) < 0,05 sen( α ) cos( β ) cos( α + β ) < 0, 05 p min p max 1 p max As duas inequações não lineares resolvem-se facilmente com um método de iteração de ponto fixo escrevendo: α > β α = arcsen cos α β α = arcsen cos 0,05 ( β ) cos( α + β ) 0,05 ( β ) cos( α + β ) α =,89º α =,88º o que equivale a uma gama de ângulos de ataque igual a.88º < α <,89º para nmin nmax satisfazer a condição ( ξ ( ) ) ( ( ) ) < 0, 05 min ξ max j. p i p i j onsidere a transformação conforme de Joukowski transforma o cilindro num perfil sustentador. b z = ζ + com z = x + i y ζ que c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado identificando claramente a forma do perfil para o ângulo de ataque α em que o centro de pressão se encontra a meio da corda, x cp / c = 0, 5 (com x / c = 0 no bordo de ataque). Um perfil de Joukowski tem coeficiente de momento de picada em torno do centro do perfil igual a zero para ângulo de ataque igual a 0º. omo o centro de pressão é por definição o ponto em relação ao qual o momento é nulo, o ângulo de ataque é α = 0º. omo o cilindro está centrado no eixo imaginário positivo o perfil não tem espessura d / c = 0 e tem curvatura positiva com uma flecha máxima de f / c = 1/ tan( β ) = 0,01.

12 d) Para o perfil obtido no plano transformado, determine a localização do centro aerodinâmico e o coeficiente de momento em torno do centro aerodinâmico. A localização do centro aerodinâmico para um referencial com a origem no centro do dm c xca perfil é dada por = dα. Para um perfil de Joukowski sem espessura c dl dα x ca 1 = =. c 4 Sabendo a localização do centro aerodinâmico pode-se calcular facilmente o coeficiente de momento em torno do centro aerodinâmico utilizando o esquema em cima correspondente a α = 0º. = 0,5 β = 0,031. m ca 3. Uma aeronave que pesa 5078N tem uma asa sem torção com uma área S=8m. A secção da asa é um perfil com um ângulo de sustentação nula igual a -º graus (β=º graus) em que o efeito da viscosidade no coeficiente de sustentação anula o aumento de sustentação devido à espessura do perfil. A pequenos ângulos de ataque e para números de Reynolds entre 10 6 e o coeficiente de resistência do perfil é igual a d =0,006. A voar a 16km/h a altitude constante numa zona com vento frontal a 36km/h e fazendo um ângulo de 5º graus com a direcção horizontal (componente horizontal do vento na

13 direcção contrária à força de propulsão e componente vertical do vento na direcção contrária ao peso) a força de propulsão é igual a 77,N. Admita em primeira aproximação que a força de resistência da aeronave se deve apenas à 5 3 asa. ( ν = 1,51 10 m /s, ρ = 1, kg/m ) ar a) Determine o coeficiente de sustentação da asa, L. b) Determine o coeficiente de resistência da asa, D. ar Escolhendo um sistema de eixos solidário com a aeronave, a velocidade do escoamento de aproximação U faz um ângulo ε com a direcção horizontal (x) como se ilustra na figura em baixo. A figura apresenta também o equilíbrio entre o peso, a força de propulsão e a força aerodinâmica composta pelas forças de sustentação e resistência. U U x y = U = aero + U U vento vento cos(5º ) sen(5º ) = 197,9km/h = 54,96m/s = 3,14 km/h = 0,87m/s U ε = = U x + U U arctg U y y x = 197,9km/h = 54,96m/s = 0,909º O equilíbrio de forças nas direcções x e y conduzem a

14 1 ( ) ( ) ρu ( ( ) ( )) = = S T D L T D cos ε L sen ε cos ε sen ε L cos( ε ) + D sen( ε ) = W 1 ( ( ) ( )) ρu S L cos ε + D sen ε = W em que as únicas incógnitas são D e L. A solução é D =0,0109 e L =0,35. c) Estime o valor mínimo do alongamento da asa, Λ. O coeficiente de resistência da asa pode ser obtido pela soma dos coeficientes de resistência de perfil e de resistência induzida (pela esteira) = +. Utilizando a teoria da linha sustentadora podemos determinar Λ L asa, Λ, = ( 1+ δ ) D l temos = 0, 006, pelo que Dperfil = d D D perfil D i D em função do alongamento da i. omo o coeficiente de resistência da secção da asa é constante Λ = 1 L ( ) ( + δ ) D D perfil. O menor valor do alongamento obtem-se para uma asa com distribuição de circulação elíptica ( δ = 0 ) e é igual a Λ = 7,96 8. d) Estime a velocidade de cruzeiro da aeronave numa zona sem vento fazendo as aproximações que achar necessárias e admitindo que a configuração da asa não se altera. Admitindo que a distribuição de circulação é elíptica, podemos estimar o ângulo de ataque a que está a funcionar a asa nas condições das alínea anteriores. L 1 = α + = 0,35 α = 0,0347rad = 1,989º Numa zona sem vento o ângulo de ataque é menor devido à ausência de ε, pelo que αd ) = αa), b), c) ε = 1,08º = 0,019rad o que implica L = 0, 7. A partir do equilíbrio entre o peso e a força de sustentação obtemos W 1 W = ρ U SL U = U ρsl = 6,6m/s = 5km/h.