Mecânica dos Fluidos I

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1 Mecânica dos Fluidos I Apontamentos sobre escoamentos potenciais (complementares das semanas das aulas de problemas) 1 Introdução Existe uma importante classe de escoamentos que são incompressíveis e em que a resultante das tensões desviadoras é pouco relevante (por isso, às vezes são chamados escoamentos invíscidos, ou escoamentos de fluido perfeito 1 ). Nestas circunstâncias, as equações da Mecânica dos Fluidos simplificam-se, a ponto de ser possível obter soluções matemáticas para este tipo de problemas. Os escoamentos a números de Reynolds elevados em torno de corpos fuselados, nomeadamente asas e pás de turbomáquinas, são casos em que as simplificações anteriores fazem sentido, porque os efeitos viscosos se confinam a camadas muito estreitas junto às paredes, sem interferirem praticamente com o resto do escoamento. Assim, ressalvando o interior dessas camadas muito finas, designadas por camadas limites, os campos de velocidade e de pressão não são afectados pelas tensões desviadoras. 2 Função potencial e função de corrente A condição de incompressibilidade exprime-se na equação da continuidade e, para fluidos newtonianos incompressíveis, a resultante das tensões desviadoras é nula quando o rotacional da velocidade é zero. Assim, temos: condição de incompressibilidade: v = 0 (1) mais tensões desviadoras nulas: v = 0. (2) Dado um campo escalar φ, contínuo e com derivadas contínuas, e um campo vectorial ψ, contínuo e com derivadas contínuas, a Análise Matemática mostra que ( φ) 0 e ( ψ) 0. Por isso, nas condições 1 e 2, o campo de velocidade pode ser expresso em função de φ ou de ψ: v = 0 v = ψ (3) v = 0 v = φ. (4) 1 No contexto da Física, os adjectivos perfeito ou ideal costumam designar modelos simplificados da realidade. É esse o sentido de fluido perfeito, gás perfeito, oscilador harmónico perfeito, ciclo ideal, etc.

2 O campo escalar φ designa-se por potencial da velocidade e ψ denomina-se função de corrente, pela sua íntima relação com as linhas de corrente do escoamento. Um escoamento potencial (em que a velocidade é o gradiente de um potencial, φ) é necessariamente irrotacional, conforme a inferência 4. Um campo de velocidade representado pela função de corrente, ψ, indicada em 3 é necessariamente incompressível. 3 O potencial e a função de corrente satisfazem a equação de Laplace Veremos agora que, se um escoamento potencial for também incompressível, o potencial obedece à equação de Laplace. E que, se um escoamento representável pela função de corrente for também irrotacional, a função de corrente obedece à equação de Laplace. Efectivamente, aplicando 4 em 1: ( φ) 2 φ donde: 2 φ = 0 (5) aplicando 3 em 2: ( ψ) ( ψ) 2 ψ donde ( ): 2 ψ = 0. (6) ( ) A conclusão 6 implica que a função de corrente ψ possa ser escolhida de tal forma que ( ψ) = 0, mas demonstra-se que geralmente esta condição não envolve perda de generalidade. Em escoamentos bidimensionais isso é particularmente evidente pois, como veremos a seguir, a única componente não nula de ψ é a componente ψ z ortogonal ao plano e ψ = 0. O interesse de o potencial e a função de corrente satisfazerem a equação de Laplace está em esta equação ser linear e se conhecerem as suas soluções fundamentais. Uma equação diz-se linear quando, dadas duas soluções dessa equação, por exemplo φ A e φ B, que satisfazem determinadas condições de fronteira, φ A + φ B e qualquer combinação linear de φ A e φ B também são solução da equação, sujeita às mesmas condições de fronteira. Esquematicamente: se 2 φ A = 0 e 2 φ B = 0 e 2 φ C = 0, etc., então 2 (φ A +φ B +φ C +...) = 0. Portanto, é possível construir soluções para problemas muito complicados com base em numerosas soluções simples, combinadas adequadamente. Antes de apresentar algumas soluções fundamentais, com as quais é possível construir de forma genérica outras soluções, vamos restringir esta análise a problemas bidimensionais, porque admitem um tratamento analítico mais simples e têm muitas aplicações em Mecânica dos Fluidos. A generalização dos métodos de solução da equação de Laplace para problemas tridimensionais é relativamente intuitiva, embora geralmente o esforço de cálculo para obter a solução aumente muito. Em princípio, os problemas tridimensionais implicam o recurso a computadores. 2

3 4 Problemas bidimensionais Em problemas bidimensionais, o vector velocidade só tem duas componentes independentes e, se as derivadas na direcção ortogonal ao plano da velocidade forem zero, só a componente do vector função de corrente ψ normal a esse plano contribui para a velocidade. Ou seja, o vector função de corrente só tem uma componentes útil, ψ = (0, 0, ψ z ), e, portanto, em termos práticos, a função de corrente dos escoamentos bidimensionais é uma espécie de escalar. A partir de agora, designaremos a componente não nula da função de corrente dos escoamentos bidimensionais como função de corrente escalar, ψ. Isto significa que a representação do campo de velocidade em função do potencial ou da função de corrente permite uma importante redução de dimensionalidade do problema. Em vez de duas componentes da velocidade, a incógnita passa a ser apenas um escalar, que pode ser o potencial ou a função de corrente. Esquematicamente, { em vez v = 0 do sistema sujeito a determinadas condições de fronteira para v, v = 0 basta resolver a equação 2 φ = 0 (ou a equação 2 ψ = 0), sujeita às condições de fronteira adequadas para φ (ou ψ, se for o caso). As componentes da velocidade relacionam-se com o potencial e a função de corrente de acordo com as equações 3 e 4. A duas dimensões, em coordenadas rectangulares (x, y), fica: u = φ x = ψ y v = v = φ y = ψ x (7) A duas dimensões, em coordenadas polares (r, θ), fica: v r = φ r v = v θ = 1 φ r θ = 1 ψ r θ = ψ r (8) A duas dimensões, a função de corrente tem um significado físico muito importante: as isolinhas de função de corrente são tangentes ao vector velocidade e, portanto, são linhas de corrente. Nota: A demonstração consiste em verificar que o gradiente da função de corrente é ortogonal à velocidade. Efectivamente, usando as relações 7, ( ψ) v = ψ ψ u+ v = v u+u v = 0. x y 3

4 Outra observação importante é que as linhas equipotenciais são ortogonais às linhas de corrente. Nota: A demonstração é análoga. Neste caso, consiste em provar que o ângulo α entre o gradiente do potencial e a velocidade é zero. ( φ) v = φ v cos(α). Usando as relações 7 verifica-se que ( φ) v = v 2 e que φ = v. Conclui-se que α = 0. Outra observação significativa é que a diferença da função de corrente em dois pontos é igual ao caudal volúmico (por unidade de largura) que se escoa entre esses dois pontos. Nota: A demonstração é directa para dois pontos infinitesimalmente afastados (dx, dy) entre si. Depois, por integração, a conclusão pode estender-se a dois pontos situados a qualquer distância um do outro. A variação infinitesimal da função de corrente ao longo do segmento (dx, dy), de comprimento dl, é dψ = ψ x ψ dx + dy = v dx + u dy. y Mas a normal unitária ao segmento (dx, dy), para a direita deste segmento orientado, tem componentes (n x =dy/dl, n y = dx/dl), donde: dψ = [ v ( n y ) + u n x ] dl = (v n) dl, que é, por definição, o caudal escoado naquele segmento de recta. A expressão anterior permite concluir que, se a função de corrente cresce (dψ > 0), o caudal se escoa na direcção da normal n, ou seja, para a direita do segmento orientado (dx, dy). A relação da função potencial e da função de corrente com a velocidade (cf. 3 4 e 7 8) mostra que elas têm dimensões físicas de velocidade vezes comprimento ou, equivalentemente, caudal por unidade de comprimento. 4.1 Utilização de números complexos para estudar problemas bidimensionais Os números complexos podem ser usados como forma compacta de representar vectores bidimensionais. Por exemplo, sendo z = x + i y um número complexo, presta-se a representar o vector posição (x, y). 4

5 No presente contexto, é util definir o potencial vector, w, como um número complexo cuja parte real é o potencial escalar φ e cuja parte imaginária é construída com a função de corrente ψ: w = φ + i ψ. (9) Demonstra-se que a derivada dw/dz é o complexo conjugado do vector velocidade em coordenadas rectangulares. Ou seja: dw dz = u i v = v. (10) O vector velocidade é v = u + i v e o seu complexo conjugado é v = u i v. A transformação para coordenadas polares é dw dz ei θ = (u i v) e i θ = v r i v θ. 5 Soluções fundamentais da equação de Laplace Os seguintes tipos de escoamentos elementares bidimensionais são úteis para construir outras soluções, por sobreposição. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Figura 1: (a) Escoamento uniforme; (b) diedro côncavo; (c) diedro convexo; (d) fonte de caudal positivo, q > 0; (e) poço, q < 0; (f) vórtice de circulação positiva, Γ > 0; (g) dipolo. 5

6 Escoamento uniforme O campo de velocidade deste escoamento é v = (V x + i V y ) = V e i α. dw Portanto, dz = (V x i V y ) e w = (V x i V y ) z = V e i α z. O potencial e a função de corrente são: φ = V x x + V y y, ψ = V x y V y x. Escoamento num diedro O potencial complexo de um diedro de abertura α = π/n, com o vértice situado na origem, pode ser escrito em função de um parâmetro constante a: w = a n zn. Em que a = a e i α, conforme a figura 1. { dw u = a r Portanto, dz = a z(n 1), a velocidade é v = (n 1) cos[(n 1) θ + α] v = a r (n 1) sin[(n 1) θ + α] e o módulo da velocidade é v = u 2 + v 2 = a r (n 1). Portanto, para ângulos de abertura inferior a π (n>1) o vértice (r = 0) é um ponto de estagnação; para ângulos superiores a π (n<1) a velocidade no vértice é infinita. Esta diferença na velocidade reflecte-se na pressão no vértice e no gradiente de pressão nos lados do diedro: num ponto de estagnação a pressão relativa à hidrostática local é máxima; num ponto de velocidade infinita a pressão relativa à hidrostática local é. Quando o ângulo de abertura é superior a π as tensões viscosas junto do vértice não se podem ignorar, porque a condição de não-escorregamento impede que a velocidade tenda para infinito. O potencial e a função de corrente são: φ = a n rn cos(n θ), ψ = a n rn sin(n θ). Escoamento tipo fonte/poço, que tem linhas de corrente irradiando de um ponto (fonte), ou convergindo para ele (poço), sem rotação. Estes escoamentos caracterizam-se pelo respectivo caudal q por unidade de largura (q > 0 nas fontes, q < 0 nos poços). Em{ relação ao centro focal do { escoamento, as componentes da vr = q/(2 π r) vx = q/(2 π r) cos(θ) velocidade são v = ou v = v θ = 0 v y = q/(2 π r) sin(θ) O potencial e a função de corrente são: φ = q 2 π ln(r), ψ = q θ 2 π. O potencial complexo é w = q 2 π ln(z). Escoamento tipo vórtice, que tem linhas de corrente circulares em torno de um ponto. Estes escoamentos caracterizam-se pela circulação Γ por unidade de largura. { Em relação ao centro do{ vórtice, as componentes da velocidade são vr = 0 vx = Γ/(2 π r) sin(θ) v = ou v = v θ = Γ/(2 π r) v y = Γ/(2 π r) cos(θ) O potencial e a função de corrente são: φ = Γ θ 2 π, ψ = Γ 2 π ln(r). 6

7 S O potencial complexo é w = i Γ 2 π ln(z). O integral Γ = v ds ao longo de um circuito fechado S denomina-se circulação. Para um contorno S que inclua um vórtice no seu interior, a circulação é a intensidade do vórtice; se o contorno incluir vários vórtices a circulação é a soma das intensidades dos vários vórtices. Se não existirem vórtices no interior de S a circulação é nula. Escoamento tipo dipolo, tem potencial complexo w = µ e i α /(π z), em que µ é a intensidade do dipolo e α é o ângulo de orientação do dipolo 2. Em relação ao centro do dipolo, as componentes da velocidade são u = µ cos(α 2 θ) v v = π r2 r = µ cos(α θ) v = + µ π r sin(α 2 θ) ou v = π r2 v 2 θ = + µ sin(α θ) π r2 O potencial e a função de corrente são: φ = µ µ cos(α θ), ψ = sin(α θ). π r π r O conceito de singularidade: alguns dos escoamentos elementares referidos acima concretamente, a fonte, o poço, o vórtice e o dipolo não são contínuos e/ou não possuem derivadas contínuas num ponto, que se denomina ponto singular. Nesses pontos isolados, e exclusivamente nesses pontos, as condições 1 e 2 não se aplicam. Pressupõe-se, portanto, que esses pontos isolados não fazem parte do domínio de solução. Nota: As expressões anteriores referem-se ao centro das singularidades. Se o centro focal da fonte/poço estiver em z 0, o potencial complexo é w = q 2 π ln(z z 0); analogamente para o vórtice w = i Γ/(2 π) ln(z z 0 ), para o dipolo w = µ e i α /π (z z 0 ) 1 e para o diedro w = (a/n) (z z 0 ) n. Pode obter-se um dipolo no limite em que uma fonte e um poço de intensidades simétricas tendem para um mesmo ponto. À medida que a fonte e o poço se aproximam, as respectivas intensidades têm de crescer em módulo, tendendo para infinito à medida que a distância tende para zero. O ângulo α define a orientação do segmento sobre o qual a fonte e o poço se deslocam ao aproximarem-se. 2 Há várias maneiras de convencionar a definição de intensidade das singularidades, nomeadamente dos dipolos. Nalguns textos, chama-se intensidade a µ/π. Na definição que usamos, α é definido de modo que a fonte está à esquerda e o poço à direita. Deste modo, µ > 0. 7

8 Consideremos um poço de caudal q situado no ponto z 0 = ε e i α e uma fonte de caudal +q situada em z 0, como se mostra na figura junta. O potencial complexo do escoamento conjunto é w = q π ln(z + z 0) q π ln(z z 0). Estes logarítmos podem expandir-se em série: ln(z + z 0 ) = ln(z) + z 0 z 1 ( ) 2 z0 + O(z 3 2 z 0) ln(z z 0 ) = ln(z) z 0 z 1 ( ) 2 z0 + O(z 3 2 z 0) de modo que w = q [ π z0 /z + O(z0 3)]. Desenvolvendo z 0 em coordenadas polares e rearranjando, fica w = q ε e i α π z + O(ε2 ). Se µ = (q ε) ficar constante quando ε tender para zero (o que implica que o módulo q dos caudais tenda para infinito quando ε tende para zero), no limite em que a fonte e o poço coincidem: w = µ ei α π z. Escoamento no exterior de um cilindro circular. Este escoamento pode representar-se pela combinação de um escoamento uniforme de módulo V : (v =V e i α ) com um dipolo alinhado com o escoamento uniforme. O potencial complexo resultante é w = V e i α + µ e i α /(π z) ou, usando R 2 = µ/(π V ): w = v (z + R 2 /z). O potencial escalar é φ = v (r + R 2 /r) cos(θ) e a função de corrente é ψ = v (r R 2 /r) sin(θ). É fácil de perceber que, para r = R, a função de corrente é constante (concretamente ψ = 0), pelo que a circunferência de raio R é uma linha de corrente e o escoamento exterior a ela é, de facto, o escoamento uniforme em torno de uma circunferência centrada na origem. As componentes da velocidade em coordenadas rectangulares podem calcular-se num ponto genérico a partir de dw ( ) dz = v 1 R2. z 2 Sobre a circunferência de raio R, z = R e i θ e dw/dz = v (1 e 2 i θ ). No caso em que a velocidade de aproximação v é paralela ao eixo real, com o escoamento da esquerda para a direita (α= 0), as componentes da velocidade são: u = V [1 cos(2 θ)] v r = u cos(θ) + v sin(θ) = 0 v = ou v = v = V sin(2 θ) v θ = v cos(θ) u sin(θ) = 2 V sin(θ) Obtinha-se o mesmo resultado usando as relações 8 para calcular v r e v θ a partir de ψ ou de φ (que teriam primeiro de ser expressas em coordenadas polares). Como seria de esperar, uma vez que a circunferência de raio R é uma linha de 8

9 corrente, a componente v r, ortogonal a ela, é nula e, sobre essa circunferência, v θ coincide com o módulo da velocidade. 6 Condições de fronteira da equação de Laplace O estudo dos escoamentos potenciais assentou numa simplificação fundamental, que é a hipótese de o escoamento ser aproximadamente invíscido. Essa hipótese não é compatível com a condição de não-escorregamento em paredes sólidas e, portanto, essa condição de fronteira para a velocidade está excluída. As condições de fronteira para a velocidade, mais importantes em escoamentos potenciais são (a) em domínios infinitos: velocidade uniforme no infinito, (b) em paredes sólidas: condição de fronteira de impermeabilidade. Ao longo de uma fronteira impermeável, pode impor-se um valor de ψ constante; pode também impor-se que a componente da velocidade ortogonal à fronteira φ/ n seja zero. Numa secção da fronteira de orientação s atravessada pelo fluido, pode impor-se uma componente da velocidade, nomeadamente a componente normal à fronteira φ/ n = v n (ou ψ/ s = v n ). Se a velocidade for normal a um troço da fronteira pode impor-se um valor de φ constante nesse troço. Uma forma expedita de impor a condição de fronteira de impermeabilidade numa linha é recorrer ao métodos dos espelhos: se as singularidades e os escoamentos elementares estiverem simetricamente dispostos em relação a essa linha, como num espelho, ela será uma linha de simetria e a componente da velocidade normal a ela será necessariamente nula. Note-se que a imagem de uma fonte é uma fonte de idêntico caudal colocada na posição simétrica, a imagem de poço também, mas a imagem de um vórtice de intensidade Γ é um vórtice de intensidade simétrica, Γ, localizado na posição de simetria. Ao impor as condições de fronteira da equação 2 φ =0 ou 2 ψ =0 é importante: (a) verificar a compatibilidade do balanço de caudal porque o escoamento tem de ser incompressível, (b) verificar que a circulação é nula numa fronteira fechada que exclua vórtices porque o escoamento tem de ser irrotacional, (c) e verificar que o potencial ou a função de corrente são prescritos pelo menos num ponto. 9

10 7 Traçado de linhas de corrente As seguintes observações acerca de linhas de corrente ajudam a analisar a configuração de escoamentos potenciais. O campo de velocidade é contínuo e tem derivadas contínuas, a não ser em pontos isolados de singularidade (fontes/poços, vórtices, dipolos ou multipolos de ordem superior). Se, numa linha de corrente o escoamento é num sentido (por exemplo, para a esquerda), tem de continuar a ter o sentido compatível ao longo do percurso, até algum ponto de estagnação. Em linhas de corrente adjacentes, o escoamento tem de ter o mesmo sentido. Uma linha de corrente só pode ter um ponto anguloso num ponto em que a velocidade seja nula. Nos pontos de estagnação as linhas de corrente definem-se por passagem ao limite das linhas de corrente vizinhas (cf. figura 2-a). Por isso, num ponto de estagnação (e só nesses pontos), uma linha de corrente pode bifurcar-se e duas linhas de corrente podem unir-se numa só. Isto significa que duas linhas infinitesimalmente próximas seguem direcções diferentes a partir do ponto de estagnação, ou duas linhas de corrente vindas de direcções diferentes passam a ficar infinitesimalmente próximas a partir do ponto de estagnação. Nos pontos de estagnação, e só neles, as linhas de corrente formam diedros (as linhas de corrente têm pontos angulosos). Mesmo que longe do ponto de estagnação o escoamento seja muito diferente de um diedro, na vizinhança do vértice o campo de velocidade tende assimptoticamente para o de um diedro. Ora, num diedro de abertura π/n a velocidade depende de n: v = a r n 1, em que a é uma constante real. Portanto, para o campo de velocidade ser contínuo, os vários diedros centrados num ponto têm de ter igual abertura angular. (Quando o diedro é devido a paredes sólidas impermeáveis, o escoamento pode limitar-se a essa parte do plano, e, nesse caso, o ângulo do diedro não tem de ser submúltiplo de 2 π). Normalmente, uma boa estratégia para traçar linhas de corrente é começar por identificar os pontos de estagnação, as singularidades e as tendências assimptóticas. Muitas vezes, é fácil determinar o sentido da velocidade nalgumas linhas de corrente que passam em pontos de estagnação e, tendo em conta a continuidade da velocidade em linhas de corrente adjacentes, podem tirar-se conclusões sobre todo o escoamento. Os pontos de estagnação identificam-se facilmente, porque neles todas as componentes da velocidade são nulas e portanto também dw/dz =0. Por definição, a direcção da linha de corrente que passa num ponto é a direcção do vector velocidade nesse ponto. Para traçar toda a linha de corrente que passa num ponto pode calcular-se o valor da função de corrente nesse ponto (designemo-lo por ψ 0 ) e resolver a equação ψ(x, y) = ψ 0 em ordem a x ou a y. Conforme 10

11 (a) (b) (c) Figura 2: (a) As linhas de corrente que contêm pontos de estagnação determinam-se pela passagem ao limite das linhas de corrente adjacentes. As linhas de corrente (b) não podem estar correctas, porque os ângulos dos diedros não são iguais junto de um ponto de estagnação e porque os sentidos da velocidade não são compatíveis. As linhas de corrente (a) e (c) não infringem nenhuma dessas regras. for mais fácil, podem dar-se valores a x e calcular y ou, analogamente, dar valores a y e calcular x correspondente. Recorde-se que a diferença entre funções de corrente de duas linhas de corrente é igual ao caudal por unidade de largura que passa entre elas. Assim, conhecida uma linha de corrente, podem traçar-se outras linhas linhas de corrente em relação a ela. 8 Transformações conformes Seja ζ = ξ + i η o ponto genérico de um plano e z = x + i y o ponto genérico de outro plano. Denomina-se transformação entre o plano ζ e o plano z uma função z = f(ζ) que faz corresponder um ponto z a cada ponto ζ do outro plano. Figura 3: Transformação do espaço ζ para o espaço z. Dado o potencial complexo, w(ζ), de um escoamento no espaço ζ, se a transformação for conforme então w(z) é o potencial complexo de um escoamento no plano z. Deste modo, é possível aproveitar algumas soluções (por exemplo, o escoamento potencial em torno de um cilindro circular) para obter outras soluções (por exemplo, o escoamento em torno de uma asa). 11

12 8.1 Características das transformações conformes Se a função de transformação f(ζ) for analítica, isto é, se for infinitamente diferenciável de modo que a série de Taylor seja convergente, a transformação é conforme ou holomórfica, por preservar a forma dos elementos infinitesimais. Em particular, duas linhas que passam por um ponto são transformadas em duas linhas que se cruzam no ponto homólogo com o mesmo ângulo entre elas. Note-se que as transformações conformes preservam as proporções de elementos infinitesimais homólogos, mas podem distorcer significativamente o conjunto das figuras não infinitesimais. O resultado de uma transformação conforme é comparável a um desenho impresso num lençol extensível, que fica deformado quando se estica ou encolhe o lençol nalguns pontos. Os ângulos locais mantêm-se, mas os ângulos entre pontos a distâncias finitas podem alterar-se. São exemplos de funções analíticas: as funções polinomiais, a função exponencial e a função logaritmo, as funções trigonométricas e as potências. São exemplos de funções não-analíticas: a função valor absoluto (porque não é diferenciável no ponto 0); as funções definidas por troços (porque podem não ser diferenciáveis nos limites dos troços). 8.2 Exemplos de transformações conformes Translação uniforme de todo o espaço de um deslocamento ζ 0 : z = ζ + ζ 0. Rotação de todo o espaço de um ângulo α em torno da origem, juntamente com a multiplicação por um factor de escala ρ: z = (ρ e i α ) ζ. Passar o vector velocidade num ponto z = r e i θ de coordenadas rectangulares para coordenadas polares equivale a rodá-lo de um ângulo θ. Portanto a relação de transformação é: (u + i v) e i θ = (v r + i v θ ). A passagem do vector velocidade conjugada em coordenadas rectangulares para o vector velocidade conjugada em coordenadas polares não é tão directa geometricamente, porque se trata de vectores reflectidos (conjugados) no eixo dos xx ou na direcção radial. Fazendo o desenho com cuidado, percebe-se que a transformação dos vectores conjugados é uma rotação de θ. Portanto (u i v) e i θ = (v r i v θ ). Multiplicação dos ângulos em torno da origem por um factor n (que pode ser menor que 1) e modificação das distâncias à origem por um expoente n: z = ζ n, Transformação de Joukowski, que transforma uma circunferência numa eplipse ou no perfil de uma asa: z = ζ + b 2 /ζ, sendo b 2 um número real positivo. 12

13 8.3 Aplicação de transformações conformes Se w(ζ) for o potencial complexo de um escoamento, as componentes da velocidade podem determinar-se a partir das componentes do complexo conjugado da velocidade, que é dw/dζ. Aplique-se o mesmo potencial complexo w(z) aos pontos z que resultam da transformação conforme z = f(ζ). As componentes da velocidade deste novo escoamento podem determinar-se a partir das componentes do respectivo complexo conjugado da velocidade, que é dw[z(ζ)] dz = dw(ζ) dζ dζ dz. (11) A derivada dζ/dz pode calcular-se como o inverso de dz/dζ = df(ζ)/dζ. Exemplo: w = U ( ζ + R 2 /ζ ) é o potencial complexo de um escoamento uniforme de velocidade U horizontal incidente sobre um cilindro de raio R, centrado na origem. Qual é o escoamento que resulta da transformação de Joukowski, z = ζ + b 2 /ζ? A linha de corrente circular de raio R (que é ζ = R e i θ ) vai ser transformada na linha z = R e i θ + (b 2 /R) e i θ = (R + b 2 /R) cos(θ) + i (R b 2 /R) sin(θ), que é a elipse de eixos (R + b 2 /R) e (R b 2 /R). Portanto, a transformação permitiu obter o escoamento potencial em torno de uma elipse (ou de um cilindro elíptico). Qual é o novo campo de velocidade? Para esta transformação: dz dζ = 1 b2 ζ 2, donde dζ dz = ζ2 ζ 2 b 2. Portanto, num ponto genérico de z, desenvolvendo a expressão 11, a velocidade conjugada é: ) dw dz = U (1 R2 ζ 2 ζ 2 ζ 2 b 2 = U ζ 2 R 2 ζ 2 b 2. O ponto ζ correspondente a um determinado z é ζ = f 1 (z) = 1 (z ± ) z 2 4 b 2. 9 Cálculo da pressão em escoamentos potenciais Como se viu, num escoamento potencial pode calcular-se o campo de velocidade independentemente do campo de pressão, porque a equação de transporte de quantidade de movimento não chegou a ser necessária para determinar cabalmente a velocidade. Recorde-se que as hipóteses de partida foram a equação da continuidade para escoamento incompressível, 1, e a condição de as tensões desviadoras serem nulas, 2. Sendo válidas estas duas hipóteses, uma vez conhecido o campo de velocidade é possível aplicar a equação de Bernoulli entre quaisquer dois pontos de uma linha 13

14 de corrente e calcular a diferença de pressão estática entre eles (se o escoamento não fosse estacionário, a equação de Bernoulli teria de incluir um termo adicional, que não consideraremos). Nos escoamentos potenciais estacionários em que a pressão total relativa à hidrostática local, P rel ( ), é uniforme no infinito, a equação de Bernoulli impõe que a pressão total relativa à hidrostática local seja uniforme em todo o resto do domínio. Então, para um ponto genérico, p rel = P rel ( ) 1 2 ρ v2. (12) Na direcção transversal a uma linha de corrente, a menos de termos de ordem superior, o gradiente da pressão relativa à hidrostática local pode calcular-se pela expressão p rel / r = ρ v 2 /r, em que r é o raio local de curvatura. Esta expressão deduz-se directamente da equação de transporte de quantidade de movimento para a direcção radial, escrita em coordenadas polares, no caso em que o referencial coincide com o centro local de curvatura. 10 Teorema de Kutta-Joukowski e paradoxo d Alembert Em geral, as componentes da força aerodinâmica são expressas num referencial associado ao escoamento principal: a componente ortogonal ao escoamento denomina-se sustentação, L, (do inglês lift) a componente na direcção do escoamento chama-se resistência, D, (do inglês drag). Figura 4: A componente da força ortogonal ao escoamento de aproximação denomina-se sustentação, L, a componente na direcção do escoamento chama-se resistência, D. Num escoamento estritamente potencial a força de pressão equilibra a força de inércia (cf. secção anterior) e portanto não há forças externas: só pode haver forças externas aplicadas a singularidades de primeira ordem (fontes e vórtices). O cálculo da força aerodinâmica exercida por um escoamento uniforme de velocidade v sobre um conjunto de singularidades cujo caudal total seja q e cuja circulação total seja Γ atribui-se ao alemão Martin Wilhelm Kutta e ao russo Nikolai Zhukovsky (ou Joukowski). Considere-se um domínio de controlo circular centrado nas singularidades (pelo simples motivo de que essa geometria facilita o cálculo, os integrais de contorno de uma integranda analítica não dependem do contorno). A velocidade induzida 14

15 Figura 5: Balanço de forças e quantidade de movimento num domínio de controlo circular, centrado em singularidades de caudal q e circulação Γ. sobre a circunferência tem componentes: v r = q 2 π r + v cos(θ) e v θ = Γ 2 π r v sin(θ). A pressão total relativa à hidrostática local, P rel, do escoamento de aproximação é uniforme. A equação de Bernoulli, 12, fica: p rel = P rel 1 2 ρ (v2 r + vθ) 2 = P rel 1 [( q 2 2 ρ + Γ 2 ) ] 1 q cos(θ) + Γ sin(θ) v +. 4 π 2 r2 π r Escolhamos um referencial (x, y) alinhado com o escoamento uniforme, de modo que a componente de sustentação L (por unidade de comprimento) é a componente f y e a componente de resistência D (por unidade de comprimento) é a componente f x. O balanço de forças e quantidade na circunferência referida é: 2 π 0 ρ v (v n) r dθ = 2 π 0 p rel n r dθ + ( f ), em que f é a força exercida pelas singularidades sobre o fluido e f é a força exercida pelo fluido sobre as singularidades. Em coordenadas polares, a normal exterior unitária à circunferência é n = (1, 0), de modo que v n = v r. Em coordenadas rectangulares, a normal exterior é n = [cos(θ), sin(θ)] e as componentes da velocidade são v x = v r cos(θ) v θ sin(θ) e v y = v r sin(θ) + v θ cos(θ), ou: v x = q cos(θ) Γ sin(θ) 2 π r + v e v y = Desenvolvendo o balanço: 2 π f x = ρ v x v r r dθ 0 f = 2 π = ρ v y v r r dθ f y 0 2 π 0 2 π 0 q sin(θ) + Γ cos(θ). 2 π r p rel cos(θ) r dθ p rel sin(θ) r dθ Desenvolvendo mais as expressões e efectuando os integrais obtém-se finalmente: D = f x = ρ q v e L = f y = ρ Γ v. (13) 15

16 No caso particular de corpos fechados, o somatório do caudal das fontes e poços é nulo (q = 0) e a componente de resistência é nula, D = 0. Este facto de, num escoamento potencial, a componente de resistência de um corpo finito ser nula é conhecido como paradoxo d Alembert, em memória do francês Jean le Rond d Alembert (século XVIII). O mecanismo de geração de sustentação sobre um corpo impermeável finito baseia-se na diferença de pressão relativa entre um lado e o outro do corpo e, de acordo com a equação de Bernoulli, essa diferença de pressão é fruto da diferença de velocidade que, por sua vez, resulta da existência de circulação. Não há sustentação se a circulação Γ for nula, porque é a circulação que introduz uma assimetria na distribuição de velocidade e de pressão em ambas as faces do corpo. Isto é particularmente fácil de compreender no caso do cilindro circular com um vórtice centrado. Sem vórtice (figura 6-a), a distribuição superficial do módulo da velocidade é simétrica, a distribuição de pressão também e a sustentação é obviamente nula. Introduzindo um vórtice no centro da circunferência, quebra-se a simetria (figura 6-b): em cima, a velocidade induzida por um vórtice negativo soma-se à velocidade do escoamento em torno do mesmo corpo na ausência de circulação; em baixo, a velocidade induzida por um vórtice negativo subtrai- -se à velocidade na ausência de circulação. Por isso, um vórtice negativo reduz a pressão em cima e aumenta-a em baixo (um vórtice tem o efeito simétrico), provocando uma diferença de pressão cuja resultante é ortogonal ao escoamento principal (sustentação). Repare-se que o vórtice preserva a simetria da pressão na direcção do escoamento principal (resistência). Figura 6: (a) Escoamento em torno de um cilindro sem circulação e (b) velocidade superficial modificada pelo acréscimo de um vórtice de circulação negativa, Γ < 0, produzindo uma sustentação positiva L > 0. O teorema de Kutta-Joukowski só se aplica: (a) a escoamentos com velocidade uniforme no infinito, (b) se não houver fontes/poços nem vórtices no exterior do corpo. Esta última restrição pode ultrapassar-se, substituindo a velocidade v da equação 13 por uma velocidade local efectiva, que tenha em conta a influência das fontes ou vórtices exteriores ao corpo. 16

17 Apêndice: Operações com números complexos Um número complexo pode representar-se em coordenadas rectangulares (x, y) ou polares (r, θ). As seguintes notações são equivalentes: A relação entre as componentes é: z = x + i y = r cos(θ) + i r sin(θ) = r e i θ. (14) { r = x2 + y 2 θ = arctan(y/x) e { x = r cos(θ) y = r sin(θ) (15) Os números complexos somam-se como os vectores e o seu produto é semelhante ao produto interno de vectores. Sendo z 1 = x 1 + i y 1 e z 2 = x 2 + i y 2, z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) (16) z 1 z 2 = (x 1 x 2 ) (y 1 y 2 ) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1 ). (17) Em geral a multiplicação, a divisão, a potência e o logaritmo são mais fáceis em coordenadas polares. Sendo z 1 = r 1 e i θ 1 e z 2 = r 2 e i θ 2, z 1 z 2 = (r 1 r 2 ) e i (θ 1+θ 2 ) (18) z n 1 = r n 1 e i n θ 1 (19) 1/z = z 1 = 1 r e i θ (20) ln(z) = ln(r e i θ ) = ln(r) + i θ. (21) Em certos casos particulares, as operações de divisão e potenciação podem fazer- -se directamente em coordenadas rectangulares. As situações mais importantes em que isso acontece são: z 2 = (x 2 y 2 ) + i 2 x y e 1 z = z z = x i y 2 x 2 + y. 2 As derivações com números complexos efectuam-se como as dos números reais. Por exemplo, d(z n )/dz = n z n 1. Analogamente, mantêm-se as propriedades comutativas, associativas e distributivas das operações com números reais. Por exemplo, z 1 z 2 = z 2 z 1 e ln(z 1 z 2 ) = ln(z 1 ) + ln(z 2 ). 17