Mecânica dos Fluidos I

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1 Mecânica dos Fluidos I Aula prática 6 (Semana de 26 a 30 de Outubro de 2009) EXERCÍCIO 1 Um jacto de ar, escoando-se na atmosfera, incide perpendicularmente a uma placa e é deflectido na direcção tangencial à placa (figura 1, da esquerda). O caudal volúmico do jacto é Q. A velocidade do jacto incidente é aproximadamente uniforme U 1 e a velocidade do escoamento deflectido também é uniforme e é a mesma: U 2 = U 1. Considere que, longe da placa, a pressão é hidrostática em todo o espaço, de modo que a pressão relativa à hidrostática local é uniformemente nula na atmosfera, no jacto incidente e no escoamento deflectido. O escoamento é incompressível, com massa volúmica ρ = 1, 2 kg/m 3. Figura 1: Representação esquemática de escoamentos incompressíveis monofásico (jactos de ar em ar), deflectidos por placas. 1. Calcule a área total do conjunto das secções transversais do escoamento deflectido (figura 1, da esquerda). 2. Determine as componentes da força exercida pelo ar sobre a placa plana (figura 1, da esquerda). Nota: utilize um referencial associado à placa; repare que o escoamento tem um eixo de simetria coincidente com o eixo do jacto. A inclinação do jacto em relação à direcção vertical influencia na resolução? 3. Qual seria a força por unidade de largura exercida sobre a placa se esta tivesse a forma de um L que deflectisse todo o caudal de um jacto plano para o mesmo lado (figura 1, do lado direito)? A área da secção transversal do escoamento deflectido é diferente se a placa for em L ou se for plana?

2 2 Como este problema é monofásico e incompressível (jacto de ar na atmosfera), convém utilizar a pressão relativa à hidrostática local, porque a solução fica independente da direcção da força gravítica. Como a pressão relativa à hidrostática local é a mesma, p REL 1 = p REL 2, de acordo com a equação de Bernoulli a velocidade também é a mesma, U 1 = U 2. Portanto, a área de saída é sempre igual à área de entrada. A força ortogonal à placa plana é ρ Q U 1, sendo ρ a massa volúmica do ar. Se a placa é em L (figura da direita) e o caudal por unidade de largura é q, o módulo da força por unidade de largura é 2 ρ Q U 1. EXERCÍCIO 2 Ar, à pressão e temperatura ambientes, entra numa fresta bidimensional em coordenadas rectangulares, representada em corte na figura 2. A distância entre as paredes é h. Figura 2: Idealização do escoamento de entrada num canal bidimensional em coordenadas rectangulares. Na primeira secção, a componente longitudinal da velocidade é aproximadamente uniforme, U 1 = 10 m/s, e na secção 2 pode ser aproximada por três troços lineares, como se mostra na figura: na zona central, onde os efeitos viscosos ainda não se sentem, a velocidade longitudinal é uniforme; junto às paredes, devido aos efeitos viscosos, a velocidade longitudinal varia de 0 a U 2. Ao longo da região de entrada, cuja parte inicial está representada na figura, os efeitos viscosos difundem-se até distâncias cada vez maiores, mas no troço representado ainda não afectam a zona central. Como é óbvio, se fosse necessária maior precisão na análise, a distribuição de velocidade junto à parede, na secção 2, poderia aproximar-se por maior número de troços lineares, ou por funções com curvatura. Considere que a pressão relativa à hidrostática local é uniforme ao longo de qualquer secção transversal do canal (esta uniformidade é consequência de as linhas de corrente quase não terem curvatura).

3 3 1. Em que zonas do escoamento se pode aplicar a equação de Bernoulli? 2. Calcule o valor da velocidade longitudinal máxima na secção 2, supondo que nesta secção se tem um perfil de velocidades uniforme. 3. Determine a diferença de pressão estática entre as secções 1 e Determine a força que o fluido exerce sobre o canal. 5. Faça um esquema qualitativamente correcto da evolução de pressão de estagnação na secção Calcule o valor da pressão de estagnação na linha média do canal, na secção 2, relativamente à pressão atmosférica. A equação de Bernoulli só se pode aplicar ao longo de linhas de corrente na zona central, longe das placas, onde os efeitos viscosos se podem desprezar. (À medida que nos afastamos da secção 1, os efeitos viscosos alcançam uma distância às paredes cada vez maior, até condicionar todo o escoamento; nessa altura, a equação de Bernoulli, stricto sensu, não se pode aplicar a nenhuma linha de corrente). A velocidade máxima na secção 2 é U 2 = 15 m/s. A diferença de pressão é p 2 p 1 = 75 Pa, supondo que a massa volúmica do ar seja ρ = 1, 2 kg/m 3. A força por unidade de largura exercida pelo fluido sobre as duas placas é f x = ρ U 2 2 h/ h = +ρ U 2 2 h/6. Na zona média, onde a equação de Bernoulli se aplica, a pressão de estagnação relativa à hidrostática local mantém-se ao longo de cada linha de corrente, desde a entrada até à secção 2. Como a pressão de estagnação é uniforme na entrada, na zona central da secção 2 também é uniforme. EXERCÍCIO 3 Um cilindro elíptico, de corda 2 L, é colocado num escoamento uniforme, ortogonal à geratriz, de velocidade U, originando a jusante uma esteira onde os efeitos viscosos são importantes e a velocidade é inferior à do escoamento não perturbado, como se mostra na figura 3. O perfil de velocidade longitudinal a jusante pode ser aproximado por troços lineares, como se indica na figura: a velocidade varia de U/2 a U ao longo de uma distância L. Neste caso particular, a largura total da esteira é 2 L. Longe do cilindro, incluindo as duas secções indicadas na figura, a pressão relativa à hidrostática local é aproximadamente constante. Considerando o escoamento bidimensional e incompressível, determine a força aerodinâmica (f x, f y, f z ) sobre o cilindro, por unidade de comprimento.

4 4 Figura 3: Modelo simplificado da esteira de um cilindro elítpico. Sugestão: Utilize um volume de controlo limitado superiormente e inferiormente por superfícies de corrente. A componente longitudinal da força aerodinâmica (componente de resistência) por unidade de geratriz é f x = 1 3 (2 L) ( 1 2 ρ U 2 ). As outras componentes da força aerodinâmica são nulas. EXERCÍCIO 4 Considere um canal de água de largura constante, visto em corte na figura 4. Em determinadas circunstâncias, há um salto de uma velocidade elevada V 1 e pequena profundidade h 1 para uma velocidade menor V 2 < V 1 e maior profundidade h 2. A turbulência é grande entre as duas secções, com grandes flutuações de pressão e de velocidade, como a figura 4 tenta sugerir, mas, antes e depois do salto hidráulico (secções 1 e 2), a distribuição de pressão no canal é aproximadamente hidrostática e a velocidade aproximadamente uniforme. O fundo é horizontal e o atrito no fundo e nas paredes não influencia praticamente o salto hidráulico. Figura 4: Salto hidráulico num canal. O escoamento é da esquerda para a direita.

5 5 1. Utilize as equações de balanço de massa e de quantidade de movimento para determinar h 2 e V 2 em função de h 1 e V 1. Não precisa de explicitar o resultado, indique apenas as equações. 2. Verifique com o exemplo h 1 = 0, 5 m e V 1 = 7 m/s que a equação de Bernoulli não se pode aplicar ao longo de uma linha de corrente entre a secção 1 e a secção 2, porque os efeitos viscosos na zona intermédia são muito importantes. As equações de balanço de massa e de força e quantidade de movimento na direcção longitudinal dão: V 2 = V 1 h 1 /h 2 V 2 1 h 1 + V 2 2 h 2 = g h 2 1/2 g h 2 2/2 Ao fazer o balanço de forças e quantidade de movimento, repare que não há forças horizontais a actuar dentro do volume de controlo, há apenas fluxos de quantidade de movimento através da fronteira e pressões na fronteira. Considerou-se a pressão atmosférica como uniforme. A solução do sistema anterior contém a solução trivial h 2 = h 1 e V 2 = V 1 e a solução do salto hidráulico, que é h 2 = h 1 g ± h 2 1 g g V1 2 h1, V 2 = V 1 h 1 /h 2. 2 g O sinal com sentido físico é tal que h 2 > 0 (e V 2 > 0). Ou seja, interessa apenas o sinal + na expressão anterior. Se h 1 = 0, 5 m, V 1 = 7 m/s e g = 9, 80 m/s 2, a solução é h 2 = 2 m, V 2 = 1, 75 m/s. Para estes valores, o erro da equação de Bernoulli é 0, m: p 1 + ρ g z ρ V 2 1 = p 2 + ρ g z ρ V ρ g 0, Este erro é o integral da projecção do termo viscoso da equação de transporte de quantidade de movimento ao longo da linha de corrente. Pode mostrar-se que neste caso 0, m corresponde (como em muitos outros problemas) à energia dissipada por unidade de peso ao longo da linha de corrente, entre as duas secções. Embora quase não haja atrito no fundo, o efeito da viscosidade manifesta-se significativamente no salto hidráulico, sob a forma de dissipação de energia mecânica.