INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO LICENCIATURA EM ENGENHARIA E ARQUITECTURA NAVAL HIDRODINÂMICA EXERCÍCIOS J.A.C. Falcão de Campos

2 Capítulo 2 Aplicação da Análise Dimensional a Problemas de Hidrodinâmica. Ensaios com Modelos Reduzidos 1. Ondas de pequena amplitude propagam-se em água pouco profunda h λ << 1 com uma celeridade V p (velocidade da fase) independente do seu comprimento de onda. Aplique a análise dimensional para mostrar que, nessas circunstâncias, V p (gh) e que o período T λ ( gh). Determine qualitativamente a variação do comprimento de onda que ocorre quando ondas de um certo período constante se aproximam de uma praia de profundidade decrescente. 2. Determine os valores máximos da densidade e do peso de um corpo esférico com 0,5 m de diâmetro admissíveis para que a sua velocidade final descendente não exceda 0,3 m/s quando largado em água salgada à temperatura de 5 C. Se a densidade do corpo for conhecida com um erro relativo de ±1%, com que erro poderá ser conhecida a velocidade final descendente? 3. A resistência de um submarino de investigação oceanográfica de 9 m de comprimento vai ser determinada a partir de ensaios num túnel aerodinâmico com um modelo de 1,5 m de comprimento e área molhada 1,2 m2. A força de resistência medida com o modelo no túnel aerodinâmico à velocidade de 30 m/s é de 7,9 N, sendo a temperatura do ar de 25 C. Para o submarino protótipo imerso a grande profundidade em água salgada a 15 C, determine: a) a velocidade do submarino para a qual se pode determinar a sua resistência com a maior exactidão. b) a melhor estimativa possível da sua resistência se a sua velocidade for de 2 m/s. Indique se esta estimativa poderá ser melhorada aumentando ou diminuindo no ensaio a temperatura do ar no túnel. 4. Um aerobarco com um peso de N é sustentado por duas asas ("hydrofoil") idênticas com secções com a forma de perfis NACA operando a um ângulo de ataque de 3. Sabendo que a corda das secções é constante e igual a 0,5 m, e utilizando os coeficientes de sustentação da figura 2.16, calcule a envergadura das hidro-asas necessária para sustentar o navio à velocidade de 20 nós. 5. Considere uma hidro-asa ("hydrofoil") que se desloca na horizontal em água salgada à profundidade de 1 m em relação à superfície livre. a) Se o número de cavitação crítico para o início de cavitação for de σ = 0,1, determine a velocidade mínima a que ocorre cavitação. b) Para um modelo à escala de 1/10 da hidro-asa operando com o mesmo número de Froude, calcule a pressão ambiente à superfície livre num canal de reboque em "vácuo" (canal fechado em que se reduziu a pressão ambiente do ar acima da superfície livre com bombas de vácuo) necessária para se obter o mesmo número de cavitação do protótipo. Admita numa gama de temperaturas de 0 a 30 C a temperatura menos favorável possível para o protótipo e a mais favorável possível para o modelo no canal de reboque em "vácuo". 2 1

3 6. Um modelo de um veleiro é rebocado a uma velocidade U, fazendo o seu eixo de simetria longitudinal um pequeno ângulo de ataque α com a velocidade de reboque U. Durante o reboque as componentes de resistência (na direcção da velocidade do reboque U ) e lateral (na direcção perpendicular a U ) da força exercida sobre o casco são medidas separadamente. a) Se o casco do veleiro for considerado como uma hidro-asa ("hydrofoil") vertical na presença da superfície livre, escreva as leis de semelhança (relações entre os parâmetros adimensionais) apropriadas para cada componente da força. Distinga os parâmetros adimensionais que deveriam ser respeitados em princípio e aqueles mais importantes que deverão sê-lo num ensaio com um modelo reduzido. b) Os resultados do ensaio de reboque em água doce (15 C) de um modelo de 2 m de comprimento e área molhada 1,5 m2 à velocidade de 1,4 m/s foram de 10 N para a componente de resistência e de 28 N para a componente lateral. Quais a velocidade e as estimativas das componentes da força correspondentes para um veleiro de 10 m de comprimento em água salgada (15 C)? 7. Num escoamento de uma corrente à velocidade de 10 nós observou-se uma vibração em ressonância de um cabo cilíndrico de secção circular colocado com o seu eixo perpendicular à direcção da velocidade da corrente. O diâmetro do cabo é de 2 cm. Determine a frequência natural do cabo. A velocidade mais elevada a amplitude das vibrações tenderá a diminuir ou a aumentar? Justifique. 8. Um corpo esférico com um volume de 0,5 m 3 e densidade igual a metade da densidade da água salgada encontra-se imerso e ancorado ao fundo do oceano através de um cabo de 1000 m de comprimento. a) Desprezando todas as forças hidrodinâmicas mas incluindo a força de impulsão no corpo, determine a força de tensão que se exerce no cabo e o período natural de oscilação do sistema cabo e corpo, que funciona como um pêndulo invertido. b) Determine qualitativamente a forma como a força de inércia resultante da massa adicionada influencia o período natural do sistema. c) Determine o deslocamento na horizontal do corpo e o ângulo do cabo com a vertical se o corpo estiver sujeito a um escoamento estacionário de corrente com a velocidade de 0,5 nós. 9. Uma bóia cilíndrica com 2 m de altura flutuando livremente em ondas contém um acelerómetro que permite determinar o movimento de arfagem (movimento linear vertical) em relação a um referencial de inércia. Com base no gráfico da figura 2.26, determine a gama de comprimentos da onda incidente para a qual esta bóia pode medir a altura da onda com uma precisão de 20%. Admita que a amplitude da arfagem da bóia pode ser medida com uma precisão de 0,5 mm. 2

4 Capítulo 3: Escoamento de um Fluido Viscoso. Teoria da Camada Limite. 1. Verifique se o escoamento de Couette entre duas placas planas paralelas à distância h com o perfil de velocidades dado por: dp u = 1 dx y y h U ( ) + h y, 0 2µ < y< h, em que U é a velocidade da placa y = h, dp dx é o gradiente longitudinal de pressão, µ a viscosidade do fluido e y a distância normal às placas, é ou não uma solução exacta das equações de camada limite com as respectivas condições de fronteira. 2. Considere o escoamento bidimensional laminar sobre uma placa plana y = 0, com gradiente de pressão nulo ( dp dx = 0 ), e um perfil de velocidades dado por: Cy u = U0 ( 1 e ), v = V0 < 0, em que U 0, V0 e C são constantes, sendo V 0 negativa, e y é a distância normal à placa. a) Mostre que, para determinados valores da constante C, este escoamento é uma solução exacta das equações de camada limite. b) Quais são as condições de fronteira apropriadas a este escoamento? c) Que tipo de escoamento real poderá ser aproximadamente descrito por aquele escoamento? 3. Uma placa plana fina com l = 1 m e largura b = 3 m está alinhada com um escoamento com velocidade U = 2 m/s. Determine a força de resistência de cada face * da placa e as espessuras da camada limiteδ, de deslocamento δ e de quantidade de movimento θ nos seguintes casos: a) Ar com ρ = 1,23 Kg/m3, ν =1, m2/s. b) Água com ρ =1000 Kg/m3, ν =1, m2/s. 4. Considere um perfil parabólico para a camada limite laminar sobre uma placa plana dado por: u y y 2 = 2 U δ ( δ ), em que u é a velocidade paralela à placa, U é a velocidade do escoamento exterior, y a distância normal à placa e δ a espessura da camada limite. * a) Calcule a espessura de deslocamento δ /δ, a espessura de quantidade de movimento δ / θ e o factor de forma H. b) Aplique a equação integral de von Kárman para determinar a variação da espessura * da camada limite δ / x. Calcule as variações de δ / x, θ / x e do coeficiente de 2 tensão de corte na parede C f = τ w /(1/ 2ρU ) ao longo da placa. ( τ w é a tensão de corte na parede e ρ a massa específica do fluido). 5. Considere uma camada limite turbulenta sobre uma placa plana com gradiente de pressão nulo. 3

5 a) Mostre que a distribuição de velocidade dada por: 1 u uτ y = C( ) n, uτ ν em que C é uma constante, uτ é a velocidade de atrito, y a distância à parede e ν a viscosidade cinemática, conduz a uma representação do tipo potência 1 u y = ( ) n, U δ para o perfil de velocidades na camada limite de espessuraδ. b) Utilizando a distribuição de velocidades de tipo potência, determine a espessura de * deslocamento δ / δ, a espessura de quantidade de movimento θ / δ e o factor de forma H. c) Com C = 8, 7 e n = 7, aplique a equação 1 u uτ y = C( ) n, uτ ν e a equação integral de von Kármán para deduzir uma equação para o crescimento da espessura da camada limite turbulenta sobre uma placa plana. * d) Com os resultados da alíneas b) e c), determine as variações de δ / x, θ / x e do 2 coeficiente de tensão de corte na parede C f = τ w /(1/ 2ρU ) ao longo da placa. 6. Determine a espessura da camada limite e a tensão de corte na parede numa secção à distância x do bordo de ataque de uma placa plana a um número de Reynolds Re x = Ux / ν nos seguintes casos: a) Camada limite laminar (perfil de Blasius). b) Camada limite turbulenta (perfil de potência 1/7). Utilize os resultados das alíneas a) e b) para esboçar os correspondentes perfis de velocidade u / U = f ( y) em que y é a distância à parede na direcção normal. 7. Para um modelo de navio com 2 m de comprimento à velocidade de 1 m/s, faça uma estimativa da espessura de deslocamento da camada limite à ré do navio, usando os resultados de Blasius para uma camada limite laminar e os resultados do perfil de tipo potência 1/7 para uma camada limite turbulenta. Compare o resultado de δ / l que se obtém para o modelo com o resultado correspondente que se obtém para um navio de 200 m de comprimento à velocidade de 10 m/s. 8. Atendendo às diferenças entre a água salgada e a água doce à mesma temperatura, como variam a espessura da camada limite e a tensão de corte na parede num navio quando este passa de água salgada para a água doce mantendo a mesma velocidade? 9. Um aparelho de medição de velocidade utilizado frequentemente em embarcações pequenas consiste num molinete constituído por uma roda com pás montadas na sua periferia. O eixo da roda encontra-se montado à face do casco do navio, sendo o raio do molinete (distância entre o eixo e o "centro" das pás) de 1 cm. As pás giram em torno do eixo por efeito de arrastamento em resposta à velocidade local do fluido em relação ao casco. Se um destes molinetes for montado à distância de 3 m da proa do 4

6 navio, estime a linearidade deste dispositivo para medir a velocidade do navio entre 1 e 10 m/s. 10. Comente a validade da seguinte afirmação: O depósito de cracas ("Barnacles") e outros crescimentos marinhos na superfície do casco de um navio não é importante porque a dimensão destes organismos é desprezável em comparação com a dimensão do navio. Recorrendo às figuras 2.11 e 3.12 do livro "Marine Hydrodynamics" de J. N. Newman faça uma estimativa do efeito do depósito de cracas, com uma dimensão característica de 1 mm, na resistência do protótipo do navio "Lucy Ashton" à velocidade de 15 nós. Qual a redução da velocidade do navio admitindo a mesma resistência total para as condições lisa e rugosa? 5

7 Capítulo 4: Escoamento de um Fluido Ideal. Teoria do Escoamento Potencial. 1. Seja V r o vector velocidade do fluido e φ o potencial de velocidades. Escreva expressões para φ,. V r e V r nos seguintes sistemas de coordenadas: a) polares a duas dimensões, b) cilíndricas, c) esféricas. 2. Considere o escoamento potencial a duas dimensões definido pelo potencial complexo π γ w ( z) = z. a) Recorrendo à definição da função de corrente, mostre que este potencial complexo pode representar o escoamento interior a um diedro de ângulo γ. b) Verifique que o potencial de velocidades (parte real do potencial complexo) satisfaz as condições de fronteira nas fronteiras do escoamento. c) Admitindo escoamento estacionário, determine expressões para a pressão num ponto do interior do fluido e na fronteira. 3. Analise os seguintes escoamentos, determinando a configuração das linhas de corrente: a a) w ( z) =, com a constante. z b) z = a cosh w, com a constante. c) z = a cosw, com a constante. 4. Considere o escoamento potencial plano que se obtém sobrepondo uma fonte de intensidade m com um escoamento uniforme de velocidade U. a) Determine a localização do ponto de estagnação. b) Determine a equação da linha de corrente divisória. c) Determine a largura máxima do corpo semi-infinito definido pela linda de corrente divisória. d) Esboce as linhas de corrente do escoamento. 5. Considere o escoamento potencial plano em torno de uma oval de Rankine (sobreposição de uma fonte de intensidade m, um poço de intensidade m à distância a e um escoamento uniforme de velocidade U alinhado com a recta que une a fonte e o poço). a) Determine a localização dos pontos de estagnação. b) Determine a equação da linha de corrente divisória. c) Determine a equação para a relação largura máxima/comprimento da oval em função do parâmetro adimensional m /(Ua). 6. Considere o escoamento potencial plano resultante da sobreposição de um escoamento uniforme de velocidade U e de um dipolo de intensidade µ alinhado com o escoamento uniforme e com o sentido oposto a U. 6

8 a) Mostre que este escoamento representa o escoamento em torno de um cilindro circular. Relacione o raio do cilindro a com U e µ. b) Calcule a distribuição de velocidade sobre o cilindro. 7. Considere a instalação de arrefecimento de um reactor esquematizada na figura. A água é aspirada do rio para um dos circuitos do permutador de calor, com um caudal Q e é descarregada no rio a uma distância 2 a a jusante da tomada de aspiração. O escoamento na vizinhança das tomadas de aspiração e descarga pode ser modelado como um escoamento potencial plano resultante da sobreposição de um escoamento uniforme de velocidade U (velocidade da corrente do rio) e dos escoamentos produzidos por um poço e uma fonte colocados numa fronteira plana (margem do rio). a) Escreva uma expressão para o potencial complexo e para a velocidade do escoamento. b) Determine a distância mínima a que as tomadas de aspiração e descarga devem ser colocadas para que não haja recirculação de caudal. c) Determine em função do parâmetro Q /(au ) a parte do caudal que pode ser recirculado. d) Se o rio de largura b for estreito indique como poderia tomar em consideração a presença da outra margem. U 2a Q Q 8. Considere o escoamento potencial de um fluido incompressível em torno de uma esfera de raio a colocada num escoamento de aproximação uniforme de velocidade U. Determine a distribuição da velocidade sobre a esfera e o seu valor máximo. 9. Considere o escoamento num canal rectangular com uma largura H = 4 m e uma profundidade h = 3 m com uma velocidade média U = 2 m/s. Para efeito de irrigação, retira-se água do canal através de um orifício de descarga com diâmetro d = 0,2 m situado no fundo do canal no seu plano de simetria. A conduta de diâmetro d = 0,2 m ligada ao orifício descarrega para a pressão atmosférica a um nível de 1 m abaixo da superfície do fundo do canal. a) Desprezando a perda de carga na conduta, determine o caudal de descarga. b) Determine a distância máxima ao fundo do canal da superfície de corrente que separa o escoamento aspirado para o orifício do escoamento que permanece no canal. Despreze a influência das paredes laterais e da superfície livre, bem como a influência da camada limite das paredes do fundo e laterais. c) A que distância do orifício no plano central do canal o escoamento não aspirado recola ao fundo do canal? d) Calcule a velocidade vertical máxima na superfície livre. 7

9 e) Diga como poderia ter em conta o efeito das paredes laterais do canal no escoamento. 10. Mostre que a velocidade tangencial máxima para o escoamento em torno de um cilindro circular é duas vezes o valor da velocidade de aproximação e para o escoamento em torno da esfera é 1,5 o valor da velocidade de aproximação. Qual é o resultado correspondente para um ovóide de Rankine no plano equatorial? Compare este resultado no limite da distância entre a fonte e o poço tenderem para zero (e as suas intensidades para infinito) com o resultado para uma esfera. Qual o resultado limite no caso da distância entre a fonte e o poço tender para infinito? 11. Para os escoamentos potenciais estacionários em torno do cilindro circular e de uma esfera, utilize a equação de Bernoulli para determinar o valor mínimo do coeficiente de pressão sobre a superfície do corpo. Nota: Define-se o coeficiente de pressão através da equação p p C p =, ρu em que p é a pressão, p a pressão do escoamento uniforme de aproximação, ρ a massa específica do fluido e U a velocidade do escoamento uniforme de aproximação. 8

10 Capítulo 5: Superfícies Sustentadoras 1. Considere uma placa plana rectangular plana de espessura desprezável e corda c = 1 m, sujeita à acção do vento com velocidade U = 15 m/s, sendo o ângulo de ataque da placa em relação à velocidade do vento de α = 5. O escoamento supõe-se bidimensional plano e sem atrito. Admite-se que não há separação do escoamento e que se verifica a condição de Kutta-Joukowski no bordo de fuga. a) Calcule a força de sustentação por unidade de envergadura da placa exercida pelo vento. b) Qual a zona da placa onde a velocidade atinge teoricamente o valor máximo. 2. Considere uma placa plana sem espessura a um ângulo de incidência α num escoamento uniforme de aproximação de velocidade U. a) Determine a distribuição de velocidade sobre a placa e o seu valor no bordo de fuga. b) Determine a força de sucção no bordo de ataque. 3. Considere um perfil de Joukowski sem espessura com uma flecha f / c = 0, 04 colocado num escoamento uniforme a um ângulo de ataque α em relação à corda. a) Determine o ângulo de sustentação nula. b) Determine o coeficiente de sustentação para um ângulo de ataque de α = 5. c) Determine o valor do ângulo de ataque de α para o qual a velocidade é finita no bordo de ataque. 4. Na Figura junto estão representados dois perfis, sendo um rectilíneo e o outro em forma de arco de círculo (ambos sem espessura) e tendo cordas iguais. a) Considere um escoamento uniforme no infinito em torno de um e de outro perfil, com os ângulos de ataque representados. Qual dos dois perfis tem maior sustentação? Justifique. b) Em relação ao perfil em arco circular, qual deveria ser o ângulo de ataque para que fosse finita a velocidade do escoamento no bordo de ataque? Justifique. 9

11 5. Considere o escoamento uniforme no infinito de velocidade U em torno de um perfil de Joukowski simétrico com espessura relativa t / c = 0,1. Sabendo que o ângulo de ataque é de 5,7, a) Determine a localização do ponto de estagnação junto ao bordo de ataque. b) Determine o valor da velocidade do escoamento no bordo de ataque do perfil. 6. Uma asa elíptica de envergadura finita sem curvatura com um alongamento de 5 tem um coeficiente de sustentação de 0,4 a um ângulo de ataque α = 5. Qual o valor mínimo do coeficiente de resistência induzida nesta condição e a um ângulo de ataque de 10? 10

12 Capítulo 6: Ondas Gravíticas de Superfície 1. Para ondas planas progressivas de altura H = 6 m (para ondas sinusoidais a altura é o dobro da amplitude) e comprimento de onda λ = 200 m determine: a) A celeridade V p, a velocidade máxima de uma partícula de fluido e a posição em que esse máximo ocorre em águas profundas. b) A celeridadev p, a velocidade máxima de uma partícula de fluido e a posição em que esse máximo ocorre em águas de profundidade uniforme h = 30 m. 2. Considere uma onda bidimensional estacionária de número de onda k e frequência angular ω que resulta da sobreposição de duas ondas progressivas de igual amplitude A que se propagam, respectivamente, nos sentidos positivo e negativo do eixo dos x de um sistema de coordenadas cartesiano, com a origem na superfície livre não perturbada e o eixo dos y vertical apontado para cima. a) Escreva uma expressão para a forma da superfície livre e mostre que esta representa uma onda não progressiva (pontos de igual fase, como por exemplo as cristas, não se movem na direcção do eixo dos x ). b) Escreva uma expressão para o potencial de velocidades do escoamento. c) Determine as componentes da velocidade e procure visualizar as trajectórias das partículas de fluido. 3. Considere uma onda progressiva bidimensional sinusoidal com um comprimento de onda λ = 100 m em águas profundas. a) Determine o período da onda, a celeridade e a velocidade de grupo em águas profundas. b) Suponha que a onda se propaga para águas de profundidade uniforme h = 1 m mantendo-se a sua frequência (e período). Determine o comprimento da onda, a celeridade e a velocidade de grupo. c) Se a onda se propagar em águas profundas, calcule o fluxo de energia da onda através de uma superfície vertical fixa perpendicular à direcção de propagação da onda, sabendo que a onda tem uma amplitude A = 1 m. A massa específica da água é 3 ρ = 1000 kg/m. d) Admitindo que o fluxo de energia através de uma qualquer superfície vertical fixa perpendicular à direcção de propagação se mantém idêntico ao calculado na alínea anterior quando a onda passa a propagar-se em águas de profundidade h, determine a amplitude da onda com h = 1 m. 11

13 Apêndice: Tabelas 12