UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL LOM3083 e LOM3213 Fenômenos de Transporte Prof. Luiz T. F. Eleno Lista de exercícios 2 1. Considere uma parede aquecida por convecção de um lado e resfriada por convecção do outro, em regime estacionário. Mostre que o fluxo de calor através da parede é q = h ef (T 1 T 2 ) sendo T 1 e T 2 as temperaturas no interior dos fluidos dos dois lados da parede e h ef é um coeficiente efetivo de transferência de calor, dado por 1 h ef = + L h 1 k h 2 em que h 1 e h 2 são os coeficientes de transferência de calor por convecção dos dois lados da parede e L e k são a espessura e a condutividade térmica da parede, respectivamente. Dicas: suponha regime estacionário e use matrizes 2 2 para resolver o sistema de equações lineares. 2. Em regime permanente, o perfil de temperaturas num sistema formado por dois materiais tem a seguinte aparência: T 530 K material A material B 310 K 50 cm 30 cm Determine a condutividade térmica do material B, sabendo que o fluxo de calor é de 12,6 kw/m 2 e a condutividade térmica do material A é k A = 52 W/m K. 3. A parede de uma galpão industrial é fabricada usando quatro camadas de diferentes espessuras: 100 mm de tijolos comuns na superfície externa, seguida de 100 mm de fibra de vidro, 10 mm de gesso e 15 mm de madeira. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do galpão é 10 W/m 2 K e no exterior é 70 W/m 2 K, determine o coeficiente efetivo de transferência de calor. Dados: tijolo comum: k = 0,72 W/m K; fibra de vidro: k = 0,046 W/m K; gesso: k = 0,25 W/m K; madeira: k = 0,12 W/m K;. 4. A parede de um forno é formada por camadas de três materiais diferentes, conforme o esquema abaixo: T s = 600 C A B C ar, T = 800 C L A L B L C T 0 = 20 C Na figura, L A = 0,30 m e L B = L C = 0,15 m. As condutividades térmicas dos materiais A e C são k A = 20 W/m K e k C = 50 W/m K, respectivamente. Em regime permanente, a temperatura na superfície interior do forno é T s = 600 C e na superfície exterior é T 0 = 20 C. O ar no interior do forno está a T = 800 C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção h = 25 W/m 2 K. Calcule: (a) a condutividade térmica do material B; (b) as temperaturas nas interfaces entre os diferentes materiais; (c) o fluxo de calor através da parede. 1

2 5. Uma parede é composta por dois materiais, A e B. O material A tem espessura L A = 50 mm e condutividade térmica k A = 75 W/m K, e há uma taxa constante de geração de calor q A = 1, W/m 3. Para o material B, L B = 20 mm, k B = 150 W/m K e não há geração de calor. A superfície do material A que não está em contato com B é perfeitamente isolada, enquanto que a superfície de B que não está em contato com A é refrigerada por um fluxo de água a 30 C, sendo o coeficiente de transferência de calor por convecção h = 1000 W/m 2 K. Considere que o sistema opere no estado estacionário. (a) Faça um esboço do perfil de temperaturas ao longo da espessura. (b) Determine a temperatura T 0 na superfície isolada do material A e a temperatura T 2 na superfície resfriada do material B. 6. Considere um tubo cilíndrico de comprimento L e raios interno e externo r i e r e, respectivamente. A temperatura na superfície interna do tubo é mantida a T i, ao passo que na superfície externa a temperatura é mantida a T e. Determine a distribuição de temperaturas e a taxa de transferência de calor a longo da espessura do tubo, em regime permanente. 7. Considere a peça abaixo, uma calha semi-cilíndrica de condutividade térmica k constante, com raio interno r i e raio externo r e, sendo r = r e r i bem menor que r i, e comprimento L ao longo do eixo z (normal ao plano da página). A superfície lateral é totalmente isolada e as temperaturas nas extremidades da calha são mantidas a T 1 e T 2 (T 2 > T 1 ). A variação da temperatura nas direções r e z é negligenciável. Considere que a peça está inicialmente a uma temperatura constante e homogênea T 0 (com exceção das extremidades) e despreze qualquer geração de calor. isolamento r i r e φ T 1 T 2 (a) Escreva a equação diferencial que rege o fenômeno de condução de calor ao longo da peça. (b) Escreva matematicamente as condições inicial e de contorno. (c) Determine o perfil de temperaturas T(φ) em função das constantes T 1, T 2, r e e r i para o estado estacionário. (d) Ainda nas condições do item (c), escreva também uma expressão para a taxa de transferência de calor, q φ. 8. (Aproximações) Um tronco de cone de 30 cm de altura é feito de alumínio (k = 202 W/m K). O diâmetro do topo é de 7,5 cm e o da base é de 12,5 cm. A superfície da base é mantida a 93 C e a do topo a 540 C. A superfície lateral é isolada termicamente. Considerando fluxo unidimensional em estado estacionário, qual a taxa de transferência de calor? Dica: escreva a área em função da altura no cone e integre a Lei de Fourier. Desconsidere possíveis variações de temperatura dentro de uma mesma seção transversal do cone. 9. Um novo tratamento térmico para um material especial deve ser avaliado. O material, no formato de esferas de 5 mm de raio, está inicialmente em equilíbrio a 400 C num forno. Ele é então removido e submetido a um resfriamento em duas etapas: Etapa 1: Resfriamento em ar a 20 C por um tempo t 1 até a temperatura nos centros da esferas atingir 335 C. Nestas condições, o coeficiente de transferência de calor é h 1 = 10 W/m 2 K. Etapa 2: Após as esferas atingirem a temperatura acima, resfriamento em óleo sob agitação a 20 C, com taxa de transferência de calor de h 2 = 6000 W/m 2 K. As propriedades termofísicas do material são ρ = 3000 kg/m 3, k = 20 W/m K e α = 6, m 2 /s. Calcule: (a) o tempo t 1 necessário para completar a etapa 1; (b) o tempo t 2 necessário durante a etapa 2 para resfriar os centros das esferas de 335 C a 50 C. 2

3 10. Rolamentos de aço (esferas de 12 mm de diâmetro) são austenitizadas a 1145 K e a seguir resfriadas rapidamente em óleo a 310 K. Calcule: (a) o tempo para resfriar o centro do rolamento até 480 K; (b) a temperatura da superfície quando o centro atinge 480 K; (c) se rolamentos são tratados por hora, de acordo com as condições dos itens (a) e (b), calcule a taxa de extração de calor necessária para manter o óleo a 310 K. Dados: para o aço em questão, ρ = 7,21 g/cm 3, c p = 630 J/K kg e k = 43 W/m K. Coeficiente de transferência de calor entre os componentes e o óleo h = 1700 W/m 2 K. 11. Para o projeto inicial de um forno para tratamento térmico, deseja-se determinar a espessura mínima da parede do forno. Considera-se que o forno vá trabalhar a 1600 K. Suponha primeiramente que a parede do forno seja um meio semi-infinito, cuja temperatura inicial é de 300 K. Considere que a temperatura no centro da parede não pode aumentar mais que 10% do valo inicial ao final de 4 horas. Dimensione a espessura da parede do forno. Dados: para o material da parede, ρ = 2,1 g/cm 3, c p = 835 J/K kg e k = 1,3 W/m K. Perfil de temperaturas: T(x,t) T s T i T s x = erf 2 αt 12. Um tubo de aço para o transporte de óleo tem diâmetro D = 1 m e espessura δ = 40 mm (a relação entre diâmetro/espessura é tal que podemos aproximar o problema por uma parede plana). O tubo é eficientemente isolado na superfície externa e, antes do início da circulação, está a uma temperatura homogênea de 20 C. Com o início do fluxo, óleo a 60 C é bombeado pelo tubo, criando uma condição de contorno convectiva na sua superfície interna com h = 500 W/m 2 K. Após 8 minutos de operação: (a) determine os números de Biot e Fourier; (b) qual a temperatura na superfície externa do tubo, na interface com a camada isolante? (c) qual o fluxo de calor do óleo para o tubo? Dados: para o aço em questão, ρ = 7,823 g/cm 3, c p = 434 J/K kg e k = 63,9 W/m K. Diagramas de Heisler (como δ D, desconsidere a curvatura da parede do tubo). 13. Considere uma longa barra cilíndrica feita de aço inoxidável, de diâmetro 127 mm, inicialmente a uma temperatura uniforme de 478 K. A barra passa a ser resfriada com um sopro de ar a 300 K com h = 142 W m 2 K 1. (a) Encontre o tempo para o centro da barra atingir 310 K. (b) No instante do item (a), qual a temperatura da superfície? (c) Qual seria o menor tempo possível para o centro da barra atingir 310 K, se ela fosse resfriada num meio refrigerante ideal a 300 K? As propriedades térmicas do aço são k = 16 W/m K e α = 4, m 2 /s. 14. Uma placa de liga de alumínio de 100 mm de espessura é resfriada desde uma temperatura inicial de 800 K num banho de água a 300 K, com um coeficiente de transferência de calor por convecção estimado em W/m 2 K. Qual a temperatura do centro da placa após 30 s? Para a liga em questão, k = 78 W/m K, c p = 1000 J/K kg e ρ = 2880 kg/m Para certas ligas, refino de grão pode ser obtido por ciclagem térmica ao redor de uma temperatura de transformação. Suponha que uma esfera de uma determinada liga com essa característica, inicialmente a uma temperatura uniforme T 0, seja imersa em um banho de óleo. Aquecedores elétricos são controlados de forma que a temperatura do óleo (T f ) segue um ciclo dado por T f T m = Asen (ωt) com T m a temperatura média do óleo (constante), A a amplitude da variação e ω a frequência do ciclo. Encontre uma expressão para a temperatura da esfera em função do tempo e do coeficiente de transferência de calor por convecção. Considere que a temperatura da esfera é uniforme. 3

4 Formulário Fluxo e taxa de transferência de calor fluxo de calor: q taxa de transferência de calor: q q = q A Fluxo de calor convectivo Lei de Newton do resfriamento: q = h(t T s ) Fluxo de calor por radiação Fluxo entre duas superfícies: q = ɛσ T 4 s T 4 viz Fluxo de calor por condução Lei de Fourier: k: condutividade térmica q = k T EDP para a condução de calor T ρc p = (k T) + q t Se k é constante: Difusividade térmica: Adimensionais Número de Biot Número de Fourier T t = α 2 T + α = k ρc p Bi = hl k q ρc p Fo = αt L 2 (L é uma dimensão característica do problema.) Gradiente e Laplaciano Coordenadas cartesianas T = T x ˆx + T y ŷ + T z ẑ 2 T = 2 T x + 2 T 2 y + 2 T 2 z 2 Coordenadas cilíndricas T = T r ˆr + 1 T r φ ˆφ + T z ẑ 2 T = 1 r r Coordenadas esféricas r T r T r 2 φ + 2 T 2 z 2 T = T r ˆr + 1 T r sen θ φ ˆφ + 1 T r θ ˆθ 2 T = 1 r 2 T 1 + r 2 r r r 2 sen θ Função erro erf(z) = 2 z e u2 du π 2 T φ r 2 sen 2 θ θ z erf(z) z erf(z) z erf(z) sen θ T θ 4

5 Diagramas de Heisler Parede plana Temperatura da linha central em função do tempo para uma parede plana de espessura 2L. Distribuição de temperaturas para uma parede plana de espessura 2L. 5

6 Cilindro Temperatura da linha central em função do tempo para um cilindro de raio r0. Distribuição de temperaturas num cilindro de raio r0. 6

7 Esfera Temperatura do centro em função do tempo para uma esfera de raio r0. Distribuição de temperaturas numa esfera de raio r0. 7

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