Utilização de Métodos de Cálculo Numérico em Aerodinâmica

Transcrição

1 Erro Numérico: - Erro de arredondamento - Erro iterativo - Erro de discretização Três componentes do erro numérico têm comportamentos diferentes com o aumento do número de graus de liberdade (refinamento da malha)

2 Erro de arredondamento: - Devido à precisão finita dos computadores - Pode ser minorado utilizando precisão dupla - Pode ser o erro dominante em problemas mal condicionados (pequenas diferenças entre números várias ordens de grandeza superiores) - Aumenta com o aumento do número de graus de liberdade (refinamento da malha)

3 Erro iterativo: - Não linearidade das equações a resolver (convecção nas equações de balanço de quantidade de movimento) - Desacoplamento das equações (modelo de turbulência resolvido para um campo de velocidade fixo e equações de Reynolds resolvidas com viscosdade turbulenta conhecida)

4 Erro iterativo: - Esquemas de discretização com correcções explícitas para os termos de ordem superior - Solução dos sistemas de equações algébricos com métodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel, Gradientes Conjugados, GMRES,...)

5 Erro iterativo: - Em princípio, pode ser reduzido até ao nível de precisão da máquina (se não existirem problemas com o erro de arredondamento) - Aumento do número de graus de liberdade (refinamento da malha) tende a dificultar a redução do erro iterativo. Técnicas Multigrid podem evitar problemas com a dimensão do sistema de equações a resolver

6 Erro iterativo: - É importante definir (conhecer) o significado de 1 iteração - Estimativas do erro iterativo baseadas nas diferenças (resíduo) obtidas na última iteração realizada não são fiáveis - Para estimativas do erro iterativo, a norma L é mais indicada que as normas L 1 e L 2

7 Erro iterativo: - Cálculo do escoamento turbulento num canal com as equações de Reynolds em média temporal (+modelo de viscosidade turbulenta) - Estimativa inicial da solução é obtida copiando os perfis de entrada para toda a malha - Solução convergida até à precisão da máquina (10-14 )

8 Erro iterativo: - Critério de convergência baseado na diferença máxima entre iterações sucessivas, e t - Erro iterativo calculado pela diferença para a solução convergida até à precisão da máquina - Exemplo para a componente horizontal do vector velocidade, U 1

9 Erro iterativo: Erro iterativo máximo 2 ordens de grandeza maior do que e t

10 Erro de discretização: - Consequência da transformação da(s) equação(ões) do meio contínuo para um sistema de equações algébrico - Pode ter uma componente geométrica, que pode até ser dominante em domínios com superfícies de elevada curvatura

11 Erro de discretização: - Habitualmente é o erro numérico dominante - Determinação do erro de discretização requer o conhecimento da solução exacta - Tende a diminuir com o refinamento da malha - Estimativa do erro de discretização pode ser feita com refinamentos sistemáticos da malha

12 Erro de discretização: - Teoria da Linha Sustentadora com o método de Glauert - Asa rectangular sem torção com alongamento Λ=6 - Perfil simétrico com C = 2π, α = 2 ' l o - Convergência de CL e C D com o número de i termos da série, n

13 Erro de discretização: - Neste exemplo não há erro iterativo - O erro de arredondamento em precisão dupla deixa de ser desprezável para séries com mais de 35 termos - Solução exacta obtida com 35 termos na série

14 Erro de discretização: Log 10 ( "Erro" C L ) -3-4 C L C Di Log 10 ( "Erro" C Di ) n

15 Erro de discretização - Em estudos de refinamento de malha admite-se e( φ) = φ φ α p exacto h i φ Variável local ou integral φ exacto Solução exacta α Constante relacionada com o nível do erro h i Dimensão caraterística da malha p Ordem de convergência

16 Erro de discretização e( φ) = φ φ α p exacto h i - Região assimptótica, i.e. termos de ordem superior são desprezáveis - Dimensão típica da malha, h i, pode ser difícil de definir (malhas multi-bloco, não estruturadas)

17 Erro de discretização e( φ) = φ φ α p exacto h i - Número mínimo de malhas para determinar α e φ exacto : 2. - Não é aconselhável utilizar apenas duas malhas. Não há garantia que os resultados estão na região assimptótica, pelo que p não é conhecido

18 Erro de discretização e( φ) = φ φ α p exacto h i - Número mínimo de malhas para determinar α, p e φ exacto : 3 - Em aplicações práticas pode existir ruído nos resultados (definição de h i, interpolações, integrações,...), pelo que 3 malhas não garantem fiabilidade dos resultados

19 Erro de discretização - Cálculo da área de uma superfície cilíndrica com uma regra de Gauss com 1 ponto por direcção - Dois tipos de malha: A. Distâncias equidistantes em x B. Distâncias equidistantes em s

20 Erro de discretização X Y Z X Y Z Malha A Malha B

21 Erro de discretização Log 10-4 Erro(S) 10-5 Malha A Malha B h i /h 1

22 Verificação : Resolver as equações correctamente Validação : Resolver as equações correctas Roache, 1998

23 Verificação inclui duas fases: - Verificação de códigos Garantir que o programa não tem erros. Avaliação de erros, pelo que requer o conhecimento da solução exacta - Verificação de soluções/cálculos Estimar a incerteza numérica de uma solução da qual se desconhece a solução exacta (Estimativa de erros)

24 Verificação de códigos - O Method of Manufactured Solutions é uma alternativa para a Verificação de códigos quando não há soluções analíticas disponíveis - Em algumas aplicações práticas não existem soluções exactas disponíveis. Por exemplo, as equações de Reynolds em média temporal não têm soluções exactas

25 Method of Manufactured Solutions 1. Escolher o domínio computacional 2. Escolher a solução para as variáveis dependentes do problema 3. Determinar termos de fonte para as equações diferenciais a resolver de tal forma que solução escolhida satisfaz o novo sistema de equações diferenciais

26 Method of Manufactured Solutions - As equações de Reynolds não formam um sistema fechado - As equações adicionais também devem fazer parte da solução fabricada - Convergência numérica pode depender das equações de fecho, i.e. do modelo de turbulência

27 Method of Manufactured Solutions - Exemplo para o modelo de uma equação de Spalart & Allmaras - Solução fabricada inclui a variável dependente do modelo de turbulência ou alternativamente a especificação da viscosidade turbulenta - Campo de velocidade semelhante a uma camada limite em gradiente de pressão nulo

28 Method of Manufactured Solutions 5 0 MS Lisbon Workshop 2006 RMS[e(u x )] M S 2 p= 1.3 M S 2, N o da m ping function (f v1 = 1 ) p= 2.1 M S 2, M a nufa cture d ν t p= 2.0 RMS error of u x h i /h 1 Spalart & Allmaras one-equation model

29 Verificação de soluções/cálculos - A solução exacta não é conhecida - Estimativa do erro numérico admite habitualmente que o erro de discretização é dominante - Métodos baseados em estudos de refinamento de malha são uma das alternativas

30 Verificação de soluções/cálculos - Estimar a incerteza, U, de um cálculo numérico para o qual a solução exacta é desconhecida Objectivo: φ U ( φ) φexact φ + U ( φ) com um grau de confiança de 95% U ( φ) = F e φ F S S ( ) e( φ ) Factor de segurança Estimativa do erro

31 Verificação de soluções/cálculos e( φ ) = φ φ = δ = αh i i o RE φ i Solução numérica de uma variável local ou integral p i φ o Estimativa da solução exacta δ RE Estimativa do erro α j h i p j Constante relacionada com o nível de erro Dimensão característica da malha Ordem de convergência observada

32 Verificação de soluções/cálculos X X X h i φ φ o ( ) ( ) ( ) = = = p p p p RE o h h h h h h h h φ φ φ φ φ φ δ φ φ - 3 Malhas necessárias para calcular φ o, α, p

33 Verificação de soluções/cálculos - Convergência ou divergência aparente para três malhas com h 2 /h 1 =h 3 /h 2! Razão de Convergência : φ2 φ1 R = φ φ < R <1 Convergência Monotónica -1 < R <0 Convergência Oscilante R > 1 Divergência Monotónica R <-1 Divergência Oscilante

34 Verificação de soluções/cálculos - Escoamento turbulento sobre uma placa plana - Equações de Reynolds em média temporal com modelos de turbulência de viscosidade turbulenta - Exemplos de convergência do coeficiente de resistência (de atrito) com o refinamento da malha

35 Verificação de soluções/cálculos 3.02 Re L = C F k-ω BSL 1,2 2,3 k-ω Wilcox 2,3 p= h i /h 1

36 Verificação de soluções/cálculos 2.18 Re L = C F k-ω BSL 2,3 2,3 k-ω Wilcox 2,3 p= h i /h 1

37 Verificação de soluções/cálculos 1.64 Re L = C F k-ω BSL 2,3 2,3 k-ω Wilcox p= 2.0 p= h i /h 1

38 Validação - Comparação com resultados experimentais - Diferença entre a solução numérica e a medição experimental, E - Incertezas numérica e experimental, U val

39 Validação E > U val - Erro de modelação maior do que os erros numérico e experimental. Modelo precisa de ser melhorado E < U val - Erro de modelação inferior ao ruído originado pelos erros experimental e numérico

40 Validação - Escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo - Comparação da velocidade axial - Equações de Reynolds com um modelo de viscosidade turbulenta

41 Validação Experimental Numérico z/l PP U x y/l PP

42 Validação U x Experimental SST ϕ Comparação habitual

43 Validação U x Experimental SST ϕ Introdução da incerteza experimental

44 Validação U x Experimental SST ϕ Introdução da incerteza numérica

45 Validação U x E= S-D U val =(U 2 num +U2 D )1/2 Comparação do erro de validação com a incerteza de validação ϕ