L I S TA 2 - T E O R E M A S F U N D A M E N TA I S D O C Á L C U L O I N T E G R A L. Prof. Benito Frazão Pires. sen (t 2 ) dt.

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "L I S TA 2 - T E O R E M A S F U N D A M E N TA I S D O C Á L C U L O I N T E G R A L. Prof. Benito Frazão Pires. sen (t 2 ) dt."

Edite Aires Borges
5 Há anos
Visualizações:

1 2 L I S TA 2 - T E O R E M A S F U N D A M E N TA I S D O C Á L C U L O I N T E G R A L Prof. Benito Frazão Pires questões. Encontre a função contínua f(x) e a constante c que satisfazem a equação 2. Calcule d dx sen (t 2 ) dt. 5x = c f(t) dt para todo x R. 3. Seja f : [, 2] R a função contínua definida por se x f(x) = x se < x 2. (a) Mostre que f não é derivável em x = ; (b) Encontre a função F : [, 2] R definida por F(x) = (c) Mostre que F é derivável em todos os pontos de (, 2). 2 f(t)dt; 4. Sejam a, a 2 números reais e f : R R uma função contínua. (a) Mostre que as funções F, F 2 : R R definidas por F (t) = diferem por um constante. t t f(u) du, F 2 (t) = f(u) du a a 2 (b) Expresse a constante F F 2 como uma integral. f(t) dt, onde f é a função cujo gráfico é esboçado na Figura. Pergunta- 5. Seja g(x) = se: (a) Quais são os pontos críticos de g? (b) Em quais pontos g atinge os valores máximos e mínimos locais? (c) Onde g atinge o seu máximo absoluto?

2 f(t) v(t) (Km) t t (h) Figura Figura 2 6. Calcule as integrais abaixo: (a) (d) 3 4 t(t 3) dt 4 r dr (b) (e) (x + x) dx (c) ln (2) e x dx (f) π/3 2 t= sec 2 (θ) dθ t + t 7. Um avião decola do aeroporto de Guarulhos às 7 horas, com destino a Manaus, situado a cerca de 2.7 Km. O avião levou 4 horas para chegar a seu destino. Explique porque em algum momento do voo, a velocidade do avião era de 6 Km/h. dt 8. A densidade linear de uma barra de comprimento l = 5m foi medida em vários pontos, sendo dada na tabela abaixo, onde ρ(x) é a densidade em Kg/m e x é a distância à extremidade esquerda da barra em medida em metros m. x ρ(x) Qual é aproximadamente a densidade média da barra? Qual é aproximadamente a massa total da barra? 9. A velocidade instantânea de um objeto conectado a uma mola no instante t é v(t) = sen (t) (m/s). Pergunta-se: (a) Qual foi a velocidade média do objeto no período de tempo transcorrido entre t = e t = s? (b) Quantas vezes a velocidade instantânea do objeto coincidiu com a velocidade média do mesmo nos 3π primeiros segundos?. O gráfico da velocidade instantânea v(t) de um veículo em cada instante de tempo t é dado na Figura 2. Sabendo que no instante inicial t = o veículo se encontra na posição s = Km, pergunta-se: (a) Qual é a posição do veículo nos intantes t = 3h e t = 5h? 2

3 (b) Em que instante de tempo o veículo inverte o sentido de seu movimento? (c) Qual é a velocidade média do veículo? (d) Qual é a aceleração máxima experimentada pelo veículo no trajeto? (e) Quantos kilômetros o veículo percorreu nas primeiras 5 horas?. A Figura 3 mostra as curvas características de duas bombas hidráulicas nas primeiras 5 horas de operação. Trata-se do gráfico da vazão da bomba ρ i (t) versus o instante de tempo t, onde ρ (t) =.e t, ρ 2 (t) = 5..t. Pergunta-se (a) Qual bomba consegue esvaziar completamente um reservatório com. litros de água no período de 5 horas? (b) Quanto tempo leva cada bomba para esvaziar o reservatório completamente? (c) Quantos litros cada bomba consegue extrair do reservatório em 5 horas?. 5. ρ(t) (litros/h) ρ (t) ρ 2 (t) t (h) Figura 3 2. A densidade linear de uma barra de comprimento 5 m é ρ(x) = 5 + x (Kg/m), onde x é a distância em metros até uma das extremidades da barra. Qual é a massa total da barra? gabarito. f(x) = 5x 2 e c = 2. Derive a equação e aplique o Teorema Fundamental do Cálculo. 2. sen (x 2 ) 3. (a) lim h f( + h) f() h = e lim h + f( + h) f() h =, assim f () não existe. 3

4 (b) x se x F(x) = 2 + x2. se x 2 2 (c) Use Cálculo I. Conforme mostra a figura abaixo, os gráficos de f(x) e F(x) mostram que f(x) não tem reta tangente em x =, enquanto F(x) admite reta tangente em todos os pontos do intervalo (, 2). f(x) F(x) x x 4. (a) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F (t) = f(t) = F 2 (t), portanto (F F 2 ) (t) = para todo t R. Do Cálculo I, F F 2 é constante. (b) F (t) F 2 (t) = a2 a f(u) du. 5. (a) Os pontos críticos de g são, 2, 4, 6 e 8. (b) Pontos de máximos locais:, 4 e 8; Pontos de mínimos locais: 2 e 6. (c) Em x = (a) 3 (b) 7 6 (c) 3 (d) 6 (e) (f) + ln 2 7. A velocidade média do avião no percurso foi de 675 Km/h. Pelo Teorema do Valor Médio, em algum instante de tempo t entre 7h e 2h, a velocidade instantânea do avião era v(t ) = 675 Km/h. No instante inicial t = 7 h, a velocidade instantânea do avião era v(t ) = Km/h. Pelo Teorema do Valor Intermediário do Cálculo I, a velocidade instantânea do avião passou por todos os valores entre e 675 Km/h, portanto em algum momento t, a velocidade instantânea do avião era v(t ) = 6 Km/h. ρ() + + ρ(n) ρ() + + ρ(5) 8. A densidade média é ρ = lim n = = 2, 2 Kg/m. n 5 Por outro lado, ρ = M, assim a massa total M da barra é M = ρl = 2, 2 5 = Kg. l 4

5 9. (a), 8397 m/s (b) 4 vezes. (a) Km e Km, respectivamente. (b) Em t = 3 h (c) Km/h (d) Km/h 2 (2) 2 Km. (a) A segunda bomba. (b) A primeira bomba leva um tempo infinito enquanto a segunda leva 2, horas. (c) Num período de 5 horas, a primeira bomba consegue drenar somente 9.932, 62 litros enquanto a segunda bomba consegue drenar 2.5 litros. 2. A massa total da barra é 32, 4536 Kg. Atualizado em 24 de Março de 26. 5

Documentos relacionados

x 2 + (x 2 5) 2, x 0, (1) 5 + y + y 2, y 5. (2) e é positiva em ( 2 3 , + ), logo x = 3

x 2 + (x 2 5) 2, x 0, (1) 5 + y + y 2, y 5. (2) e é positiva em ( 2 3 , + ), logo x = 3 Página 1 de 4 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC 118 Gabarito segunda prova - Escola Politécnica / Escola de Química - 13/06/2017 Questão 1: (2 pontos) Determinar