Disciplina: Camada Limite Fluidodinâmica

Transcrição

1 Prof. Fernando Porto Disciplina: Camada Limite Fluidodinâmica Camada Limite Incompressível Laminar 2ª Parte

2 Equação Integral da Quantidade de Movimento A solução exata de Blasius forneceu uma expressão para a espessura de camada limite, (x), e para a tensão de cisalhamento na parede, w (x). Além disso, os trabalhos de Blasius também indicaram que os perfis de velocidade eram similares quando plotados na forma adimensional de u/u versus y/. As técnicas matemáticas utilizadas no estudo rigoroso das camadas limite mostraram-se de elevada complexidade, mas o engenheiro Theodore von Kármán ( ) obteve resultados muito úteis, por métodos aproximados, utilizando a equação da quantidade de movimento.

3 Theodore von Kármán foi aluno de Prandtl. Finalizou o doutorado aos 27 anos. Von Kármán abriu novas perspectivas para a pesquisa de foguetes. Foi um dos primeiros a construir helicópteros operáveis e formulou teorias e desenhos que tornaram possível o desenvolvimento do aviãofoguete Bell X-1. Foi muitas vezes chamado de "pai da era supersônica". O cientista descobre o que existe, enquanto que o engenheiro cria o que nunca existiu.

4 A figura abaixo representa um comprimento AE da placa. Para esta análise, admitiu-se escoamento bidimensional puro. A camada limite tem espessura, a qual varia em função de x, e sua fronteira exterior é representada por BD, que não é linha de corrente. A linha de corrente passa por CD, e o fluido não atravessa esta linha. Então, ACDE é o volume de controle para esta análise de quantidade de movimento. Linha de corrente C D Fronteira da camada limite B Velocidade u paralela a AE A 0 x x E

5 A pressão na face AC tem o valor médio p. Então, sobre a face ED, a pressão média é p + (p/x).x. Considerando uma largura unitária perpendicular à figura, a força resultante das forças de pressão no volume de controle seria pac p + p δx ED + p + 1 p 2 δx ED AC p p + p δx

6 A expressão pode ser simplificada: pac p + p δx ED + p + 1 p 2 δx ED AC pac ped p δxed + ped pac + 1 p 2 δxed 1 p 2 δxac 1 p 2 δxed 1 p 2 δxac 1 p δx ED + AC 2

7 1 p 2 δx ED + AC Lembrando que ED AC quando x 0, o valor da expressão fica p δxed A componente x da força total exercida sobre o fluido, no interior do volume de controle, é então τ δx p δxed (8.4) Massey Onde 0 representa a tensão de corte na fronteira rígida.

8 Uma faixa elementar no plano AB, a distância y da superfície sólida, com altura y e largura unitária perpendicular ao desenho, é atravessada por um fluxo mássico uy. m = ρ. u. δy y Assim, a taxa à qual a quantidade de movimento é transportada através da faixa é então u 2 y.

9 Linha de corrente C D Fronteira da camada limite B y A 0 x x E Deste modo, para a espessura AC da camada limite a taxa é ρu dy e o valor correspondente para a seção ED, A superfície ED está localizada em x+x. Expandindo a expressão acima em uma série de Taylor em torno da localização x (ponto A), tem-se ρu dy + ρu dy δx

10 A taxa global de aumento na quantidade de movimento do fluido, na passagem através do volume de controle ACDE ρu dy + ρu dy δx ρu dy + ρu BC Fronteira ED Fronteira AB Fronteira BC u m

11 Desenvolvendo a fração da expressão relativa à fronteira BC: ρu BC = u ρudy δx Assim, ρu dy + ρu dy δx ρu dy + u ρudy δx ρu dy δx u ρudy δx

12 O que pode ser igualado à componente x da força total exercida sobre o fluido, no interior do volume de controle: τ δx p δxed = ρu dy δx u ρudy δx Simplificando a expressão: τ + p ED = u ρudy ρu dy (8.6) Massey

13 Observa-se que a aceleração do fluido no eixo y é muito menor do que no eixo x, pois a espessura é muito menor que a distância AE. Deste modo, a aceleração no eixo y pode ser sempre desprezada, exceto quando o número for extremamente baixo, uma situação que foge ao foco desta análise. Assim, para uma placa plana, a variação de pressão no eixo y é desprezível, e a pressão pode ser considerada a mesma dentro e fora do volume de controle. Fora da camada limite, a influência da viscosidade pode ser considerada desprezível, e o escoamento aproximado pelo escoamento de um fluido ideal. Neste caso a equação de Bernoulli indica p ρu = cte

14 p ρu = cte Derivando-se em relação à x (derivada parcial): p + ρu u = 0 (8.7) Massey Desta expressão pode-se obter o valor de p/x para a expressão 8.6. Além disso, é constante e Então... ED = dy τ ρu u dy = u ρudy ρu dy

15 τ + p ED = u ρudy ρu dy Levando a: τ ρu u dy = ρu udy ρ u dy Por outro lado, sabe-se que u. u = u u + u u u u = u. u u u

16 τ ρu u dy = ρu udy ρ u dy u u = u. u u u Assim τ ρ = u u dy + u udy u dy τ ρ = u u dy + u udy udy u u dy τ ρ = u udy u udy u dy + u u dy

17 τ ρ = u udy u udy u dy + u u dy Desenvolvendo: τ ρ = u u udy + u u u dy (8.9) Massey Como (u m u) se anula na linha superior CD, o limite superior das integrais pode ser substituído por. Usando as definições de espessura de deslocamento * e de espessura de quantidade de movimento : δ = θ = u u 1 u u 1 u u dy dy τ ρ = d dx u θ + du dx u δ

18 τ = ρ d dx u θ + ρ du dx u δ (8.10) Massey As derivadas parciais foram substituídas por derivadas totais, pois as grandezas em análise variam apenas em x. Esta é a equação integral da quantidade de movimento da camada limite, aplicável a escoamento laminar, turbulento ou de transição, na camada limite. A equação (8.7 Massey) mostra que u m /x = 0 quando p/x = 0, e nesse caso, a equação acima é reduzida para p + ρu u = 0 τ ρu = dθ dx (8.11) Massey (8.7) Massey

19 Bibliografia Robert W. Fox, Alan T. McDonald Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada. ISBN-10: ISBN-13:

20 Bibliografia Massey, B.S. Mecânica dos Fluidos. Lisboa, Portugal, 6ª.Ed.; Editora Fundação Calouste Fulbenkian. ISBN: X