Solução Numérica do Problema de Blasius da Camada Limite Laminar

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1 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Mecânica dos Fluidos II 0) Prof. Francisco Ricardo da Cunha e Prof. Gustavo Coelho Abade Monitor: Nuno Jorge Sousa Dias Solução Numérica do Problema de Blasius da Camada Limite Laminar

2 . Corpo do Relatório Corpo do Relatório O procedimento de escrita de um relatório se torna importante uma vez que o relatório tem como objetivo apresentar o problema através de fundamentos teóricos, de expor o que se fez para resolver o problema e como o problema foi analisado comentando os resultados obtidos. Por esse motivo um relatório deve de ser organizado em diversas partes, nas quais as teorias, a metodologia e os resultados são apresentados. As partes integrantes de um relatório organizado são as seguintes: Introdução: A apresentação do problema e a sua contextualização são apresentados na introdução. Nesta seção é referida a motivação do trabalho, o surgimento do problema bem como o que se pretende fazer para resolver o problema; Metodologia: Nesta seção é apresentada a metodologia que foi implementada para a resolução do problema; Resultados: Os resultados obtidos são apresentados e comentados. Conclusões: Faz-se uma discussão breve do que foi feito no trabalho e apresenta-se as principais conclusões dos resultados obtidos. Dentro do contexto apresentado anteriormente, este relatório deve de conter uma seção de Introdução, Metodologia, Resultados e Conclusões. Na Introdução espera-se que o aluno apresente o problema a ser resolvido e para tal é necessária uma descrição teórica fundamentada. Na Metodologia o aluno deve apresentar a metodologia numérica método numérico) que implementou no seu código para resolver o problema de Blasius da Camada Limite. Ainda nesta seção o aluno deve de apresentar o algoritmo do código numérico implementado. O algoritmo do código expressa resumidamente o fluxo de informação do código input, calculo, output). Na seção de Resultados o aluno deve de apresentar os resultados obtidos e a respetiva discussão dos mesmos. Na seção de Conclusões o aluno deve, de forma resumida, descrever o problema resolvido, a metodologia empregue e as conclusões mais relevantes. Na seção de anexos deve de constar o código numérico e a saída de resultados em forma de tabela. Objetivo Resolver numericamente a equação diferencial ordinária de 3 a ordem obtida por Blasius no seu problema clássico de camada limite laminar ao longo de uma placa plana. Para a integração da equação de Blasius deve-se utilizar os métodos numéricos de Runge-Kutta e Newton-Raphson.. Problema de Blasius O problema de Blasius emprega as equações de Prandtl para avaliar a camada limite laminar ao longo de uma placa delgada, cujo eixo é paralelo a velocidade de fluxo livre. A equação governante do problema de Blasius, já desenvolvida em aula, juntamente com as condições de contorno é dada por: f + ff = 0 )

3 3. Métodos Numéricos 3 com as seguintes condições de contorno 3 Métodos Numéricos η = 0, f = f = 0 ) η, f = Para resolver numericamente equações diferenciais ordinárias EDO) existem diversos métodos numéricos. O problema da Camada Limite Laminar de Blasius será resolvido com o método de Runge-Kutta de 4 a Ordem RK4). Desde já pode-se citar a existência de outros métodos mais evoluídos, tal como, diferenças finitas, elementos finitos e volumes finitos. Cada método apresenta vantagens e desvantagens. Portanto é necessário saber escolher o método mais conveniente para o problema a ser resolvido. No nosso caso o método de RK4 será interligado ao método de Newton-Raphson NR) devido a inexistência da condição inicial para f. É comum os livros mais didáticos apresentarem o método RK4 para EDO de a Ordem. Como tal o aluno deverá consultar qualquer livro de Métodos Numéricos para tomar conhecimento sobre o RK4 para EDO de a Ordem. No entanto este método não se restringe a resolução somente de EDO de ordem. Deste modo apresenta-se o método para elevadas ordens. O procedimento é substituir as equações diferenciais ordinárias de elevadas ordens por equações diferenciais de primeira ordem. Imagine que x é a aceleração, x é a velocidade e x é a posição. Estas três quantidades variam com o tempo: x + ax + bx = ft) 3) sendo a, b constantes. As condições iniciais são: xt 0 ) = x 0 e x t 0 ) = vt 0 ) = v 0. Sabe-se que a velocidade é dada por: x = v = dx 4) dt o que impõem que: dx = vdt 5) A aceleração é a variação da velocidade em um determinado espaço de tempo: o que impõem que: Substitui-se na eq.3) as variáveis v e v : o que impõem que: Desta forma: v = dv dt Agora é possível calcular os parâmetros do método RK4: ) dv = v dt 7) v + av + bx = ft) 8) v = ft) av bx = F t, x, v) 9) dv = F t, x, v)dt 0) dx = hv ) dv = hf t, x, v)

4 3. Métodos Numéricos 4 dx = h v + dv ) dv = hf t + h, x + dx, v + dv ) dx 3 = h v + dv ) dv 3 = hf t + h, x + dx, v + dv ) ) 3) dx 4 = hv + dv 3 ) 4) dv 4 = hf t + h, x + dx 3, v + dv 3 ) Pelo método de RK4: dx = dx + dx + dx 3 + dx 4 dv = dv + dv + dv 3 + dv 4 Logo a posição e a velocidade no tempo seguinte são calculadas da seguinte forma: 5) xt + h) = xt) + dx ) vt + h) = vt) + dv em que h = dt, ou seja, é o passo de tempo time step). De seguida veremos o método de RK4 aplicado a EDO de 3 a ordem, para o problema de Blasius. A equação a ser resolvida é: Define-se as seguintes variáveis: f = y = df f = y = z = dy f + ff = 0 7) => df = y 8) => dy = z f = dz => dz = f lembrando que: f = fz 9) Agora calcula-se os parâmetros do RK4: df = y 0) dy = z dz = ) fz

5 4. Análise e Obtenção dos Resultados 5 df = dy = dz = df 3 = dy 3 = dz 3 = y + df ) ) z + dz ) f + df ) z + dz )) y + df ) ) z + dz ) f + df ) z + dz )) df 4 = y + df 3 ) 3) dy 4 = z + dz 3 ) dz 4 = f + df 3)z + dz 3 ) Desta forma: df = df + df + df 3 + df 4 dy = dy + dy + dy 3 + dy 4 dz = dz + dz + dz 3 + dz 4 As funções para a posição η + ) podem ser calculadas como: 4) fη + ) = xη + ) + df 5) yη + ) = yη + ) + dy zη + ) = zη + ) + dz O valor de f η = 0) é obtido quando f η ) =. Para descobrir o valor apropriado emprega-se o Método de Newton-Raphson. Este método permite que através de um chute inicial para o valor de f η = 0) o valor de f η ) seja calculado. Se f η ), 0 então é necessário atribuir um novo valor a f η = 0). Esse novo valor será f novo = f antigo) + ɛ. O valor de ɛ deverá ser menor que,0. O procedimento termina quando para f novo o valor de f η ) 0. O aluno deverá apresentar o gráfico de f η ) em função dos valores de f. 4 Análise e Obtenção dos Resultados Com o programa numérico desenvolvido calcule os seguintes itens:. A distribuição da velocidade na camada limite u/u e v/ure / x ) como função de η. Considere 0 η 7. Trace o gráfico de seus resultados.

6 4. Análise e Obtenção dos Resultados. A espessura da camada limite: δ = η u/u=0.99 xre / x. Traçar o gráfico δvsre / x. Interprete o resultado em termos dos mecanismos de difusão e de convecção. 3. A tensão de cisalhamento na placa: τ w = ρu Re / x f 0). Traçar o gráfico. 4. A força de arrasto total: D = 4lτ w. Traçar o gráfico. 5. Os coeficientes de arrasto local e gobalmédio): C fx = Re / x f 0), C fl = 4Re / l f 0). Mostre as curvas de C fx vsre x e C fl = 4Re l 0 4 Re 0.. Compare os resultados obtidos numericamente com aqueles obtidos pela solução de Blasius em série de potência. Apresente em um gráfico a solução do seu programa curva) e a solução de Blasius pontos). 7. Conclua o seu trabalho informando onde os resultados do problema analisado poderia ser utilizado como uma primeira aproximação de um problema prático. Resolva a questão: Ar a 0 o C e 0kPa escoa ao longo de uma placa lisa com velocidade de 50 km/h. Qual deve de ser o comprimento da placa para obter uma camada limite de 8mm?

7 4. Análise e Obtenção dos Resultados 7 Tabela : Solução de Blasius pela série de potência: Camada limite ao longo de uma placa plana com incidência zero. η = y U = u νx U f ,330 0,0 0,004 0,04 0,3399 0,40 0,05 0,377 0,3347 0,0 0, ,9894 0, ,80 0,0 0,47 0,3739,00 0,557 0,3979 0,330,0 0, ,359,40 0, ,30787,0 0, ,97,80 0,595 0, ,893,00 0,5003 0,977 0,75,0 0,780 0,83 0,4835,40 0,930 0,7899 0,809,0,075 0,774 0,04,80,3099 0,85 0,840 3,00,398 0,8405 0,3 3,0,59 0,8709 0,393 3,40,749 0,9077 0,788 3,0,9954 0,9333 0, ,80,05 0,94 0,0803 4,00,3057 0,9555 0,044 4,0,4980 0,99 0,0505 4,40,938 0, ,0397 4,0,888 0,989 0,0948 4,80 3, , ,087 5,00 3,839 0,9955 0,059 5,0 3,4889 0,9945 0,034 5,40 3,8094 0,99 0, ,0 3,8803 0, , ,80 4, , ,0035,00 4,794 0, ,0040,0 4, , ,0055,40 4,7938 0,999 0,00098,0 4,8793 0, ,000,80 5,0798 0, , ,00 5,79 0,9999 0,000 7,0 5,4795 0,9999 0,0003 7,40 5,794 0, , ,0 5,8794 0, , ,80,0793, ,0000 8,00,793, ,0000 8,0,4793, ,0000 8,40,793, , ,0,8793, , ,80 7,0793, ,00000