PQI3203 Aula Camada Limite

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1 PQI323 Aula Camada Limite Seção 8.6 do Potter

2 Camada Limite 6 Chapter 8 / External Flows U Laminar flow First burst Small is observed disturbances grow δ (x) Transition region Burst rate becomes constant Burst trajector Time-average boundarlaer thickness Turbulent flow x T Fluctuating viscous wall laer Burst Fig Boundar laer with transition. Definições Renolds local Re x = ρu x/µ Instantaneous edge Time-average thickness Tamanho da camada limite δ é definido quando u,99u Transição de laminar para turbulenta ocorre a Re cr e depende de rugosidade e turbulência ao longe 1.2δ (obs: isso associa Laminaruma posição x cr ) profile δ (x) δ ν (x) u() Prof. Time-average Rafael S. Gioria

3 dissipative effects in this thin laer are large enough to cause sufficientl high Camada temperatures limite that satellites dimensões burn up on reentr. effects in the bo cause satellites Von Kármán Integral Equation From the velocit profile in the boundar laer of Fig. 8.24, it is observed that the velocit goes from u.99u at d to u at over a ver short distance U = 1 m/s Laminar δ (x) Turbulent 1. m/s x x T = 4.8 m Noção das dimensões da C.L. 1 m Fig Boundar laer in air with Re crit grande variação na transversal variação lenta e dependente da geometria na direção do escoamento Copright 21 Cengage Learning. All Rights Reserved. Ma not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third part content ma be suppressed from the ebook and Editorial review has deemed that an suppressed content does not materiall affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at an time if subsequent righ

4 Camada limite dimensões Instantaneous edge Time-average thickness.4 δ δ RxE 1.2δ δν RxE Laminar profile ure Time-average velocitdprofile Viscousdwall laerdthickness RaE RbE Fig Turbulentdboundardlaer: RaEdnomenclaturedsketch; RbEdstreamwisedslicedofdthedboundardlaer. RPhotographdbdR. E. FalcoE C.L. turbulenta (avaliação de grandezas médias temporais)

5 Camada limite von Kármán d Eq. Integral de von Kármán d dp t dx where mȯm represents the momentum flux in the x-direction. Referring to Figs. 8.25c and 8.25d this becomes, neglecting high-order terms, x ru 2 d dx x d ru ddx U(x) (8.6.3) U(x). m top δ δ + dδ. δ m in = ρu d... m m out = m in + in dx x = δ ρu d + δ ρu d dx x dx (a) Control volume (b) Mass flux dp ( p + dδ 2 pδ ( (p + dp) ( δ + d δ). mom in =.. mom top = m top U(x) δ ρu 2 d... mom mom out = mom in + in dx x = δ u 2 ρ d + δ ρu 2 d dx x τ dx (c) Forces (d) Momentum flux Fig Control volume for a boundar laer with variable U(x). Balanço de Conservação de Massa e Q. Movimento na C.L. resulta em Copright 21 Cengage Learning. All Rights Reserved. Ma not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third part content ma be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that an suppressed content does not materiall affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at an time if subsequent rights restrictions require it. τ + δ dp dx = U (x) d dx δ ρu d d dx δ ρu 2 d

6 Camada limite condições Algumas condições que todas camadas limites devem obedecer u = na parede = u = U u = no fim da camada = δ no fim da camada = δ 2 u = na parede = 2 esta última se dp/dx = (ou seja, placa plana) Se atribuirmos uma forma u() conseguimos avaliar cisalhamento e δ

7 Camada limite coeficientes Algumas definições adicionais Tamanho da camada limite δ Coeficiente de cisalhamento local (fricção local) num ponto c f = τ,5ρu 2 Coeficiente de força de fricção (total da região avaliada) numa área C F = F fricção,5ρu 2 A sendo U velocidade longe da camada limite, A = L W área da placa (comprimento x largura) O segundo é o cisalhamento num ponto da placa. O terceiro é a integral do cisalhamento (variável em x) na área da placa, resultando na força do escoamento na placa

8 Camada limite laminar Blasius Eq. Quantidade Movimento diferencial (incompr., permanente) para C.L. u u x + v u = 1 ρ p x + ν 2 u x u 2 simplificada por Prandtl (196) E resolvida para placa plana (dp/dx = ) pelo seu aluno Blasius em 198, adotando mudança de variável dada por U ξ = x η = νx u = U F (η) v = 1 νu (ηf F ) 2 x

9 Camada limite laminar Blasius Sec. 8.6 / Boundar-Laer T TABLE 8.5 Solution for the Laminar Boundar Laer with dp dx h U F F u U 1 (hf F) F nx The local skin friction coefficient is Resultando nas relações.664 νx c f (8.6.57) δ = 5 = 5x c R f = ex,664 C F = 1,33 U Rex Rex ReL and the skin friction coefficient is C.L. Cisalhamento Local Força total na placa 1.33 C f R el (8.6.58)

10 Camada limite turbulenta lei de potência Camada limite turbulenta potência Assume-se que a camada limite tem a forma u ( ) 1/n 7 Re x < 1 7 = n = 8 1 U δ 7 < Re x < < Re x < 1 9 note que esta não atende a condição de cisalhamento da C.L. em = Usando eq. integral de von Kármán (assumindo inteira turbulenta e n = 7), obtêm-se δ =,38xRe 1/5 x Cisalhamento no ponto x c f =,59Re 1/5 x C F =,73Re 1/5 L Força na placa comprimento L

11 Camada limite MISTA lei de potência Fig. E8.14 Laminar boundar laer Turbulent boundar laer x T x' x turb Se houver transição Continuidade da C.L. exige δ laminar (x cr ) = δ potência (x ) usa-se x turb nas equações de Grandezas LOCAIS! corrige-se o coeficiente de força (que é a integral na placa) e para este usa-se o comprimento L como referência CAMADA LIMITE MISTA δ =,38x turb Re 1/5 x turb c f =,59Re 1/5 x turb C F =,73Re 1/5 L 17Re 1 L

12 Camada limite logarítmica (empírica) u u Obtida de medições experimentais, divide-se o perfil em 3 camadas = /ν = uτ ν = 2,44 ln ( ) uτ δ ν U u = 2,44 ln ( δ subcamada viscosa < 5 + 4,9 turb. interna > 5 ) + 2,5 turb. externa 1 u U ϱ u ( ) / U ϱ 1 Innerzregion Outerzregion / δ 1 u 2 1 Viscous wall laer Buffer zone u uτ z =z uτ v Turbulent zone IncreasingzRe u uτ z =z2.44zinz z+z4.9 uτ v 1 U ϱ u U z ϱ u = 2.44zInz z+z2.5 δ U z ϱ u = 3.74zInz δ / v / δ.15 1.

13 Camada limite logarítmica (empírica) Definimos tudo em função da Velocidade de Atrito (ou de cisalhamento) τ = ρ que calculada usando τ da relação empírica c f =,455 [ln(,6re x )] 2 = τ,5ρu 2 As demais relações são para força (empírica também) C F =,523 [ln(,6re L )] 2 e tamanho da camada limite (ν é a viscosidade cinemática [m 2 /s]) ( ) U uτ δ = 2,44 ln + 7,4 ν