Camada Limite Laminar Solução exata

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1 Camada imite aminar Solução exata Profa. Mônica F. Naccache PUC- Rio Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 1

2 Escoamento na C Equações completas (fluido Newtoniano incompressível, reg. permanente): u x + v y = 0 ρ u u x + v u = p y x + µ u x + u y + ρg x ρ u v x + v v = p y y + µ v x + v y + ρg y u T x + v T y = k T ρc x + T y + µ ρc φ + q α CC: y=0 u=v=0, T=T 0 y u=u, v=0, T=T Profa. Mônica Naccache PUC- Rio

3 Análise da ordem de grandeza dos termos Dentro da C: u U x y δ Pressão modificada: P=p- ρgy Equações resultantes: ρ u u x + v u = P y x + µ u x P y = 0 P = P P y =0 y =δ x = P x ρc u T x + v T = k T + µ u y y y ρ u u x + v u = P y x + µ u x + q Fora da C, μ=0, v=0: ρu du dx = dp dx Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 3

4 Soluções exatas: similaridade Mudança de coordenadas para transformar as eqs. diferenciais parciais em eqs. diferenciais ordinárias hip.: u/u é fç só de η y/δ = y/x Re x Eqs. conservação: u x + v y = 0 u u x + v u y = U du dx +ν u y u T x + v T y = α T y + µ ρc u y Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 4

5 Hip.: Placa plana, du/dx=0, sem dissipação Mudança de variáveis: (x, y) ( x,η) u = ϕ / y v = ϕ / x eq. massa satisfeita Eq. momentum : ϕ ϕ y x y ϕ ϕ x y = ν 3 ϕ y 3 CC : y = 0 u = ϕ / y = 0 y (x, y) x,η ϕ / y = U ( ) : x y = x η x = x y y x η y y =0 x y =1 + η = η η x x y x η x η x + η = η η x y x y η x Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 5

6 Equação de momentum escrita nas novas variáveis: η ϕ η ϕ y η y x η η xy Método Separação variáveis : ϕ x,η ϕ η η ϕ xy η ϕ η ϕ x y η + η ϕ η ϕ x η y η = ν η3 3 ϕ y 3 η 3 ( ) = g(x) f (η) ηgf ' g'ηf ' g x ηf ' gg'η ff ''= ν η3 gf ''' y f ' g' y νη gy g'y ff ''= f ''' xνη νη mas νη y = νu x x f ' g' νu g Uνx ( ) g' x νu Para que esta eq. independa de x (da hip. inicial, u/u = h(η)) : x g' νu e x g' νu = C 1 g Uνx ( ) = C Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 6 ff ''= f '''

7 Fazendo C 1 =1/ e C =0, g'x = mas g x x g' νu g = xνu ou dg g = 1 = C 1 C = ( νu) ( ) e g'= 1 A eq. de momentum fica : dx x g = Cx νu x g'=cx f '''+ 1 ff ''= 0 equação de Blasius (1908) CC : y = 0 u = v = 0 η = 0 f = 0 f '= 0 y u U η f ' 1 u = ϕ y = η ϕ y η = U νx gf '= Uf ' u U = f '(η) v = ϕ x = ϕ x + η ϕ x η = g' f + η gf '= g' f ηf ' x =g / x ( ) = 1 νu x ( f ηf ') Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 7

8 Eq. Blasius: eq. diferencial de 3a ordem, coeficientes ctes, não linear. Solução numérica (1938, Howarth) Tabela: η/f/f /f Tensão cisalhante na parede: τ w = µ u y ( x,0) = µ η y Cf = ( ) η Uf '(η) τ w ρu = ρu µu (η =0) U νx f ''(0) Cf = f ''(0) Re x Cf x = 0,6641 Re x = U µuf ''(0) νx f '= u U = 0,99 em η = 5 = δ x Re x δ x = 5 Re x Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 8

9 Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 9

10 Força total de arraste devida à viscosidade F µ = τ w da = τ A w Wdx = µ u Wdx 0 0 y y =0 = µw 0 U νx = µuf ''(0)W U ν Def. : Cf =Re F µ ρu A Uf ''(0)dx Cf = µuf ''(0)W Re WρU Cf = 4 f ''(0) Re Obs.: Neste caso, Cf = Cf Em geral Cf 1 A Cf da A Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 10

11 Solução da equação da energia (sem dissipação): u T x + v T y = α T y CC : y = 0 y T = T w T T θ * = T T w T T w T = T w + (T T w )θ * ogo, u θ * x + v θ * y = α θ * y ( x, y) ( x,η) u θ * x η x θ * + v η U νx θ * η = α U νx θ * η Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 11

12 Mas, u = f 'U v = 1 ogo, νu x Uf ' θ * x η θ * 1 x η ( f ηf ') νu x f ' θ * x 1 x f θ * η = α θ * νx η Hip :θ * (x,η) = H(x)θ(η) Então : f 'H'θ 1 H x fθ'= 1 Pr ( f ηf ') H x θ'' U νx θ * η = α U νx θ * η Para que a dependência em x se anule: 1. H =cte, levando a H=cte.x, ou. H =0, levando a H=cte Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 1

13 Considerando a hip., e fazendo H=1: θ * ( x,η) = θ η ( ) = T T w θ''+ Pr fθ'= 0 CC :η = 0 θ = 0 η θ 1 T T w e obs: 1. se Pr=1 (α=ν), f =θ, e os perfis adimensionais de velocidade e temperatura são coincidentes. A solução pode ser obpda analipcamente Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 13

14 θ'' θ' = Pr f dθ' θ' = Pr f θ' ( η) = θ' ( 0)exp Pr η f ( β)dβ 0 η θ( η) = θ' ( 0) exp Pr γ f ( β)dβ 0 dγ 0 Usando a CC para η : θ =1 = θ' 0 γ f ( β)dβ 0 dγ θ' 0 0 ( ) exp Pr ( ) = 0 exp Pr 1 γ 0 f ( β)dβ dγ A solução analípca depende da solução numérica das integrais, e do número de Pr Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 14

15 Número de Nusselt: Nu x = hx k = Nu x = Ux ν ou ( )θ '( 0) =(U /νx ) T w T q w x ( T w T ) k = k T / y y =0 ( T w T ) θ'(0) Nu x = ( Re x ) θ'(0) θ'(0) deve ser obtido numericamente, para cada Pr As seguintes expressões fornecem boas aproximações: 0.564Pr Pr < 0.05 θ'(0) = 0.33Pr 1/ Pr Pr 1/ 3 Pr >10 x k obs: Pr=1, θ (0)=f (0)=0.33 Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 15

16 Calor total transferido por unidade de tempo numa placa de largura W e comprimento : Q w = q w da = q A w Wdx = k T Wdx 0 0 y y =0 = kw 0 U νx ( T T w )θ'(0)dx = k( T T w )θ'(0)w U ν Def. : h Q w AΔT Nu h k Q w Nu = W T T w ( ) Nu = θ'(0) Re =Re k = k ( T T w)θ'(0)w Re W( T T w )k Obs.: Neste caso, Nu = Nu Nem sempre h = 1 A hda A Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 16

17 Outro exemplo de soluções similares: Escoamento ao longo de cunhas Da teoria de escoamento potencial, U=Cx m m = β β ou β = m 1+ m Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 17

18 Na equação de momentum, u u x + v u y = U du dx +ν u y U du dx = m x U Utilizando como variável de similaridade : η = y x Re x = y U νx chega - se a : f '''+ m +1 ff ''+m(1 f ' ) = 0 eq. Falkner - Skan CC : f (0) = f '(0) = 0 f '( ) =1 Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 18

19 Força total em um dos lados de uma cunha de comprimento : F µ = τ w da = W µ u A y dx = CµW C 0 ν = µwu Re f ''(0) onde Re x = ρ(cx m )x µ 3m +1 O coeficiente de atrito médio fica : Cf = 4 3m +1 f ''(0) Re f ''(0) 0 x ( 3m 1) / dx Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 19

20 A solução da eq. de Falkner- Skan fornece os valores de f (0) para vários valores de m (ou β): β m f (0) 9po escoamento normal a sup. plana 0.5 1/ / placa plana separação de cam. limite Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 0

21 Equação de energia (usando o mesmo procedimento da placa plana): θ''+ m +1 Pr fθ'= x d(t w T ) T w T dx U ( θ 1)Pr f '+Pr f '' c p T w T Para que a dependência em x seja eliminada, é necessário que : 1.. x d(t w T ) T w T dx d(t w T ) T w T c p U = cte = n = n dx x T w T = C 1 x n = cte = E (número de Eckert) ( T w T ) C x m c p C 1 x n = E m n = 0 Então a eq. fica : θ''+ m +1 Pr fθ'+m( 1 θ)pr f '= E Pr f '' CC :θ(0) = 0 θ( ) 1 u T x + v T y = α T y + µ ρc ( ) u y Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 1

22 Desprezando a dissipação viscosa (E 0), a eq. fica: θ''+ m +1 CC :θ(0) = 0 Pr fθ'+n( 1 θ)pr f '= 0 θ( ) 1 Fluxo de calor na parede : ( ) U νx q w = k T y y =0 = k T T w n +m 1 C q w = kc 1 x θ'(0) ν Para que o fluxo de calor seja cte : n + m 1 = 0 ou n = (1 m) / θ'(0) Assim, para q w cte para placa plana (m = 0), a distribuição de temperatura na parede deve ser tal que : ( T T w ) = C 1 x Para o caso de escoamento normal a uma superfície plana, m =1. Assim, a condição q w cte implica n = 0, i.e., T w = cte! Profa. Mônica Naccache PUC- Rio

23 Número de Nusselt local e médio: Nu x = hx k = q w ( T w T ) ( ) x k = xk T T w ( T w T )k U νx Re x θ'(0) Nu x = θ'(0) Re x U Q w = A q w da = kw ( T w T ) 0 νx +1 Cm = kw ν =C 1 x m C 1 n θ'(0) Q w = kw ( T w T ) Re θ'(0) e Nu = h k = Q w ( ) W T w T k = n + m +1 θ'(0)dx n + m +1 Re θ'(0) n + m +1 Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 3

24 Desprezando a dissipação, a solução da eq. energia para cunhas isotérmicas (n=0) fornece os seguintes valores para θ (0): m Pr=0.7 Pr=1.0 Pr= Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 4

25 Distribuição de temperatura na C para placa plana isotérmica (m=n=0): E = c p U ( T w T ) a) E<0 (T w <T ): dissipação viscosa aumenta a transferência de calor (θ (0) aumenta) b) E>0 (T w >T ): dissipação viscosa diminui a transferência de calor (θ (0) diminui), pois seu efeito é aquecer o fluido dentro da C c) Quando E=.39, θ (0)=0 e qw=0 d) Quando E>.39, θ (0)<0 e Nu<0. Isto significa que, apesar de T w >T, o fluxo de calor é para dentro da parede Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 5