ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES Créditos: PORTO, R.M. - EESC; LAUTENSCHLAGER, S. R. - UEM

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1 ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES Créditos: PORTO, R.M. - EESC; LAUTENSCHLAGER, S. R. - UEM 1 Distribuição de Tensões na Seção Circular: O processo irreversível de transformação de parte da energia em calor pode ocorrer de três formas: tensões cisalhantes entre camadas adjacentes de líquido, com baixos valores do N o de Reynolds => Escoamento Laminar; criação, desenvolvimento e colapso de vórtices, com consequente dissipação de energia por atrito viscoso entre partículas adjacentes; vorticidade gerada no contato entre regiões com movimento de líquido rápido e lento ou estagnado na camada limite laminar ou em zonas de separação do escoamento => Escoamento Turbulento; combinação entre os processos laminar e turbulento de dissipação de energia => Escoamento Transicional; tipo de escoamento instável, em estreita faixa de N os de Reynolds, sem interesse prático, principalmente pelo fato de a água ter viscosidade baixa e os escoamentos comuns em tubulações serem turbulentos. O diferencial de velocidade (gradiente de velocidade) entre camadas líquidas dá origem a tensões de cisalhamento com a correspondente dissipação de energia por atrito de escorregamento ou geração de turbulência.

2 Distribuição de Tensões em um Tubo de Seção Circular Conduto retilíneo; Seção afastada de uma singularidade; Escoamento desenvolvido. H Q R D τ 0 τ r y d Também para o tubo de corrente: τ γ Hd = 4L τ = τ0 r R = γ H r L.1 válida para escoamento laminar ou turbulento. Em função da linearidade, escreve-se: y = 1 R τ 0. L

3 Escoamento Laminar Para fluido newtoniano e escoamento laminar, em que predominam esforços viscosos, aplica-se a lei de Newton da viscosidade : τ = µ γ H L dv dy r = µ Igualando à Eq..1, tem-se: = µ dv dr dv dr Após integração, obtém-se a distribuição de velocidade do escoamento laminar: Sendo, para r = 0, V = V máx, vem: v máx = γ H 4Lµ R τ = γ Hd 4L γ H = L r V dv = v Também: R r γ H rdr Lµ γ H 4Lµ ( R r ) =.4 r v = Vmáx 1.5 R

4 Escoamento Laminar Para obter-se a velocidade média do escoamento, integra-se o perfil de velocidade, sendo: R Q = A vda = vπrdr = Vπ R.6 0 Substituindo-se a equação do perfil de velocidade, tem-se a equação da vazão, que, após integração, fornece as relações entre V máx e V (Eq..7): R = r v máx 1 πr dr = Vπ R R 0 Q V máx = V.7 E entre H e V (Eq..8): γ H vmáx = R = 4µ L V 8µ LV = R γ H.8

5 Escoamento Laminar Como R = D/, a Eq..8 pode escrever-se: 8µ LV 3µ LV H = =.9 γr γd Fórmula de Hagen-Poiseuille Igualando à fórmula universal da perda de carga, obtém-se para o fator de atrito no escoamento laminar: L V 3µ L V 64µ 64 H = f = f = =.10 D g γd ρvd Re

6 Escoamento Turbulento No escoamento turbulento, grupos de moléculas com velocidade de perturbação são transportadas, de forma caótica (vórtices), para camadas adjacentes do fluido, produzindo tensões de cisalhamento τ maiores que no escoamento laminar. Devido à adesão, partículas em contato com a parede do tubo têm v = 0 e passa a existir uma camada delgada de líquido, adjacente à parede, que caracteriza-se por uma variação praticamente linear da velocidade na direção principal do escoamento, chamada de subcamada limite laminar. A teoria da camada limite mostra que a espessura δ da subcamada limite laminar vale: 11,6ν δ = u * em que: u - velocidade de atrito; ν - viscosidade cinemática do fluido.

7 Escoamento Turbulento Quando as rugosidades da parede ε estão totalmente cobertas pela subcamada: u * ε < 5 ν u* ε 5 ν 70 u * ε > 70 ν u* ε = Re ν * Escoamento turbulento hidraulicamente liso Na condição intermediária, apenas as asperezas maiores transpassam a subcamada limite laminar: Escoamento turbulento hidraulicamente misto ou de transição Quando as rugosidades da parede ε afloram a subcamada limite, alcançando o núcleo turbulento e gerando fontes de turbulência: sendo o parâmetro: Escoamento turbulento hidraulicamente rugoso Número de Reynolds de atrito ou de rugosidade

8 Escoamento Turbulento Tubos Lisos Tubos Rugosos

9 Velocidade de Perturbação No escoamento turbulento, a velocidade instantânea corresponde à soma de duas parcelas, a velocidade média temporal e a velocidade de perturbação: r r r V = V + v r V T = cte e v dt = 0 r 0 Em um ponto, na direção x, a velocidade apresenta o registro ao longo do tempo, como indicado na figura abaixo: No escoamento laminar: Logo vem: τ = r V = 1 T T 0 r Vdt Em coordenadas cartesianas: µ dv dy τ V = V + v x x x V y = Vy + v V = V + v, sendo µ uma propriedade do fluido; z dv = η dy No escoamento turbulento, segundo o modelo de Boussinesq: t em que η - viscosidade turbulenta, propriedade do escoamento e do fluido. Devido à natureza do escoamento turbulento, η >> µ. Este modelo não descreve bem o fenômeno, porém, é usado no estudo da turbulência devido à sua simplicidade e analogia com o caso laminar. z z y

10 Comprimento de Mistura de Prandtl A tensão instantânea tangencial turbulenta pode ser escrita como: τ t = dft da = ρv x v y Os termos da forma ρv x v y são chamados tensões de Reynolds Prandtl propôs que pequenos grupos de partículas são transportados pelo movimento turbulento até à distância média l entre regiões com velocidades diferentes. Chamou l de comprimento de mistura. Sugeriu que: v x v y l dv dy cuja consideração na equação anterior, leva a: τ dv dy t = ρl ( )

11 Lei Universal de Distribuição de Velocidade: Para determinar matematicamente os perfis de velocidade, Prandtl assumiu as seguintes hipóteses (não totalmente convincentes, mas válidas): esforço cortante no núcleo turbulento igual ao desenvolvido na parede tubo; esforço cortante que predomina é o turbulento, dado pela eq. anterior; variação linear de l com y nas proximidades da parede (v 0) dada por: l = κ y, κ é c te universal (c te de von Kármán) igual a 0,4 (água limpa). dv τt = τ0 = ρκ y ( ) dy Após integração temos: v u* τ 0 ρ = dv = κy dy 1 ln y + C κ dv = κy dy Para escoamento em tubos circulares, temos as condições de contorno: se y = R v = V max se y = 0 v = 0, que resulta em: u κ dy y * u * = dv V u * v max =,5ln R y lei universal de distribuição de velocidade (válida p/ tubos lisos e rugosos)

12 Derivando a equação, temos: dv/dy =,5 u * /y, que leva aos seguintes resultados: no centro do tubo, y = R, o valor de dv/dy deveria ser nulo (V max ), mas pela equação é finito; na parede, y = 0, o valor de dv/dy torna-se infinito, o que não é possível. Apesar dessas impropriedades matemáticas, a teoria proposta por Prandtl é válida para aplicações práticas. Usando o conceito de velocidade média numa seção e integrando a equação do perfil, vem: portanto: R Q = VπR = vda = vπrdr VπR = 0 R 0 u * R 0 em que [,5ln(R r) + C]πrdr V que resulta em: =,5ln R + (C 3,75) u * r = R y

13 Experiência de Nikuradse 5 regiões distintas: I ) Re < 300, esc to laminar, f (Re); II ) 300 < Re < 4000, região crítica, onde f não é determinado; III) tubos hidraul te. lisos, δ >> ε, f (Re), esc to turbulento hidraul te. liso; IV) transição entre o esc to turbulento hidraul te. liso e rugoso, f (Re, ε/d); V) turbulência completa, esc to turbulento hidraul te. rugoso, f(ε/d). Observa-se que um tubo pode ser hidraul te. liso p/ esc tos. com Re baixos e hidraul te. rugoso p/ Re altos. Isto porque Re, turbul, transp q mov, δ. A curva limite de tubos hidraulicamente lisos pode ser representada, na faixa 3000 < Re < 10 5, pela expressão: 0,316 f = 0,5 fórmula de Blasius Re

14 Leis de Resistência no Escoamento Turbulento (f) Tubos Lisos: v yu 5,5 +,5ln u ν * 1 f = * = log Tubos Rugosos: v u * ( Re f ) 0, 8 = 8,48 +,5ln y ε V u R =,5ln * u ν * + 1,75 1 Re f Re f ou = log para < 14, 14 f,51 D / ε V u R =,5ln + 4,73 ε 1 D ) 1,74 ou 1 3,71D Re f = log( + = log para > 198 f ε f ε D / ε Outros resultados obtidos que têm importância prática são: para y/r = 0,3 v = V (tubo liso ou rugoso) para tubo circular (liso ou rugoso) vale a relação: V 1 = Vmax = V + 4,07u* V 1+ 4,07 f/8 max *

15 Escoamento Turbulento Uniforme em Tubos Comerciais Para o Esc to Turbulento Hidraul te. Misto ou de Transição foi proposta a relação: 1 f ε,51 = log + 3,71D Re f fórmula de Colebrook-White Re f válida para 14,14 < < 198 D / ε Esta fórmula pode ser reescrita explicitando-se a velocidade média, na forma: V = ε gdj log 3,71D +,51ν D gdj Fórmulas explícitas e aproximadas têm sido apresentadas: f 0,5 = fórmula de Swamee-Jain ε 5,74 log + 0,9 10 3,7D Re válida para -6 ε/d Re 10 8

16 Moody

17 Valores da rugosidade absoluta equivalente Material Aço comercial novo Aço laminado novo Aço soldado novo Aço soldado limpo, usado Aço soldado moderadamente oxidado Aço soldado revestido de cimento centrifugado ε(mm) Rugosidade absoluta equivalente 0,045 0,04 a 0,10 0,05 a 0,10 0,15 a 0,0 0,4 0,10

18 Valores da rugosidade absoluta equivalente Material Aço laminado revestido de asfalto Aço rebitado novo Aço rebitado em uso Aço galvanizado, com costura Aço galvanizado, sem costura Ferro forjado ε(mm) Rugosidade absoluta equivalente 0,05 1 a 3 6 0,15 a 0,0 0,06 a 0,15 0,05

19 Valores da rugosidade absoluta equivalente Material Ferro fundido novo Ferro fundido com leve oxidação Ferro fundido velho Ferro fundido centrifugado Ferro fundido em uso com cimento centrifugado Ferro fundido com revestimento asfáltico ε(mm) Rugosidade absoluta equivalente 0,5 a 0,50 0,30 3 a 5 0,05 0,10 0,1 a 0,0

20 Valores da rugosidade absoluta equivalente Material Ferro fundido oxidado Cimento amianto novo Concreto centrifugado novo Concreto armado liso, vários anos de uso Concreto com acabamento normal Concreto protendido Freyssinet Cobre, latão, aço revestido de epoxi, PVC, plásticos em geral, tubos extrudados ε(mm) Rugosidade absoluta equivalente 1 a 1,5 0,05 0,16 0,0 a 0,30 1 a 3 0,04 0,0015 a 0,010

21 Aplicação 1 Uma tubulação de aço soldado revestido de cimento centrifugado (ε = 0,1 mm), de 4 de diâmetro, transporta água a 0 o C (ν 1,0 x 10-6 m /s) como conduto forçado. Pede-se determinar o fator de atrito e a vazão para os escoamentos neste conduto correspondentes às seguintes condições: a) limite superior do escoamento laminar; b) limite inferior do escoamento turbulento; c) limite superior do escoamento turbulento de tubo hidraulicamente liso; d) limite inferior do escoamento turbulento de tubo hidraulicamente rugoso. Exemplo.5 Água flui em uma tubulação de 50mm de diâmetro e 100m de comprimento, na qual a rugosidade absoluta é igual a ε=0,05mm. Se a queda de pressão, ao longo deste comprimento, não pode exceder a 50 kn/m, qual a máxima velocidade média esperada.

22 Exemplo.6 Imagine uma tubulação de 4 de diâmetro, material aço soldado novo, rugosidade ε=0,10mm, pela qual passa uma vazão de 11 L/s de água. Dois pontos A e B desta tubulação, distantes 500m um do outro, são tais que a cota piezométrica em B é igual à cota geométrica em A. Determine a carga de pressão disponível no ponto A, em mh O. O sentido do escoamento é de A para B. Exemplo.7 Um ensaio de campo em uma adutora de 6 de diâmetro, na qual a vazão era de 6,5L/s, para determinar as condições de rugosidade da parede, foi realizado medindo-se a pressão em dois pontos A e B, distanciados 1017m, com uma diferença de cotas topográficas igual a 30m, cota de A mais baixa que B. A pressão em A foi igual a 68, N/m e, em B, N/m. Determine a rugosidade média absoluta da adutora.

23 É interessante observar o valor do expoente da vazão (velocidade) nas expressões de J p/ os três tipos de esc to : laminar, turbulento liso e rugoso: J 1 V Q = f = 0,087f (turbulento rugoso) 5 D g D J = 0,316 0,5 Re 1 D V g V D Q D 1,75 1,75 0,5 4 = 0,0161ν = 7, ,5 4,75 (turbulento liso) J 64 1 V V 6 Q = = 3,65ν = 4, (laminar) 4 Re D g D D Fórmulas Empíricas p/ Escoamentos Turbulentos J = K Q D n m Em geral K só depende do tipo de material do tubo.

24 Fórmula de Hazen-Williams J = 10,65 C 1,85 Q D 1,85 4,87 ou Q = 0,784CD,63 J 0,54 J (m/m), Q (m 3 /s), D (m) e C (m 0,367 /s). C - coef de rugosidade, depende da natureza e estado das paredes do tubo. Equação indicada para: esc to turbulento de transição; água a 0 C; D 0,10 m; - aplicação em redes de distribuição de água, adutoras e sistemas de recalque. Porto, R. faz uma comparação entre a fórmula de Hazen-Williams e a fórmula Universal através de gráficos e conclui: para tubos PVC (ε = 0,005 mm correspondendo a C entre 150 e 155) com D maiores, na faixa de Re entre e 10 6, a equação prática pode ser usada. Fora dessa faixa ela é inadequada. para valores C < 10 e elevados Re, caracterizando esc to turbulento rugoso, a equação prática é inadequada.

25 Valores do Coeficiente C Material C Material C Aço corrugado (chapa ondulada) 60 Aço com juntas lockbar, tubos novos 130 Aço com juntas lock-bar, em serviço 90 Aço galvanizado 15 Aço rebitado, tubos novos 110 Aço rebitado, em uso 85 Aço soldado, tubos novos 130 Aço soldado, em uso 90 Aço soldado com revestimento especial 130 Cobre 130 Concreto, bom acabamento 130 Concreto, acabamento comum 10

26 Valores do Coeficiente C Material C Material C Ferro fundido novo 130 Ferro fundido 15-0 anos de uso 100 Ferro fundido usado 90 Ferro fundido revestido de cimento 130 Madeiras em aduelas 10 Tubos extrudados PVC 150

27 Fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao Instalações prediais de água fria ou quente; Topologia caracterizada por trechos curtos de tubulação; Diâmetros menores que 4 ; Presença de grande número de conexões. Aço galvanizado novo conduzindo água fria 1,88 Q J = 0,0001 4,88.47 D PVC rígido conduzindo água fria 1,75 Q J = 0, ,75.48 D Onde Q(m 3 /s), D(m) e J(m/m)

28 Exemplo.8 O sistema de abastecimento de água de uma localidade é constituído por um reservatório principal, com nível d água suposto constante na cota 81m, e por um reservatório de sobras que complementa a vazão de entrada na rede, nas horas de aumento de consumo, com nível d água na cota 800m. No ponto B, na cota 760m, inicia-se a rede de distribuição. Para que valor particular da vazão de entrada na rede, Q B, a linha piezométrica no sistema é a mostrada na figura? Determine a carga de pressão disponível em B. O material das adutoras é aço soldado novo. Utilize a fórmula de Hazen-Williams, desprezando as cargas cinéticas nas duas tubulações.

29 Exemplo.8 81,0 L.P A 6 650m 760,0 800,0 B Q B 4 40m C Figura Exemplo.8

30 Condutos de Seção Não Circular Raio hidráulico: A R h = P D 4 = Diâmetro hidráulico: D h = 4R h Aplicam-se as fórmulas já apresentadas, substituindo D por D h H = f L D h V g Re = V D ν h ε D h H =10,65L C Q 1,85 1,85 D 4,87 h etc...