Propagação da incerteza de medição ou incerteza combinada

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ENGENHARIA MECÂNICA ENG MEDIÇÕES TÉRMICAS Energia e Fenômenos de Transporte Prof. Paulo S. Schneider pss@mecanica.ufrgs.br Medições Térmicas - Engenharia Mecânica UFRGS Propagação da incerteza de medição ou incerteza combinada Conceitos básicos É muito comum a determinação de uma grandeza e de sua incerteza de medição a partir do conhecimento de outras grandezas determinadas experimentalmente, juntamente com suas incertezas. O valor dessa nova grandeza Y seque uma relação funcional do tipo ( x ) Y = f... () x n que é uma função de variáveis estatisticamente independentes x até x n. A incerteza associada a Y será calculada a partir das medições das grandezas associadas. x = x ± U () e a incerteza padrão u pode ser representada como u = U / 3 (3) Incerteza padrão combinada Também chamado de Propagação da Incerteza de Medição, é um procedimento onde se estima a propagação do desvio padrão de uma grandeza Y a partir do desvio padrão de suas variáveis dependentes x até x n. Tomando-se a grandeza Y apresentada na Eq (), define-se a incerteza propagada u r, segundo Kline e McClintock (HOLMAN, 996), como sendo: V V u r = u un (4) x xn As duas próximas figuras mostram esquematicamente o procedimento.

2 Figura - Propagação do desvio padrão de uma grandeza Y a partir do desvio padrão de suas variáveis dependentes (Fonte: ISO GUM, 004) Figura - Propagação do desvio padrão de uma grandeza Y a partir de valores de amostras do desvio padrão de suas variáveis dependentes (Fonte: ISO GUM, 004) Um procedimento alternativo está sendo proposto no suplemento do Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (ISO GUM Suppl. (DGUIDE 99998), 004), que trata de métodos numéricos para a propagação de distribuições. A última figura apresenta novamente o comportamento das distribuições estatísticas das variáveis independentes X que comporão a função Y. O método de Monte Carlo é usado para produzir um número muito elevado de conjuntos de amostras semelhantes àquelas mostradas na figura, e assim calcular a incerteza resultante da função Y.

3 Exercícios Determinação de uma medida indireta, que resulta de valores que são independentes. - O termômetro de gás ideal fornece um padrão experimental secundário para a temperatura, pela relação = sensor de pressão onde P é a pressão (Pa), V o volume (m 3 ), m a massa (kg), e T a temperatura (K) A R g a constante do gás é a razão =,? VOLUME V O aparato é constituído como segue Suponha o seguinte caso: o volume V do vaso é de litro, medido com uma incerteza de %. O vaso mantém seu volume sempre constante, e é imerso em um ambiente a temperatura de 50 K, e nesse caso a pressão lida é de 500 Pa. Essa pressão e temperatura são consideradas como dados de referência. O vaso é agora submetido a um ambiente a uma nova temperatura, onde a pressão lida é de 780 Pa. Com esses dados, e sabendo que a incerteza da medição da pressão é de +/-0 Pa e a da temperatura é de +/-3 ºC, responda: a qual a temperatura lida a pressão de 780 Pa b qual a incerteza de medição da temperatura - A eficiência de um aquecedor de água elétrico instantâneo é dada pela razão da taxa de transferência de calor passada para a água q HO pela potência elétrica dissipada no elemento de aquecimento P e, ou seja qh O η = = m & cp T P U I e onde m& é a vazão mássica (kg/s), cp o calor específico a pressão constante (J/(kg K)), T a diferença de temperatura entrada/saída, U a tensão (V) e I (A) a corrente de alimentação elétrica. A partir dos dados da tabela abaixo, grandeza Valor lido incerteza m& 0,05 (kg/s) 3% valor lido T 0 ºC 0,5 ºC U 0 V 0, % FE (escala de 0 50) I 30 A 0,05 % FE (escala 0-40 A) determine A) Calcular a eficiência do aquecedor η e sua incerteza de medição associada B) Interprete o valor obtido C) Qual grandeza pode ter sua medição melhorada a fim de reduzir a incerteza?

4 3- Deseja-se medir a perda de calor por radiação de uma determinada superfície de área A que se encontra a temperatura T s para o ambiente a T. Considere os seguintes valores com as suas respectivas incertezas de medição obtidas a partir de instrumentos de boa procedência e responda as questões abaixo. ε = 0,90 ± 0,05 A =,0 m ± 0,m T = 500 K ± K s rad ( ) q = εσ A T T onde = x W m K , σ 5,67 0 /( ) T = 300 K ± K a) Determine a perda de calor por radiação e a sua incerteza de medição. b) Identifique qual variável deve ser melhorada primeiramente para reduzir a incerteza da perda por radiação. 4- A medição da condutividade térmica de matérias sólidos não isolantes pode ser feita com um aparato conhecido como caixa quente (hot box), como mostra a figura a seguir. O fluxo de calor q é dissipado na base (Heater section) e é transferido para o topo (Heat sink), passando por matérias de referência (Meter bars) e pela amostra a ser medida (Specimen). A condutividade térmica k do material Specimen é calculada pela lei de Fourier dt q" = k = dz T3 T4 k, onde os índices seguem a nomenclatura da próxima figura. z z 3 4 O caso será analisado apenas em respeito à temperatura T, medida por termopares e a posição z onde esses são instalados. A diferença de temperatura T3-T4 é de 500,0 ºC ±,5ºC e a diferença de cota horizontal z3-z4 é de 0,0 cm ± 0,5 cm, para um fluxo de calor dissipado de q = 50,0 kw/m Com esses dados, calcule: a) a condutividade térmica k da amostra (Specimen) juntamente com sua incerteza de medição. b) dimensione a qualidade da instrumentação necessária para que os termos desse quociente tenham uma contribuição igual na incerteza combinada da medida, considerando que essa incerteza seja de no máximo 3% do valor medido

5 Dimensionamento da instrumentação de uma medida seguindo faixas de incerteza de medição - Um manômetro de tubo em U, de diâmetro constante, emprega um fluido manométrico com massa específica 950 kg/m 3. A leitura máxima de altura de coluna deve ficar na volta dos 30 mm, com divisões unitárias. Com base nesses dados, deseja-se saber: a) Qual o menor diferencial de pressão que o manômetro consegue ler, e com que incerteza associada? b) Onde o instrumento pode ser melhorado para diminuir sua incerteza de medição? - O número de Reynolds é expresso por Re = ρv L µ A tarefa do engenheiro é de prever que os dados de entrada, em conjunto, proporcionem uma incerteza final desejada. O valor de Reynolds está na ordem de , e deseja-se uma incerteza de cerca de ± 5%, para uma faixa de confiabilidade de 95%. Assim, proponha uma combinação de incertezas individuais associadas a cada um dos parâmetros de entrada que garantam a incerteza final do número. Usar os seguintes dados: ρ= 997 kg/m³ V= 0 m/s L=0 m µ=8.55x0-4 N s/m² Lembrete Derivadas d( cx) d cx = c dx e dx n ( ) n = ncx