CAPÍTULO 1 INTODUÇÃO. O DESENVOLVIMENTO DE BIOPROCESSOS. INTRODUÇÃO AOS CÁLCULOS DE ENGENHARIA

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1 CAPÍTULO 1 INTODUÇÃO. O DESENVOLVIMENTO DE BIOPROCESSOS. INTRODUÇÃO AOS CÁLCULOS DE ENGENHARIA OBJECTIVO: Interpretação e desenvolvimento de processos biológicos. Análise quantitativa de sistemas e processos através linguagem matemática. BIBLIOGRAFIA: P.M. Doran Bioprocess Engineering Principles (1997), Cap. 1, pág 3 7; Cap., pág

2 Uma quantidade medida ou calculada tem um valor numérico e uma unidade. Exemplo: uma velocidade de 54 km/h valor numérico: 54 unidade: km/h As unidades podem ser tratadas como variáveis algébricas quando as quantidades são adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas. Os valores numéricos de duas quantidades podem ser adicionadas ou subtraídas apenas se as unidades forem as mesmas. 30 m/s + 15 m/s = 45 m/s 30 m/s m/s Os valores numéricos e as suas unidades correspondentes podem ser sempre multiplicados ou divididos. Uma dimensão é uma propriedade que pode ser medida (comprimento (L), massa (M),...) ou calculada por multiplicação ou divisão de outras dimensões (volume (L 3 ), densidade (M/L 3 ),...)

3 SISTEMAS DE UNIDADES Uma quantidade medida pode ser expressa em termos de quaisquer unidades que tenham uma dimensão apropriada. Exemplo: uma velocidade pode ser expressa em m/s ; milhas/h ; km/min ; etc. O valor numérico de uma quantidade depende da unidade escolhida. Um sistema de unidades tem as seguintes componentes: 1) Unidades básicas unidades para as dimensões de comprimento, massa, tempo, quantidade de matéria, temperatura, corrente eléctrica e intensidade de luz. ) Unidades múltiplas múltiplos ou fracções das unidades básicas. 3) Unidades derivadas podem ser obtidas por: A) Multiplicação e/ou divisão das unidades básicas ou múltiplas B) Equivalência a unidades básicas 3

4 UNIDADES BÁSICAS SISTEMAS DE UNIDADES GRANDEZAS DIMENSÕES C.G.S S.I. ANGLO-SAXÓNICO (F. P. S.) Comprimento L cm m ft (pé) Massa M g kg lb (libra) Tempo T s s s Quantidade de matéria N g-mol (mol) g-mol (mol) lb-mol Temperatura θ ºC (ºCelsius) K (Kelvin) ºF (ºFahrenheit)

5 SISTEMAS DE UNIDADES UNIDADES MÚLTIPLAS Factor Prefixo Símbolo Múltiplos Exa E Peta P 10 1 Tera T 10 9 Giga G 10 6 Mega M 10 3 Quilo k 10 Hecto h 10 1 Deca da Factor Prefixo Símbolo Submúltiplos 10-1 Deci d 10 - Centi c 10-3 Mili m 10-6 Micro µ 10-9 Nano n 10-1 Pico p Fento f Ato a 5

6 UNIDADES DERIVADAS Área: [A] = L Volume: [V] = L 3 Densidade: [ρ] = M / L 3 Velocidade: [v] = L / T Aceleração: [a] = L / T Força: [F] = [m a] = M L / T No S. I. : 1 N = 1 (kg m) / s Unidade derivada Unidades básicas 6

7 UNIDADES DERIVADAS M L T M L Energia: [E] = [F d] = L = No S.I.: 1 J = 1 T kg m s No C.G.S.: 1 erg = 1 g cm s F A M L Pressão: [P] = = T 1 L = M LT No S.I.: 1 Pa = N 1 = m 1 kg m s E 1 M L M L = = t T T T Potência: [W] = 3 No S.I.: 1 Watt = 1 kg m 3 s 7

8 UNIDADES DERIVADAS GRANDEZAS DIMENSÕES C.G.S S.I. ANGLO-SAXÓNICO (F. P. S.) Força M L T - dine Newton (N) Poundal Energia M L T - erg Joule (J) Pé-poundal Pressão M L -1 T - dine/cm Pascal (Pa) Poundal/pé Potência M L T -3 erg/s Watt (W) Pé-poundal/s Energia Térmica (Calor) M L T - Caloria (cal) Joule (J) British Thermal Unit (BTU) 8

9 CONVERSÃO DE UNIDADES Os valores numéricos de uma dada quantidade podem ser relacionados através de factores de conversão. EXEMPLO 1.1 Efectue os seguintes cálculos e mudança de unidades. A) Quantos m 3 /h correspondem a 1000 galões/min? Resolução: 1000 gal 3,785x10-3 m 3 60 min Conversões: 1 gal = 3,785x10-3 m 3 1 h = 60 min min 1 gal 1 h 1000 x 3,785x10-3 x 60 = 7,1 m 3 /h gal 3 x m x min = m 3 min gal h h 9

10 CONVERSÃO DE UNIDADES B) Qual é a aceleração da gravidade em km/min? Resolução: 9,8 m s 60 s 1 km 1 min 1000 m Se elevarmos uma unidade a uma determinada potência o factor de conversão é elevado à mesma potência, ou seja: 60 s 1 min = 60 s min Deste modo, 9,8 m/s é equivalente a: (9,8 x (60) / 1000) = 35,3 km/min. 10

11 ANÁLISE DIMENSIONAL ANÁLISE DIMENSIONAL : Estudo das equações que relacionam as unidades derivadas com as unidades básicas. Tendo em consideração a análise dimensional, temos que: -Só se pode estabelecer uma igualdade entre duas grandezas que tenham as mesmas dimensões; - A razão entre duas grandezas é independente das unidades em que são medidas, desde que se empregue o mesmo sistema de unidades para ambas. Do ponto de vista dimensional, as equações que regem os fenómenos físicos podem ser classificadas em: Equações homogéneas Equações homogéneas restritas Equações não homogéneas 11

12 ANÁLISE DIMENSIONAL EQUAÇÕES HOMOGÉNEAS: são equações em que todos os termos têm as mesmas dimensões e os coeficientes existentes são adimensionais. Estas equações são válidas para qualquer sistema coerente de unidades. Exemplos de variáveis ou números adimensionais: Em engenharia utiliza-se com frequência números adimensionais para representação sucinta de um determinado fenómeno físico. Relação entre o diâmetro (D) e comprimento (L) de um cilindro: D = L L L As dimensões do diâmetro e são ambas L, pelo que estamos em presença de uma quantidade adimensional. 1

13 ANÁLISE DIMENSIONAL Número de Reynolds, Re - uma grandeza adimensional que permite caracterizar o fluxo de um líquido dentro de um tubo. Re = U d ρ µ d - diâmetro do tubo U - velocidade superficial (caudal volumétrico por unidade de área transversal da tubagem) ρ - densidade do fluido µ - viscosidade do fluido Dimensões da variáveis: [d] = L [ρ] = M/L 3 [µ] = M/LT [U] = [F V / A T ] = (L 3 T -1 )/L = L/T [ Re] d U ρ = = L L M L T = 1 µ T L 3 M d U ρ 1/µ 13

14 ANÁLISE DIMENSIONAL EQUAÇÕES HOMOGÉNEAS RESTRITAS: são equações em que figuram coeficientes (constantes) com dimensões. Só são válidas num determinado sistema de unidades, no qual os referidos coeficientes assumem os valores particulares que apresentam na equação. EXEMPLO: A quantidade k depende da temperatura T, segundo a equação seguinte: K (cal/cm 3 s) = 1,0 x 10 5 EXP 0,0x10 3 1,987 T As unidades da quantidade 0 x 10 3 são cal/mol e T está expresso em Kelvin. Quais as unidades das constantes 1,0 x 10 5 e de 1,987? Resolução: Como a equação é dimensionalmente homogénea e a exponencial é adimensional então: 0,0x10 3 [1,0 x 10 5 ] = [k] = cal/(cm 3 s) [1,987] = = cal/(mol k) T 14 PROCESSOS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOLÓGICA I Mestrado Integrado em Engenharia Biológica

15 ANÁLISE DIMENSIONAL EQUAÇÕES NÃO HOMOGÉNEAS: são equações em que os diferentes termos não apresentam todos as mesmas dimensões. Descrevem geralmente experiências conduzidas empiricamente (equações empíricas), não resultando de princípios teóricos. EXEMPLO: Determinação do hold-up (ε) num fermentador agitado: W 0,4 U 0,5 V = 30 ε + 1,3 Esta equação só poderá ser directamente aplicada utilizando as unidades mencionadas W Potência de agitação (cv) V Volume de líquido (ft 3 ) U Velocidade linear do gás (ft s -1 ) ε - hold-up do gás (adimensional) 15

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