O volume e, portanto, a massa específica ( = massa/volume) dos gases são sensíveis às variações da pressão e Temperatura.

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1 1.5 Lei dos Gases Ideais O volume e, portanto, a massa específica ( = massa/volume) dos gases são sensíveis às variações da pressão e Temperatura. Buscando nos cursos de física básico de pressão e temperatura. básica o conceito Temperatura Grandeza física relacionada com o grau de agitação térmica dos átomos e das moléculas de um sistema (corpo). 1

2 Pressão: É a razão entre a força normal por unidade de área exercida sobre uma superfície, real ou imaginária, imersa em um fluido. É o resultado do bombardeamento das moléculas do fluidoaestasuperfície. Símbolo: p (minúsculo) nidade (SI): N/m = Pa (Pascal) Dimensão: ML -1 S - ou FL - p Fn A Grandeza Escalar.

3 Pressão Atmosférica É a pressão exercida pela força peso de uma coluna de ar atmosférico sobre uma área de 1m ao nível do mar. Valor padrão: p o = 11,3 kn/m ou 11,3 kpa 3

4 Pressão Absoluta: É pressão medida em relação à pressão absoluta zero, isto é, à pressão que ocorreria no alto vácuo. Pressão absolta em ponto P1 do fluido: p 1 = p o + φ(h) φ(h) -> pressão relativa 4

5 ...Voltando à lei dos gases ideais, Lei de Bole-Maariotte V V 1 p k 1 ( k constante 1 é uma ) p Se p o e V o representam a pressão e o volume iniciais de um estado inicial de uma certa massa da gás, e pev a pressão e o volume de outro estado instantâneo do gás, então, p o V pv k 1 o k 1 pv p o V o 5

6 Lei de Charles V V T k T ( k é uma constante) Se T o e V o representam a temperatura e o volume iniciais de um estado inicial de uma certa massa da gás, e T e V a temperatura e o volume de outro estado instantâneo do gás, então, V T V T k k V T V T 6

7 Lei de Avogadro Volumes iguais de gases diferentes às mesmas condições de temperatura e pressão conterão o mesmo número de moléculas. V n V k 3 n ( k 3 é uma constante e n é o número de moléculas) 7

8 Combinando as leis de Bole-Mariotte, Charles e Avogadro, obtemos. T V n p pv nrt p 1 m m R RT V M V M T p T m é a massa do gás, M é a massa molar do gás, é a massa específica do gás, é a constante específica do gás ( ver tabela da página 15). 8

9 Tensão de Cisalhamento Razão entre a magnitude da força tangente por unidade de área exercida sobre uma superfície, real ou imaginária, imersa num fluido. Símbolo: nidade (SI): N/m Dimensão: ML -1 T - ou FL - F t A 9

10 Princípio da Aderência Partículas de um fluido, quando juntas a superfícies, sólidas adquirem as velocidades dos pontos destas superfícies. Entre as partículas de uma camada superior do fluido e uma imediatamente inferior, existirá atrito, que por ser uma força tangente ao fluido gera tensões de cisalhamento entre as camadas do fluido.

11 Quando F t = F, a placa superior irá adquirir movimento uniforme com velocidade. A velocidade ao longo do fluido, u,é,emgeral,dada por, u a b c ( eq. parábola ) como: para, u c para, u a b cte. du também, para, ( já que u cte.) d condiçõesde contorno 11

12 Das condições de contorno: du a b e d du d a b a b b a Daí, obtém se : a e b Logo : du u e d 1

13 A quantidade du /d é chamada de gradiente de velocidade e é diretamente proporcional à velocidade e inversamente proporcional à distância entre as placas. De acordo com a discussão anterior, quanto maior for a velocidade, maior será oatritoentreascamadasdofluido. Isto nos permite escrever, du d du d μ é uma constante de proporcionalidade e chamada de viscosidade dinâmica do fluido (varia com a temperatura). du /d também é chamada de taxa de deformação de cisalhamento. 13

14 Fluidos Newtonianos São todos aqueles que obedecem a equação du d É comum em Mecânica dos Fluidos definir a viscosidade cinemática por, Onde ρ é a massa específica do fluido. 14

15 Propriedade Físicas de alguns gases na pressão atmosférica padrão Temperatura T ( o C) Massa específica ca Ρ (kg/m 3 ) Viscosidade dinâmica μ (Ns/m ) Constante do Gás R (J/kgK) Razão entre os Calores específicos K Ar (padrão) 15 1,3 E+ 1,79 E-5,869 E+ 1,4 Dióxido de Carbono 1,83 E+ 1,47 E-5 1,889 E+ 1,3 Hélio 1,66 E-1 1,94 E-5,77 E+3 1,66 Hidrogênio 8,38 E- 8,84 E-6 4,14 E+3 1,41 Metano (gás natural) 6,67 E-1 1,1 E-5 5,183 E+ 1,31 Nitrogênio 1,16 E+ 1,76 E-5,968 E+ 1,4 Oxigênio i 1,33 E+,4 E-5,598 E+ 14 1,4 15

16 nidade e dimensão da viscosidade. nidade (SI) Dimensão μ N.s/m MT -1 L -1 V m /s L T -1 Tabelas 1.4, 1.5, B.1 e B. trazem valores das viscosidade dinâmica para alguns líquidos e gases. Tabelas entregues na sala. 16

17 Exercício 1) m fluido newtoniano, densidade e viscosidade cinemática ca respectivamente e te iguais a,9 e 4x1-4 m /s, escoa entre duas superfícies, uma fixa (inferior) e outra (superior)quesemovecomvelocidadeconstante. O perfil de velocidade deste escoamento corresponde a uma parábola u =a +b+ceestá mostrado na figura abaixo. a) Determine os valores de a, b e c e reescreva a equação u = a + b + c. B) Determine a tensão de cisalhamento nas superfícies inferior e superior. Filme

18 Solução c b a u., ) c e b a de Cálculo a, b L contorno de condições as Aplicando,..,,., b a Logo para cte u c c b a Logo para u,., b a é Isto para d du :, b a temos Daí 18 b a

19 Continuando, a b Resolvndo o sistema, vem que, a b b a. Assim, a a a a a e b a a Efetuando as devidas substituições, chegamos a u du e d 19

20 ) to, cisalhamen de tensão b ) (?. e viscosidad d du 9 1,9,9, : 3 m kg SG Densidade dados Foram d, , m Ns s m cinemátca e Viscosidad m água o C :,, du d du temos em Agora : :, Finalmente d du temos em e, du d du e superior placa Na ) / (,736,368, m N d du e inferior placa Na

21 Exercício ) ma distribuição de velocidade do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas (veja figura) é dada pela equação, u 3 V med 1 h V med é a velocidade média de escoamento. O fluido apresenta μ = 1,9 Ns/m. Admitindo que V med =,6m/s e h = 5mm, determine a Tensão de cisalhamento na: a) parede inferior do canal. b) no plano central do canal. c) na parede superior. 1

22 Solução du d u 3V du méd 3V 1 h d h méd a) Na parede inferior, h. Daí, du d h 3( h) V h méd 3V h méd Assim, du 3,6 N 5 m sup.inf. 1,9 691, 3 d 5 1 h

23 b ) Na plano médio,. Dí Daí, du d 3() V h méd Assim, plano médio c) Em, h, du d h 3( h) V h 3V h méd méd, Interpretação: No plano médio, a tensão de Cisalhamento é nula, variando para o valor máximo, em módulo, nas paredes de 691, N/m. Mas tem sentidos opostos. Positivo na placa inferior e negativo no plano superior, ( = +h). h 3,6 1, , 3 N m 3

24 Exercício 3) m fluido newtoniano, densidade e viscosidade cinemática iguais a,9 e 4x1-4 m /s, escoa sobre uma superfície imóvel. O perfil de velocidade deste escoamento, na região próxima à superfície está mostrado na figura abaixo. Determine o valor a direção e o sentido da tensão de cisalhamento que atua na placa. Expresse o resultado em função de (m/s) e (m). u 3 1 h 3 4

25 Solução Solução u de tensão a Calculando du 3,368 du em cisalhamento d du u, d 3, d du Para ) / (,55 m N : kg Daí SG Foram dados , , ,9,.,9 Ns Daí m Daí SG água o C 5, ,. 1 4 m Daí

26 4) ma combinação de variáveis muito importante no estudo dos escoamentos viscosos em tubos é o número de Renolds (Re). Este número é definido por ρvd/μ, ondeρ é a massa específica do fluido que escoa, V é a velocidade média do escoamento, D é o diâmetro do tubo e μ é a viscosidade id d dinâmica. i m fluido Newtoniano, que apresenta μ =,38 Ns/m e densidade,91, escoa num tubo de 5 mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é igual a,6 m/s, determine o valor de Re. 6

27 Solução SG,91 água 4 o C kg, m 3 VD (91 kg / m ) (,6 m / s) (51 Re 3 (,38 Ns / m ) 3 m) Re kgm / s 156 N 156. O número de Renolds é adimensional. 7

28 Turbulência está presente em inúmeros fenômenos. Filmes 9.1 e

29 1.7 Compressibilidade de um fluido Módulo de elasticidade volumétrico (coeficiente de compres- sibilidade) Define a capacidade de se comprimir um fluido quando este está sob pressão. Em outras palavras, determina o quão compressível é um fluido. É dado por, E V dp dv /V dp é a variação diferencial da pressão capaz de provocar uma variação diferencial dv em um volume V. Sinal (-) => aumento de pressão provoca diminuição do volume. 9

30 Alterações no volume implicam em alterações na massa específica. Daí, E V dp d / nidade de E V (SI): N/m Dimensão: FL - Em geral, E v, varia com a pressão para os líquidos, mas seu valor mais importante é medido à pressão atmosférica. Tabelas as 1.4 e 1.5 trazem os valores de E v para a pressão atmosférica. 3

31 Compressão e Expansão de Gases Relação entre a massa específica e a pressão, p k constante Onde k é a razão entre o calor específico à pressão constante, c p, e o calor específico a volume constante, c V, k c c p V c p -c v = R, R é constante dos gases (8,31433 J/Kmol) 31

32 Para uma transformação (processo) isotérmico (temperatura constante), k =1, p constante Para uma transformação (processo) isoentrópica (sem atrito e troca de energia), k 1, p k constante 3

33 Exercício m metro cúbico de hélio a pressão absoluta de 11,3kPa é comprimido isoentropicamente até que seu volume se torne igual à metade do volume inicial. Qual o valor da pressão no estado final? 33

34 Solução Para uma transforma ção ( processo atrito e sem troca de calor, i k k i i p e Daí f, constante correspond em p aos p f k f estados ) inicial isoentrópi e final co, isto é, sem, respectiva mente. f p f pi. i k Da tabela do slide 15, k = 1,66. Assim, Como i Vf V m i f i V i m f V f 1,66 i p f (11,3 kpa) i p f 3,16(11,3 kpa) 3 kpa 34

35 Velocidade do Som ma consequência importante da compressibilidade dos fluidos, é que as perturbações induzidas num ponto do fluido se propagam com velocidade finita. Esta é uma propriedade macroscópica resultante de uma propriedade microscópica do fluido, como a intensidade das forças entre as moléculas. 35

36 ... Entendendo Gases -> forças coesivas entre as moléculas são menores -> maior liberdade de movimento -> maior tempo de propagação das perturbações induzidas por diferenças de pressão. Líquidos -> forças coesivas entre as moléculas são maiores do que nos gases -> menor liberdade de movimento do que os gases -> menor tempo de propagação das perturbações induzidas por diferenças de pressão. 36

37 Em geral, a velocidade do som nos líquidos é maior do que nos gases. Para o ar, c dp d tilizando a definição de E v, e que as perturbações de pressão sejam pequenas, o processo pode ser considerado d isoentrópico. Daí, dp E c V d Logo, c krt kp 37

38 Exercício m avião a jato voa com velocidade de 89 km/h numa altitude de 17 m (onde a temperatura do ar é de -55 o C). Determine a razão entre a velocidade do avião, V, e a do som no ar, c. Admita que no ar, k = 1,4. c k krt 1,4 ( enunciado) c 1,4 86, m / s R T 86,9 J / kg K 73T Célsius K Razão V c,84 A razão V/c define o número Mach, Ma. - Se Ma <1 o avião está voando com velocidade subsônica. - Se Ma = 1, V = c e o avião voa com a velocidade do som. - Se Ma > 1, oavião voa com velocidade d maior que a do som. 38

39 1.8 Pressão de Vapor Evaporação Ocorre porque algumas moléculas do líquido, localizadas na superfície livre do fluido, apresentam quantidade de movimento suficiente para superar as forças coesivas entre as moléculas. Se o ar sobre a superfície do líquido for removido, nota-se o desenvolvimento de uma pressão sobre o líquido devido ao vapor formado pelas moléculas l do fluido que evaporaram. Se o número de moléculas que evaporam (deixam o fluido) se igualar ao número de moléculas que são absorvidas pelo fluido, o vapor é dito saturado. 39

40 A partir do instante que o vapor se torna saturado, a pressão sobre o líquido é chamada de pressão de vapor (). 4

41 1.9 Tensão Superficial Entre um líquido e um gás, ou entre dois líquidos imiscíveis (água e óleo, por exemplo), existe uma interface. Na interface, ocorrem forças superficiais que fazem a superfície do líquido ficar mais densa e se comportar como uma membrana. O resultado: essa tensão consegue suportar alguns objetos feitos de material mais denso. FILME (1.5). 41

42 A tensão superficial surge devido ao desbalanço das forças coesivas: Moléculas no interior do fluido estão envolvidas por outras e se atraem mutuamente. Moléculas na interface líquido-gás, ou líquidolíquido (imiscíveis) estão sujeitas a forças que apontam para o interior. A consequência física e macroscópica desse desbalanceamento é a criação dessa membrana. Filme 1.5 4

43 Alguns fenômenos associados à tensão de cisalhamento. Na interface líquido-gás, a adesão das moléculas do líquido às paredes do capilar é o resultado de uma atração forte suficiente para sobrepujar a atração mútua (coesão) das moléculas do líquido. Como ooo fluido udosobe, e,diz-se que ele e molha o tudo. 43

44 Analisando o diagrama do corpo livre abaixo, é possível concluir que R cos R Logo, h cos R h Se a adesão entre as moléculas do líquido e a superfície sólida é fraca, quando comparada à coesão entre as próprias moléculas do líquido, então o líquido não molhará o tubo. Neste caso, o nível do líquido no tubo imerso será mais baixo que a superfície do líquido-gás. 44

45 Exercício A pressão pode ser medida a partir da coluna de líquido num tubo vertical. Qual o diâmetro de um tubo limpo de vidro necessário para que o movimento de água promovido pela ação capilar (que se opõe ao movimento provocado pela pressão no tubo) seja menor do que 1 mm? Admita que a temperatura é constante e igual a ºC. cos Como vimos, h R h (,7878 N / m ) (9,789kN / m ) R 1 1 m 3 3 Logo, (,78 N / m ) 1 R,149m 3 3 (9,789 kn / m )(1 1 m ) 1 O diâmetro mínimo é D R,98m 45

46 Outros problemas relacionados à Tensão Superficial importantes em Mecânica dos Fluidos. Escoamento meios porosos. de líquidos através do solo e de outro Escoamentos de líquidos em filmes finos. Formação de gotas e na quebra de jatos líquidos. Tais fenômenos devem ser abordados em cursos mais avançados de Mecânica dos Fluidos. 46