Fenômenos do Transporte - 1 Semestre de 2010

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1 Fenômenos do Transporte - Semestre de 200 O assunto fenômenos de transporte inclui três tópicos intimamente relacionados: Dinâmica dos fluidos: envolve o transporte do momento; Transferência de Calor: trabalha com o o transporte de energia; Transferência de Massa: diz respeito ao transporte de massa de várias espécies químicas; - Propriedade dos Fluidos. Conceitos Fundamentais e Definição de Fluidos: Os fluidos desempenham papel vital em muitos aspectos de nossas vidas cotidianas. Nós bebemos, respiramos, nadamos em fluidos. Eles circulam em nosso corpo e são responsáveis pelo tempo. Os aviões voam através deles, os navios flutuam sobre eles. Denomina-se fluido qualquer substancia que pode fluir, o termo pode ser usado para um gás ou para um líquido. Geralmente consideramos como um gás o fluido que pode ser facilmente comprimido e um líquido quase incompressível, embora existam alguns casos excepcionais. Fluido é uma substancia que não tem uma forma própria, assume o formato do recipiente, ela se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento não importa quão ela seja. Vamos começar com a estática dos fluidos, o estudo de fluidos em repouso em situações que envolvem equilíbrio. Analogamente a outras situações de equilíbrio, ela se baseia na primeira e na terceira Lei de Newton. Vamos analisar os conceitos básicos de densidade, pressão, empuxo. A dinâmica dos fluidos, o estado de fluidos em movimento, é muito mais complexa; na realidade é um dos ramos mais complexos da mecânica. Felizmente, podemos analisar muitas situações importantes que envolvem modelos idealizados simples e princípios familiares, tais como as Leis de Newton e a lei da conservação da energia.

2 Fluidos tendem a escoar quando interagimos com eles (por ex. quando você agita seu café da manhã). Sólidos tendem a se deformar ou dobrar (por exemplo quando você bate um teclado as molas sobre as teclas se comprimem). Os sólidos e os líquidos (também chamados matérias condensadas) têm em comum um certo conjunto de propriedades: são difíceis de comprimir e sua densidade varia muito pouco quando apenas variamos a pressão. Os gases por sua vez são facilmente comprimidos e suas densidades variam à medida que são aquecidos ou resfriados. Se ao invés de olharmos a compressibilidade do material e sua densidade, olharmos as ligações moleculares, nós veremos que os líquidos e gases possuem ligações muito mais fracas que os sólidos. São estas ligações fracas que conferem a estes dois estados da matéria: liquido e gasoso, a possibilidade de fluir. Assim os líquidos e gases são denominados FLUIDOS. Os fluidos são, portanto, os líquidos e os gases, sendo que estes ainda se distinguem dos primeiros por ocuparem todo o recipiente, enquanto os líquidos apresentam uma superfície livre. A definição mais aceita nos meios científicos pode ser apresentada como: FLUIDO É UMA SUBSTÂNCIA QUE DEFORMA CONTINUAMENTE, ISTO É, ESCOA, SOB AÇÃO DE UMA FORÇA TANGENCIAL, POR MENOR QUE ESTA SEJA. FORÇA TANGENCIAL OU FORÇA DE CISALHAMENTO DEFORMAÇÂO Contudo percebemos que as ligações são mais fracas nos gases. Isto faz que os gases sejam mais facilmente comprimidos e que ocupem totalmente o recipiente em que estão. 2

3 Se o problema fundamental fosse apenas reconhecer os fluidos, a definição apresentada seria perfeitamente suficiente para essa finalidade. Entretanto, é possível introduzir uma outra que, apesar de ser mais complexa, permite construir uma estrutura lógica que será de grande utilidade para o desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos. Essa definição está novamente ligada à comparação de comportamento entre um sólido e um fluido, por uma observação prática denominada Experiência das duas placas, descrita a seguir. Mantida a Força Ft, constante, nota-se que o sólido se deforma angularmente ( Figura b) até alcançar uma posição de equilíbrio estático. Nessa posição as tensões internas equilibram a força externa aplicada e somente uma variação da força Ft faria com que houvesse uma modificação da nova configuração do sólido. Pode-se dizer então que um solido por uma força tangencial constante, deforma-se angularmente, mas atinge uma nova configuração de equilíbrio estático ( Figura b). A mesma experiência será agora realizada colocando-se um fluido entre as placas. Suponha que seja possível, por exemplo, por meio de um corante, visualizar um certo volume ABCD do fluido ( Figura Abaixo). Sendo a placa inferior fixa e a superior móvel, ao se aplicar a força tangencial Ft na placa superior, está irá se deslocar. A primeira observação importante nessa experiência é que pontos correspondentes do fluido e da placa continuam em correspondência durante o movimento; assim, se a placa superior adquire velocidade v, os pontos do fluido em contato com ela terão a mesma velocidade v, e os pontos do fluido em contato com a placa fixa ficarão parados junto dela. Tal observação conduz ao chamado principio da aderência: Os pontos de um fluido, em contato com uma superfície sólida, aderem nos pontos dela, com os quais estão em contato. 3

4 Então, o que se observa é que o volume ABCD de um fluido, sob a ação da força Ft, deforma-se continuamente, não alcançando uma posição de equilíbrio estático, supondo-se as placas de comprimento infinito. Essa experiência permite a distinção entre sólidos e fluidos, pois enquanto aqueles se deformam limitadamente, sob a ação de esforços tangenciais pequenos, estes se deformam continuamente sem alcançar uma nova posição de equilíbrio estático. Pode-se dizer que: Fluido é uma substância que se deforma continuamente, quando submetida a uma força tangencial constante qualquer ou, em outras palavras, fluido é uma substância que, submetida a uma força tangencial constante, não atinge uma nova configuração de equilíbrio estático..2 Tensão de cisalhamento Lei de Newton da viscosidade. Uma tensão de cisalhamento, τ, é a componente tangencial da força dividida pela área sobre a qual ela está sendo aplicada. xy Ft A As unidades mais utilizadas para essa grandeza serão kgf/m 2 ou N/m 2 que seria Pascal (Pa). Foi observado outro fato notável na experiência das duas placas. A placa superior é inicialmente acelerada pela Força Ft, fato facilmente observável, já que passa da velocidade nula para uma velocidade finita. Nota-se porém, que a partir de uma certo instante a placa superior adquire uma velocidade v 0 constante. Isso demonstra que a força externa Ft, aplicada na placa é equilibrada por forças internas ao fluido, visto que, não existe aceleração, pela segunda lei de Newton da dinâmica, a resultante das forças deverá ser nula ( equilíbrio dinâmico). Como aparecem estas forças internas? Para responder essa pergunta, deve-se relembrar do principio da aderência. Segundo ele, o fluido junto à placa superior irá se deslocar com velocidade v 0, enquanto aquele junto à placa inferior estará com velocidade nula. As camadas intermediárias deverão se adaptar às externas, adquirindo velocidades que variam desde v 0 até zero ( Figura abaixo). Em cada seção normal as placas, como a seção AB genérica, irá se formar um diagrama e velocidades, onde cada camada do fluido desliza sobre a adjacente com uma certa velocidade relativa. Este fato cria uma espécie de atrito entre as diversas camadas do fluido. Tal deslizamento entre camadas origina tensões de cisalhamento, que multiplicadas pela área da placa, originam uma força tangencial interna ao fluido, responsável pelo equilíbrio da forca Ft, externa, o que fará com que a placa superior assuma uma velocidade constante v 0. 4

5 A Figura b mostra o aparecimento de τ devido a velocidade v -v 2, que cria um escorregamento entre as duas camadas indicadas. Newton descobriu que em muitos fluidos a tensão de cisalhamento é proporcional (α) ao gradiente de velocidade, isto é, à variação da velocidade com y. Disso pode-se traduzir a Lei de Newton da viscosidade. Os fluidos que se comportam que obedecem a essa Lei são ditas fluidos Newtonianos. Estes são na grande maioria água, óleos, ar, etc, e o restante são chamados de fluidos não-newtonianos. Os fluidos não newtonianos são aqueles que a tensão de cisalhamento não é proporcional a taxa de deformação. Ex: pasta, graxa. Grandeza Unidade Representação (SI) dv dy Tensão de cisalhamento, ( xy ) Pascal Pa Gradiente de velocidade ( V x / y) segundo a menos s - Viscosidade Poise P (P = Pa.s) Velocidade ( V x ) metros por segundo m/s Deslocamento ( y) metros M 5

6 .3 Viscosidade Absoluta ou Dinâmica ( µ) A lei de Newton da viscosidade impõe uma proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade. Tal fato leva a introdução de um coeficiente de proporcionalidade na equação abaixo. Tal coeficiente será indicado por µ e denomina-se viscosidade dinâmica ou absoluta. dv dy = Tensão de Cisalhamento µ = Viscosidade dinâmica ou absoluta dv/dy = Gradiente de velocidade ( representa o estudo da variação da velocidade no meio fluido em relação a direção mais rápida desta variação) Essa grande µ é uma propriedade de cada fluido e de suas condições, como, por exemplo, a pressão e, principalmente a temperatura. Pode-se dizer que a viscosidade dinâmica é a propriedade dos fluidos que permite equilibrar dinamicamente forças tangenciais externas quando os fluidos estão em movimento, ou seja, é a propriedade que indica a maior ou a menor dificuldade de o fluido escoar. As unidades das viscosidades podem ser obtidas por análise dimensional a partir da Lei de Newton da viscosidade. Unidades no SI: µ = Ns/m 2 ou Poise = Pa.s.4 Propriedades físicas dos fluidos.4. Massa Especifica: 6

7 Uma propriedade importante de qualquer material é sua massa especifica ou densidade, que fornece sua massa por unidade de volume. Quando a massa m, de um material homogêneo possui volume V, sua massa especifica ρ é: m V Em geral a densidade de um material depende de fatores ambientais, tais como a pressão e a temperatura. A unidade SI de densidade é o Kg por metro cúbico (Kg/m 3 ) ou no CGS gramas por centímetro cúbico ( g/cm 3 ). Na Tabela abaixo, indicamos as densidades de algumas substancias comuns para temperaturas ordinárias. Material Densidade (Kg/m 3 ) Material Densidade (Kg/m 3 ) Ar ( atm, 20C),20 Alumínio 2,7 x 0 3 Álcool etílico 0,8 x 0 3 Ferro, aço 7,8 x 0 3 Benzeno 0,90 x 0 3 Latão 8,6 x 0 3 Gelo 0,92 x 0 3 Cobre 8,9 x 0 3 Água,00 x 0 3 Prata 0,5 x 0 3 Água do mar,03 x 0 3 Chumbo,3 x 0 3 Sangue,06 x 0 3 Mercúrio 3,6 x 0 3 Glicerina,26 x 0 3 Ouro 9,3 x 0 3 Concreto 2 x 0 3 Platina 2,4 x 0 3 A massa especifica relativa de um material ou a densidade relativa é a razão entre a densidade do material e a densidade da água a 4.0 C, 000 Kg/m 3 ; trata-se de um número puro. d H fluido 2 O (0,4) 7

8 .4.2 Peso Especifico O peso específico γ e uma substância é o seu peso divido pelo volume, é comumente usado no balanço de energia de fluidos em tubulações e pode ser escrito como: g ou G V A unidade do peso específico no SI é o N/m 3 ou o Pa/m, podemos utilizar também: Kgf/ m Volume específico O volume específico V S é o inverso da massa específica ρ, ou seja, é o volume ocupado pela unidade de massa do fluido. No SI sua unidade é o metro cúbico por quilograma m 3 /kg. v s ou v s V m A unidade no SI é: m 3 /Kg..4.4 Viscosidade Cinemática No escoamento laminar, o fluido escoa (laminas paralelas) e o atrito viscoso causa tensões de cisalhantes entre as camadas do fluido em movimento. Deve-se observar que somente ocorre manifestação de atrito viscoso num escoamento quando há deslocamento relativo entre as partículas fluidas. 8

9 Em várias equações da mecânica dos fluidos, aparece o coeficiente entre a viscosidade absoluta (ou dinâmica) e a massa específica do fluido, sendo conveniente a definição de outra propriedade chamada viscosidade cinética representada por ν e dada por: v A unidade da Viscosidade Dinâmica no sistema internacional é o Pa.s (pascal vezes segundo) que foi denominado Poise. Já a unidade da viscosidade cinética no SI é m 2 /s que seria Stokes ( St) Módulo De Elasticidade Volumétrica. Geralmente quando se aplica pressão sobre um fluido ele sofre uma redução volumétrica, e quando se retira a pressão aplicada ele se expande. A compressibilidade de um fluido está relacionada a redução volumétrica decorrente para uma dada variação de pressão. Na maioria das situações, um líquido pode ser considerado um fluido incompressível (que não sofre variação e massa especifica); entretanto, quando existem variações muito elevadas ou bruscas de pressão a compressibilidade torna-se significativa. Usualmente a compressibilidade de um líquido é dada pelo eu módulo de elasticidade volumétrica E. Consideremos um volume V de um líquido; se a pressão aumenta em p, resulta uma diminuição do volume (- V), de modo que o módulo de elasticidade volumétrica é dado por: E dp dv V A unidade do SI de módulo de compressão volumétrica E é o pascal Pa. Exemplo: Análise da compressibilidade da água considerando uma situação em que é aplicada uma variação de pressão de uma atmosfera, ou seja, dp = 0,3 kpa, sobre um volume de um metro cúbico de água. Para a análise na temperatura de 25 C, tem-se que E = 2,22 x 0 9 Pa,de forma que a variação de volume é dada por: 9

10 E dp dv V ,6 x0 m m Assim, a aplicação de uma variação de pressão de uma atmosfera (0,3 kpa) sobre a água causa uma redução em seu volume de apenas uma parte em 22000, de forma que a consideração de um líquido como a água ser incompressível é um aproximação bem razoável..5 Fluido Ideal É aquele cuja viscosidade é nula. Por essa definição conclui-se que é um fluido que escoa sem perdas de energia por atrito..5. Escoamento Laminar ou Turbulento. Escoamento laminar: é aquele no qual as partículas fluidas movem-se em camadas lisas ou laminas. (Figura a). Escoamento Turbulento: é aquele no qual as partículas fluidas rapidamente se misturam, enquanto se movimentam ao longo do escoamento devido a flutuação aleatórias, no campo tridimensional da velocidade (Figura b) 0

11 .6 Equação de Estado dos Gases Quando um fluido não puder ser considerado incompressível, e ao mesmo tempo houver efeitos térmicos, haverá necessidade de determinar as variações da massa especifica ρ em função da pressão e da temperatura. De uma maneira geral, essas variações obedecem para os gases as leis do Tipo f(ρ, p T) denominadas Equações do estado. Para as finalidades desse desenvolvimento, sempre que for necessário, o gás envolvido será suposto como gás perfeito, obedecendo a equação do estado. PV nrt onde P é a pressão, V é o volume, n é o número de moles e T é a temperatura e R a constante universal dos gases. O Valor de R no sistema internacional (SI) é R 8,3 J mol. K A partir desta equação podemos ter: P RT Numa mudança do estado de um gás, temos: P P 2 T T 2 2 Isotérmico: Sem variação de temperatura na transformação. P P 2 2 cte Isobárico: Sem variação de pressão na transformação. T T 2 2 cte Isométrico: Sem variação de volume na transformação.

12 OBSERVAÇÃO: Conversão de Unidades: sotoke = cm 2 /s slug = lbfs 2 /ft lbf = lbm x 32,2 ft/s 2 poise g/cm.s slug = 2,2 lbm ft = 454g ft 3 =,94 slug ft 2 = 852m ft = 9305 m ft = 30,5 m lbm = 454g kgf = 9,8N N = kg.m/s 2 dina = gcm/s 2 m 3-000L Pa = N/m 2 P T P T 2 2 cte 2

13 EXERCÍCIOS. Os líquidos e os gases são fluidos, mas apresentam características diferentes. Descreva as propriedades que diferenciam os gases e os líquidos. 2. Defina fluido. 3. Defina viscosidade? 4. O que é tensão de cisalhamento? 5. A densidade de um óleo é 646 kg/m 3. Qual a sua densidade em g/cm 3? 6. Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. 7. Se o reservatório do exercício anterior tem um volume de 0,97 m 3 determine a massa específica, peso específico e densidade relativa do óleo. 8. Se a unidade de pressão volume temperatura e numero de moles no SI são dados por Pa, m 3, K e mol. Determine a unidade de R, constante universal dos gases. 9. Se 6,0m 3 de óleo pesam 47,0 kn determine o peso específico, massa específica e a densidade relativa do fluido. 0. Considerando que o módulo da elasticidade volumétrica da água é E = 2, Pa, determine a variação de pressão necessária para reduzir o volume da água em 0,%. ( Resp. p = 2,22 x 0 6 Pa). A Figura abaixo, mostra o esquema de um escoamento de água entre duas placas planas e horizontais de grandes dimensões e separadas por uma distancia d pequena. A placa inferior permanece em repouso, enquanto a placa superior está em movimento com velocidade V x constante, de forma que resulta uma distribuição linear de velocidade de escoamento da água. Sendo a viscosidade da água µ = 0,00 Pa.s, determine: a) O gradiente de velocidade de escoamento; b) A tensão de cisalhamento na placa superior. Resp. a) dvx/dy = 200/s b) τ= -0,2 Pa. 3

14 2. Considerando a Figura do exercício anterior. E no lugar da água, existe um óleo e se é necessário uma tensão cisalhante de 40 Pa para que a velocidade da placa permaneça constante, determine a viscosidade dinâmica desse óleo. ( Resp. µ óleo = 0,2 Pa.s). 3. Considere o ar ao nível do mar com pressão de 0,3 kpa e temperatura de 293K. Sendo R ar = 287 N.m/kg.K determine a massa específica do ar. ( Resp. ρ =,2 Kg/m 3 ). 4. Ao se submeter 0 metros cúbicos de um certo líquido a uma variação positiva de pressão igual a 00 kgf/cm 2, ele apresentou redução de volume igual a 50 litros. O módulo de elasticidade volumétrica desse líquido é? (kgf/cm 2 = 9, Pa e 000L = m 3 ). 5. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x0-2 m 3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 2 0 C e que a pressão atmosférica vale 0,3kPa. A constante do gás para o ar é R ar = 287 (J/kg K). 6. Determine a pressão de 2kg de ar que estão confinados num recipiente fechado como volume de 60L (litros) a temperatura de 25 0 C considerando R do exercício anterior. ( Resp. P = 069 kpa) 7. Se o volume específico é definido como o inverso da massa específica qual o valor do volume específico em m 3 /kg de uma substância cuja densidade é 0,8g/cm 3? 8. A massa específica da água a 20 0 C e a pressão atmosférica normal, vale 000kg/m 3. Calcule o valor da densidade de um corpo de água submetido a uma pressão de 0 8 Pa, mantendo a temperatura constante. 9. Você compra uma peça de retangular de metal com massa de 0,058 Kg e com dimensões 5,0 x 5,0 x 30,0 mm. O vendedor diz que o metal é ouro.para verificar se é verdade você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor obtido? Você foi enganado? ( Resp. 7,02 Kg/m 3 ; sim) 20. Numa tubulação escoa hidrogênio ( R = 4.22m 2 /s 2 K).Numa sessão (), p = 3x0 5 N/m 2 (abs) e T = 30 C. Ao longo da tubulação, a temperatura mantém-se constante. Qual é a massa especifica dogás numa seção (2) em que p 2 =,5x0 5 N/m 2 (abs) ( Resp. ρ = 0,2Kg/m 3 ). 2. São dadas duas placas planas paralelas à distancia de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo ( ν = 0, St e ρ = 830 Kg/m 3 ), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo? ( Resp. τ = 6,6 N/m 2 ) 4

15 22. Um volume de 0m 3 de dióxido de carbono a 27C e 33,3 kpa(abs) é comprimido até se obter 2m 3. Se a compresso for isotérmica, qual será a pressão final? (Resp. 666,5 KPa). 23. Calcular o peso especifico do ar a 44 kpa (abs) e 38C.( Resp. γ= 49,4 N/m 3 ). 24. Um gás natural tem peso especifico relativo 0,6m em relação ao ar a 9,8 x 0 4 Pa (abs) e 5 C. Qual é o peso especifico desse gás, nas mesmas condições de pressão e temperatura? Qual é a constante R desse gás? (Dados:. Rar = 287 m2/s2k; g = 9,8 m/s2). ( Resp. γ= 7 N/m 3 ; R = 478 m 2 /s 2 K). 25. Determine a massa específica do ar à pressão de atm e temperatura de 27 0 C. Dada a constante do ar R ar = 288,3 (N m)/(kg K). 26. Um fluido, encaminhado ao laboratório, foi colocado no interior de um balão volumétrico com capacidade para conter 250 mililitros e levado a uma balança. A massa medida (balão + fluido) foi igual a 3,474 kg. Sabendo-se que a massa do balão vazio é igual a 86 gramas, determine a massa específica do fluido. 27. Determine o peso de um reservatório de óleo que possui massa de 825 kg. A força peso é a massa vezes a aceleração da gravidade, g = 9,8m/s Se o reservatório do exercício anterior possuir um volume de 0,97 m 3 determine a massa específica do óleo. 29. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x0-2 m 3. Determine a massa específica do ar contido no tanque quando a pressão absoluta do ar no tanque for igual a 340 kpa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 20 O C. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K). 30. Um balão para sondagem atmosférico de formato esférico foi projetado para ter um volume de 523,6 m 3 a uma altitude de m. Se a pressão e a temperatura nessa altitude são: 20 kpa e C, determine o volume do balão de hidrogênio a 00 KPa e 20 0 C, necessário para encher o balão na terra. 3. A figura abaixo mostra um esquema de um escoamento laminar de água em regime permanente, y Vx(y) x 5 Vx

16 localizado entre duas placas horizontais planas de grandes dimensões e separadas entre si por uma distância y = 0,03m. A placa superior está em repouso, enquanto a placa inferior move-se com velocidade constante V x = 0,5m/s, resultando num perfil linear de velocidade v x (y) para o escoamento. Sendo a viscosidade da água µ = 0,00 Pa.s (para T = 20 0 C), calcule a densidade de fluxo de momento linear que ocorre nesse escoamento. ( Resp. 0,07 N/m 2 ). 6