Física Geral II. Aula 1 - Teoria cinética dos gases. D. Valin 1. Universidade do Estado de Mato Grosso. Sinop-MT, April 25, 2017

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1 Física Geral II Aula 1 - Teoria cinética dos gases D. Valin 1 1 Faculdade de Ciências Exatas - FACET Universidade do Estado de Mato Grosso Sinop-MT, April 25, 2017 D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

2 Sumário 1 Introdução O que é Física? 2 Número de Avogadro Número de Avogadro 3 Trabalho realizado por um Gás Ideal a Temperatura constante 4 Trabalho realizado por um Gás Ideal a Volume constante e Pressão constante 5 Pressão, Temperatura e Velocidade Média Quadrática 6 Energia Cinética de Translação 7 Livre Caminho Médio 8 A distribuição de velocidade das moléculas 9 Gases Reais - A equação de Van der Waals D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

3 Introdução Quando Uma garrafa de champanhe, cerveja ou qualquer outra bebida com gás é aberta, uma névoa se forma em torno da boca da garrafa e parte do ĺıquido espirra para fora. Na fotografia, a névoa é a nuvem branca que envolve a rolha e os respingos são os riscos no interior da nuvem. O que produz a névoa que aparece no ar quando uma garrafa de bebida gasosa é aberta? A resposta no final do capítulo do Halliday.. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

4 O que é Física? Um dos grandes objetivos da Física é relacionar quantidades microscópicas tais como momento linear e energia de cada molécula do gás a quantidades macroscópicas tais como Temperatura, Pressão e Volume. É a Teoria cinética dos gases que faz essa associação. A teoria cinética dos gases tem muitas aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento. D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

5 Número de Avogadro Definições O mol é o número de átomos de uma amostra de 12 g de carbono 12; Quantos átomos ou moléculas há em um mol? O número de Avogadro é definido experimentalmente como N A = mol 1 ; O número de moles n contidos em uma amostra de qualquer substância é igual a taxa do número de moléculas N em uma amostra para o número de Avogadro N A em 1 mol; n = N N A D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

6 Número de Avogadro Objetivos de aprendizagem Identificar número de Avogadro N A. Relação entre número de moles n e o número de moléculas N por meio de N A Relação entre a massa m de uma amostra, massa molar M das moléculas de uma amostra e o número N A. Idéias chave Teoria cinética relaciona propriedades microscópicas com variáveis macroscópicas de um gás. Um mole de uma substância contém N A (número de Avogadro) unidades elementares (át. ou mol.), onde N A é experimentalmente N A = mol 1. A massa molar M de uma substância é a massa de um mole da substância. D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

7 Gases ideais Medidas precisas em baixas concentrações pv = nrt (1) onde p é a medida absoluta (não manométrica), n é o número de mols do gás e T é a temperatura; O fator R é chamado de constante dos gases ideais, e possui o mesmo valor para todos os gases R = 8, 31J/mol.K De acordo com a equação acima, R = kn A. Assim, de acordo com Eq. 19-2(n = N/N A ), temos PV = NkT D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

8 Trabalho realizado por um Gás Ideal a Temperatura constante Suponha que temos um gás ideal dentro de um cilindro com um êmbulo, como o do capítulo 18. Seja uma expansão do volume inicial V i para o volume final V f, mantendo a temperatura constante. Este processo é chamado expansão isotérmica (O processo inverso - compressão isotermica) Em diagrama pv. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

9 Trabalho realizado por um Gás Ideal a Temperatura constante Continuando... P = nrt 1 V = (constante) 1 V W = Vf V i PdV substituindo o valor de P, temos: W = Vf V i nrt V Vf dv = nrt V i dv V = nrt [ln V ]V f V i Calculando o valor da expressão ln a ln b = ln( a b ), obtemos W = nrt ln( V f V i ) gás ideal processo isotérmico) D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

10 Trabalho realizado por um Gás Ideal a Volume constante e Pressão constante Para pressão constante dv = 0 então W = 0 (processo a volume constante) Se ao invés disso, o volume varia, enquanto a pressão P do gás é mantida constante, a equação: W = p(v f V i ) = p V (processo a pressão constante) Exemplo 19-1 Um cilindro contém 12 L de oxigênio a 20 o C e 15 atm. A temperatura é aumentada para 35 o C e o volume é reduzido para 8, 5 L. Qual é a pressão final do gás em atmosferas? Suponha que o gás é ideal. Exemplo 19-2 Um mol de oxigênio.... Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

11 Pressão, Temperatura e Velocidade Média Quadrática Figure: Uma caixa cúbica de aresta L com n mols de um gás ideal. Uma molécula de massa me velocidade v esta prestes a colidir com a parede sombreada de área L 2. É mostrada também a reta perpendicular a parede. D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

12 Pressão, Temperatura e Velocidade Média Quadrática Para um modelo de uma caixa cheia de moléculas de ar p x = ( mv x ) (mv x ) = 2mv x (2) p x t = 2mv x = mv x 2 2L/v x L P = F x L 2 = mv 2 x 1 /L + mv 2 x 2 /L mv 2 x N /L L 2 (4) (3) P = ( m L 3 )(v 2 x 1 + v 2 x v 2 x N ) (5) Onde N é o número de moléculas que existem na caixa. Como N = nn A P = nmn A L 3 (v 2 x ) med (6) D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

13 Energia Cinética de Translação Seja a energia cinética média das moléculas K med = ( 1 2 mv 2 ) med = 1 2 m(v 2 ) med = 1 2 mv 2 rms K med = ( 1 2 m)3rt M, Entretanto, M/m, a massa molar dividida pela massa de uma molécula, é simplismente o número de Avogadro. Assim, K med = 3RT 2N A D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

14 Energia Cinética de Translação Usando a Eq (k = R/N A ), podemos escrever: K med = 3 2 kt Propriedade Em uma dada Temperutura T, todas as moléculas de um gás ideal, independente de suas massas, têm a mesma energia cinética de translação média 3 2 kt. Quando medimos a temperatura de um gás também estamos medindo a energia cinética de translação média de moléculas. D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

15 Livre Caminho Médio Define-se livre caminho médio λ, das moléculas com a distância média percorrida po uma moléculas entre duas colisões. Espera-se que λ varie inversamente com N/V, o número de moléculas por unidade de volume (ou concentração de moléculas). λ = 1 2πd 2 N/V Teste 3 Um mol de um gás A, cujas moléculas têm um diâmetro 2d 0 e uma velocidade média v 0, é colocado em um certo recipiente. Um mol de um gás B, cujas moléculas têm um diâmetro d 0 e uma velocidade média 2v 0 ( as moléculas do gás B são menores e mais rápidas), é colocado em um recipiente igual. Qual dos gases tem a maior taxa média de colisões? D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

16 A distribuição de velocidade das moléculas Dada a lei de distribuição de velocidades de Maxwell M P(v) = 4π( 2πRT )3/2 v 2 exp( Mv 2 2RT ), Onde M é a massa molar do gás, R é a constante dos gases ideais, T é a temperatura ambiente do gás e v é a velocidade escalar média da molécula. A Área total da curva 0 P(v)dv = 1 A fração (frac) de móleculas com velocidades no intervalo, digamos, de v 1 a v 2, é frac = v2 v 1 P(v)dv Agora podemos definir Velocidade Média, Velocidade Média Quadrática e Velocidade Mais Provável v med = Que resulta em 0 v med = vp(v)dv 8RT πm. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

17 A distribuição de velocidade das moléculas Analogamente, a média dos quadrados das velocidades, (v) 2 med, pode ser calculada usando a equação (v 2 ) med = 0 v 2 P(v)dv Substituindo P(v) por seu valor, dado pela Eq , e usando a integral 16 da lista de integrais do apendice E, obtemos (v 2 ) med = 3RT M Daí v rms = 3RT M A velocidade mais provável v p é a velocidade para qual P(v) é máxima. Para isso, fazemos dp/dv = 0 2RT v p = M. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

18 A distribuição de velocidade das moléculas. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

19 A distribuição de velocidade das moléculas Example 1 Chuva - A distribuição de velocidades das moléculas da água, em digamos um lago no verão pode ser representada como na Figura do slide anterior. A maioria das moléculas não possui energia suficiente para escapar da superfície da água. No entanto, algumas moléculas rápidas, aquelas localizadas na calda da curva de altas velocidades, possuem energia suficiente para escapar. Isto explica a evaporação da água. 2 Luz solar - A energia do sol se deve a um processo de fusão nuclear que começa com a fusão dos prótons. No entanto, os prótons se repelem com a força de repulsão elétrica entre eles e os átomos com velocidades média ou abaixo dela não possuem energia suficiente para iniciar o processo de fusão. Mas os prótons rápidos, localizados na calda da curva de altas velocidades podem se fundir, e por isso o Sol brilha. D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

20 Gases Reais - A equação de Van der Waals 1 Modelo do Gás Ideal não leva em conta a interação entre as moléculas; 2 No gás real as interações tanto repulsivas quando atrativas são levadas em conta; 3 A força de interação entre moléculas de acordo com o gráfico; 4 Abaixo de r 0 as forças são tão repulsivas que podem ser esquematizadas como paredes impenetráveis; 1 O modelos que só levam em conta a parte repulsiva das moléculas é o do caroço duro, discutido no livre percurso médio. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

21 Gases Reais - A equação de Van der Waals Efeito do tamanho finito das moléculas 4 3 /pid 3 = 8x 4 3 πr 3 0 = 8v 0 onde d 0 = 2r 0 é o diâmetro efetivo da molécula e v 0 o seu volume efetivo. V V 4Nv 0 v v b b = 4N 0 v 0 = 4N 0 x 4 3 πv 3 0. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

22 Gases Reais - A equação de Van der Waals Equação de Clausius. P = RT v b (1 mol) 1 As isotermas associadas à equação acima são hipérboles; 2 A assíntota vertical deslocada para v = b em lugar de v = 0; 3 Gás Real tem um volume mínimo b que é o volume da somatória de todas as moléculas do gás. P = a v 2, a > 0 onde a constante positiva a é característica do gás.. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

23 Gases Reais - A equação de Van der Waals O termo P é chamado co-pressão e dever ser acrescentado ao segundo membro da equação (11.7.5). (P + a )(v b) = RT v 2 (1 mol) onde os parâmetros a e b se chamam constantes de Van der Walls da substância considerada.. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

24 Gases Reais - A equação de Van der Waals A equação pela curva BCD (Figura anterior) é 0 = dp dv = d dv ( RT v b a v 2 ) = RT (v b) 2 +2a Daí P 0 = a resulta v 3 = (P + a/v 2 ) v b 2ab v 2 v 3 (Curva BCD) + 2a v 3 = 0 O valor de P, correspondente, P=Pc, se obtem substituindo ( ) na (11.7.9) P c = a 9b 2 2ab 27b 3 Pc = a 27b 2 Finalmente a temperatura crítica T c da isoterma que passa pelo ponto C se obtém substituindo as ( ) e ( ) na (11.7.7): dp 0 dv = 0 v c = 3b RT c = 8a 27b. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Física Geral II Sinop-MT, April 25, / 25

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