Convecção Natural em Espaços Confinados. Professora Mônica F. Naccache

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1 Convecção Natural em Espaços Confinados Profa. Mônica F. Naccache 1

2 Convecção Natural em Espaços Confinados Resulta da complexa interação entre o fluido e todas as paredes que o circundam Vamos focar nos fundamentos envolvidos no processo e nos mecanismos responsáveis pela TC Podemos dividir os problemas em Jpos: espaços confinados aquecidos lateralmente espaços confinados aquecidos pela superlcie inferior

3 Aquecimento lateral Eqs. de conservação para fluido incompressível, regime transiente, propriedades ctes, hipótese de Boussinesq: u x + v y = 0 u t + u u x + v u y = 1 p ρ x +ν u x + u y v t + u v x + v v y = 1 p ρ y +ν v x + v y T t + u T x + v T y = α T x + T y g 1 β T T 0 [ ( )] A solução das eqs. é ob0da numericamente 3

4 Análise da ordem de grandeza: permite prever teoricamente os Jpos e padrões de troca de calor Logo no início do processo, o fluido bem próximo às paredes está parado: nesta região a eq. de energia é um balanço entre inércia térmica e condução 4

5 ΔT t α ΔT δ T δ ( αt T )1/ (cresce com tempo) Eliminando a pressão das eqs. momentum: p = p y x x y Assim : v x t + u v x + v v u y y t + u u x + v u = ν v y x x + v y u y x + u y gβ T x inércia Os 3 termos que dominam a eq. acima são ( / x >> / y) : inércia : v x t v δ T t atrito :ν 3 v x 3 ν v δ T 3 empuxo : gβ T x gβ ΔT δ T v δ T t,ν v δ T 3 ΔT gβ δ T gera o mov. difusão empuxo 5

6 Queremos determinar quando o empuxo é contrabalançado pela inércia ou pelo 3 atrito. Dividindo tudo pela ordem de grandeza do termo de atrito ( ν v /δ ), e lembrando que δ T T αt : 1 Pr,1 gβδtδ T νv para fluidos com Pr > 1: atrito empuxo e v gβδtαt ν Da eq. de energia : ΔT, v ΔT H α ΔT δ T t inércia convecção condução t cresce v cresce efeito da convecção é maior e da inércia cai. No tempo final ( reg. permanente), convecção condução : v ΔT α ΔT νh t δ f T gβδtα H convecção condução δ T, f ( αt f ) 1/ 1/ 4 HRa H 1/ Ra H = gβδth 3 αν (*) 6

7 Além da CL térmica, as paredes laterais desenvolvem jatos de velocidade (viscous wall jets), de espessura δ v. Fora da CL térmica, δ v pode ser objdo da eq. de mom. Nesta região, o efeito do empuxo é pequeno: inércia atrito. Assim: v δ v t ν v δ δ 3 v ( νt) 1/ Pr 1/ δ T v No regime permanente, t>t f, o escoamento perto de cada parede lateral é caracterizado por uma estrutura em camadas: - CL térmica: δ T,f - Jato na parede (região mais grossa): δ v Pr 1/ δ T,f 7

8 Critério para camadas verjcais disjntas se δ T,f <L: CL térmica dos lados não se encontrarão. Da eq. (*), H/L<Ra H 1/4 Para a CL hidrodinâmica (wall jets): δ v,f <L. Então, H/ L<Ra 1/4 H Pr - 1/ (A) Critério para jatos horizontais disjntos Q convecção esq- dir (ρvδ T ) f c p ΔT kδtra H 1/4 Q condução topo- baixo kδt/h A energia carregada pelo fluxo de massa vai ajngir o lado oposto quando a difusão verjcal for desprezível, i.e., kδt/h<<kδtra H 1/4 (ou H/ L>>Ra H - 1/4, (B)). Neste caso, as correntes horizontais ao longo das paredes adiabájcas não são afetadas umas pelas outras. 8

9 As condições acima (A) e (B), junto com a condição necessária para a troca de calor (Ra H >1) dividem o campo H/L- Ra H em 4 regiões, cada uma representando um regime em condições de regime permanente: 1: Limite de condução: a temperatura varia linearmente através da cavidade. A troca de calor entre os lados é da ordem de khδt/l. O gradiente de temperatura ΔT/L gera uma recirculação (fraca) no senjdo horário. : Limite para alto espaço confinado (H/L>>1): temperatura varia linearmente entre os lados e Q khδt/l. Recirculação no senjdo horário, com camadas disjntas no topo e no fundo da cavidade. 3: Limite para altos Ra H (reg. CL): CL térmicas verjcais disjntas ao longo das paredes laterais. Q khδt/δ T,f. O centro da cavidade fica prajcamente estagnado e estrajficado termicamente. 4: Limite para espaço confinado raso: troca de calor é dominada pela presença de CL térmicas verjcais (Q khδt/δ T,f ). Este é um valor máximo para Q, pois a largura extensa da cavidade força um isolamento na região central. 9

10 1: Limite de condução: a temperatura varia linearmente através da cavidade. A troca de calor entre os lados é da ordem de khδt/l. O gradiente de temperatura ΔT/L gera uma recirculação (fraca) no senjdo horário.. Limite para alto espaço confinado (H/ L>>1): temperatura varia linearmente entre os lados e Q khδt/l. Recirculação no senjdo horário, com camadas disjntas no topo e no fundo da cavidade. 4. Limite para espaço confinado raso: troca de calor é dominada pela presença de CL térmicas verjcais (Q khδt/δ T,f ). Este é um valor máximo para Q, pois a largura extensa da cavidade força um isolamento na região central. 3. Limite para altos Ra H (reg. CL): CL térmicas verjcais disjntas ao longo das paredes laterais. Q khδt/δ T,f. O centro da cavidade fica prajcamente estagnado e estrajficado termicamente. 10

11 Regime de camada limite (região 3) Obs: nas regiões 1 e transferência de calor é muito próxima à esjmajva de condução pura Quando CL verjcais estão presentes, a transferência de calor é controlada por uma resistência térmica da ordem de δ T,f (espessura final da CL) Adimensionalização, regime permanente: x * = x δ T, f y * = y H T* = T ΔT u * x * + v* y * = 0 u * = T * u * x + T * * v* y = T * 1/ T * + Ra * x * H y * 1 Pr u v ( * = u v δ T, f / H)v f v f = gbδtαt f ν v * u * x * x + v * * v* 1/ u * Ra y * H u * y * x + u * * v* = y * v * x * x + Ra 1/ v * 1/ u * * H Ra y * H y * x + Ra 1/ u * * H + T* y * escala da vel. inicial vertical x * 11

12 No limite para altos Ra H e Pr>1, as eqs se reduzem a : u * x * + v* y * = 0 u * T * x * + v* T * y * = T * x * 0 = 3 v * T* + *3 x x * Solução aproximada de Gill, com as CC : parede lateral: x * = 0 u * = v * = 0 T * =1/ parede longitudinal: x * u * u * (y * ) v * 0 T * T * ( y * ) (vel. e temp. desconhecidas na região central estratificada) paredes sup. e inferior : impermeáveis Solução válida para a CL(não é válida nos cantos) : v * = 1/ - T * λ λ 1 e λ * x + e λ 1x ( ) * ( ) + T * T * = 1/ - T * λ λ λ e λ x * + λ 1 e λ 1x * 1 1

13 Troca de calor na cavidade: Q = k Nu = H / H / T x Q Q condução pura = x =0 dy = 0,364kΔTRa H 1/ 4 Q khδt/l = 0,364 L H Ra 1/ 4 H Solução de Bejan, considerando paredes horizontais impermeáveis e adiabájcas: 13

14 Comparação da solução teórica de Bejan com resultados experimentais e numéricos 14

15 Regime de cavidade rasa (região 4) H / L 0 : u L v H u HL inércia u ΔT α ΔT H L convecção condução vertical ou ν u ΔT gβ H 3 L atrito empuxo - A escala de velocidade depende do balanço de forças. Podemos ter possibilidades: - atrito ~ empuxo: - inércia ~ empuxo 15

16 No primeiro caso (atrito x empuxo): u ~ gβh 3 ΔT v ~ gβh 4 ΔT νl νl A ordem dos termos das eqs. energia e momentum ficam: H Ra L H ~ 1 convecção 0 H Ra H L Pr inércia 0, 1 ~ 1 atrito empuxo H / L 0 : u L v H u HL inércia u ΔT α ΔT H L convecção condução vertical ou ν u ΔT gβ H 3 L atrito empuxo Logo, concluimos que o balanço correto ocorre entre atrito e empuxo (pode- se mostrar que a outra escolha, inércia x empuxo, é incompavvel com a condição H/L~0). Da eq. energia, observa- se que a difusão verjcal é >> do que o fluxo de entalpia entre as paredes laterais (bom contato térmico na direção verjcal) 16

17 As eqs. podem ser resolvidas para H/L~0, usando variáveis adimensionais, e uma expansão em série em torno de ε=(h/l) (para u*, v* e T*) O fluxo de calor de T quente para T frio e o número de Nusselt são dados por: Q = 0 H k T x ρc ut p dy quando (H / L) Ra H 0 : T * independe de y *, temp. decresce linearmente entre as laterais. Neste caso: Nu = 3 Q khδt / L = K + K H L Ra H K 1 : gradiente axial de temp. no núcleo 17

18 perfil de temperatura e velocidade Nu, pg 17 Comparação com outros resultados 18

19 Cavidades com H/L>1: Nu = Q Q condução pura = Resumo Cavidades com H/L<1: Fig Cavidades com H/L=1: a expressão para H/L>1 tem boa concordância com dados experimentais e numéricos Q khδt/l = 0,364 L H Ra 1/ 4 H bom quando (L / H)Ra H 1/ 4 5 (qdo o efeito da convecção é alto, Nu > 1) Fig

20 Cavidades com parede inferior aquecida ΔT tem que exceder um valor críjco para o início do movimento (diferença em relação às cavidades aquecidas lateralmente) - Ra < Ra L,c =1708, forças de empuxo são menores do que as forças viscosas e não ocorre movimento Troca de calor por condução < Ra < 5x10 4, movimento do fluido se dá em forma de células igualmente espaçadas Para maiores valore de Ra, as células se quebram e o movimento é turbulento - Correlação de Globe e Dropkin (para baixos H/L): Nu = hl k = 0.069Ra 1/ 3 H Pr x10 5 < Ra H < 7x10 9 propriedades a T m =(T 1 +T )/ 0

21 Outras geometrias de interesse: cavidades inclinadas: correlações que dependem do ângulo de inclinação e de Ra cilindros concêntricos esferas concêntricas 1

22 - Cilindros concêntricos - Formação de células simétricas - Fluido sobe pelo parede aquecida e desce pela parede fria q'= k ef πk ef ln(d o /D i ) (T i T o ) k = Pr Pr Ra c * = 1/4 [ln(do/di)] 4 L 3 (D i 3/5 + D o 3 / 5 ) 5 Ra L - Esferas concêntricas q'= πk ef k ef D o D i L k = 0.74 Pr Pr Ra s * = (10 Ra * c 10 7 ) (Ra c * ) 1/4 (T i T o ) (10 Ra * s 10 4 ) 1/ 4 (Ra s * ) 1/ 4 LRa L (Do/ Di) 4 (D i 7 / 5 + D o 7 / 5 ) 5

23 - Convecção mista u * u * x * + v* u * y * = gβ(t s T )L u 0 T * + 1 Re L u * y * u * x * + v* y * = 0 - Número de Grashof: razão entre forças de empuxo e forças viscosas Gr L gβ(t s T )L u 0 T * u * x + T * * v* y = 1 T * * Re L Pr y * Ra x = Gr x Pr = gβ(t T )x 3 s u 0 L ν = gβ(t s T )L3 ν - Efeitos combinados de convecção forçada e natural devem ser considerados quando Gr L /Re L 1 Nu L =f(re L,Gr L,Pr) να - Se Gr L /Re L <<1: efeitos da convecção natural são desprezíveis Nu L =f(re L,Pr) - Se Gr L /Re L >>1: efeitos da convecção forçada são desprezíveis Nu L =f(gr L,Pr) 3

24 - Convecção mista Situações em que a convecção natural é comparável a forçada (Gr L /Re L ) 1 Em geral usa- se como primeira aproximação: Nu n = Nu F n ± Nu N n n=3 ou 7/ ou 4 4