Capítulo 4. Convecção Natural

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1 Capítlo 4 Convecção Natral

2 eitra e Exercícios (Incropera & DeWitt) 6ª Edição Seções: 9. a 9.9 Exercícios: Cap. 9 6, 9, 3, 8, 5, 7, 30, 36, 45, 58, 75, 88, 9, 94, 05, 0 5ª Edição Seções: 9. a 9.9 Exercícios: Cap. 9 6, 9, 3, 8, 5, 7, 30, 36, 45, 58, 75, 88, 9, 94, 05, 0

3 4.. Definições Convecção natral o livre: Modo de transferência de calor por convecção em qe o movimento do flido é resltante da própria transferência de calor Em m flido sbmetido a m gradiente de temperatra, existirão gradientes de massa específica resltantes qe, na presença de ma força de campo (ex. gravitacional), poderão resltar em m movimento macroscópico do flido thermal plme

4 4.. Definições Mecanismo básico Diferença de temperatra (T s T ) ρ T < 0 (flidos) Convecção de calor Força de corpo (empxo) (ρ s ρ ) Movimento do flido (camada-limite) instabilidade?

5 4.. Definições Importância da convecção natral. Valores de h são mais baixos (menores velocidades): Em associações de resistências em série, pode ser a resistência térmica dominante. q T T T T T 3 T T T 3 q R R R 3 T x. Como não há csto em se bombear o flido, a convecção natral é sempre ma alternativa barata de transferência de calor (ex. condensador arame-tbo)

6 4.. Considerações Físicas Condição de Estabilidade Caso (a) ρ negativo no mesmo sentido da aceleração da gravidade (pode gerar instabilidade e convecção) Caso (b) ρ negativo no sentido oposto ao da aceleração da gravidade (estável: condção apenas)

7 4.. Considerações Físicas Tipos de escoamentos: não-confinados Plma térmica Jato livre

8 4.. Considerações Físicas Tipos de escoamentos: camada-limite

9 4.. Considerações Físicas Tipos de escoamentos: confinados Canal Cavidade fechada

10 4.3. Eqações da Convecção Natral Considere o escoamento na camada-limite: Hipóteses: escoamento laminar regime permanente geometria bidimensional força de corpo devida à gravidade propriedades físicas constantes (a menos da variação de ρ no termo de empxo) forças atando nm elemento de flido

11 Eqações de camada-limite 4.3. Eqações da Convecção Natral Eqação do movimento (dir. x): + + ν ρ + y x g x p y v x y << Eqação do movimento (dir. y): + + ν ρ + y v x v y p y v v x v (c.l.) y << v << y << y << Eqação da continidade: 0 y v x +

12 4.3. Eqações da Convecção Natral Eqações de camada-limite p y Como: ~ 0 p x dp dx ρ g (só componente hidrostático: região externa está em reposo) Assim: ρ p x g ρ ρ g g g ( ρ ρ) ρ g Δρ ρ A eq. do movimento (dir. x) fica: x + v y g Δρ ρ + ν y inércia empxo (motriz) viscosa (dissipativa)

13 4.3. Eqações da Convecção Natral O coeficiente de expansão volmétrica térmica Se o Δρ for devido a ma variação de temperatra (convecção natral), podemos expressá-lo em fnção de ma propriedade termodinâmica: V ρ β [K - ] V T ρ p T p

14 4.3. Eqações da Convecção Natral Aproximação de Bossinesq É ma linearização da dependência de ρ em fnção de T β ρ ρ T ρ T ρ ρ ρβ( T T ) Valores de β [K - ] (líqidos a ~ 5 o C e atm) mercúrio:,8 x 0-4 ága:,47 x 0-4 metanol:,0 x 0-4 óleo de máqina: 7,0 x 0-4 Gases ideais: β T

15 Eqações da camada-limite laminar 4.3. Eqações da Convecção Natral ( ) y T T g y v x + ν β + y T y T v x T α + 0 y v x + A eqação da qantidade de movimento e da energia são acopladas pelo termo de empxo inércia empxo (motriz) viscosa (dissipativa)

16 4.4. Análise de Ordens de Grandeza Na região da camada-limite F I ~ F V ~ F B Objetivo: calclar ref (velocidade característica na camada-limite) F I ρ ref ref FV µ δ F B ( ρ ρ )g s F s : forças por nidade de volme

17 4.4. Análise de Ordens de Grandeza Fazendo: F ~ F B I tem-se ( ρ ρ ) S g ~ ρ ref ref ~ ( ) ρ ρ g ρ s

18 4.4. Análise de Ordens de Grandeza Fazendo: F ~ F I V temos ref ~ ν δ ref δ ~ ν ref "Re " (mesmo resltado da convecção forçada)

19 4.4. Análise de Ordens de Grandeza Combinando os dois resltados: Introdzindo a hipótese de Bossinesq: ( ) 4 3 s g ~ ρ ρ ν δ T) T ρ ρβ( ρ ( ) 4 3 s g T T g ~ β ν δ 4 ~ Gr δ (crescimento da camada-limite laminar)

20 4.5. Forma Adimensional e Similaridade Número de Grashof gβ ( T Gr s T ) 3 ν Forças de empxo Forças viscosas

21 4.5. Forma Adimensional e Similaridade Considere a adimensionalização pelas segintes escalas: x x ref T T T s T T v y v ref y ref ( ρ ρ ) ρ S g [ gβ( T T ) ] s

22 4.5. Análise de Ordens de Grandeza Sbstitindo ref na eqação do movimento: ref ( ρ ρ ) ρ S g [ gβ( T T ) ] s Temos: x + v y T + Gr / y T x E a eqação da energia fica: + v T y Gr / Pr T y Gr desempenha na convecção natral o mesmo papel qe Re desemepnha na convecção forçada

23 Na presença de corrente livre com não-nlo v v y Re T Re Gr y v x + + y T Pr Re y T v x T + ( ) 3 s T T g Gr ν β ν Re 4.6. Convecção Mista

24 4.6. Convecção Mista A análise fncional da solção do sistema de EDPs fornece: N h f ( Re,Gr,Pr) para ma dada k geometria

25 4.6. Convecção Mista Regimes de convecção Se Se Se Gr << Re Gr >> Re Gr Re Efeitos de inércia prevalecem e a convecção natral pode ser desprezada N h k f ( Re,Pr) Efeitos de empxo prevalecem e os efeitos de convecção forçada são peqenos N Convecção mista N h k h k f f ( Gr,Pr) ( Re,Gr,Pr)

26 4.7. Solção da Camada-imite aminar A solção por similaridade foi proposta por Ostrach (953) (para meio em reposo) ref y φ φ δ ( η) (perfis similares) onde, da análise de escalas, temos: δ( x) x 4 Gr x Combinando com o conceito de fnção corrente, Ostrach transformo o sistema de EDP s em EDO s, qe podem ser integradas nmericamente para determinar os perfis de e T

27 4.7. Solção da Camada-imite aminar Perfis de velocidade e de temperatra Note qe o campo de velocidades também é inflenciado por Pr

28 4.8. Coeficiente de Transferência de Calor Derivando o perfil de temperatras na parede N x h xx k onde: qʹ ʹ x k (T s T k y q ʹ ʹ T y 0 ) Sbstitindo o perfil de temperatras: N x hx k Gr 4 x 4 dt dη η 0 Gr 4 x 4 g(pr) onde g(pr) 0,75 Pr / ( 0,609 +,Pr / +,38Pr) / 4 0 Pr

29 4.8. Coeficiente de Transferência de Calor Coeficiente de transferência de calor médio h hdx 0 0 k x N x dx Sbstitindo: h 4 3 k Gr 4 o: 4 N 3 4 N g(pr) os resltados dessa seção são para escoamentos laminares com T s maior o menor qe T

30 4.9. Efeitos da Trblência na C. Natral Instabilidade térmica origina o escoamento Instabilidade hidrodinâmica origina a trblência no escoamento Transição laminar-trblento: Ra 9 x,c 0 onde Ra x,c é o número de Rayleigh crítico Ra x,c Gr x,c Pr gβ Forma geral: ( T T ) s να x 3 n N CRa

31 4.0. Placa Vertical Isotérmica Chrchill e Ch (975) N 0,85+ 0,387Ra [ + (0,49 Pr) /6 9/6 ] 8/ 7 Propriedades avaliadas na T filme Válida para toda a faixa de Ra

32 4.. Placa Vertical com flxo constante Para q constante, T s - T amenta em fnção de x. Se: / 4 N x Ra x q ʹ ʹ x kδt ΔT / 4 x 3/ 4 Assim: /5 ΔT x

33 4.. Placa Vertical com flxo constante Para q constante, as correlações para T s constante podem ser sadas desde qe: N e Ra sejam definidos com base em: ΔT / T ( / s ) T o coeficiente de convecção médio é, então: h qʹ ʹ Δ T / e o cálclo é iterativo.

34 4.. Placas Inclinadas Redção da componente da força de empxo na direção paralela à placa Redção da velocidade do flido ao longo da placa (fato) Não necessariamente significa ma redção na transferência de calor (por qê?)

35 4.. Placas Inclinadas Inflência da orientação Sperior: amento Inferior: redção Sperior: redção Inferior: amento Redção: componente de g em x é redzida a gcosθ Amento: empxo facilita o deslocamento de flido para longe da sperfície (3D, plmas)

36 4.3. Placas Inclinadas Recomendação Para convecção a partir de sperfícies onde há redção da transferência de calor, recomenda-se sbstitir g por gcosθ na correlação para placa vertical se 0 < θ < 60 o

37 4.3. Placas Horizontais Flido a T >T s Flido a T <T s Flido a T >T s Flido a T <T s (a) e (d): (b) e (c): / 4 N 0,7Ra / 4 N 0,54Ra (0 5 < Ra < 0 0 ) (0 4 < Ra < 0 7 ) A P s área placa perímetro /3 N 0,5Ra (0 7 < Ra < 0 )

38 4.4. Cilindro Vertical Pode ser tratado como ma placa vertical qando: D 35 / Gr 4 correção de Cebeci

39 4.5. Cilindro Horizontal ongo Variação do número de Nsselt local N θ θ π 0 π/ π θ 0 D é o comprimento característico (comportamento no regime laminar) (no cilindro resfriado a crva é invertida)

40 4.5. Cilindro Horizontal ongo Chrchill e Ch (975) N D 0,60 + 0,387Ra [ + (0,559 Pr) /6 D 9/6 ] 8/ 7 Propriedades avaliadas na T filme Válida para Ra D < 0

41 4.6. Esfera Chrchill N D + [ + 0,589Ra (0,469 Pr) / 4 D 9/6 ] 4/9 Propriedades avaliadas na T filme Válida para Ra D < 0

42 4.7. Canais de Placas Paralelas A princípio, condições de contorno diferentes podem ser aplicadas em () e (), o seja, T constante o q constante Peqenos /S: desenvolvimento da c.l. é independente para cada placa Grandes /S: encontro das c.l. s forma ma condição desenvolvida Se θ 0: Escoamento é 3D

43 4.7. Canais de Placas Paralelas Placas verticais aqecidas simetricamente e isotérmicas (Elenbaas) N S Ra 4 s S 35 exp Ra S ( S/ ) (Ar atmosférico, 0 - < (S/)Ra S < 0 5 ) 3/ 4 onde: N S q / A Ts T S k Ra S gβ ( T T ) s αν S 3 Note qe para S/ 0: (A é a área de ma placa) N S Ra 4 s S (limite plenamente desenvolvido)

44 4.7. Canais de Placas Paralelas Placas verticais aqecidas (Bar-Cohen e Rohsenow) Temperatra constante N S C ( Ra S/ ) ( Ra S/ ) s + s C / / (qalqer S/) N S q / A Ts T S k Ra S gβ ( T T ) s αν S 3 (A é a área de ma placa) (C e C são constantes qe dependem da condição de contorno nas placas adjacentes)

45 4.7. Canais de Placas Paralelas Placas verticais aqecidas (Bar-Cohen e Rohsenow) Flxo de calor constante N S, C Ra ss/ + ( Ra S/ ) s C /5 / (qalqer S/) N S, T s, q ʹ ʹ T S k Ra S gβq ʹ ʹ S k αν 4 (o sb-índice se refere a condições em x, onde a temperatra da placa assme o valor máximo) (C e C são constantes qe dependem da condição de contorno nas placas adjacentes)

46 4.7. Canais de Placas Paralelas Placas verticais aqecidas (Bar-Cohen e Rohsenow) Constantes para as das sitações S oti é o espaçamento qe maximiza a transferência de calor no conjnto, fornecendo o máximo para o prodto entre o h médio e a área sperficial das placas S max é o espaçamento qe maximiza a transferência de calor em cada placa individalmente, o qal deve ser alto para evitar interferência entre as c.l. s

47 4.8. Cavidades Retanglares qʹ ʹ h ( ) T T τ 0 o : Cavidade horizontal com aqecimento inferior (instável). τ 90 o : Cavidade vertical com aqecimento lateral (instável). τ 80 o : Cavidade horizontal com aqecimento sperior (estável).

48 4.8. Cavidades Retanglares Horizontal com aqecimento inferior imite de estabilidade dado por: Ra gβ ( T T ) 3 > αν 708 empxo vence a resistência viscosa h k N 0,069Ra /3 (3 x 0 5 < Ra < 7 x 0 9 ) Pr 0,074 O-R mixtre propriedades avaliadas na temperatra média

49 4.8. Cavidades Retanglares Horizontal com aqecimento sperior h N k (condção de calor somente)

50 4.8. Cavidades Retanglares Vertical com aqecimento lateral N h k 0,4Ra / 4 Pr 0,0 H 0,3 h N k 0,46 /3 Ra

51 4.8. Cavidades Retanglares Condtividade térmica efetiva ( T ) ( T T ) q ha T kn A k k eff N

52 4.9. Otras Geometrias ex. coletores solares Correlações disponíveis em Incropera et al. (007)

53 4.0. Convecção Mista Gr Re n n F n N N ± N (n~3) (+: escoamentos paralelos e transversais) (-: escoamentos opostos)