AULA 12 INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONVECTIVA

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1 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 85 AUA 1 INROUÇÃO À RANSFERÊNCIA E CAOR CONVECIVA ei de sfriamento de Newton Já vimos qe a transferência de calor or convecção é regida ela simles de lei de resfriamento de Newton, dada or: onde, q S A( s, temeratra da serfície aqecida e do flido ao longe; A área de troca de calor, isto é, a área de contato do flido com a serfície; = coeficiente de transferência de calor or convecção. O roblema fndamental da transferência de calor or convecção é a determinação do valor d ara o roblema em análise. Nota-se qe a eressão da transferência de calor é consideravelmente mais simles qe a da condção. No resente caso, basta resolver ma eqação algébrica simles ara qe o flo de calor seja obtido desde qe, claro, se coneça o valor de, enqanto qe no segndo caso, eige-se a solção da eqação diferencial da condção de calor. Essa aarente simlicidade é, no entanto, enganosa, ois na verdade, em geral, é fnção de m grande número de variáveis, tais como as roriedades de transorte do flido (viscosidade, densidade, condtividade térmica, velocidade do flido, geometria de contato, entre otras. Nessa e nas demais alas, serão areentadas eressões e métodos de obtenção daqela grandeza ara diversas condições de interesse rático. Mas, antes, vamos aresentar os números adimensionais qe controlam a transferência de calor convectiva. Análise imensional A análise dimensional é m método de redzir o número de variáveis de m roblema ara m conjnto menor de variáveis, as qais não ossem dimensão física, isto, tratam-se de números adimensionais. Algns adimensionais qe o alno já deve estar familiarizado a essa altra são o número de nolds na Mecânica dos Flidos, os números de Biot e de Forier. - José R. Simões Moreira atalização set/1

2 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 86 A maior limitação da análise dimensional é qe ela não fornece qalqer informação sobre a natreza do fenômeno. odas as variações qe inflenciam devem ser conecidas de antemão. Por isso deve se ter ma comreensão física reliminar correta do roblema em análise. O rimeiro asso da alicação do método consiste na determinação das dimensões rimárias. odas as grandezas qe inflenciam no roblema devem ser escritas em fnção destas grandezas. Por eemlo, considere o sistema rimário de grandezas Mt, onde: Comrimento emo t Massa M emeratra Nesse sistema de grandezas rimárias, or eemlo, a grandeza força tem as segintes dimensões: Força M/t O mesmo ode ser feito ara otras grandezas de interesse: Condtividade térmica M/t Calor M /t Velocidade /t ensidade M/ Velocidade M/t Calor esecífico a ressão constante /t Coeficiente e transmissão de calor M/t eorema dos Π o de Bckingam Esse teorema ermite obter o número de adimensionais indeendentes de m roblema. É dado or: Onde, M = N P M número de gros adimensionais indeendentes; N número de variáveis físicas dos roblemas; P número de dimensões rimárias; Sendo m adimensional genérico, ode-se escrever, então: F( 1,,... m - José R. Simões Moreira atalização set/1

3 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 87 Para eemlificar, considere m fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões rimarias. ogo, M = 5- =, de onde se obtém: F, o ( 1 ode-se escrever m adimensional como fnção do otro da seginte forma. 1 f ( Essa relação fncional ode ser teórica o eerimental, obtida em laboratório, como indicado no gráfico abaio. Note qe seria necessário se realizar eerimentos com aenas ma variável (gro adimensional e observar a deendência de 1. Com isso, redz-se drasticamente o número de eerimentos. Caso contrário, seria necessário fazer eerimentos envolvendo as 5 variáveis originais do roblema. f ( crva e erimental 1 Otro eemlo, seria o caso de m fenômeno descrito or gros adimensionais. Nesse caso, tem-se: F,,, o f, ( 1 1 ( Pode-se, assim, lanejar eerimentos laboratoriais mantendo constante, e variando, observando como 1 varia, como ilstrado no gráfico abaio. 1 crvas de cons tantes - José R. Simões Moreira atalização set/1

4 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 88 Adimensionais da transferência de calor or convecção forçada Considere o escoamento crzado em m tbo aqecido, como ilstrado na figra abaio. V flido bo aqecido Sabe-se de antemão qe as grandezas qe interferem na transferência de calor são: Variáveis Eq. imensional iâmetro do bo k Condtividade térmica do flido M/t V Velocidade do flido /t ρ ensidade do flido M/ μ Viscosidade do flido M/t C P Calor esecifico a ressão constante /t Coef. de transferência de calor M/t Portanto, á N = 7 grandezas e P = 4 dimensões rimárias, do qe reslta em: M = 7 4 = ( gros adimensionais Seja m gro adimensional genérico do tio: a b c d e K V c f g c Sbstitindo as eqações dimensionais de cada grandeza, vem: o, aós rearranjo, vem: b c d e f a M M M t t t t M t bdeg abcd e f bce f g b f g M t Por se tratar de m adimensional, todos os eoentes devem ser nlos, isto é: g - José R. Simões Moreira atalização set/1

5 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 89 b d e g a b c d e f b c e f g b f g á m sistema de 7 incógnitas e 4 eqações. Portanto, o sistema está indefinido. O método ressõe qe se assmam algns valores ara os eoentes. Aqi é m onto crítico do método, ois á de se fornecer valores com critérios. Por eemlo, (A Como é ma grandeza qe nos interessa, vamos assmir o seginte conjnto de valores g 1 c d Assim, ode-se resolver a eqação do gro adimensional, resltando em: a = 1 b = -1 e = f = Esse rimeiro gro adimensional recebe o nome de número de Nsselt, definido or: 1 k N (B Agora vamos eliminar e assmir otros valores g a 1 f (ara não aarecer A solção do sistema fornece: b = c = d = 1 e = -1 e onde reslta o otro gro adimensional relevante ao roblema qe é o número de nolds, dado or: V - José R. Simões Moreira atalização set/1

6 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 9 (C - Finalmente, vamos assmir os segintes valores e = f =1 b = -1 aí reslta, o terceiro e último número adimensional qe recebe o nome de número de Prandtl, c Pr k Então, á ma fnção do tio F ( 1,, o F ( N,, Pr. Isolando o número de Nsselt, vem: N f (, Pr Assim, os dados eerimentais odem ser correlacionados com as variáveis (os gros adimensionais ao invés de sete (as grandezas qe interferem no fenômeno. Vimos, então, qe: N f (, Pr iversos eerimentos realizados com ar, óleo e ága mostraram qe eiste ma ótima correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilstrado no gráfico abaio. Note qe, ar, ága e óleo aresentam roriedades de transorte bastante distintas e, no entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três flidos odem ser correlacionados or meio dos números adimensionais. Isto também indica qe, ma vez obtida a eressão qe rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade ara sar com otros flido, caso não eistam dados eerimentais de laboratório disoníveis. N, Pr 1 1,,4 N,8 Pr < <1,1 1 ága óleo ar José R. Simões Moreira atalização set/1

7 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 91 AUA 1 CAMAA IMIE AMINAR SOBRE UMA PACA OU SUPERFICIE PANA Na ala assada vimos qe a transferência de calor no escoamento eterno sobre ma serfície reslta na eistência de números adimensionais qe controlam o fenômeno. Essas grandezas são o número de Nsselt, N, o de nolds,, e o de Prandtl, Pr. e forma qe eiste ma relação do tio N = f(, Pr, a qal ode ser obtida de forma eerimental o analítica em algmas ocas sitações. Na ala de oje aresentar-se-á ma sitação articlar em qe esta relação ode ser obtida de forma analítica e eata. Para isso, serão aresentadas as eqações diferenciais qe regem a transferência de calor em escoamento sobre ma serfície lana em regime laminar. eois será indicada a solção dessas eqações. Para começar o estdo, considere o escoamento de m flido sobre ma serfície o laca lana, conforme ilstrado. Admita qe o flido tena m erfil niforme de velocidades (retanglar antes de atingir a laca. Qando o mesmo atinge a borda de ataqe, o atrito viscoso vai desacelerar as orções de flido adjacentes à laca, dando início a ma camada limite laminar qe cresce em esessra à medida qe o flido escoa ao longo da serfície. Note qe esta camada limite laminar vai crescer continamente até qe instabilidades vão indzir a ma transição de regime ara dar início ao regime trblento, se a etremidade da laca (borda de fga não for antes atingida. Admite qe a transição ocorra ara a seginte condição 5 transição 51 (às vezes também se sa 1 5, onde é a distância a artir do início da laca (borda de ataqe. laminar ransição rblento - José R. Simões Moreira atalização set/1

8 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 9 No regime laminar, o flido escoa como se fossem lâminas deslizantes, sendo qe a d tensão de cisalamento (originária do atrito entre essas camadas é dada or d ara m flido newtoniano (como o ar, ága e óleo. Essa condição e geometria de escoamento ermitem ma solção eata, como se verá a segir. Eqações da continidade e qantidade de movimento na camada limite laminar ióteses rinciais: - Flido incomressível - gime ermanente - Pressão constante na direção erendiclar à laca - Proriedades constantes - Força de cisalamento na direção constante Considere m elemento diferencial de flido dentro da camada limite laminar (C, como indicado. d d Eqação da continidade o da conservação de massa. v (v d d d ( d d d vd d Como m m, então sbstitindo os termos, vem: sai entra v d vd ( v d d ( d d. Simlificando, tem-se v o ivv - José R. Simões Moreira atalização set/1

9 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 9 Eqação da conservação da qantidade de movimento a ª lei de Newton, tem-se qe et F variação do flo da qantidade de movimento Balanço de forças na direção. Forças eternas (ressão e atrito gravidade desrezível ( d d d ( d d d F d ( d d d ( d d o, simlificando, F dd dd Mas, or ser m flido newtoniano, tem-se d qe, sbstitindo, em. d dd dd F Agora, vamos calclar o flo de qantidade de movimento (direção v ( v d( d d d ( d d vd - José R. Simões Moreira atalização set/1

10 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 94 Jntando todos os termos, tem-se a seginte eressão: ( d d v d ( v d( d d vd d dd ( d d v d vd v dd dd v ( d d vd v dd v dd dd termos de ordem serior Ainda é ossível simlificar esta eqação ara obter v ( v dd ( dd continidade ( v dd Portanto, agora odemos jntar os termos de resltante das forças eternas com a variação do flo da qantidade de movimento, resltando na seginte eqação: ( v Eqação da conservação da energia, o rimeira lei da termodinâmica - Condção na direção desrezível - Energia cinética desrezível face à entalia v ( ( v d d ( ( d d d d ( ( d d kd( d d d ( d( d d ( d d vd d d kd Potência (térmica líqida das forças viscosas - José R. Simões Moreira atalização set/1

11 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização set/1 95 dd dd d d d ( ( Conservação de energia: de temo nidade na controle diferencia l o volme de deia qe de energia flo de temo nidade realizado na trabalo líqido de temo nidade na controle diferencia l entra no volme de qe de energia flo Agora, vamos tratar cada termo em articlar Flo de energia qe entra Entalia + Condção de calor (note qe a condção na direção é desrezível kd d vd rabalo na nidade de temo (otência térmica gerada elas forças viscosas dd Flo de energia qe entra ( ( ( ( ( d kd d d d d d d v v esrezado os termos de ordem serior dd k dd v dd v dd dd dd ( k v v de continida Com c e sbstitindo todos os termos na eqação de balanço, reslta na forma diferencial da eqação da energia ara a camada limite laminar, dada abaio: k v c c

12 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 96 Em geral a otência térmica gerada elas forças viscosas (último termo é desrezível face ao termo da condção de calor e de transorte convectivo de energia (entalia. Isso ocorre a baias velocidades. Assim, a eqação da energia ode ser simlificada ara: v tornando agora à eqação da conservação da qantidade de movimento. Se o escoamento se der à ressão constante, aqela eqação ode ainda ser reescrita como: v onde, é a viscosidade cinemática Comarando as das eqações acima, nota-se qe qando, o seja, Pr 1 corresonde ao caso em qe a distribição da temeratra é idêntica a distribição de velocidades, o qe ocorre com as maiorias dos gases, já qe,65 Pr 1. Em resmo, as três eqações diferenciais qe regem a transferência de calor na camada limite laminar são: Conservação de massa Conservação da qantidade de movimento direção v ( v v ressão constante Conservação de energia v Ver solção das camadas limites laminares idrodinâmica e térmico no aêndice B do olman e item 7. do Incroera. Solção de Blasis. - José R. Simões Moreira atalização set/1

13 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 97 Os rinciais resltados da solção dessas eqações diferenciais são os segintes: 5 Crescimento da camada limite idrodinâmica (C: ; Coeficiente local de atrito local : 1/ c f,,664 ; Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataqe: 1/ c f, 1,8 ; 1/ Razão entre camadas limites idrodinâmica (C e térmica (C: Pr ; t Número de Nsselt local: 1/ N, Pr 1/,6 Pr 5 Número de Nsselt médio: 1/ 1/ N,664 Pr. efinição do coeficiente de atrito: c f s /, s tensão de cisalamento na arede Os gráficos abaio indicam o comortamento das camadas limites. Note qe o número de Prandtl desemena m ael imortante no crescimento relativo das C e C., (Pr 1 (Pr 1 (Pr 1 C.. C.. S - José R. Simões Moreira atalização set/1

14 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 98 AUA 14 CAMAA IMIE AMINAR SOUÇÃO INEGRA OU APROXIMAA E VON KARMAN Na ala assada, vimos as eqações diferenciais da camada limite laminar. Os resltados da solção clássica de Blasis foram aresentados. A solção er si não foi disctida, ma vez qe o livro-teto aresenta em detales o rocedimento de solção ara o alno mais interessado. Nesta ala, vamos ver ma solção aroimada baseada no método integral, também conecida como solção de von Karman. Neste caso, define-se m volme de controle diferencial aenas na direção do escoamento, enqanto qe a altra do mesmo se estende ara além da camada limite, isto é,, conforme ilstrado na figra abaio. A A 1 d eis de conservação na camada limite laminar no elemento diferencial acima: Balanço de massa Flo mássico na face 1 A: d Flo mássico na face A: d d d d d Balanço de flo de qantidade de movimento Flo de Q. M. na Face 1 A: d Flo de Q. M. na Face A: d d d d d - José R. Simões Moreira atalização set/1

15 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 99 Flo de Q. M. na Face A A: d d d d Flo líqido de qantidade de movimento ara fora do volme de controle (face -A (face A A (face 1 A = Flo liqido de Q. M. = d d d d d d embrando da regra do rodto de diferenciação qe: d( d( d( o d( d( d( d d Fazendo d d d, vem d d d d d d dd d d d d d d d d d d Agora, sbstitindo na eressão do flo líqido de Q. M, vem: flo d d d Q. M. dd dd dd d d d Os dois rimeiros termos da integral odem ser renidos ara obter a seginte forma mais comacta: flo d d Q. M. dd dd d ( d Agora, vamos obter a resltante das forças eternas. No resente caso, só vamos considerar as forças de ressão e de atrito. - José R. Simões Moreira atalização set/1

16 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 1 dp - força resltante da ressão: d d P dp P d d - força de cisalamento na arede: -d d d Finalmente, a eqação integral da camada limite laminar idrodinâmica ode agora ser escrita (ª lei de Newton: d dp d d d ( dd d d d Se a ressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento sobre ma serfície lana (no caso do escoamento dentro de m canal o tbo, essa dp iótese não vale: d Essa iótese de P = cte. também imlica em qe a velocidade ao longe também seja constante, já qe, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernolli, o P cte dp d e forma qe, na forma diferencial: d Assim, a eqação da conservação da Q. M. se resme a: d ( d d Mas como > δ a velocidade é constante =, então: d d ( d Esta é a forma final da eqação da conservação da Q.M., válida ara o escoamento laminar sobre ma serfície o laca lana. Até o resente momento, o eqacionamento é eato, ois nenma aroimação foi emregada. A qestão é: se conecermos o erfil de velocidades (, então, a eqação acima ode ser integrada. aí, ode se obter, entre otras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar - José R. Simões Moreira atalização set/1

17 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização set/1 11 idrodinâmica, isto é, a esessra da camada limite laminar nma osição a artir da borda de ataqe. (. A solção aroimada, objeto desta análise, começa qando se admite m erfil de velocidades na direção erendiclar ao escoamento, isto é, (. Claro qe a adoção desse erfil deve segir certos critérios. Pense: Se você tivesse qe admitir tal erfil de velocidades, rovavelmente faria o mesmo qe o aresentado aqi. Isto é, você imoria m olinômio de gra tal qe as condições de contorno do erfil de velocidades fossem satisfeitas. Certo? Pois é eatamente isso é qe é feito. Então, rimeiro assemos a analisar as condições de contorno do roblema, qe são: / / / / As três rimeiras condições de contorno são simles e de dedção direta. A rimeira informa qe a velocidade na serfície da laca é nla (rincíio de nãoescorregamento; a segndo diz qe fora da C a velocidade é a da corrente flida e a terceira diz qe a transição entre a C e a corrente livre é save, daí a derivada ser nla. A última c.c. é m oco mais difícil de erceber. á de se analisar a eqação diferencial da conservação da qantidade de movimento da camada limite laminar (ala anterior qe reqer qe essa condição seja nla sobre a serfície da laca. Como são qatro as condições de contorno, ma distribição qe satisfaz estas condições de contorno é m olinômio do º gra, dado or: 4 1 ( C C C C aí, alicando as c.c. ara se obterem as constantes C 1 a C 4, tem-se o erfil aroimado de velocidades: 1 ( Introdzindo-o na eq. da Q. M., vem: d d d

18 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 1 o qe reslta, aós algm trabalo: d d 9 8 Integrado essa eqação, lembrando qe ara = δ = (a C começa na borda de ataqe: ( 4, 64 v, o ( 4,64 embrando da ala anterior qe solção eata (Blasis fornecia: Ver olman Aêndice B o Incroera ( 5 Considerando as aroimações realizadas, o resltado aroimado é bastante razoável. Camada imite érmica aminar Uma vez resolvido o roblema idrodinâmico acima, agora ode-se resolver o roblema térmico. O objetivo é o cálclo do coeficiente de transferência de calor,. Note qe jnto à serfície todo calor transferido da mesma ara o flido se dá or condção de calor e deois este flo de calor vai ara o flido. e forma, qe ode-se igalar os dois termos da seginte maneira: ( k, o k Assim, ara se obter o coeficiente de transferência de calor é reciso conecer a distribição de temeratras (. e forma semelante ao qe foi feito ara o caso idrodinâmico, ode-se alicar as segintes c.c. ara a distribição de temeratras: Condições de contorno - José R. Simões Moreira atalização set/1

19 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização set/1 1 / / / / t t Método integral (aroimado t cte Considere a figra acima, em qe o aqecimento da serfície começa a artir de m onto, a artir da borda de ataqe. e forma análoga ao caso idrodinâmico, desenvolvendo m balanço de energia nm V.C. de esessra maior qe δ, vem: (ver olmam ( d d d c d d d Admitindo ma distribição olinomial de gra ara a distribição de temeratras e alicando as c.c., vai se obter a seginte crva aroimada: 1 ( ( t t (o mesmo qe o de velocidades, ois as c.c. são as mesmas esrezando o termo de dissiação viscosa, obtém-se a seginte relação entre as esessras de camadas limites: 1/ 4 / 1/ 1 Pr 1,6 1 t Se a laca for aqecida desde a borda, =, temos 1/ Pr 1,6 1 t

20 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 14 No desenvolvimento admiti-se δ t < δ o qe é razoável ara gases e líqidos Pr / Finalmente, agora, odemos calclar o, or sbstitição da distribição de velocidades, calclada jnto à arede t 1 k k( k k, o ( t t t / 4 1/ 1/ k 1,6Pr 1, o ainda,k Pr 1/ 1/ 1 / 4 1/ embrando da definição do número de Nsselt, N, Pr 1/ As eqações anteriores são ara valores locais. 1/ N 1 k, vem: / 4 O coeficiente médio de transferência de calor será, se = : 1/ d,pr 1/ 1/ d 1/, o 1/,Pr / 1/ 1/, o finamente: 1/ 1/,Pr Analogamente, ara esse caso: N k N - José R. Simões Moreira atalização set/1

21 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 15 Qando a diferença de temeratra do flido e da laca for sbstancial, as roriedades de transorte do flido devem ser avaliadas á temeratra de elícla, f f E se o flo de calor for niforme ao longo da laca, tem-se: 1/ 1/ N,45 Pr k Ver eercícios resolvidos do olmam 5.4 e 5.5 Eemlo resolvido (etraído do livro de Pitts e Sissom Nm rocesso farmacêtico, óleo de rícino (mamona a 4ºC escoa sobre ma laca aqecida mito larga de 6 m de comrimento, com velocidade de,6 m/s. Para ma temeratra de 9ºC. etermine: (a a esessra da camada limite idrodinâmica ao final da laca (b a esessra da camada limite térmica t no final da laca (c o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da laca (d o flo de calor total transferido da serfície aqecida. São dados: Proriedades calcladas a (a (b = 7,81-8 m s /s k =,1 W/m o C f = 6,51-5 m /s = 9,571 k g /m = 6,1 - N.s/m C = 16 Solção J k C 4 9 f José R. Simões Moreira atalização set/1 C 9C g Verificação se o escoamento é laminar ai final da laca, (51 5 transição 6,5 1 5 ; = = 6m 5 6,4m t 1/ 1/ 6,5 1 1/ Pr ( / ,8 1 t

22 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 16 (c,4 t, 4m 1/ 881 1/ 1/,k Pr,6 W,,1 (881 1/ 8,4 5 6,5 1 6 m C W 8,4 16,8 m C q W (d q A ( s ( s 16,8 6 ( m 1/ - José R. Simões Moreira atalização set/1

23 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 17 AUA 15 ANAOGIA E RANSFERÊNCIA E CAOR E E ARIO REYNOS-COBURN E CAMAA IMIE URBUENA E RANSFERÊNCIA E CAOR EM ESCOAMENO EXERNO.5 Analogia de nolds Colbrn Como visto nas alas anteriores, a transferência de calor e de qantidade de movimento (atrito serficial são regidas or eqações diferenciais análogas. Na verdade, esta analogia entre os dois fenômenos é mito útil e será elorada nesta ala. Essa é a camada analogia de nolds-colbrn qe, ortanto, relaciona o atrito serficial com a transferência de calor. Qal a sa tilidade? Bem, em geral dados de medição laboratorial de atrito serficial odem ser emregados ara estimativas do coeficiente de transferência de calor. Isto é ma grande vantagem, ois, elo menos no assado, os dados de atrito eram bem mais abndantes qe os de transferência de calor. Por definição, o coeficiente de atrito é dado or: C f Mas, or otro lado, ara m flido newtoniano (todos os qe vamos lidar neste crso, a tensão de cisalamento na arede é: Usando o erfil de velocidades desenvolvido na ala 14, o seja: temos qe a derivada jnto à arede reslta em: 1, Por otro lado, sando o resltado da solção integral o aroimada da esessra da 4,64 camada limite, isto é, qe, mediante sbstitição na definição da tensão de cisalamento na arede, reslta em: - José R. Simões Moreira atalização set/1

24 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 18, Sbstitindo este resltado na eqação da definição do coeficiente de atrito, vem: C f,, Por otro lado, da ala anterior, cego-se à seginte eressão ara o número de 1/ 1/ Nsselt, N,Pr qe, mediante algm rearranjo ode ser escrito como: N, Pr Pr St / 1/ reescrevendo de forma comacta:, onde St c é o número de Stanton. Então, St Pr /, Comarando as das eqações anteriores em destaqe, notamos qe eles são igais a menos de ma diferença de cerca de % no valor da constante, então, esqecendo desta eqena diferença odemos igalar as das eressões ara obter: c St Pr / f Esta é a camada analogia de nolds-colbrn. Ela relaciona o coeficiente de atrito com a transferência de calor em escoamento laminar sobre ma laca lana. essa forma, a transferência de calor ode ser determinada a artir das medidas da força de arrasto sobre a laca. Ela também ode ser alicada ara regime trblento (qe será visto adiante sobre ma laca lana e modificada ara escoamento trblento no interior de tbos. Ela é válida tanto ara valores locais, como ara valores médios. Eemlo resolvido continação do anterior Calcle a força de arrasto sobre a laca do eemlo anterior (ala 14. C f Sabe-se qe St Pr / - José R. Simões Moreira atalização set/1

25 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 19 Por otro lado, St c 16,8 9,71 9, ,6 5 Assim da analogia, odemos obter C f 9, / 1,781, de forma qe a tensão de cisalamento na serfície é: C f 1, (,6 N,7 1 m Finalmente, a força de atrito or nidade de comrimento é: F,7 1 6,184 N m Camada imite rblenta A transferência de calor covectiva na camada limite trblenta é fenomenologicamente diferente da qe ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da transferência de calor na camada limite trblenta, considere qe a mesma ossi três sbcamadas, como ilstrado no esqema abaio: trblenta Camada amortecedora Sb camada laminar A C é sbdividida em: - sbcamada laminar semelante ao escoamento laminar ação moleclar - camada amortecedora efeitos moleclares ainda são sentidas - trblento mistras macroscóicas de flido Para entender os mecanismos trblentos, considere o eercício de observar o comortamento da velocidade local, o qe é ilstrado no gráfico temoral abaio. - José R. Simões Moreira atalização set/1 t

26 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 11 o gráfico ilstrado, dereende -se qe a velocidade instantânea,, flta consideravelmente em torno de m valor médio,. Este fato de fltação da velocidade local em conjnção com a fltação de otras grandezas, embora ossa arecer irrelevante, é o qe introdz as maiores dificldades do erfeito eqacionamento do roblema trblento. Para analisar o roblema, costma-se dividir a velocidade instantânea em dois comonentes: m valor médio e otro de fltação, como indicado: velocidade na direção aralela: ' velocidade na direção transversal: v v v' ressão: P P P ' valor instan táneo medio flctacào Em todos os casos, ma barra sobre a grandeza indica m valor médio e m aóstrofe, valor de fltação. Os termos de fltação são resonsáveis elo srgimento de forças aarentes qe são camadas de tensões aarentes de nolds, as qais devem ser consideradas na análise. Para se ter ma visão fenomenológica das tensões aarentes, considere a ilstração da camada limite trblenta abaio. iferentemente do caso laminar em qe o flido se desliza sobre a serfície, no caso trblento á mistras macroscóicas de orções de flido. No eemlo ilstrado, ma orção de flido (1 está se movimentando ara cima levando consigo sa velocidade (qantidade de movimento e energia interna (transferência de calor. Evidentemente, ma orção corresondente ( desce ara ocar o lgar da otra. Isso é o qe dá origem às fltações. o onto de vista de modelagem matemática, essas simles movimentações do flido dentro da camada limite dão origem às maiores dificldades de modelagem. - José R. Simões Moreira atalização set/1

27 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 111 Uma análise mais detalada do roblema da transferência de calor trblenta foge do escoo deste crso. Assim, referira-se a ma literatra mais esecífica ara ma análise mais rofnda. No entanto, abaio se mostra os assos rinciais da modelagem. O rimeiro asso é escrever as eqações de conservação (massa e qantidade de movimento ala 1. Em segida, sbstitem-se os valores instantâneos elos termos corresondentes de média e fltação, isto é, ', v ' v v e P P ' P. Em segida, realiza-se ma integral sobre m eríodo de temo longo o sficiente, isto é, realiza-se ma média temoral. Ao final, vai se obter a seginte eqação diferencial: v 1 P v' ' No rocesso de obtenção desta eqação, admiti-se qe a média temoral das fltações e sas derivadas são nlas. Com isso srgiram termos qe envolvem a média temoral do rodto das fltações (últimos dois termos à direita. Aqi reside grande arte do roblema da trblência qe é jstamente se estabelecer modelos ara estimar estes valores não desrezíveis. Estes termos dão origem às camadas tensões aarentes de nolds qe têm m tratamento à arte e não vamos nos reocar aqi. O imortante é saber qe eistem dois regimes de transferência de calor: laminar e trblento. ambém eiste ma região de transição entre os dois regimes. Eressões aroriadas ara cada regime em searado e em combinação estão indicadas na tabela 7.9 do Incroera e Witt. ocal :,8 1 8 N,96 Pr 1,6 Pr 6,8 1 Médio : N,7 871 Pr 8 1, 8,7 1 Nota: otras eressões ver livro-teto o tabela ao final desta ala. As roriedades de transorte são avaliadas à temeratra de mistra (média entre serfície e ao longe. nolds crítico = José R. Simões Moreira atalização set/1

28 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 11 Eemlo resolvido (olman 5-7 Ar a o C e 1 atm escoa sobre ma laca lana a 5 m/s. A laca tem 75 cm de comrimento e é mantida a 6ºC. Calcle o flo de calor transferido da laca. 6 Proriedades avaliadas à 4C kj kg c 1, 7 1,18 Pr, 7 kgc m 5 kg,71 ms V 6 1,4751 N k Pr 1/ (,7 k N 74,6W / m C A, k, 7 W mc q ( s 74,6.,75.1.(6 8W Escoamento Crzado sobre Cilindros e bos No caso do escoamento eterno crzado sobre cilindros e tbos, análise se torna mais comlea. O número de Nsselt local, dado em fnção do ânglo de incidência, isto é, N(, é fortemente inflenciado elo efeito do descolamento da camada limite. A figra ao lado indica o qe acontece com o número local de Nsselt. Para 1 5, o número de Nsselt decresce como conseqüência do crescimento da camada limite laminar (C até cerca de 8 o. Aós este onto, o escoamento se descola da serfície destrindo a C e gerando m sistema de vórtices e mistra qe melora a transferência de calor (amento de N(. Para > 1 5, ocorre a transição e formação da camada limite trblenta (C. Na fase de transição (8 o a 1 o ocorre a melora da transferência de calor. Uma vez iniciada a C, novamente se verifica a diminição do coeficiente local de transferência de calor devido ao crescimento da C ara, em torno de 14 o, descolar o escoamento da serfície qe destrói a C ara, então, gerar o sistema de vórtices e mistra qe volta a melorar a transferência de calor. No caso trblento á, ortanto, dois mínimos. - José R. Simões Moreira atalização set/1

29 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 11 Embora do onto de vista de meloria da transferência de calor ossa ser imortante analisar os efeitos locais do número de Nsselt, do onto de vista do engeneiro e de otros sários é mais roveitoso qe se tena ma eressão ara a transferência de calor média. Assim, ma eressão bastante antiga tem ainda sido sada, trata-se da correlação emírica de ilert, dada or: N C m k onde, é o diâmetro do tbo. As constantes C e m são dadas na tabela abaio como fnção do número de nolds. 1 Pr C m,4 4,989, 4 4,911, ,68, ,19, ,7,85 No caso de escoamento crzado de m gás sobre otras seções transversais, a mesma eresssão de iert ode ser sada, tendo otras constantes C e m como indicado na róima tabela (Jakob, José R. Simões Moreira atalização set/1

30 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 114 Para o escoamento crzado de otros flidos sobre cilindros circlares, ma eressão mais atal bastante sada é devida a Zkaskas, dada or 1/ 4 m n Pr,7 Pr 5 N C Pr Pr válida ara, 6 s 1 1 onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaio. odas às roriedades são avaliadas à, eceto Pr s qe é avaliado na temeratra de serfície (arede. Se Pr 1, se n =,7 e, se Pr > 1, se n =,6. C m 1 4,75,4 4 1.,51, ,6, ,76,7 Escoamento sobre Banco de bos Escoamento crzado sobre m banco de tbos é mito comm em trocadores de calor. Um dos flidos escoa erendiclarmente aos tbos, enqanto qe o otro circla internamente. No arranjo abaio, aresentam-se dois arranjos tíicos. O rimeiro é camado de arranjo em lina e o otro de arranjo desalinado o em qicôncio. Arranjos em lina o qicôncio - José R. Simões Moreira atalização set/1

31 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 115 Eistem várias eressões ráticas ara a transferência de calor sobre banco de tbos. Para o ar, ode se sar a eressão de Grimison, qe também ode ser modificada ara otros flidos, como disctido em Incroera (Seção 7.6. Mais recentemente, Zkaskas aresento a seginte eressão: N C m,ma Pr,6 Pr Pr s 1/ 4 válida ara N,7 Pr 5 1, ma. 1 6 onde, N é o número de fileiras de tbos e todas as roriedades, eceto Pr s (qe é avaliada à temeratra da serfície dos tbos são avaliadas à temeratra média entre a entrada e a saída do flido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaio. Configração,ma C m Alinada 1-1,8,4 Em qicôncio 1-1,9,4 Alinada Em qicôncio 1-1 Aroimado como m único 1-1 cilíndro (isolado Alinada (S /S >,7 a 1-1 5,7,6 Em qicôncio (S /S < 1-1 5,5(S /S 1/5,6 Em qicôncio (S /S > 1-1 5,4,6 Alinada ,1,84 Em qicôncio ,,84 a Para S /S >,7 a transferência de calor é ineficiente, e tbos alinados não deveriam ser tilizados. Se o número de fileiras de tbos for inferior a, isto é, N <, então deve-se corrigir a eressão acima, mltilicando o resltado obtido or ma constante C, conforme eressão abaio e valores dados na segnda tabela abaio. N C N N N abela com o fator de correção C ara N < ( >1 N Alinada,7,8,86,9,9,95,97,98,99 Em qicôncio,64,76,84,89,9,95,97,98, José R. Simões Moreira atalização set/1

32 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 116 O número de nolds,ma é calclado ara a velocidade máima do flido qe ercorre o banco de tbos. No arranjo em lina, a velocidade máima ocorre em V ma S S V, onde as grandezas odem ser vistas na figra anterior. No arranjo em qicôncio o desalinado, a velocidade máima ode ocorrer em das regiões, conforme ilstrado na figra anterior. V ma ocorrerá na seção A se a seginte condição for satisfeita ( S ( S qe, aós ma análise trigonométrica simles, se obtém a seginte condição eqivalente acontecer, então: V ma S S 1 S S. Se isso S V. Caso essa condição não seja satisfeita, então, a ( S velocidade máima ocorre em A 1 e, ortanto, sa-se novamente V S V S ma. abelas- resmo com as eqações (Incroera & Witt - José R. Simões Moreira atalização set/1

33 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 117 Eercício de Alicação Verifica-se m escoamento de ar a ma velocidade de 4 m/s e temeratra de C. Neste escoamento de ar é colocada ma fina laca lana, aralelamente ao mesmo, de 5 cm de comrimento e 1 m de largra. A temeratra da laca é de 6 C. Posteriormente, a laca é enrolada (no sentido do comrimento formando m cilindro sobre o qal o escoamento de ar vai se dar de forma crzada. odas as demais condições são mantidas. Pede-se: (a Em qal caso a troca de calor é maior. (b Qal o flo de calor trocado em ambos os casos. (c Analisar se semre á maior troca de calor nma dada configração do qe na otra, indeendentemente do comrimento e velocidade do ar. Jstifiqe sa resosta através de m memorial de cálclo. - José R. Simões Moreira atalização set/1

34 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 118 Solção Proriedades do ar à ν = 1, m /s k =, W/mK Pr =,76 45C Placa 4m / s 6C C =,5m 4,5 4 5, ,681 crit 5 51 N Assim,664 N k 1/ Pr 1/,664 (5, / (,76 144,,697 15,56W / m C,5 1/ 144, Cilindro, s 6C π = =,5/π =,796 m Assim, 4,796 1, ,681 4 Usando a eressão de ilert (a mais simles (Eq. 7.55b 1/ N Pr / =1, C =,19 C m m =,618 Assim, N 4,618 1/,19 (1,8951 (,76 75, 6 de forma qe: N k 75,6,697 5,6W / m,796 a A transferência de calor é maior no caso do cilindro ois e a área de troca de calor é a mesma. - José R. Simões Moreira atalização set/1 K

35 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 119 ]b Placa Cilindro Q Q laca laca A ( 116,7W 15,56,5 Q Q cil cil A ( c 5,6,5 19,W c Porção laminar Note qe crit, 51 5 / 1,591 sendo eqivalente ao crítico. 5,664 k 1/ 1/ Pr (A 1/ k m k Pr m Pr 1/ C C (B 1/ k Pr Portanto de (A,, qe, ode ser sbst. em (B, ara obter 1/,664 m C,669C 1/,664 m,5 O,669C m,5 ara o caso laminar na laca Porção laminar-trblenta > crit =51 5,8 1/ N (,7 871Pr (Eq /camada limite mista e donde k,8 (,7 871 Pr 1/ e k Pr 1/,7,8 871 (C sb. em (B, vem C,7 m,8 871 Sbs. = π, vem: m C,8,7 871 Finalmente ara o caso laminar e trblento na laca m C,8, José R. Simões Moreira atalização set/1

36 Notas de ala de PME 61 Processos de ransferência de Calor 1 Os diversos valores de C e m da eressão de ilert foram sbstitídos nas eressões das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aarecem na tabela abaio e, em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será semre maior no caso do cilindro (na faia de validade das eressões C m / regime 4,898,,9 laminar 4,911,85 1,59 4,68,466 1,8 4,19,618 1,8 159,7,85,78,7,85,15 lam-trb 4,7,85 1,4,,5, 1,5 1,,5, José R. Simões Moreira atalização set/1