ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA SISEA LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS

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1 ESCOLA POLIÉCNICA DA USP DEPO. DE ENGENHARIA MECÂNICA SISEA LAB. DE SISEMAS ENERGÉICOS ALERNAIVOS PME 336 Processos de ransferência de Calor Prof. Dr. José R Simões Moreira o semestre/7 versão.5 primeira versão: 5

2 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor OBSERVAÇÃO IMPORANE Este trabalho perfaz as Notas de Ala da disciplina de PME Processos de ransferência de Calor (antiga PME 36) ministrada aos alnos do 3º ano do crso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aqi apresentado trata de m resmo dos assntos mais relevantes do livro teto Fndamentos de ransferência de Calor e Massa de Incropera e Dewitt. ambém foram tilizados otros livros-teto sobre o assnto para m o otro tópico de interesse, como é o caso do ransferência de Calor de Holman. O objetivo deste material é servir como m roteiro de estdo, já qe tem m estilo qase topical e ilstrativo. De forma nenhma sbstiti m livro teto, qe é mais completo e deve ser consltado e estdado. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

3 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 Prof. José R. Simões Moreira Crríclo Lattes: Breve Biografia Gradado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (983), Mestre em Engenharia Mecânica pela mesma institição (989), Dotor em Engenharia Mecânica - Rensselaer Polytechnic Institte (994) e Pós-Dotorado em Engenharia Mecânica na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (999). Atalmente é Professor Associado da Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-gradação do Institto de Energia e Meio Ambiente (IEE-USP), professor de pós-gradação do programa de pós-gradação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesqisador do CNPq, consltor ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre otros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do Ministério da Edcação. em eperiência na área de Engenharia érmica, atando principalmente nos segintes temas: mdança de fase líqido-vapor, so e processamento de gás natral, refrigeração por absorção, tbos de vórtices, sensores bifásicos, energia solar, ciclos termoqímicos e sistemas alternativos de transformação da energia. em atado como revisor técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(o) crsos de ermodinâmica, ransferência de Calor, Escoamento Compressível, ransitórios em Sistemas ermoflidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máqinas e Processos de Conversão de Energia. Coordeno crsos de especialização e etensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natral, termelétricas, bem como vários crsos do PROMINP. Atalmente coordena m crso de especialização intitlado Energias Renováveis, Geração Distribída e Eficiência Energética por meio do PECE da Poli desde em sa décima qarta edição. em sido professor de crsos de etensão niversitária para profissionais da área de termelétricas, válvlas e tblações indstriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. em participado de projetos de pesqisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropalo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras, Ultragaz e Fapesp/BG- Shell. Foi agraciado em 6 com a medalha Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em (Lima - Per). Foi cientista visitante em Setembro/7 na Ecole Polytechniqe Federale de Lasanne (Siça) dentro do programa ERCOFAC - Eropean Research Commnity On Flow, rblence And Combstion`. Participo do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institt National des Sciences Appliqées em Lyon (França) em jnho e jlho de 9. em desenvolvido projetos de cnho tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropalo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possi das patentes. É ator de mais de artigos técnico-científicos, além de ser ator dos livros Energias Renováveis, Geração Distribída e Eficiência Energética (7) e "Fndamentos e Aplicações da Psicrometria" (999), beom como ator de m capítlo do livro "hermal Power Plant Performance Analysis" (). Já oriento mais de mestres e dotores, além de cerca de 5 trabalhos de conclsão de crso de gradação e diversas monografias de crsos de especialização e de etensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando m número sperior a 9 trabalhos. Possi mais de pblicações, inclindo periódicos tecnicocientíficos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grpo de pesqisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

4 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 AULA - APRESENAÇÃO.. INRODUÇÃO Na EPUSP, o crso de Processos de ransferência de Calor scede o crso de ermodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, srge de imediato a seginte dúvida entre os alnos: Qal a diferença entre ermo e ranscal? o há diferença entre elas? Para responder à essa dúvida, vamos considerar dois eemplos ilstrativos das áreas de aplicação de cada disciplina. Para isso, vamos recordar m poco das premissas da ermodinâmica. A ermodinâmica lida com estados de eqilíbrio térmico, mecânico e qímico, e é baseada em três leis fndamentais: - Lei Zero ( eqilíbrio de temperatras permite a medida de temperatra e o estabelecimento de ma escala de temperatra) - Primeira Lei ( conservação de energia energia se conserva) - Segnda Lei ( direção em qe os processos ocorrem e limites de conversão de ma forma de energia em otra ) Dois eemplos qe permitem distingir as das disciplinas: (a) Eqilíbrio térmico frasco na geladeira Considere m frasco fora da geladeira à temperatra ambiente. Depois, o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilstrado. Claro qe, inicialmente, G f frasco t f ambiente f G inicial final As segintes análises são pertinentes, cada qal, no âmbito de cada disciplina: ermodinâmica: Q U mc - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sa massa, diferença de temperatras e calor específico médio APENAS ISO! José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

5 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 ransferência de calor: responde otras qestões importantes, tais como: qanto tempo levará para qe o eqilíbrio térmico do frasco com se novo ambiente (gabinete da geladeira), o seja, para qe f = G seja alcançado? É possível redzir (o amentar) esse tempo? t Assim, a ermodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo para qe o estado de eqilíbrio da temperatra do frasco ( ) com a da geladeira ( G ) seja atingido, embora nos informe qanto de calor seja necessário remover do frasco para qe esse novo eqilíbrio térmico ocorra. Por otro lado a disciplina de ransferência de Calor vai permitir estimar o tempo, bem como definir qais parâmetros podemos interferir para qe esse tempo seja amentado o diminído, segndo nosso interesse. t De ma forma geral, toda vez qe hover gradientes o diferenças finitas de temperatra ocorrerá também ma transferência de calor. A transferência de calor pode se dar no interior de m corpo o sistema o na interface da sperfície deste corpo e m meio flido. (b) Otro eemplo: operação de m ciclo de compressão a vapor f t condensador compressor válvla evaporador ERMIDINÂMICA: ª Lei: wc qe qc. Permite conhecer o estabelecer o trabalho e os flos de calor envolvidos, mas não permite dimensionar os eqipamentos (tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por eemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do eqipamento, como o COP: qe COP w c RANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os eqipamentos térmicos de transferência de calor. Por eemplo, responde às segintes pergntas: - Qal o tamanho do evaporador / condensador? - Qal o diâmetro e o comprimento dos tbos? - Como atingir maior / menor troca de calor? José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

6 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 - Otras qestões semelhantes. Problema-chave da transferência de calor: o conhecimento do flo de calor. O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: - Amentar o flo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; - Diminir o flo de calor: Evitar o diminir as perdas drante o transporte de frio o calor como, por eemplo, tblações de vapor, tblações de ága gelada de circitos de refrigeração; - Controle de temperatra: motores de combstão interna, pás de trbinas, aqecedores, etc.. MECANISMOS DE RANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor ocorre de três formas, qais sejam: condção, convecção e radiação térmica. Abaio se descreve cada m dos mecanismos. (a) Condção de calor - Gases, líqidos transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatra para a de baia temperatra pelo choqe de partíclas mais energéticas para as menos energéticas. - Sólidos energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condtores elétricos. Geralmente, bons condtores elétricos são bons condtores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). A condção, de calor é regida pela lei de Forier (8).. sólido d q A d onde: A : área perpendiclar ao flo de calor q : temperatra José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

7 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 A constante de proporcionalidade é a condtividade o condtibilidade térmica do material, k, o seja: d q ka d As nidades no SI das grandezas envolvidas são: [ q ] = W, [ A ] =, ] = o [ ] =. [ m K m o C assim, as nidades de k são: [ k ] =, W o m C o W m K A condtividade térmica k é ma propriedade de transporte do material. Geralmente, os valores da condtividade de mitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção de apêndices dos livros-teto. Necessidade do valor de (-) na epressão Dada a seginte distribição de temperatra: Para q (pois o flo de calor fli da região de maior para a de menor temperatra. Está, portanto, flindo em sentido contrário a orientação de ) Além disso, do esqema:, daí tem-se qe o gradiente também será positivo, isto é: José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

8 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 d d mas, como k (sempre), e A (sempre), concli-se qe, então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na epressão da condção de calor (Lei de Forier) para manter a convenção de qe na direção de. q Se as temperatras forem invertidas, isto é,, conforme próimo esqema, a eqação da condção também eige qe o sinal de (-) seja sado (verifiqe!!) De forma qe a Lei da Condção de Calor é: d q ka d Lei de Forier (8) (b) Convecção de Calor A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (7) q A( ) onde, a proporcionalidade é dada pelo coeficiente de transferência de calor por convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de pelícla. De forma qe: S q ha( ) S José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

9 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 onde: : Área da sperfície de troca de calor; : emperatra da sperfície; A S : emperatra do flido ao longe. - O problema central da convecção é a determinação do valor de h qe depende de mitos fatores, entre eles: geometria de contato flido-sperfície (área da sperfície, sa rgosidade e sa geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do flido, temperatras envolvidas, velocidades. Esses são algns dos fatores qe interferem no se valor. (c) Radiação érmica A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan Boltzmann. Sendo qe Stefan a obteve de forma empírica (879) e Boltzmann, de forma teórica (884). Corpo negro irradiador perfeito de radiação térmica 4 q A (para m corpo negro) constante de Stefan Boltzmann (5,669-8 W/m K 4 ) Corpos reais (cinzentos) q A sempre menor qe a nidade. 4, onde é a emissividade da sperfície qe é Mecanismo físico: ransporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas o fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é qe eiste vida na erra devido à energia na forma de calor da irradiação solar qe atinge nosso planeta. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

10 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Eercícios Resolvidos: Eercícios adaptados do livro Fndamentos de transferência de calor e massa, Incropera. A base, com 5 mm de espessra, de ma panela com diâmetro de mm pode ser feita com ferro fndido (k=8, W/(m K)) o cobre (k=39 W/(m K)). Qando sada para ferver ága, a sperfície da base eposta à ága encontra-se a ºC. Se calor é transferido do fogão para a panela a ma taa de 6 W, qal é a temperatra da sperfície voltada para o fogão para cada m dos dois materiais? Dados do problema: Diâmetro do fndo da panela: = Espessra do fndo da panela: = Condtividade dos materiais: almínio - =, ; cobre - = emperatra no fndo do lado em contato com a ága: = Desenho esqemático: Hipóteses:. Regime permanente. Problema nidimensional e Solção: Da lei de Forier: = = Sabendo qe =, e qe = 4 Para o ferro fndido: Para o cobre: =,, 4 = + =,, = + =,,,, = + =,, Note-se qe devido à condtividade do cobre ser maior do qe a do almínio a diferença de temperatra entre e são menores.. Uma caia de transmissão, medindo w=,3 m de lado, recebe ma entrada de potência de P ent=5 HP fornecida por m motor elétrico. Sendo a eficiência de transmissão η=,93; com o escoamento do ar caracterizado por =3ºC e h = W/(m K). Nessas condições, pede-se qal é a temperatra sperficial da caia de transmissão? Dados do problema: Dimensões do cbo =, Qantidade de faces eposta: 6 Potência de entrada: = Rendimento da caia de transmissão: =, emperatra do ar: = José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

11 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Conversão de nidade: = Hipóteses:. Regime permanente. Coeficiente convectivo e temperatra na sperfície niforme 3. ransferência de calor por radiação desprezível Solção: = Da lei de resfriamento de Newton: = h = h A potência transmitida é dada por =. Logo, a parte não foi transmitida se transformo em m flo de calor qe pode ser obtido por: = =, = Igalando ambos obtemos a temperatra da sperfície: = + = + h =,,.3 Considere a caia de transmissão do problema anterior, mas agora permita a troca por radiação com a sa vizinhança, qe pode ser aproimada por m grande envoltório a viz =3ºC. Sendo a emissividade da sperfície da caia a ε=,8, qal é a sa temperatra? Dados do problema: Dimensões do cbo =, Qantidade de faces eposta: 6 Potência de entrada: = Rendimento da caia de transmissão: =, emperatra do ar: = Hipóteses:. Regime permanente. Coeficiente convectivo e temperatra na sperfície niforme 3. ransferência de calor por radiação com a vizinhança Solção: Aproveitando a solção do eercício anterior: = e = A transferência de calor se dá por convecção e radiação, fazendo m balanço de energia para regime permanente temos qe: í = Sendo qe: = [ h + ( 4 4 )] Convecção Radiação Igalando a taa de calor da transmissão temos (nota: as temperatras têm qe ser absoltas: =, [ +,, ] José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

12 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Após tentativa e erro, obtém-se: = Notamos qe para a temperatra, a e =, o seja, a transferência de calor por convecção é predominante. E como vimos no eercício anterior, se desprezarmos a radiação a temperatra da sperfície será de =,. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

13 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 AULA CONDUÇÃO DE CALOR CONDUÇÃO DE CALOR Condtibilidade o Condtividade érmica, k Da Lei de Forier da condção de calor, tem-se qe o flo de calor, q, é diretamente proporcional ao gradiente de temperatras, de acordo com a seginte epressão: q k condtividade térmica do material., onde A é a área perpendiclar à direção do flo de calor e k é a A q As nidades no SI da condtividade térmica, k, do material, são: q W k k k o C A m m W m o C o W m. K Sendo: k: condtividade (de transporte) do material qe pode ser facilmente determinada de forma eperimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de apêndice do livro-teto. Eemplo de eperimento laboratorial para obtenção de k i Resistência elétrica isolante A Pontos de medição de temperatra José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

14 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 No eperimento indicado, ma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica enrolada em torno da haste do bastão. O flo de calor gerado por efeito jole vai ser condzido da haste para o bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de temperatra (termopares, por e.), pode-se levantar o perfil da distribição de temperatras ao longo de bastão, como aqele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil temperatra é linear, como vai se ver adiante. Por otro lado, o flo de calor fornecido é a própria potência elétrica dissipada, o seja, q R I U I. Sendo a seção transversal A conhecida, então, da lei de Forier, determina-se a q condtividade térmica do material da haste, k. Neste caso, k. A Um aspecto importante da condção de calor é qe o mecanismo da condção de calor é diferente dependendo do estado físico e da natreza do material. Abaio, indicam-se os mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico. Gases O choqe moleclar permite a troca de energia cinética das moléclas mais energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a temperatra absolta do gás. Qanto maior a temperatra, maior o movimento moleclar, maior o número de choqes e, portanto, mais rapidamente a energia térmica fli. Pode-se mostrar qe. k Para algns gases, a pressão moderada, k é só fnção de. Assim, os dados tabelados para ma dada temperatra e pressão podem ser sados para otra pressão, desde qe seja à mesma temperatra. Isso não é valido próimo do ponto critico. Líqidos Qalitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condção nos líqidos é o mesmo do qe o dos gases. Entretanto, a sitação é consideravelmente mais complea devido à menor mobilidade das moléclas. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

15 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 Sólidos Das maneiras básicas regem a transferência de calor por condção em sólidos: vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segndo modo é o mais efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto eplica porqe, em geral, bons condtores de eletricidade também são bons condtores de calor. A transferência de calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, qe é menos eficiente. O diagrama a segir ilstra qalitativamente as ordens de grandeza da condtividade térmica dos materiais. Nota-se qe, em geral, a condtividade amenta na seqência de gases, líqidos e sólidos e qe os metais pros são os de maior condtividade térmica. EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS CARESIANAS Balanço de energia em m volme de controle elementar José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

16 q y kd y dz y q z kd z dy q q d q d kj / kg o C Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 BALANÇO DE ENERGIA (ª LEI) Flo de aa de aa temporal Flo de calor qe calor de variação calor qe entra no + gerada = da energia + deia o V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C. (I) (II) (III) (IV) Sejam os termos: (I) Flo de calor qe entra no V.C. Direção q k dy dz Direção y q y k y d dz y Direção z y q z k z d dy z - k da (II) aa de calor gerado E G onde: q ''' G ''' q g d dy dz = aa de calor gerado na nidade de volme. W (III) aa temporal de variação da energia interna 3 m E ar U t m t d dy dz c t onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e a densidade. (IV) Flo de calor qe deia o V.C. epansão em serie de aylor: Direção : q d ( d ) q d q Direção y: q y dy q y q y y dy José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

17 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 Direção z: q z dz q z q z z dz Então, jntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem: q q y q z q ''' G simplificando os termos ddydz cddydz q t q, q e q, vem: y z q d q y q y y q z dy qz dz z + ordem sperior q ''' G ddydz cddydz t q q y d y q z dy z dz, e, sbstitindo a Lei de Forier para os termos de flo de calor, q ''' G ddydz cddydz t k ddydz k y y ddydz k y z z ddydz z Dividindo ambos os lados pelo volme de controle elementar ddydz, temos finalmente: k k y y k z ' " y z G z q c t Essa é a eqação geral da condção de calor. Não eiste ma solção analítica para todos os casos e geometrias, porqe se trata de m problema qe depende das condições inicial e de contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos qe dependem da geometria do problema, do tipo (regime permanente) qe perfazem as condições de contorno e inicial. Evidentemente, procra-se ma solção do tipo: (, y, z, t). A segir são apresentados algns casos básicos. Casos: A) Condtividade térmica niforme (material isotrópico) e constante (independe de ) k k y k z k ''' q g y z k t onde, José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

18 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 = k c é conhecida como difsibilidade o difsividade térmica, cja nidade no SI é: W k m K W m² s m ² c kg J J s s 3 m kg K Essa eqação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seginte forma: q k ''' G t onde: é o operador matemático chamado de Laplaciano no y z sistema cartesiano de coordenadas. Esta última forma de escrever a eqação da condção de calor é preferível, pois, embora ela tenha sido dedzida acima para o sistema cartesiano de coordenadas, a formlação simbólica do laplaciano independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em sar otros sistemas de coordenadas, basta sbstitir o Laplaciano do sistema de interesse, como eemplificado abaio, - Cilíndrico: r r r r r z - Esférico: sen r r r r r sen r sen ''' B) Sem geração de calor e k niforme e constante, q G t (Eq. de Forier) C) Regime permanente (o estacionário) e k niforme e constante, t q k ''' G (Eq. de Poisson) D) Regime permanente e k constante e niforme (Eq. de Laplace) José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

19 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 Eercícios Resolvidos: Eercícios adaptados do livro Fndamentos de transferência de calor e massa, Incropera. Considere ma parede plana com mm de espessra e condtividade térmica de W/m K. Spondo a mantenção de condições de regime permanente, com = 4 K e = 6 K, determine o flo de calor q e o gradiente de temperatra d/d para os sistemas de coordenadas mostrados. Solção: A eqação de transferência de calor: Dados do problema: = 4 K ; = 6 K ; k= W/ m K ; L= mm. Hipóteses:. ransferência de calor nidimensional. Propriedades, k é constante 3. Regime permanente 4. Sem geração interna de calor = O gradiente de temperatra é constante na parede é constante podendo ser representado desta forma: = Sbstitindo os valores nmérico no gradiente, temos: a) = = = /, b) = c) =, = / = = = /, A taa de calor é calclada tilizando a eqação da Lei de Forier e considerando k= W/m. a) " = = b) " = = + c) " = =. Condção nidimensional, em regime permanente, com geração de energia interna niforme ocorre em ma parede plana com espessra de 5 mm e ma condtividade térmica constante igal a 5 W/ (m K). Nessas condições, a distribição de temperatras tem a forma ()= a +b +c. A sperfície em = está a ma temperatra () = = C. Nessa sperfície, há convecção com m flido a = C com h = 5 W/(m K). A sperfície em =L é isolada termicamente. (a) tilizando m balanço de energia global na parede, calcle a taa de geração interna de energia tilizando m balanço de energia na parede, calcle a taa de geração interna de energia. (b) determine os coeficientes a, b e c aplicando as condições de contorno na distribição de temperatras especificada. Use os resltados para calclar e representar graficamente a distribição de temperatra. Desenho esqemático: José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

20 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Hipóteses:. Regime estacionário. Condção nidimensional 3. Propriedades constantes e geração interna de calor constante 4. Condição de contorno, =L é adiabático Solção: (a) a geração interna de energia pode ser obtida pelo balanço de energia na parede í + = onde í = Sbstitindo temos: h + = sendo = h = 5 =,, b) aplicando as condições de contorno podemos obter os coeficientes a, b e c da eqação de distribição de temperatra. Condição de contorno : qando =, convecção na sperfície. í = = o qal, = ) = Sbstitindo (distribição de temperatra), h [ + + = ] =, assim obtemos o coeficiente b: = h = 5 5 =, Condição de contorno : =L, parede adiabática o sperfície isolada = = onde, = ) = [ + + ] = = assim obtemos c, = =, =,, Desde qe a temperatra em = é conhecida, ()= = C, obtemos: = = + + o a = C obtendo o perfil de temperatra = +,, José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

21 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor AULA 3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENE SEM GERAÇÃO PLACA OU PAREDE PLANA O caso mais simples qe se pode imaginar de transferência de calor por condção é o caso da parede o placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e propriedades de transporte (condtividade térmica) constantes. Este é o caso ilstrado na figra abaio em qe ma parede de espessra L, tendo a face esqerda mantida a ma temperatra, enqanto qe a face à direita é mantida à temperatra. Poderia se imaginar qe se trata, por eemplo, de ma parede qe separa dois ambientes de temperatras distintas. Como se verá, a distribição de temperatras () dentro da parede é linear, como indicado na figra, com >. Para resolver esse caso, vamos partir da eqação geral da condção de calor, dedzida na ala anterior, isto é: ''' qg k t Introdzindo as simplificações do problema, vem: i. Não há geração interna de calor: q G ii. Regime permanente: t iii. Unidimensional (D): d Assim, com essas condições, vem qe, e a solção procrada é do tipo (). Para resolver essa eqação considere a seginte mdança de variáveis: d Logo, sbstitindo na eqação, vem qe d José R. Simões Moreira atalização Agosto/7 d d

22 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Integrando por separação de variáveis vem: C d, o seja: C Mas, como foi definido d d Integrando a eqação mais ma vez, vem: d d C ( ) C C Qe é a eqação de ma reta, como já antecipado. Para se obter as constantes C e C, deve-se aplicar as condições de contorno qe, nesse eemplo, são dadas pelas temperatras sperficiais das das faces. Em termos matemáticos isso qer dizer qe (A) em = (B) e em = L De (A): C e de (B): CL C L Assim, ( ) ( ) L Para efeito de ilstração, sponha qe, como mostrado na figra abaio. Cálclo do flo de calor transferido através da parede. Para isso, deve-se sar a Lei de Forier, dada por: d q k d e, sbstitindo a distribição de temperatras, vem: d q k k d L, o, L em termos de flo de calor por nidade de área, q temos: q W m '' k L Esqecendo o sinal de (-), já qe sabemos a direção do flo de calor, vem q '' k L José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

23 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 Conhecida a eqação qe rege do flo de calor através da parede, podemos: Amentar o flo de calor q :. Com o so de material bom condtor de calor, isto é, com k. O, pela diminição da espessra da parede, isto é L O diminir o flo de calor q :. Com o so de material isolante térmico. O, pelo amento da espessra da parede, isto é k L CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENE SEM GERAÇÃO INERNA DE CALOR UBO CILÍNDRICO. Este é o caso eqivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condção de calor nidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condtividade térmica constante estdado acima para ma parede o placa plana. A diferença é qe sa aplicação é para tbos cilíndricos. A eqação geral é da forma q k ''' G t Neste caso, a geometria do problema indica qe se deve resolver o problema em coordenadas cilíndricas. Para isso, basta sar o Laplaciano correspondente, isto é: r r r r r z q k ''' G t Introdzindo as simplificações: i. Não há geração interna de calor: q G ii. Regime permanente: t iii. Unidimensional (D): qe é válido para m tbo mito longo, o seja, não depende de z, logo z iv. Há ma simetria radial, não depende de, isto é: As simplificações (iii) e (iv) implicam qe se trata de m problema nidimensional na direção radial, r. A aplicação dessas condições reslta em: José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

24 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 d dr r d dr, onde a solção procrada é do tipo (r) As condições de contorno para a ilstração indicada acima são: A sperfície interna é mantida a ma temperatra constante, isto é: r ri i A sperfície eterna é também mantida a ma otra temperatra constante, isto é: r r e e Solção: a Integração separe as variáreis e integra ma vez, para resltar em: d d r dr dr C dr d r dr C Integrando pela a vez, após separação de variáveis, vem: d dr C C r r C ln( r) C Portanto, a distribição de temperatras no caso do tbo cilíndrico é logarítmica e não linear como no caso da parede plana. Determinação de C e C por meio da aplicação das condições de contorno: (A) (B) r r ri i i C ln( ri ) C re e e C ln( re ) C Fazendo-se (A) (B), temos qe ri i e C ln r e, o i C e ri ln r e Finalmente, na eq. da distribição de temperatras: r i ri ln r e e ln r r e e Distribição de temperatra, spondo i e. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

25 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 i Lei logarítmica e r i r e raio O flo de calor é obtido por meio da Lei de Forier, isto é, d qk dr Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendiclar ao flo de calor e não a área da seção transversal. Portanto, trata-se da área da casqinha cilíndrica ilstrada abaio. A rl (área da casca cilíndrica), L é o comprimento do tbo Sbstitindo a distribição logarítmica de temperatra na eqação de Forier, ( r) C ln( r C, vem: ) d q k rl [ C ln( r) C ] dr o, efetando a derivação, temos: q klrc r o, ainda: q klc Sbstitindo, C : q kl e i r i ln re (W) O flo de calor total q é constante através das sperfícies cilíndricas! Entretanto, o flo de calor por nidade de área, q q '' q A k ( e i ) r r i ln re '' q kl ( e i ) rl r i ln re ' W m, depende da posição radial José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

26 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 Eercícios Resolvidos: Eercícios adaptados do livro transferência de calor e massa, Çengel. 3.. Considere qe a base do ferro de passar ropa doméstico possi ma espessra de L =,5 cm, e ma área de A = 3 cm, o material de ferro com condtividade térmica, k = 5 W/m. A sperfície interna da placa é aqecida por ma resistência de W e a sperfície eterna ocorre ma transferência de calor por convecção a vizinhança com = C como apresentado na figra abaio. Considerando m coeficiente de transferência de calor por convecção, h = 8 W/m C, e qe a transferência de calor por radiação é desprezível, determine a distribição de temperatra ao longo da placa e a temperatra da sperfície interna e eterna. Hipóteses: Estado estacionário A condção e calor é nidimensional As propriedades físicas constantes Sem geração interna de energia A isolação térmica na sperfície interna é perfeitamente adiabático Dados do problema: h = 8 W/m C ; L =,5 cm ; A = 3 cm ; = C ; k = 5 W/m Solção: O flo de calor na sperfície interna é dada por, = = =,. A partir da eqação de difsão do calor e as hipóteses admitida obtemos a eqação diferencial abaio: = Integrando a eqação acima das vezes obtemos o perfil de temperatra: =. Integrando mais ma vez obtemos, = +. C e C são as constantes de integração e são obtidas aplicando as condições de contorno. Condição de contorno : Na sperfície interna, =, = =, o qe indica qe = e = Condição de contorno : Na sperfície eterna, =, = + e = h[ ] = h[ + ] Sbstitindo = e resolvendo para obter C, temos: = + as constantes no perfil de temperatra obtemos: + h = + = José R. Simões Moreira atalização Agosto/7. Sbstitindo = + ( + h ) Aplicando os valores na eqação acima para = e =, encontramos a temperatra da sperfície interna e eterna respectivamente. = +, = + ( )

27 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Um tbo por onde passa vapor de ága possi as segintes dimensões: comprimento, L= m; raio interno r = 6 cm; raio eterno r =8 cm; e condtividade térmica, k= W/m C. A temperatra média da sperfície interna e eterna, =5 C e =6 C, são mantidas constantes. Obtenha a distribição de temperatra da parede do tbo e determine a perda de calor do vapor por meio da parede do tbo. Hipóteses:. Regime estacionário. Condção de calor nidimensional 3. As propriedades físicas 4. Sem geração calor Solção: Da eqação de difsão de calor para coordenada cilíndrica, ( ) = Integrando ma vez temos, = e integrando mais ma vez obtemos o perfil de temperatra: = ln + Aplicando as condições de contorno para determinar as constantes, C.C : = = = = ln + = ln C.C : = = = = ln + = ln ln Sbstitindo as constantes no perfil de temperatra obtemos: ln = ln + A taa de calor do vapor é determinada tilizando a lei de Forier, = = = = ln Sbstitindo os valores nméricos obtemos: = ( ) ln, =, José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

28 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 AULA 4 PAREDES PLANAS COMPOSAS Condção nidimensional, regime permanente, sem geração de calor paredes compostas. Para resolver de forma rápida e simples este problema, note qe o flo de calor q é o mesmo qe atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as segintes eqações: - parede : ( q ka L ) ql k A - parede : ( 3 ) q ka L 3 ql k A - parede 3: ( 3 4 ) q k3a L ql3 k A 3 Assim, somando os termos de todas as paredes: o, simplesmente, q R Li 4 q k A i onde, refere-se à diferença total de temperatras da das faces eternas e R é a Li resistência térmica da parede composta, dada por R k A ANALOGIA ELÉRICA Nota-se qe eiste ma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condção de calor, fazendo a seginte correspondência: i q U R ÔHMICO R ÉRMICO i José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

29 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor q 9 Por meio de analogia elétrica, configrações mais compleas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas. Circito elétrico eqivalente Flo de calor qe é: q R R total R R// R5 com R R R R // 3 4 Resistência térmica de contato Qando as sperfícies de dois sólidos são colocadas em contato para formar ma parede composta, a região interfacial entre eles pode ter ma resistência térmica de contato, ",, devido ao fato de qe não eiste ma contato perfeito entre as das sperfícies, como ilstrado abaio, devido à rgosidade sperficial. A transferência de calor se dará por condção nos pontos de contato dos picos das rgosidades e pela condção através do flido qe preenche o espaço entre as sperfícies. Radiação térmica também pode estar presente. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

30 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 A resistência térmica de contato é dada por ", = " Algns valores de resistência térmica estão indicados na abela 3. do livro do Incropera, reprodzida a segir. CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INERNA DE CALOR Geração interna de calor pode resltar da conversão de ma forma de energia em calor. Eemplos de formas de energia convertidas em calor:. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor (efeito Jole) P RI (W) Onde: : potência elétrica transformada em flo de calor por efeito Jole (W) R : resistência ôhmica ( ) : corrente elétrica (A) P I Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V) U P UI o P R Em termos volmétricos, calor é gerado. 3 q ) ''' G ( W / m, q G ''' P V (W/m3), onde V : volme onde o '''. Geração de calor devido a ma reação qímica eotérmica ( q G ) como, por eemplo, o calor liberado drante a cra de resinas e concreto. Já, no caso de ma ''' reação endotérmica, q. G 3. Otras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêtrons, etc... José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

31 b Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 Parede (placa) plana com geração de calor niforme (resistência elétrica plana). Esse é o caso de resistências elétricas planas. b L i L Eqação geral ''' qg, sendo qe k t t ''' qg () k (regime permanente) Condições de contorno: () L () L Solção d Seja a seginte mdança de variável (apenas por conveniência):, d ''' Então d qg d k Integrando essa eqação por partes, vem: ''', mas como d d qg, então C d d k d qg d C k José R. Simões Moreira atalização Agosto/7 '''

32 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 Integrando novamente: ''' qg ( ) C C k Obs.: rata-se de ma distribição parabólica de temperatras. Como no caso da resistência elétrica ''' q G (geração de calor) é positivo e, claro, k também é positiva, a constante qe mltiplica o termo é negativa parábola com a concavidade voltada para baio. Por otro lado, se for negativo, o qe pode ocorrer com processos de cras de algmas ''' q G resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima. Determinação das constantes C e C : Condições de contorno ''' () qg L CL C - temperatra da face esqerda conhecida k () ''' qg L CL C - temperatra da face direita conhecida k Somando ()+(), vem: ''' G q L C k C qg L. k ''' Sbstitindo em () o (), tem-se C L Então, a distribição final de temperatras é: q ( ) ''' G ( L ) ( k ) L CASOS: (A) Sponha qe as das faces estejam à mesma temperatra: S. Daí, reslta qe: qg ( L ) ( ) S k José R. Simões Moreira atalização Agosto/7 '''

33 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 33 É ma distribição simétrica de temperatras. A máima temperatra, nesse caso, ocorre no plano central, onde (note a simetria do problema). Se for o caso poco comm de ma reação endotérmica, o <, a concavidade seria voltada para abaio e, no plano central, haveria a mínima temperatra. ''' q G ambém poderia se chegar a essa epressão sando MÁX C ''' G q L k O flo de calor (lei de Forier) S d d d q ka o, o flo de calor por nidade de área, d '' q d q k, sbstitindo a distribição de temperatras, vem: A d '' q k d d o, simplesmente: ''' q G ( L ) S k, '' q q G ''' No plano central ( = ) o flo de calor é nlo devido à simetria do problema e das condições de contorno. '' Dessa forma, o plano central age como o caso de ma parede adiabática, q (B) Nesse caso, sponha qe a temperatra de ma das faces seja maior: Por eemplo,, como ilstrado abaio a segir. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

34 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 34 Plano em qe ocorre a máima temperatra, má ( má ) Sabemos qe o flo de calor é nlo em má : d k o d má ''' d q G ( L ) ( ), qe reslta em: d k L ''' G q k má ( ) L Cja solção é: má ( ) k Lq ''' G Sbstitindo-se o valor de má na epressão da distribição da temperatra, encontra-se o valor da máima temperatra má. ente fazer isso! PENSE: Sponha qe você é m engenheiro-perito e é chamado para dar m parecer sobre m incêndio com sspeita de ter origem no sobreaqecimento do sistema elétrico. Como você poderia, a partir de ma análise na fiação elétrica, inferir se hove o não sobreaqecimento à lz do assnto tratado nesta ala? Eercícios Resolvidos: Eercícios adaptados do livro Fndamentos de transferência de calor e massa, Incropera 4.. O vidro traseiro de m atomóvel é desembaçado pela passagem de ar qente sobre sa sperfície interna. (a) Se o ar qente está a,i = 4 C e o coeficiente de convecção correspondente é a h i = 3 W/(m K), qais as temperatras das sperfícies interna e eterna de ma janela de vidro de 4 mm de espessra se a temperatra do ar ambiente é,e = - C e o coeficiente de convecção associado é h e = 65 W/(m K)? José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

35 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 35 Diagrama esqemático do problema: Hipóteses:. Regime estacionário. Condção nidimensional 3. A transferência de calor por radiação é desprezível 4. As propriedades físicas são constantes Solção: (a) O flo pode ser obtido por: =,, =,, + h + = h +,, + =, +, +, / = Se o flo de calor = h (,, ), a temperatra da sperfície é:, =, = =, h Da mesma forma obtemos para a temperatra da sperfície eterna:, =, = h =, C 4..Uma parede plana de espessra, m e condtividade térmica k = 5 W/(m K) com geração volmétrica de calor niforme de,3 MW/m 3 é isolada de m lado enqanto o otro lado é eposto a m flido a 9 C. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e o flido é 5W/(m K). Determine a temperatra máima da parede. Hipóteses:. Regime estacionário. Condção nidimensional 3. Geração de energia niforme no volme 4. A sperfície interna é adiabática Solção: A eqação do perfil de temperatra é para parede plana é dado por; = + Como a parede interna é adiabática, a temperatra no ponto =, é a temperatra máima na parede qe pode ser obtido com a eqação: = + A temperatra eterna pode obtida por: = + h = +,, = + = Conseqentemente obtemos: =,, + = + = José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

36 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 36 AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM GERAÇÃO INERNA DE CALOR e COEFICIENE GLOBAL DE RANSFERÊNCIA DE CALOR Nesta ala, vai se estdar o caso da geração interna de calor em cilindros maciços. Como eemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito jole devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figra ao lado. Partindo da eqação geral da condção de calor: ''' q G k t (Regime permanente) Neste caso, é conveniente sar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é: r r r r r z Hipóteses adicionais - simetria radial: (não há inflência da posição anglar nma seção transversal, pois há simetria radial) - o tbo é mito longo: z (não há efeitos de borda na direção aial) Logo, trata-se de ma distribição de temperatras nidimensional na direção radial, o seja, (r) Assim, introdzindo essas simplificações na eqação geral da condção, vem: r d dr ''' G d q r dr k O, integrando por partes: ''' ''' d q d q G G r dr rdr C, o, ainda: r C dr k dr k Integrando novamente por separação de variáveis: ''' q C G d r dr C k r ''' qg r ( r) C ln r C 4k José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

37 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 37 *condições de contorno para obtenção das constantes C e C: () ( r r ) S a temperatra da sperfície S é conhecida () d dr r simetria radial na linha central Isso implica dizer qe o flo de calor é nlo na linha central e, como decorrência, também pode-se afirmar qe a máima temperatra má ocorre nessa linha. Da segnda condição de contorno, vem qe: ''' q lim G r C r k r Do qe reslta em C, para qe a epressão permaneça sempre nla. Da primeira condição de contorno. S ''' G q r 4k o, C C S ''' qg r 4k Finalmente, a eqação da condção de calor fica: r r S É ma distribição parabólica de temperatra (º. gra)! ''' G q 4k Sendo, ''' qg r má 4 k S José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

38 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 38 EXEMPLO DE APLICAÇÃO Considere m tbo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado eterno. Sa sperfície interna é mantida a ma temperatra constante igal a. Considere, ainda, qe ocorre geração de calor ''' q G niforme. a) calcle a distribição de temperatras; b) determine o flo de calor total removido (internamente); c) determine a temperatra da sperfície eterna. i Solção: Hipóteses: as mesmas qe as anteriores. Eq. d d q G r r dr dr k ''' Condições de contorno: () ( r r i ) i (temperatra interna constante) d () dr re (flo de calor nlo na sperfície) A solção geral, como já visto, é: ''' G q r ( r) C ln r C 4k Sendo, C e C saem das condições de contorno do problema específico: José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

39 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 39 Assim, ''' qg re C k ; ''' q G re ri C i ln( ri ) 4k re ''' qg re ri ( r) 4k re r ln r r i i O flo de calor é: d q ka dr d q k( rl) ( r) dr Após sbstitir a distribição de temperatras e efetar da derivada, vem: A temperatra máima é: q L ''' G q r r (W/m) e i má e má e q ''' G r 4k e r i r r e e ln re ri i OURO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Nm fio de aço inoidável de 3,mm de diâmetro e 3cm de comprimento é aplicada ma tensão de V. O fio está mantido em m meio qe está a 95 o C e o coeficiente de o transferência de calor vale kw / m C. Calcle a temperatra no centro do fio. A resistividade do fio e de 7 cm e sa condtibilidade térmica vale,5w / m o C José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

40 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 Solção: Calor gerado por nidade de volme, isto é, a potência elétrica dissipada no volme. U P Ri ; R 8 7 m D (3,, A ,3 R,6 6 8,45 P 3, 83kW,6 L, 3m q G q G P 3,83 V A L 9 W,587 m P ha ( P P ) 3 3 3,83 8,45 P c 67 o 3 3, (3, ),3 o P C qg ro c P 4k 9,587 (,6 c 4,5 C 3 ) ),3 P ha R L A 8,45 6 m José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

41 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 RESISÊNCIA ÉRMICA Várias Sitações - paredes planas R q R L ka - circito elétrico - paredes compostas - Circito elétrico Ainda, onde R R R R // 3 4 R EQ R R// R5 q R EQ José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

42 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 - bo cilíndrico i e q ; R r ln e r i R kl - bo cilíndrico composto - Circito elétrico R eq R i R eq ri ln r i k L i Para dois tbos: r ln r R k L R r 3 ln r k L José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

43 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 43 Por indção, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor? Lei de convecção (Newton) onde, q ha( ) p e ha p q ha é a resistência térmica de convecção - Circito elétrico Para o caso em qe hover convecção em ambas as paredes: - Convecção em tbo cilíndrico José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

44 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 44 abela-resmo de Resistências érmicas Parede plana Circito Elétrico Flo de ransferência de calor Resistências érmicas R q R L ka Parede plana com convecção R q R R R R3 L R h A ka h A Paredes compostas q R EQ R EQ R // R R // R5 R R R 3 4 bo cilíndrico i e q R r ln e r i R kl bo cilíndrico composto i e q R eq R eq ri ln r i k L i Convecção eterna em tbo cilíndrico i e q R eq R eq r ln e r i kl ha José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

45 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 45 COEFICIENE GLOBAL DE RANSFERÊNCIA DE CALOR U O coeficiente global de transferência de calor é definido por: q UA total Claramente, U está associado com a resistência térmica, - parede plana R L h A ka h A q R UA Logo, UA o R U L h k h U RA - tbo cilíndrico Há m problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à área interna do tbo, U i, o à área eterna, U e. No entanto, os dois valores são intercambiáveis mediante a seginte epressão: U A e e total U A i i total Logo, U A U A e e i i José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

46 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 46 U referido à área eterna: Ue r Ae ln kl h referido à área interna: U e r i e U i A i ln r e r kl i Ai A h e e RAIO CRÍICO DE ISOLAMENO ÉRMICO As tblações qe transportam flidos aqecidos (o frios) devem ser isoladas do meio ambiente a fim de restringir a perda (o ganho) de calor do flido, qe implica em cstos e ineficiências. Aparentemente, algém poderia spor qe a instalação pra e simples de camadas de isolantes térmicos seria sficiente. Entretanto, m estdo mais pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer m critério para realizar esta operação. Como visto, o flo de calor é q i re ln r i kl Lr h e o, q L( ) ln i re r k i r h e Note qe o raio eterno qe aparece no denominador dessa epressão tem das contribições: ma no termo de condção e a otra no termo de convecção. De forma qe, se o raio eterno do isolamento amentar, ele dimini ma das resistências térmicas (a de convecção), enqanto qe a resistência térmica de condção amenta. Isto está ilstrado no gráfico acima e dá origem a m ponto de maimização. Do cálclo, sabe-se qe a máima transferência de calor ocorre qando a derivada é nla, isto é, José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

47 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 47 dq dr e L( ln k i r k. r. e e h r ri e re h ) Assim, kr e hr e k r crit h r crit é o chamado raio crítico de isolamento. Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor qe k h a transferência de calor será amentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessra dada pelo raio crítico conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao desejado de diminir o flo de calor. Por otro lado, se originalmente a espessra de isolamento for maior qe a do raio crítico, adições scessivas de camadas isolantes vão de fato diminir a perda de calor. Para eemplificar, considere m valor do coeficiente de transferência de calor por convecção de h = W 7 (convecção natral). A tabela a segir indica os raios críticos o m C de isolamento para algns isolantes térmicos. material k W o m C r crit (mm) eflon,35 5, Papel,8 5,7 Coro,59,7 Borracha macia,3 8,6 Silicato de cálcio,55 7,9 Lã de vidro,38 5,4 Poliestireno epandido,7 3,9 Folhas de papel e almínio de vidro laminado,7,4 Eercícios Resolvidos: Eercícios adaptados do livro transferência de calor e massa, Çengel 5. Um fio com 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento com isolante de plástico, espessra de mm e condtividade térmica, k =,5 W/m C. Medições elétricas indicam qe passa ma corrente de A pelo fio e a qeda de tensão ao longo do fio é de 8 V. O isolamento de plástico fica eposto ao ar com = 3 C e o coeficiente de transferência de calor, h = W/m C. Determine a temperatra na sperfície de contato entre o fio e o isolante em operação de regime permanente, e determine o raio crítico. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

48 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 48 Hipóteses:. Regime estacionário. A condção de calor nidimensional 3. As propriedades físicas constantes 4. A resistência de contato entre fio e o isolante é desprezível 5. A transferência de calor por radiação está inclída no coeficiente de transferência de calor Solção: A taa de transferência de calor do fio para o isolante é igal a taa de geração de calor prodzido devido à resistência, assim podemos obter: = = = = A área da sperfície eterna, = =, =, E as resistências apresentadas são dados por: = = h =,, = ln =, ln,, =, Portanto: = + =, +, =, = determinando a temperatra na sperfície de contato entre o fio e a capa de plástico: = + = +, = Ainda determinamos o raio crítico do isolamento: =, = h =, =, O raio crítico, r cr, com o amento da espessra da capa de plástico a taa de transferência de calor amenta se a temperatra da sperfície de contato permanecer constante. Este comportamento ocorre até qe o raio da capa plástico atinja o raio crítico. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

49 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 49 AULA 6 - ALEAS OU SUPERFÍCIES ESENDIDAS Considere ma sperfície aqecida (o resfriada) qe se deseja trocar calor com m flido qe a envolve qe está à temperatra. Da lei de resfriamento de Newton, vem qe o flo de calor trocado é dado por q ha s, onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a área de troca de calor e s e são as temperatras da sperfície do flido (ao longe). Por ma simples análise, sabe-se qe a transferência de calor pode ser melhorada, por eemplo, amentando-se a velocidade do flido em relação à sperfície. Com isso, amenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseginte, o flo de calor trocado. Porém, há m preço a pagar e este preço é o fato qe vai se eigir a tilização de eqipamentos de maior porte para movimentação do flido, o seja, maiores ventiladores (ar) o bombas (líqidos). Uma forma mito empregada de se amentar a taa de transferência de calor consiste em amentar a sperfície de troca de calor com o emprego de aletas, como as ilstradas abaio. Assim, o emprego das aletas permite ma melhora da transferência de calor pelo amento da área eposta o de contato entre a sperfície aqecida e o flido. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

50 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 Algns pocos eemplos de aplicação de aletas: () camisa do cilindro de motores de combstão interna resfriados a ar, como os do velho fsca e motores de motocicletas; () carcaça de motores elétricos; (3) condensadores e evaporadores, como os de aparelhos de ar condicionado; (4) dissipadores de componentes eletrônicos e de CPUs de comptadores; (5) orelhas de elefantes. IPOS DE ALEAS A figra abaio ilstra ma série de eemplos de aletas. Evidentemente, eistem centenas o milhares de formas constrtivas qe estão, mitas das vezes, associadas ao processo constrtivo das mesmas (etrsão, soldagem, etc). Figra Diferentes tipos de sperfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a) aleta longitdinal de perfil retanglar; (b) tbo cilíndrico com aletas de perfil retanglar; (c) aleta longitdinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitdinal de perfil parabólico; (e) tbo cilíndrico eqipado com aleta radial; (f) tbo cilíndrico eqipado com aleta radial com perfil cônico trncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico trncado; (i) pino parabólico. José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

51 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 EQUAÇÃO GERAL DA ALEA Volme de controle elementar, C Hipóteses: - regime permanente; - temperatra niforme na seção transversal; - propriedades constantes. Balanço de energia I flo de calor qe entra no V. C. p / condção II flo de calor qe qe deia o V. C. p / condção III flo de calor qe qe sai do V. C. p / convecção (I) d q ka d (II) dq q d q d o( d ) epansão em série de aylor d (III) qc hal ( ) hpd( ) q c P : perímetro molhado, isto é, o perímetro da sperfície eterna (área lateral, A L ) da aleta qe se encontra em contato com o flido. Sbstitindo-se as eqações acima no balanço global de energia, vem: dq q q d hpd d d ( ) dq hp( ) d O, sbstitindo a lei de Forier da condção: k d d A d d hp ( ) José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

52 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 Sendo d d d d d hp A d k Esta é a eqação geral da Aleta () qe é a distribição de temperatras ao longo da aleta; A A() qe depende da geometria da aleta (deve ser conhecida). ALEA DE SEÇÃO RANSVERSAL CONSANE: REANGULAR Do ponto de vista matemático, a eqação de aleta mais simples de ser resolvida é a de seção transversal constante como, por eemplo, ma aleta prismática de seção transversal retanglar o circlar. Assim, da eqação geral com A = cte, vem: d m, d hp m ka A solção é do tipo: m, ( ) e m ce c Essa solção provém do polinômio característico, o qal possi das raízes reais e distintas (m e m). Veja a seção lembrete de cálclo abaio. Determinação das constantes c e c vêm das condições de contorno: a Condição de Contorno para () b () b b b c e c e c c b José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

53 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 53 LEMBREE DE CÁLCULO Solção geral de eqação diferencial homogênea de d y b d dy d cy a ordem e coeficientes constantes Assme-se qe n y e Sbstitindo essa solção, vem n n n n n e bne ce e Daí, obtém-se o polinômio característico n bn c Caso : n e n reais e distintos n n y ce ce Caso : n e n reais igais n n y ce ce Caso 3: conjgados compleos n p qi ; n p qi y e p [ c cos( q) c sen( q)] Onde, b p ; q 4c b A otra relação entre as condições de contorno depende do tipo de aleta, conforme os casos (a), (b) e (c), abaio estdados: (a) aleta mito longa Nesse caso, admite-se qe a aleta é mito longa e sa etremidade já atingi a temperatra do flido. Do ponto de vista matemático ma aleta mito longa pode ser simplificada como ma aleta de comprimento infinito, isto é: José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

54 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 54 o Assim, m m c e c e c c b lim De forma qe, a distribição de temperatras nesse caso é: ( ) e b m ( ) e b hp ka O, sbstitindo a definição de, vem: ( ) ( ) e b b hp ka O flo de calor total transferido pela aleta O flo de calor total transferido pela aleta pode ser calclado por dois métodos: () q aleta q cond. basealeta (o flo de calor total transferido é igal ao flo de calor por condção na base da aleta) () q aleta hp( ) d (o flo de calor total transferido é a integral do flo de calor convectivo ao longo de toda a sperfície da aleta) Usando o método (), vem: q aleta ka b d d d ka b d Mas, A b q q q A cte aleta aleta aleta ka ka b d d m m be ka b( m) e hp ka hpka o q hpka ) b aleta ( b José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

55 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 55 Pelo otro método (): q aleta q aleta hp d ; P cte q hp m aleta hp be b lim e m d d hp e lim m b m hp b lim m o, qaleta hpka( b ) o mesmo resltado anterior! m hp b e hpka b m (b) caso em qe a etremidade da aleta é adiabática (finito) Nesse caso, admite-se qe a transferência de calor na etremidade da aleta é mito peqena. Portanto, admite-se qe é adiabático: d d L d d m m (etremidade adiabática), o c e ce d d L De onde, se obtém, c e e e ml b ml ml Mas como c c b, então: c b e ml ml e e ml Logo, sbstitindo na eqação, vem: ml ml e m e e e ml ml ml ml b e e e e O c c b e m m ( L) m( L) e ml ml e e / / o ( ) b ( ) ( ) b cosh m( L ) cosh ml José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

56 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 56 Lembrete de fnções hiperbólicas: FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA senh () e e cosh( ) cosh( ) e e senh () tanh senh ( ) sec h ( ) cosh( ) O flo de calor total transferido pela aleta O mesmo resltado do caso anterior d d b cosh( L ) m qaleta ka ka d d cosh ml ka senh( ml) b ( m) cosh( ml) ka b mtgh(ml) q b hpka tgh(ml) (c) aleta finita com perda de calor por convecção na etremidade Caso realista. Condição de contorno na etremidade: em L k d d L h( ) L condção na etremidade = convecção Distribição de temperatras ( ) b ( ) ( ) b cosh m( L ) h senh m( L ) mk coshml h senh( ml) mk Flo de calor senh( ml) q hpka( b ) cosh( ml) h conh( ml) mk h senh( ml) mk José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

57 b t Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 57 abela Resmo. Distribição de temperatras e perda de calor em aletas de seção transversal niforme. Caso Condição de contorno na etremidade = Distribição de emperatra Flo de Calor a b c Aleta mito longa Etremidade adiabática Convecção na etremidade (caso real) hp ka ( ) ( ) q e aleta hpka( b ) b b ( ) ( ) cosh m( L ) q ( ) hpka tgh( ml ( ) cosh ml b ) b ( ) ( ) ( ) b b cosh b m( L ) h senh m( L ) mk cosh ml h senh( ml) senh( ml) h mk q hpka( b ) cosh( ml) conh( ml) mk h senh( ml) mk = h Comprimento Corrigido de Aleta Em mitas sitações, costma-se sar a solção do caso (b) etremidade adiabática mesmo para os casos reais. Para isso, sa-se o artifício de rebater a metade da espessra t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta, L C. Com isso, sa-se o caso (b) de solção mais simples. L t/ Lc=L+t/ L c L t / L t/ Lc O erro introdzido por essa aproimação será menor qe 8% desde qe ht,5 k Eercícios Resolvidos: Eercícios adaptados do livro fndamentos de transferência de calor e massa, Incropera 6. bos de cobre estão fiado à placa absorvedora de m coletor solar plano, conforme mostrado na figra. A placa absorvedora feita com a liga de almínio (4-6) possi 6 mm de espessra e é isolada termicamente na sa sperfície interior. Há váco no espaço qe separa a sperfície José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

58 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 58 sperior da placa e a placa de cobertra transparente. Os tbos encontram-se espaçados entre si por ma distância L de, m e ága escoa nos tbos para remover a energia coletada. A ága pode ser sposta estar a ma temperatra niforme a =6 C. Em condições de operação em regime estacionário, nas qais o flo radiante liqido na sperfície absorvedora é de = W/m, qais são a temperatra máima na placa e taa de transferência de calor para a ága por nidade de comprimento do tbo? Note qe representa o efeito líqido da absorção da radiação solar pela placa absorvedora e da troca de radiação entre placa absorvedora e a placa de cobertra. Você pode spor qe a temperatra da placa absorvedora eatamente acima de m tbo seja igal à da ága. Hipótese:. Regime estacionário. Condção nidimensional 3. Absorção de radiação niforme na sperfícia da placa 4. A perda por cndção no isolamento é desprezível 5. A perda de calor por convecção é desprezível 6. A temperatra da placa absorvedora no ponto =, a temperatra da placa é igal da ága na entrada Solção: Pela tabelas de propriedades, temos qe: =, a placa absorvedora ata como ma sperfície etendida, e a eqação diferencial qe descreve a distribição de temperatra pode ser obtida com o balanço de massa no volme de controle: Obtemos: + + =, sendo qe + = + + e, = Então temos: [ ] = o = Integrando das vezes, a solção geral para a distribição de temperatra é dada por: = + + Aplicando as condições de contorno: = = = = = Conseqentemente: = +, a temperatra máima na placa absorvedora, o qal ocorre em =, é dado por: = ( ) = + A taa de energia coletada por tbo pode ser obtido a eqaçãod a lei de Forierno ponto, =. Essa é a energia transferido para o tbo por condção proveniente da placa absorvedora, portanto: = [ ] conseqentemente, mltiplicando-se por, pois, o calor vem dos dois = lados temos: = José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

59 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 59 Portanto: = 8, + o 8 [8 ],6 =, =, 8 o = 6. Uma barra de latão de mm de comprimento de 5 mm de diâmetro se estende horizontalmente de m molde de fndição a C. a barra está no ar ambiente com = C e h=3 W/m K. Qal é a temperatra da barra a 5, 5 e mm a partir do molde? Hipótese:. Regime estacionário. Condção nidimensional 3. Propriedades físicas e, h, são constantes 4.Radiação é desprezível Da tab ela de propriedades dos materiais, latão k=33 W/mK. = [ h h ] = [ ] = [ h ] = [ ], =, Ainda de acordo com a tabela de resmo de distribição de temperatra, a distribiçãod e temperatra tem a seginte forma: cs +h/ s = cs + h as relações h = =, s, Sabendo qe =, a distribição de temperatra é dada por: cosh +, sinh =, A partir da eqação descrita acima é possivel encontrar a temperatra para cada distância obtendo a tabela abaio: m (m) Cosh m(l-) Sinh m(l-) =,,55,9 36,5 56,5 =,,4,75 8,9 8,9 =, José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

60 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 AULA 7 EFICIÊNCIA E EFEIVIDADE DE ALEAS Eficiência de Aleta A teoria desenvolvida na ala anterior é bastante útil para ma análise em detalhes para o projeto de novas configrações e geometrias de aletas. Para algns casos simples, eistem solções analíticas, como foi o do caso estdado da aleta de seção transversal constante. Seções geométricas irreglares o qe envolvem condições de contorno mais compleas podem ser resolvidas mediante solção nmérica da eqação diferencial geral da aleta. Porém, eiste m método de seleção de tipos de aletas baseado no chamado método da eficiência da aleta. Sendo qe a eficiência de aleta,, é definida por A A flo de calor transmitido p / aleta caso real flo calor qe seria transmitido caso a aleta estivesse à temp.base caso ideal q q b q b= cte Pode ser tilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/ Para o caso estdado na ala anterior da aleta retanglar de etremidade adiabática, a aplicação da definição de eficiência de aleta reslta em: L A hpka qbtgh( mlc ) tgh( mlc ), com hpl q ml c b c m hp ka Por otro lado, o perímetro molhado é dado por P ( b t) b (para t << b, aleta fina), sendo A bt, de onde se obtém: ml h kt c L c - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

61 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 Cálclo do Flo de Calor Através da Aleta Da definição de eficiência de aleta, o flo de calor real transferido pela aleta, qa, pode ser obtido por meio de q q A A ma, onde o máimo flo de calor transferido, qma, é aqele qe ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatra da base, isto é: q ma ha a qb, onde, Aa é a área total eposta da aleta e q b b Assim, o flo de calor real transferido pela aleta é: q A ha q a a b Note qe a eficiência da aleta, a, selecionada sai de ma tabela, gráfico o eqação. Na seqência deste teto há ma série de gráficos para algns tipos de aletas. Deve-se sar aleta qando: () h é baio (geralmente em convecção natral em gases, como o ar atmosférico) () Deve-se sar m material de condtividade térmica elevado, tais como cobre e almínio, por razões qe veremos adiante. O almínio é sperior devido ao se baio csto e baia densidade. Eemplo de Aplicação Em m tbo de diâmetro eterno de,5 cm são instaladas aletas circlares de almínio por m processo de soldagem na sperfície. A espessra das aletas é de, cm e o diâmetro eterno das mesmas é de 5,5 cm, como ilstrado. Se a temperatra do tbo for de o C e o coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m K, calcle o flo de calor transferido pela aleta. Solção rata-se de aleta circlar de almínio. O valor da condtividade térmica é de 4 W/mK (obtido por conslta a ma tabela de propriedades termofísicas dos sólidos). Vamos calclar os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 63 à frente. - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

62 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 t,m (5,5,5) L,,5 m L A P L t,55,,55 c c t L,55 m 5 m L 3 c,5 5,5 h ka, ,55, 55 Para o so do gráfico (pg.63), precisamos ainda da razão entre o raio eterno corrido e o raio interno da aleta. r c r t /,75,/,4 Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos r r,5 A q A A a. Assim, o flo de calor trocado pela aleta é: ha q,965, ,5W, Já qe a área eposta da aleta, vale, 9% a a b rc r,394 m. Eemplo de Aplicação (cont...) Admitindo qe o passo das instalações da aleta é de cm, qal deve ser o flo de calor total transferido pelo tbo, se o mesmo for de m de comprimento. P Solção O tbo terá aletas. O flo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálclo anterior. O flo de calor da porção de tbos sem aletas será: q sa ha sa ( s ), onde Asa é a área do tboem qe não há aletas. A sa, 76,8 cm,768 r ( L N t),5 m a Assim, q sa 65,768( 5) 344,6 W O flo de calor trocado pelas aletas será q ca 7,5 75W Finalmente, o flo total de calor trocado pelo tbo será 75 q qsa qca 344, ,5 W e % % 83,6% 95 Como se vê, a instalação das aletas amenta consideravelmente a transferência de calor. - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

63 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 63 Flo de calor transmitido pela aleta: q a ha a q b q b b Área total da aleta Eficiencia da aleta ( f da figra) base Aa é a área total eposta da aleta Para obter a eficiência da aleta, se os dados geométricos disponíveis e os indicados nos gráficos. Uma vez obtida a eficiência da aleta, calcle o flo real de calor através da simples epressão acima. Comentários: ipo Retanglar Ap área de seção transversal de aleta blc rianglar / Aa área total eposta da aleta b L ( L / ) Parabólica /,5b L ( L / ) Anlar / b r c r b largra da aleta L c = L-corrigido t = espessra Aleta trianglar (y ~ ) reqer menos material (volme) para ma mesma dissipação de calor do qe a aleta retanglar. Contdo, a aleta de perfil parabólico é a qe tem melhor índice de dissipação de calor por nidade de volme (q/v), mais é apenas m poco sperior ao perfil trianglar e se so é raramente jstificado em fnção de maior csto de prodção. A aleta anlar é sada em tbos. - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

64 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 64 Efetividade da Aleta Como visto, a eficiência de aleta é somente m procedimento de seleção de tipos de aletas, já qe ma tabela, gráfico o eqação fornece as eficiências das aletas e os cálclos se dão a partir desse ponto. Mas, é preciso continar com a análise para determinar se, de fato, haverá incremento o não da transferência de calor com a instalação de aletas. Claro qe está informação é crcial para qe o engenheiro decida pela instalação de aletas. Para qe se possa segramente tomar ma decisão sobre a vantagem o não da instalação de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade de aleta,. Nesse método, comparase o flo de calor devido através da aleta com o flo de calor qe o ocorreria caso ela não hovesse sido instalada. Lembrando qe caso a aleta não eistisse, a transferência de calor em qestão ocorreria através da área da base da aleta, Ab. Assim, define-se a efetividade como sendo a razão entre o flo de calor através da aleta pelo flo de calor através da base da aleta, o seja: q aleta qs / aleta q aleta habq b A b, b O flo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o qe ocorreria na base da aleta, conforme ilstração acima. Como regra geral, jstifica-se o caso de aletas para ε >. Para aleta retanglar da etremidade adiabática hpka q tgh( ml ) b b ha q b c tgh( mlc ) Nesse caso: A = Ab e, portanto, ha/ kp - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

65 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 65 Eemplos de Aplicação Eemplo de aplicação Uma aleta de aço inoidável, seção circlar de dimensões L = 5 cm e r = cm, é sbmetida à três condições de resfriamento, qais sejam: A Ága em eblição; h = 5 W/m K B Ar convecção forçada; h = W/m K C Ar Convecção natral; h = W/m K Calcle a efetividade da aleta, para os segintes dados: - k aço ino = 9 W/m K (obtido de ma tabela de propriedades de transporte) - Comprimento corrigido: Fórmla L r / L c L= 5cm Solção: tgh( mlc ), com ha/ kp m hp hr h h 3, ka k r kr 9., 4 h ml c e 3,4 h,5,/, o seja: ml c, 78 h. No denominador tem-se: ha kp hr kr hr k h.,,6.9 Sbstitindo estes dois resltados na epressão da efetividade, vem: h. tgh(,78,6 h) h - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

66 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 66 Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h) Caso A : h = 5 W/m (,78 5) K tgh, 873,6 5,45 Caso B : h = W/m (,78 ),945 K tgh 5, 833,6,6 Caso C : h = W/m (,78 ),5 K tgh,,6,5 Comentário - Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No caso A, por eemplo, a instalação de aletas deteriora a transferência de calor, já qe ε<. Um critério básico é qe a razão ha/pk deve ser mito menor qe para jstificar o so de aletas. Caso (A) ha, 3 kp Caso (B) ha, 6 kp Caso (C) ha, 6 kp - Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tbo de menor coeficiente de transferência de calor, qe é também o de maior resistência térmica. Eemplo de aplicação Considerando o problema anterior, sponha qe a aleta seja constitída de três materiais distintos e qe o coeficiente de transferência de calor seja h = W/m o C. Calcle a efetividade para cada caso. Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: A Cobre B Aço ino C Almínio k = 368 W/m K k = 9 W/m K k = 4 W/m K - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

67 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 67 Solção: m h kr. 4,4 k., k 4,4 7, 76 ml c k k e, portanto,,5,/ No denominador, agora temos: ha kp hr k., k k Sbstitindo ambos os resltados, obtém-se: k tgh(7,76/ k ) Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε =,7 Caso (B): k = 9 W/m K (aço ino) ε = 5,8 Caso (C): k = 4 W/m K (almínio) ε =, Comentário: O material da aleta é bastante importante no qe tange a efetividade de ma aleta. Devese procrar sar material de elevada condtividade térmica (cobre o almínio). Geralmente, o material empregado é o almínio por apresentar várias vantagens, tais como: () É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser etrdado; () em csto relativamente baio; (3) Possi ma densidade baia, o qe implica em menor peso final do eqipamento; (4) em ecelente condtividade térmica. Em algmas sitações as aletas podem ser parte do projeto original do eqipamento e serem fndidas jntamente com a peça, como ocorre com as carcaças de motores elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por eemplo. Nesse caso, as aletas são feitas do mesmo material da carcaça do motor. Eercícios Resolvidos: Eercícios adaptados do livro fndamentos de transferência de calor e massa, Incropera 7. Como mais e mais componentes são colocados em m circito integrado individal (chip), a qantidade de calor qe é dissipado tende a amentar. Por otro lado, esse amento está limitado pela temperatra máima permitida de operação do chip, qe é aproimadamente 75 C. Para - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

68 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 68 maimizar a dissipação de calor propõe-se tilizar ma matriz 44 de aletas de cobre em forma de pino qe podem ser fiadas através de processos metalúrgicos à sperfície eterna de m chip qadrado de,7 mm de lado. (a)esboce o circito térmico eqivalente para a montagem pino-chip-placa, admitindo condições de estado estacionário nidimensional e resistência de contato desprezível entre os pinos e o chip. Nma forma variável, enmere as resistências apropriadas, temperatras e taas de calor. (b)para as segintes condições: R t,c= -4 m K/W, L b= 5 mm, k b = W/mK,,=,i = C; h i=4w/m K, h =5W/m K, qal é a máima taa na qal o calor pode ser dissipado no chip qando os pinos estão no lgar? Isto é, qal é o valor de q c para c=75 C? O diâmetro e o comprimento do pino são D p=,5 mm e L p=5 mm. Hipóteses:. Regime estacionário. Condção nidimensional 3. A resistência de contato entre o chip e pino é desprezível 4. Propriedades físicas são constante 5. A resistência térmica do chip é desprezível 6. A temperatra no chip é niforme Solção: a) O esqema da resistência térmica é dado pela figra abaio: A energia dissipada pela placa é dada por: =, ( + h, + )/ endo a dissipação de calor pela a placa inferior, q i, e a dissipação e calor pelas aletas, q t. Já a energia dissipada pelas aletas é dada por: =,, A resistência das aletas é dada por, = h, onde = ; = + e = = +. b) Fazendo algns cálclos para aleta e sbstitindo os valores na eqações acima, obtemos. = ; = h ; = tanh ; = ; = = ; = Resolvendo as eqações obtemos qe =, e =,, conseqentemente =, 7. Ága é aqecida através de m tbo de cobre de 5 mm de diâmetro sbmerso em m tanqe. Nos Gases qentes de combstão ( g=75 K) escoam no interior do tbo. Para amentar a transferência de calor para ága, qatro aletas planas de seção transversal niforme formando m crzamento são inseridas em cada tbo. As aletas possem 5 mm de espessra e também são feitas de cobre (k = 4 W/mK). Se a temperatra da sperfície do tbo é s =35 K e o coeficiente de transferência de calor por convecção do lado do gás é h g = 3W/m K, qal a taa de transferência de calor para á ága por metro de tbo? - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

69 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 69 Hipóteses:. Regime estacionário. Condção nidimensional 3. Propriedades físicas constantes 4. A radiação é desprezada 5. O coeficiente de convecção são constantes 6. O tbo cilíndrico pode ser adotado como ma placa plana com aletas retanglares e com a sperfície da ponta adiabática Solção: A taa de transferência de calor por nidade de tbo: = h = = =, =, = + =, + =, +,, =, Para aletas com a ponta adiabática temos, = tanh = h por metro de tbo, o seja, =., lembrando qe, =, e neste problema está sendo calclado = h = [h + ] ( ) [, ] = = h / h + / = { } = [ ], =,, E ainda temos qe tanh =,, = = =,, =,, =,, =,, = - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

70 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 AULA 8 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME RANSIÓRIO SISEMA CONCENRADO Introdção Qando m corpo o sistema a ma dada temperatra é brscamente sbmetido a novas condições de temperatra como, por eemplo, pela sa eposição a m novo ambiente de temperatra diferente, certo tempo será necessário até qe seja restabelecido o eqilíbrio térmico. Eemplos práticos são aqecimento/resfriamento de processos indstriais, tratamento térmico, alimentos colocadas na geladeira, materiais inseridos em fornos, entre otros. No esqema ilstrativo abaio, sponha qe m corpo esteja inicialmente a ma temperatra niforme. Sbitamente, é eposto a m ambiente qe está a ma temperatra maior. Uma tentativa de ilstrar o processo de aqecimento do corpo está indicada no gráfico temporal do esqema. A forma da crva de aqecimento esperada é, de certa forma, até intitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria eperiência pessoal. (t) empo t= t t Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aqecimento do eemplo ilstrativo acima vai, entretanto, indicar qe o aqecimento do corpo pode não ocorrer de forma niforme no se interior. Na ilstração qe sege, indica-se de forma ilstrativa a temperatra na no centro c, e nma posição qalqer na sperfície s. Note qe as crvas - José R. Simões Moreira atalização agosto/7

71 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 de aqecimento não são igais. Isto indica qe a variação da temperatra no corpo não é niforme dentro do corpo, de ma forma geral. Esta análise qe envolve o problema da difsão interna do calor é m poco trabalhosa do ponto de vista matemático, mas pode ser resolvida para algns casos de geometrias e condições de contorno simples, como será visto na próima ala. Casos mais compleos podem ser resolvidos de forma nmérica. Entretanto, o interesse da ala de hoje é nma hipótese simplificadora qe fnciona para m grande número de casos práticos. A ideia consiste em assmir qe todo o corpo tenha ma única temperatra niforme a cada instante. Esta hipótese é chamada de sistema concentrado, objeto de análise na seqência. s S Sistema Concentrado C C t Sistema Concentrado A hipótese é qe a cada instante t, o sistema tenha ma só temperatra niforme (t). Isto ocorre em sitações nas qais os sistemas (corpos) tenham sa resistência interna à condção desprezível face à resistência eterna à troca de calor eterna qe, geralmente se dá por convecção. Para condzir essa análise, lança-se mão do esqema abaio de m corpo a ma temperatra inicial e qe, sbitamente, é eposto a m ambiente de temperatra, de forma a qe ocorra transferência de calor convectiva. q convecção - José R. Simões Moreira atalização agosto/7

72 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 73 O balanço de energia fornece o seginte esqema Balança de energia aa temporal de variação de energia interna do corpo (I) = Flo de calor rocado por convecção (II) ermo (I): du dt d m dt d dt d c dt m = massa do corpo; U = energia interna do corpo; = energia interna específica do corpo; ρ = densidade do corpo; = volme do corpo; c = calor específico do corpo. ermo (II): q conv ha( ) h = coeficiente transferência de calor por convecção para o flido circnvizinho; A = área da sperfície do corpo em contato com o flido; = temperatra instantânea do corpo = (t); = temperatra ao longe do flido. Assim, pelo esqema do balanço de energia, vem: c d dt ha( ) Essa é ma eqação diferencial de primeira ordem, cja condição inicial é (t=) =. Separando as variáveis para se realizar ma integração por partes, vem: d ha dt c - José R. Simões Moreira atalização agosto/7

73 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 74 Por simplicidade, seja d d, então: d ha dt c t d ha, o dt, do qe reslta em: c t Finalmente, ha ln t. c e ha t c o e ha t c Analogia Elétrica Essa eqação reslta da solção de m sistema de primeira ordem. Solções desse tipo ocorrem em diversas sistemas físicos, inclsive na área de eletricidade. Eiste ma analogia perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de m capacitor, como ilstrado no esqema abaio. V V V C R t Inicialmente o capacitor C é carregado até ma tenção elétrica V (chave ligada). Depois, a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R. A solção desse circito RC paralelo é V V e t RC Note a Analogia - José R. Simões Moreira atalização agosto/7

74 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 75 Elétrica ensão, V Capacitância, C Resistência, R Circito térmico eqivalente érmica c / ha V V c / ha Constante de tempo do circito elétrico, t RC A constante de tempo é ma grandeza mita prática para indicar o qão rapidamente o capacitor se carrega o se descarrega. O valor de,, e é o instante em qe a tensão do capacitor atingi o valor de e - ~,368 t V V e e,368 e Com isso, pode-se fazer ma análise mito interessante, como ilstrado no gráfico abaio qe indica a descarga do capacitor para diferentes constantes de tempo. Qanto maior for a constante de tempo, mais o capacitor demora para atingir o valor de,368v. V V,368V I IIIII IV 3 4 t Por analogia, a constante de tempo térmica será: - José R. Simões Moreira atalização agosto/7

75 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 76 e ha t c e t t c t ha Veja o gráfico ilstrativo abaio para ver a inflência da constante de tempo térmica.,368( ) t t Um eemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da medida de temperatras com sensores do tipo termopar e otros. Esses sensores consistem de dois fios nidos pelas sas etremidades qe formam ma jnção. Essa jnção é eposta ao ambiente qe se deseja medir a temperatra. Sponha, de forma ilstrativa, m ambiente qe idealmente sa temperatra tem o comportamento ilstrado pela linha cheia no esqema abaio, isto é, sa temperatra oscila entre e, de período em período (onda qadrada). Agora, deseja-se selecionar m sensor qe acompanhe o mais próimo possível o se comportamento. rês sensores de constantes térmicas diferentes são mostrados. Note qe o sensor de maior constante térmica, 3, praticamente não sente as variações de temperatra, enqanto qe o sensor de menor constante térmica acompanha melhor as variações de temperatra. Esse eemplo poderia ser o caso de m motor de combstão interna em qe as temperatras da câmara variam com a admissão e combstão dos gases. Com esse simples eemplo, mostra-se a importância da constante térmica. - José R. Simões Moreira atalização agosto/7

76 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 77 3 t P t P 3t P t A eqação qe rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter a seginte forma Onde, Bi é o número de Biot, definido por e Bi Fo t por Fo (trata-se de m tempo adimensional). Sendo, L h = coeficiente transferência de calor por convecção; = difsividade térmica; k = condtividade térmica; L = comprimento característico do corpo; - José R. Simões Moreira atalização agosto/7 hl Bi, e Fo é o número de Forier, definido k O número de Biot é ma razão entre a resistência interna à condção de calor e a resistência eterna à convecção. Pode-se adotar L como sendo a razão entre o volme do corpo pela sa área eposta à troca de calor. V L A volme do corpo área eposta Para conclir esta ala, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema concentrado. Mostra-se qe a hipótese de sistema concentrado admite solção razoável desde qe: Bi,

77 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 78 EXEMPLO DE APLICAÇÃO (adaptado de Incropera, e. 5.) ermopares são sensores mito precisos para medir temperatra. Basicamente, eles são formados pela jnção de dois fios de materiais distintos qe são soldados em sas etremidades, como ilstrado na figra abaio. A jnção soldada pode, em primeira análise, ser aproimada por ma peqena esfera de diâmetro D. Considere m termopar sado para medir ma corrente de gás qente, cjas propriedades de transporte são: k = W/m K, c = 4 J/kg K e = 85 kg/m 3. Inicialmente, o termopar de D =,7 mm está a 5 o C e é inserido na corrente de gás qente a o C. Qanto tempo vai ser necessário deiar o sensor em contato com o gás qente para qe a temperatra de 99,9 o C seja indicada pelo instrmento? O coeficiente de transferência de calor vale 4 W/m K. SOLUÇÃO Comprimento característico: V D,7 L A 6 6 3,67 4 m hl 4,67 3 Número de Biot: Bi,333 k 4 99,9 Da epressão da temperatra, vem ln Fo ln 3, 76 Bi 3,333 5 k 6 Dado qe 5,883 e Fo, vem: c 85 4 L t Fo L t 3,76 5,883 4,67 7,4 s 6 Comentário: note qe o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado Bi,. Um tempo de 7,4 s é necessário para obter ma leitra precisa de temperatra. O qe aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse redzido à metade? - José R. Simões Moreira atalização agosto/7

78 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 79 EXEMPLO DE APLICAÇÃO Melancias são frtas mito sclentas e refrescantes no calor. Considere o caso de ma melancia a 5 o C qe é colocada na geladeira, cjo compartimento interno está a 5 o C. Você acredita qe o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma niforme, o se, depois de algns mintos a fatia da mesma estará em temperatras diferentes? Para efeito de estimativas, considere qe a melancia tenha 3 cm de diâmetro e sas propriedades de transporte sejam as da ága. Considere, também, qe o coeficiente de transferência de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m o C. Solção: á =, / Cálclo do Nº de Biot = h, sendo = =, =, D=,3 m =,, = D =,3 m Conclsão, a melancia não vai resfriar de forma niforme. Isto está de acordo com sa eperiência? - José R. Simões Moreira atalização agosto/7

79 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 AULA 9 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME RANSIÓRIO SÓLIDO SEMI-INFINIO Flo de Calor nm Sólido Semi-Infinito Na ala anterior foi estdado o caso da condção de calor transitória para sistemas concentrados. Aqela formlação simplificada começa a falhar qando o corpo possi dimensões maiores e propriedades de transporte tais qe a resistência interna à condção não pode ser desprezada face à resistência eterna à convecção (Bi >,). Solções analíticas eistem para casos em qe ma das dimensões é predominante e mito grande qe, em termos matemáticos, é dito infinito. Considere o esqema abaio de m sólido com ma sperfície eposta à troca de calor (à esqerda) e sa dimensão se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-infinito). A face eposta sofre brscas mdanças de condição de contorno, como se verá. Condições de contorno (A) emperatra constante na face eposta: i Solção: (, t) Eqação geral condção de calor q''' k t Por não haver geração interna de calor, vem qe segintes condições: t, a qal é sbmetida as - Condição inicial: (,) i - Condição de contorno: (, t) Sem apresentar detalhes da solção do problema, prova-se qe a distribição de temperatras é dada por: - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

80 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 i erf, t Onde, erf é a chamada fnção erro de Gass, cja definição é dada por: erf t t e d Vista em forma gráfica, esta fnção tem o seginte comportamento. Para valores nméricos de = (,t), veja a abela B do livro do Incropera e Witt. Note qe o se comportamento se parece com ma eponencial disfarçada. abela B- do Incropera - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

81 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 Flo de calor nma posição e tempo t Para se obter o flo de calor instantâneo nma dada posição qalqer, basta aplicar a lei de Forier da condção. Isto é feito sbstitindo a distribição de temperatras acima, na eqação de Forier, isto é: q ka ka ka ( i ) 4t e ( i ) erf ( ) ka( i ) t, do qe, finalmente, reslta em: t t e d q ka t ( i ) 4t e (B) Flo de calor constante na face eposta: Neste otro caso, estda-se qe a face eposta está sbmetida a m flo de calor constante, q i q Partindo da eqação da condção de calor condições: t, sbmetida às segintes - Condição inicial: (,) i - Condição de contorno: ka q - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

82 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 83 A solção é: q i t e 4t ka q erf ka t NOA: Obtenha o flo de calor!! (C) Convecção de calor na face eposta Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em qe ocorre convecção de calor na face eposta à esqerda. i q Novamente, partindo da eqação da condção de calor sem geração interna, vem: t, a qal é sbmetida às segintes condições: - Condição inicial: (,o) = i - Condição de contorno: ka ha (, t) A solção é: (condção interna = Convecção) i erf i e t h h t k k erf h t t k NOA: Obtenha o flo de calor! se a Lei de Forier! - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

83 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 84 Otros casos de condção transitória de interesse Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias mito comns de peças mecânicas. Qando o número de Biot é peqeno, basta qe se se a abordagem de sistema concentrado. Entretanto, qando isso não ocorre, há de se resolver a eqação geral da condção de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler desenvolve solções gráficas, como mostrado na tabela abaio. abela convenção para so dos diagramas de Heisler Placas cja espessra é peqena em relação as otras dimensões Cilindros cjos diâmetros são peqenos qando comparados com o comprimento Esferas e r e e r r L (, t) o ( r, t) i e i e Número de Biot: hl B i k L dimensão características (dada no gráfico) Número de Forier, Fo (tempo adimensional), definido por t kt F o L cl Calor total trocado pelo corpo Qi Q c( ) c i i i - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

84 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 85 Gráficos de Heisler para ma placa de espessra L. Para otras geometrias (esfera e cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

85 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 86 Eemplo: Uma placa de espessra de 5 cm está inicialmente a ma temperatra niforme de 45 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são epostos à temperatra ambiente, = 65 ºC com hmédio = 5 W/m ºC. Determinar a temperatra do plano médio da placa e a temperatra a,5 cm no interior da mesma, após 3 min. Dados: k = 43, W/mK α =,9-5 m /s h 5 cm Solção: L = 5 cm =,5 m L =,5 m hl 5,5 Bi,89, k 43, Não se aplica a solção de sistema concentrado. Portanto, se a solção de Heisler. Para isso, deve-se calclar os parâmetros para os gráficos da página anterior, qe são: Bi,89 3,45 5 t,9 8 e F 3, 43 L,5 Do diagrama de Heisler (página anterior), vem: 3,45 B i,65, 45 F 3,43 i e 65 C (45 65) C.,45 7C. Assim, o 7 C Na linha de centro após 3 mim Do gráfico para ma posição qalqer : / B 3,45 i,5 / L,5,5,95 ( ),95 65C (7 65) C,95 o 8,9 C p/,5, t 3min L - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

86 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 87 AULA CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENE BIDIMENSIONAL Condção Bidimensional Até a presente ala, todos os casos estdados referiam-se à condção de calor nidimensional em regime permanente, o seja, não se considerava a distribição espacial da temperatra para além de ma dimensão. ambém foram estdados os casos transitórios em ma dimensão. Evidentemente, mitos problemas reais são bi o tridimensionais. Solções analíticas eistem para m número limitado de problemas de condições de contorno e geometrias simples. Os casos mais realistas devem ser resolvidos de forma nmérica. Entretanto, neste crso introdtório é importante qe o estdante tenha ma visão das solções analíticas eistentes e, para isso, é resolvido m problema clássico qe é o método da separação das variáveis para ma placa retanglar bidimensional. O Método da Separação de Variáveis Seja ma placa retanglar, sbmetida às condições de contorno ilstrados, isto é, todos os lados estão à mesma temperatra, eceto o lado sperior qe está à. y b (,y) L Placa retanglar com as condições de contorno indicadas, procra-se (,y) Eqação da condção de calor Hipóteses: q''' k t () Regime permanente () Sem geração interna de calor (3) Bidimensional - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

87 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 88 As hipóteses resltam em: o y Condições de contorno temperatras dos qatro lados () (,y) = () (L,y) = (3) (,) = (4) (,b) = É conveniente realizar ma mdança de variáveis Condições de contorno na nova variável θ são: () θ(,y) = () θ(l,y) = (3) θ(,) = (4) θ(,b) = A variação elementar de temp. é d d Então, y Esta é a eqação da condção na nova variável θ. A técnica de separação das variáveis spõe qe a distribição de temperatras θ(,y) seja o prodto de das otras fnções X e Y as qais, por sa vez, são fnções eclsivas apenas das variáveis do problema e y, isto é: (, y) X - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7 Y Assim, a derivada parcial em relação à dessa nova fnção são: Primeira derivada: y Y dx d d X Segnda derivada: Y d Analogamente em relação à y: d Y Segnda derivada: X y dy

88 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 89 Logo, sbstitindo essas derivadas segndas parciais na eqação diferencial da condção, vem: Y d X d d Y X dy o, dividindo-se pelo prodto XY, vem: d Y Y dy X d X d É digno de nota qe na eqação acima o lado esqerdo é ma fnção eclsiva de y e o lado direito, ma fnção eclsiva de. No entanto, os dois lados da eqação são sempre igais. Isto implica dizer qe cada lado da eqação não pode ser nem fnção de, nem de y, já qe de otra forma não seria possível manter a igaldade sempre válida. De forma qe a igaldade deve ser ma constante qe, por conveniência matemática, se sa o símbolo. Dessa forma, tem se: X d X d e Y d Y dy Note qe a eqação diferencial parcial original de origem à das otras eqações diferenciais comns o ordinárias. As solções dessas das novas eqações são bem conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são: X C cos C sen, e Y y C e y José R. Simões Moreira atalização Agosto/7 C e y 4, a solção global é: De forma qe, voltando à variável original, (, y) X Yy y y, y C cos C senc e C e. 3 4 A obtenção das constantes depende das condições de contorno impostas. Assim: Da a Condição de contorno: θ(,y) = y y, y C cos. C sen.. C e C e 3 4 De onde se concli qe a única possibilidade é qe C

89 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 Agora, da 3ª condição de contorno: θ(,) = C sen C C. 3 4 de onde se obtém qe C 3 C 4 C 3 C 4 Da ª condição de contorno: θ(l,y) = y y C senl. C ( e e ) 4 mas, como simltaneamente as das constantes não podem ser nlas, isto é: C e C, logo, dedz-se qe sen( L) 4 Os possíveis λ qe satisfazem essa condição são: o, seja n L n =,,3,... n nota: λ =, reslta na solção trivial e não foi considerada. λ são os atovalores. Portanto, a distribição de temperatras até o presente é: n, y L ny ny L L e e CC4 sen n L C n L y L o, seja, y C sen( n ) senh( n ) n n ny senh( ) L Para cada n =,,3,... Eiste ma solção particlar θn. Daí também ter jntado as constantes C e C4 nm nova única constante Cn qe dependem do valor de n. Então a solção geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis solções. n L ny L, y C sen senh Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(,b) =, isto é: n n n n nb Cnsen senh L L - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

90 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para obter a distribição final de temperatras. Essa tarefa é realizada sando a teoria das fnções ortogonais, revista abaio. REVISÃO DO CONCEIO DE FUNÇÕES OROGONAIS Um conjnto infinito de fnções g (), g (), é dito ortogonal no domínio a b, se b a g ) g ( ) d p / m ( (dica: note qe se parece com prodto escalar de vetores: n m n o prodto escalar de dois vetores ortogonais é nlo) Mitas fnções eibem a propriedade de ortogonalidade, inclindo L sen( n ) L e cos( ) L n em Verifica-se também, qe qalqer fnção f() pode ser epressa nma série infinita de fnções ortogonais, o seja: f ( ) Am g m Para se obter os coeficientes A m; procede-se da seginte forma: () Mltiplica-se por g n (), ambos os lados da igaldade: m ( ) g ( ) f ( ) g n n ( ) m A m g m ( ) () Integra-se no intervalo de interesse: b a b gn( ) f ( ) d gn( ) A a m m g m ( ) d Usando a propriedade de ortogonalidade, o seja: b gm( ) gn( ) d a se m n Pode-se eliminar a somatória, então: b gm( ) f ( ) d Am gm ( ) d a b a Finalmente, as constantes da série A m podem ser obtidas: A m b a g b a m ( ) f ( ) d g m ( ) d - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

91 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 Voltando ao problema, tem-se: n n nb Cnsen senh L L (A) Comparando com o caso acima, vemos qe f() = e qe Logo, epandindo a fnção f() =, vem n gn( ) sen ; n,,... L fncãoortogonal n An sen L n Assim, podem ser obtidos os coeficientes da série, como visto na revisão acima: A n L n sen d n L ( ) n n sen d L L Então, ( ) n n sen n L (B) n Comparando (A) com (B), vem: n Então, da igaldade das séries: n nb Cnsen senh L L n ( ) n n n sen L C n n ) ; n,,3,... ( nb nsenh L De forma qe a solção final do problema é: - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

92 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 93 (, y) n ( ) n n ny senh n L sen L nb senh L É interessante ver o gráfico desta fnção y b L Calcle o flo de calor. Nesse caso, você precisa calclar q e q. Note qe o flo de calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é: q k i e q y k j. Sendo qe o flo total de calor será q q q y e o y q q q em W/m y módlo do flo de calor será Faça os Eercícios 4. e 4.3 do Incropera e Witt Método Gráfico O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de contorno adiabáticas o isotérmicas. Eige paciência, sendo qe o objetivo é constrir ma malha formada por isotérmicas e linhas de flo de calor constante. Com a finalidade de ilstrar o método, considere ma seção qadrada, cja sperfície interna é mantida a e a eterna. () O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas. - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

93 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 94 SIMERIA SIMERIA () As linhas de simetria são adiabáticas, o seja, não há flo de calor na direção perpendiclar a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de flo de calor constante. PAREDES ADIBAICAS (3) raças algmas linhas de temperatra constante. Lembre-se qe elas são perpendiclares às linhas de flo constante. (4) As linhas de flo constante devem ser desenhadas criando qadrados crvilíneos. Isto é feito fazendo como qe as linhas de flo crzem as linhas de temperatra constantes em ânglo reto e impondo qe todos os qadrados tenham aproimadamente, o mesmo comprimento. LINHAS DE FLUXO CE. (ADIABÁICO) q X DL (OU QUADRADO CURVILÍNEO) (5) Qando hover m canto isotérmico, a linha de flo cte. Deve bissectar o ânglo formado pelas das sperfícies LINHA DE FLUXO CE. O flo de calor, por nidade de espessra de material, qe atravessa o qadro crvilíneo ilstrado é: - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

94 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 95 D q i kdl () Dl q i DL DL O flo de calor acima é o mesmo qe atravessa qalqer região qe esteja limitada pelas mesmas linhas de flo constantes desde até. Então, pode-se escrever qe. D () N Onde N é o nmero de incrementos de temperatra entre e. (no eemplo N = 5). Assim, de () ( ) q i k (3) N O flo de calor total, q, é a soma de todos os M Faias formadas por das linhas adjacentes de flo de calor (no eercício M = 5) M q qi i M N k( ) Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim: q 5k( ) Eercícios Resolvidos: Eercícios adaptados do livro fndamentos de transferência de calor e massa, Incropera.. Um forno longo, constrído de tijolo refratário com condtividade térmica de, W/mK, possi a seção transversal mostrada com temperatra de sperfície interna e eterna de 6 e 6 C, respectivamente. Determine o fator de forma e a taa de transferência de calor por nidade de comprimento tilizando o método de representação gráfica do flo. Hipóteses:. Condção bidimensional. Propriedades físicas constantes 3. Comprimento do forno, l Solção: Considerando o forno simétrico, podemos fazer a análise em m qarto do forno. Portanto a flo de transferência de calor por nidade de comprimento, l, é dada por: = =, onde, S é fator de forma para a seção simétrica. Escolhendo 3 incrementos de temperatra, N, podemos plotar o gráfico do flo abaio: - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

95 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 96 Da eqação do fator de forma temos: = o = = 8,5 =, Assim podemos obter o flo de calor, =,, =, Obs*: O fator de forma também pode ser estimado a partir da tabela 4. do livro fndamentos de transferência de calor e massa do Incropera. A seção consiste em das paredes (ma horizontal e otra na vertical) com m canto de jnção. Utilizando as relações da tabela obtemos: =,,, +, + =,, - José R. Simões Moreira atalização Agosto/7

96 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 97 AULA SOLUÇÃO NUMÉRICA - DIFERENÇAS FINIAS Como estdado na ala anterior, a solção da eqação da condção de calor em configrações bi e tridimensional é bastante complea e, verdadeiramente, na maioria dos casos práticos não eiste nem solção analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos nméricos de solção. Há ma grande variedade de métodos disponíveis na literatra, mas vamos nos ater a apenas m dos métodos: o das diferenças finitas. A idéia consiste em dividir a região qe está sendo eaminada em pontos discretos o pontos nodais, e aplicar m balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilstrado no esqema abaio. Assim, transforma-se o meio contíno original em m meio discreto formado por ma matriz de pontos com propriedades térmicas qe concentram as informações do meio contíno original naqeles pontos. Considerando o esqema a segir, considere o ponto nodal (m,n) indicado, tendo como vizinhos os pontos nodais (m-,n) à esqerda, (m+,n) à direita, (m,n-) abaio e (m,n+) acima. A distância entre os pontos nodais é e y, nas das direções principais. m,n y,n m,n+ Pontos Nodais,m m-,n m,n y m+,n m,n- - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

97 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7 98 A eqação da condção de calor em RP, -D é dada por y. Ela pode assim ser assim discretizada: n m m n n m ) (,,, (Primeira derivada na direção face esqerda) n m n m n m ) (,,, (Primeira derivada na direção face direita) Assim, n m n m,, (Segnda derivada na direção centro) O, ainda, após sbstitição das primeiras derivadas:,,,, ) ( n m n m n m m n Analogamente, na direção y:,,,, ) ( y y n m m n m n m n Assim, a eqação original da condção de calor diferencial pode ser aproimada por ma eqação algébrica, y 4,,,,, n m m n m n n m n m, se Δ = Δy A eqação acima é a forma da eqação do calor em diferenças finitas para o caso em RP, - D. Note qe a temperatra nodal m,n representa a média aritmética das qatro temperatras da sa redondeza.

98 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 99 O qe acontece nas regiões de contorno do problema? Sponhamos qe haja convecção, conforme ilstrado. Um nó (à direita) se sita sobre a sperfície o no contorno do meio. m,n+ m-,n m,n Convecção m,n- Procede-se a m balanço de energia para o ponto (m,n) em qestão ( ky m, n se Δ = Δy m, n ) ( k m, n y m, n ) ( k m, n y m, n ) hy( m, n ) m, n h h (m, n m, n m, n ) k k Para otras condições de contorno, eqações semelhantes podem ser escritas. Por eemplo, m canto sperior à direita: m-,n m,n = y y m,n-, n h h ( m, n m, n ) k k m Ver tabela 4. (Incropera) o abela 3. Holman para otras condições e geometrias. abela 4. do Incropera. - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

99 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Uma vez qe as eqações de todos os pontos nodais forem estabelecidas, obtém-se m sistema de N eqações por N incógnitas do tipo: - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

100 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor a a... a a a... a N N a N a... N... a NN N N c c N... c N O, em notação simplificada matricial, vem: [ A].[ ] [ C] Estdar eemplo resolvido 4.3 (Incropera) Uma técnica antiga de solção manal de sistemas lineares de eqações é o chamado método da relação. Nesta técnica, a eqação nodal é, primeiramente, igalada a zero: a a... a c m m mn n n Em segida é igalada a m resído e depois sege-se o seginte procedimento de solção: Admite-se ma distribição inicial de temperatra; O valor do resído em cada ponto nodal é calclado; 3 Relaar o maior resído encontrado para zero (o próimo) mdando a temperatra do ponto nodal correspondente; 4 Recalclar os resídos para esta nova temperatra; 5 Continar o processo 3 4 até qe todos os resídos sejam nlos o próimos de zero. Hoje em dia, há mitos programas de comptador e até de calcladoras qe resolvem m sistema linear de eqações por diversas técnicas. Basta selecionar m deles. Por eemplo, o método de eliminação gassiana. - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

101 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Eemplo Resolvido Uma placa retanglar é sbmetida às condições de contorno ilstradas na figra. Pede-se calclar a distribição de temperatra nos pontos nodais mostrados, dados qe: h = W/m ºC = ºC k = W/m ºC = y = cm C C C C OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número) Solção: Pontos nodais interiores (-4) - vale a seginte eqação: Portanto, nó : nó : nó 3 : nó 4 : M, N M, N M, N M, N 4 M, N () Ponto nodal 5 (canto) vale a seginte eqação m, n h h ( m, n fio ) k k,, nó 5: 5 ( 6 ), o - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

102 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização Setembro/ Pontos nodais com convecção (6 7) vale a seginte eqação:,,,, n m n m m n n m k h k h nó 6:,, , o,, , o ainda, nó 7: ) ( , o Em forma de Matriz temos: Solção do sistema pelo método de eliminação gassiana C C C C C C C 36,7 38,8 44,7 68, 74,3 87, 9,

103 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 AULA INRODUÇÃO À RANSFERÊNCIA DE CALOR CONVECIVA Lei de Resfriamento de Newton Já vimos qe a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de resfriamento de Newton, dada por: onde, q S Ah( ) s, temperatras da sperfície aqecida e do flido ao longe; A área de troca de calor, isto é, a área de contato do flido com a sperfície; h = coeficiente de transferência de calor por convecção. Nota-se qe a epressão para o cálclo da transferência de calor é consideravelmente mais simples qe a da condção. De forma qe basta resolver ma eqação algébrica simples para qe o flo de calor seja obtido desde qe, claro, se conheça o valor de h, enqanto qe no segndo caso, eige-se a solção da eqação diferencial da condção de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa, pois, em geral, h é fnção de m grande número de variáveis, tais como as propriedades de transporte do flido (viscosidade, densidade, condtividade térmica), velocidade do flido, geometria de contato, entre otras. Assim, pode-se afirmar de ma forma ampla qe o problema fndamental da transferência de calor por convecção é a determinação do valor de h para o problema em análise. Nessa e nas demais alas, serão apresentados epressões e métodos de obtenção dessa grandeza para diversas condições de interesse prático. Mas, antes, vamos apresentar os números adimensionais qe controlam a transferência de calor convectiva. Análise Dimensional A análise dimensional é m método de redzir o número de variáveis de m problema para m conjnto menor de variáveis, as qais não possem dimensão física, isto é, tratam-se de números adimensionais. Algns adimensionais qe o alno já deve estar - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

104 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 familiarizado são o número de Reynolds na Mecânica dos Flidos, e os números de Biot e de Forier. A maior limitação da análise dimensional é qe ela não fornece qalqer informação sobre a natreza do fenômeno. odas as variações qe inflenciam devem ser conhecidas de antemão. Por isso deve se ter ma compreensão física preliminar correta do problema em análise. O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões primárias. odas as grandezas qe inflenciam no problema devem ser escritas em fnção destas grandezas. Por eemplo, considere o sistema primário de grandezas MLt, sendo: Comprimento L empo t Massa M emperatra Nesse sistema de grandezas primárias, por eemplo, a grandeza força tem as segintes dimensões: Força ML/t O mesmo pode ser feito para otras grandezas de interesse: Condtividade térmica ML/t 3 Calor ML /t Velocidade L/t Densidade M/L 3 Velocidade M/Lt Calor específico a pressão constante L /t Coeficiente De transmissão de calor M/t 3 eorema dos Π o de Bckingham Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de m problema. É dado por: Onde, M = N P M número de grpos adimensionais independentes; N número de variáveis físicas dos problemas; P número de dimensões primárias; - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

105 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 Sendo m adimensional genérico, pode-se escrever, então: F(,,... m ) Para eemplificar, considere m fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões primarias. Logo, M = 5-3 =, de onde se obtém: F, ) o ( pode-se escrever m adimensional como fnção do otro da seginte forma. f ( ) Essa relação fncional pode ser teórica o eperimental, obtida em laboratório, como ilstrado no gráfico abaio. Note qe seria necessário se realizarem eperimentos com apenas ma variável (grpo adimensional ) e observar o comportamento o dependência do adimensional. Com isso, redz-se drasticamente o número de eperimentos. Caso contrário, seria necessário fazer eperimentos envolvendo as 5 variáveis originais do problema. f ( ) crva ep erimental Otro eemplo, seria o caso de m fenômeno descrito por 3 grpos adimensionais. Nesse caso, tem-se: F,, ), o f, ) ( 3 ( 3 Pode-se, assim, planejar eperimentos laboratoriais mantendo 3 constantes, e variar, observando como varia, como ilstrado no gráfico abaio. - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

106 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 crvas de 3 cons tantes Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada Considere o escoamento crzado em m tbo aqecido, como ilstrado na figra abaio. V flido D bo aqecido Sabe-se de antemão qe as grandezas qe interferem na transferência de calor são: Variáveis Eq. Dimensional D Diâmetro do bo L k Condtividade térmica do flido ML/t 3 V Velocidade do flido L/t ρ Densidade do flido M/L 3 μ Viscosidade do flido M/Lt C P Calor especifico a pressão constante L /t h Coef. de transferência de calor M/t 3 Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do qe reslta em: M = 7 4 = 3 (3 grpos adimensionais) Seja m grpo adimensional genérico do tipo: D a b c K V d e f cp h g Sbstitindo as eqações dimensionais de cada grandeza, vem: - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

107 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização setembro/7 8 g f e d c b a t M t L Lt M L M t L t ML L o, após rearranjo, vem: g f b g f e c b f e d c b a g e d b t L M Por se tratar de m adimensional, todos os epoentes devem ser nlos, isto é: g f b g f e c b f e d c b a g e d b Há m sistema de 7 incógnitas e 4 eqações. Portanto, o sistema está indefinido. O método presspõe qe se assmam algns valores para os epoentes. Aqi é m ponto crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por eemplo, (A) Como h é ma grandeza qe nos interessa, vamos assmir o seginte conjnto de valores d c g Assim, pode-se resolver a eqação do grpo adimensional, resltando em: a = b = - e = f = Esse primeiro grpo adimensional recebe o nome de número de Nsselt, definido por: N k Dh (B) Agora vamos eliminar h e assmir otros valores f a g (para não aparecer h)

108 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 A solção do sistema fornece: b = c = d = e = - De onde reslta o otro grpo adimensional relevante ao problema qe é o número de Reynolds, dado por: VD Re D (C) - Finalmente, vamos assmir os segintes valores e = f = b = - Daí reslta, o terceiro e último número adimensional qe recebe o nome de número de Prandtl. c p 3 Pr k Então, há ma fnção do tipo F (,, 3) o F ( N, Re D, Pr ). Isolando o número de Nsselt, vem: N f ( Re D, Pr ) Assim, os dados eperimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os grpos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas qe interferem no fenômeno). Vimos, então, qe: N f ( Re D, Pr ) Diversos eperimentos realizados com ar, óleo e ága mostraram qe eiste ma ótima correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilstrado no gráfico abaio. Note qe, ar, ága e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três flidos podem ser correlacionados por meio dos números adimensionais. Isto também indica qe, ma vez - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

109 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor obtida a epressão qe rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para sar com otros flidos, caso não eistam dados eperimentais de laboratório disponíveis. N,3 Pr,3,4 N,8 Pr Re 3<Re D <, Re ága óleo ar - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

110 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor AULA 3 CAMADA LIMIE LAMINAR SOBRE UMA PLACA OU SUPERFICIE PLANA Na ala passada vimos qe a transferência de calor no escoamento eterno sobre ma sperfície reslta na eistência de 3 números adimensionais qe controlam o fenômeno. Essas grandezas são o número de Nsselt, N, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De forma qe eiste ma relação do tipo N = f(re, Pr), qe pode ser obtida de forma eperimental o analítica em algmas pocas sitações. Na ala de hoje apresentar-se-á ma sitação particlar em qe esta relação pode ser obtida de forma analítica e eata para o caso do escoamento forçado sobre ma sperfície plana. Para isso, serão apresentadas as eqações diferenciais qe regem a transferência de calor em regime laminar. Depois será indicada a solção dessas eqações. Para começar o estdo, considere o escoamento de m flido sobre ma sperfície o placa plana, conforme ilstrado a segir. Admita qe o flido tenha m perfil niforme de velocidades (retanglar) antes de atingir a placa. Qando o mesmo atinge a borda de ataqe, o atrito viscoso vai desacelerar as porções de flido adjacentes à placa, dando início a ma camada limite laminar, cja espessra cresce à medida qe o flido escoa ao longo da sperfície. Note qe esta camada limite laminar vai crescer continamente até qe instabilidades vão indzir a ma transição de regime para dar início ao regime trblento, se a placa for comprida o sficiente. Admite-se qe a transição do regime de escoamento laminar para trblento ocorra para a seginte condição Re 5 5 transição (às vezes também se sa 3 5 ), onde é a distância a partir do início da placa (borda de ataqe). y laminar ransição rblento - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

111 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor No regime laminar, o flido escoa como se fossem lâminas deslizantes, sendo qe a d tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por dy para m flido newtoniano (como o ar, ága e óleo). Essa condição e geometria de escoamento permitem ma solção eata, como se verá a segir. Eqações da continidade e qantidade de movimento na camada limite laminar Hipóteses principais: - Flido incompressível - Regime permanente - Pressão constante na direção perpendiclar à placa - Propriedades constantes - Força de cisalhamento na direção y constante Considere m elemento diferencial de flido dentro da camada limite laminar (CLL), como indicado. y d dy Eqação da continidade o da conservação de massa. v (v dy) d y dy ( d) dy dy vd d Como m sai m entra, então sbstitindo os termos, vem: v dy vd ( d) dy ( v dy) d. y - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

112 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 Simplificando, tem-se v y o DivV onde, o operador matemático Div é definido por, Div i j. y Eqação da conservação da qantidade de movimento Da ª lei de Newton, tem-se qe F et Variação do flo da qantidade de movimento Note qe essa lei é ma eqação vetorial, isto é, o balanço deve ser feitos nas diversas direções (, y, z). No caso, nos interessa o balanço de forças e de qantidade de movimento na direção paralela à placa, o, seja a direção. Forças eternas (pressão e atrito gravidade desprezível) ( dy) d y pdy p ( p d) dy d p F pdy ( dy) d d ( p d) dy y o, simplificando, F p ddy ddy y Mas, admitindo m flido newtoniano, tem-se qe, sbstitindo, vem. y p ddy ddy y F Agora, vamos calclar o flo de qantidade de movimento (direção ) - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

113 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7 4 d dy y dy y v v ) )( ( vd dy d ) ( dy Jntando todos os termos, tem-se o flo líqido de qantidade de movimento na direção : termos de ordem sperior ) ( ) ( ) )( ( ) ( ddy y v ddy y v ddy vd d dy y y v ddy y v ddy y v vd dy dy d ddy dy vd d dy y dy y v v dy dy d Ainda é possível simplificar esta eqação para obter ddy y v ddy y v continidade ) ( ) ( ddy v ( ) Portanto, agora podemos igalar os termos de resltante das forças eternas com a variação do flo da qantidade de movimento, resltando na seginte eqação: p y y v ) (

114 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 Eqação da conservação da energia, o primeira lei da termodinâmica - Condção na direção desprezível - Energia cinética desprezível face à entalpia v h ( ( v dy dy )( )( h dy dy ) dy y ) d y y y ( ) ( dy) d kd( dy) y y y hdy dy h ( dy)( h dy) dy ( d) dy vhd d d kd y Potência (térmica) líqida das forças viscosas Conservação de energia: ( ) ( ) dy d d dyd dyd y y y y flo de energia qe flo de energia qe trabalho líqido entra no volme de deia o volme de realizado na controle diferencia l controle diferencia l nidade de tempo na nidade de tempo na nidade de tempo Agora, vamos tratar cada termo em particlar Flo de energia qe entra Entalpia + Condção de calor (note qe a condção na direção é desprezível não é verdade no caso de metais líqidos) vhd hdy kd y aa de trabalho na nidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas) ddy y y - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

115 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7 6 Flo de energia qe entra ) ( ) )( ( ) )( ( dy y y kd dy d h h d d dy y h h dy y v v Desprezado os termos de ordem sperior ddy k ddy y v h ddy y h v ddy h ddy h dyd y y ) ( k y v h h v h y y de continida Com c h p e sbstitindo todos os termos na eqação de balanço, reslta na forma diferencial da eqação da energia para a camada limite laminar, dada abaio: y y y k y v c c p p Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível face ao termo da condção de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia). Isso ocorre a baias velocidades. Assim, a eqação da energia pode ser simplificada para: y y v Retornando agora à eqação da conservação da qantidade de movimento. Se o escoamento se der à pressão constante, aqela eqação pode ainda ser reescrita como: y y v onde, é a viscosidade cinemática Comparando as das eqações acima, nota-se qe qando, o seja, Pr corresponde ao caso em qe a distribição da temperatra é idêntica a distribição de velocidades, o qe ocorre com as maiorias dos gases, já qe Pr,65.

116 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 Em resmo, as três eqações diferenciais qe regem a transferência de calor na camada limite laminar são: Conservação de massa Conservação da qantidade de movimento direção v y p ( v ) y y v Pressão constante y y Conservação de energia v y y Ver solção das camadas limites laminares hidrodinâmica e térmico no apêndice B do Holman e item 7. do Incropera. Solção de Blasis. Os principais resltados da solção dessas eqações diferenciais são os segintes: 5 Espessra da camada limite hidrodinâmica (CLH): ; Re Coeficiente local de atrito local: / c,,664re ; f Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataqe: L / C, *,38 f d C f L L L c f, L Re ; Razão entre as espessras das camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CL): /3 Pr ; t Número de Nsselt local: 3 N,33 Re / Pr /,6 Pr 5 Número de Nsselt médio: L / / 3 L Nd * N L,664 Re L Pr. L N Definição do coeficiente de atrito: c f s /, s tensão de cisalhamento na parede - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

117 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 Os gráficos abaio indicam o comportamento das camadas limites. Note qe o número de Prandtl desempenha m papel importante no crescimento relativo das CL e CLH., (Pr ) (Pr ) (Pr ) C.L. C.L.H S emos as segintes relações: C f,, e h f,. - José R. Simões Moreira atalização Setembro/7

118 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 AULA 4 CAMADA LIMIE LAMINAR SOLUÇÃO INEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN Na ala passada, vimos as eqações diferenciais da camada limite laminar. Os resltados da solção clássica de Blasis foram apresentados. A solção per si não foi disctida, ma vez qe o livro-teto apresenta em detalhes o procedimento de solção. Nesta ala, vamos ver ma solção aproimada baseada no método integral, também conhecida como solção de von Karman. Neste caso, define-se m volme de controle diferencial apenas na direção paralela ao escoamento, cja altra H se estenda para além da camada limite, isto é, H, conforme ilstrado na figra abaio. A A H y d Leis de conservação na camada limite laminar do elemento diferencial acima: Balanço de massa H Flo mássico na face A: dy Flo mássico na face A: Flo mássico na face A A: H dy d d H d H dy d d dy d Balanço de flo de qantidade de movimento na direção H Flo de Q. M. na Face A: dy - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

119 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Flo de Q. M. na Face A: H dy d d H dy d Flo de Q. M. na Face A A: d d H dy d Flo líqido de qantidade de movimento para fora do volme de controle (face -A) (face A A) (face A) = Flo liqido de Q. M. = d d H dy d d d H Lembrando da regra do prodto de diferenciação, vem qe: d( ) d( ) d( ) o d( ) d( ) d( ) dy d Fazendo d d H H dy, vem dy d d d d d H H dyd H d dy d d d dy d H d dy d Agora, sbstitindo na epressão do flo líqido de Q. M, vem: flo H H H d d d Q. M. dyd dyd dyd d d d Os dois primeiros termos da integral podem ser renidos para obter a seginte forma mais compacta: flo H H d d Q. M. dyd dyd d ( ) d Agora, vamos obter a resltante das forças eternas. No presente caso, só vamos considerar as forças de pressão e de atrito. - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

120 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor dp - força resltante da pressão: H d d - força de cisalhamento na parede: -d p d y y Finalmente, a eqação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser escrita (ª lei de Newton): d y dp H d d H H d ( dyd dy ) d d y Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento sobre ma sperfície plana (no caso do escoamento dentro de m canal o tbo, essa dp hipótese não é válida): d A hipótese de P = cte. também implica em qe a velocidade ao longe também seja constante, já qe, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernolli, o P cte dp d De forma qe, na forma diferencial: d Assim, a eqação da conservação da Q.M. se resme a: H d ( )dy y d y Mas como H > δ a velocidade é constante =, então: d d ( ) dy y y Esta é a forma final da eqação da conservação da Q.M. válida para o escoamento laminar sobre ma sperfície o placa plana. Até o presente momento, o eqacionamento é eato, pois nenhma aproimação foi empregada. A qestão é: se conhecermos o perfil de velocidades (y), então, a eqação acima pode ser integrada. - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

121 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Daí, pode se obter, entre otras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar hidrodinâmica, isto é, a espessra da camada limite laminar nma posição a partir da borda de ataqe, (). A solção aproimada, objeto desta análise, começa qando se admite m perfil de velocidades na direção perpendiclar ao escoamento, isto é, (y). Claro qe a adoção desse perfil deve segir certos critérios. Pense: Se você tivesse qe admitir tal perfil de velocidades, provavelmente faria o mesmo qe o apresentado aqi. Isto é, você imporia m polinômio de gra tal qe as condições de contorno do perfil de velocidades fossem satisfeitas. Certo? Pois é eatamente isso é qe é feito. Então, primeiro passemos a analisar as condições de contorno do problema, qe são: p / y y y p / y p / y p / y As três primeiras condições de contorno são simples e de dedção direta. A primeira informa qe a velocidade na sperfície da placa é nla (princípio de nãoescorregamento); a segndo diz qe fora da CL a velocidade é a da corrente flida e a terceira diz qe a transição entre a CL e a corrente livre é save, daí a derivada ser nla. A última c.c. é m poco mais difícil de perceber. Há de se analisar a eqação diferencial da conservação da qantidade de movimento da camada limite laminar (ala anterior qe reqer qe essa condição seja nla sobre a sperfície da placa). Como são qatro as condições de contorno, ma distribição qe satisfaz estas condições de contorno é m polinômio do 3º gra, dado por: 3 ( y) C C y C3 y C4 y Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C a C 4, tem-se o perfil aproimado de velocidades: Introdzindo-o na eq. da Q. M., vem: ( y) 3 y y José R. Simões Moreira atalização setembro/7

122 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 d 3 y y d Do qe reslta, após algm trabalho: 3 3 y y 3 dy y y d d Integrado essa eqação por partes, lembrando qe para = δ = (a CL começa na borda de ataqe): d d o, ( ) 4, 64 v, o ( ) 4,64 Re Lembrando da ala anterior qe solção eata (Blasis) fornece: Ver Holman Apêndice B o Incropera ( ) 5 Re Considerando as aproimações realizadas, o resltado aproimado é bastante razoável. Camada Limite érmica Laminar Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora se pode resolver o problema térmico, tendo sempre como alvo a obtenção do coeficiente de transferência de calor, h. Note qe jnto à sperfície todo calor transferido da sperfície para o flido se dá por condção de calor e depois este flo de calor vai para o flido. De forma, qe se podem igalar os dois termos da seginte maneira: h ( p ) k y y, o k y h p y Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a distribição de temperatras (y). De forma semelhante ao qe foi feito para o caso hidrodinâmico, pode-se aplicar as segintes c.c. para a distribição de temperatras: - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

123 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização setembro/7 4 Condições de contorno / / / / y p y y p y p y y p t t p Método integral (aproimado) y t p cte Considere a figra acima, em qe o aqecimento da sperfície começa a partir de m ponto, a partir da borda de ataqe. De forma análoga ao caso hidrodinâmico, desenvolvendo m balanço de energia nm V.C. de espessra maior qe δ, vem: (ver Holmam) ) ( y H p H y dy dy d c dy d d Admitindo ma distribição polinomial de gra 3 para a distribição de temperatras e aplicando as c.c., vai se obter a seginte crva aproimada: 3 3 ) ( ) ( t t p p y y y y (o mesmo qe o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas) Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seginte relação entre as espessras de camadas limites: /3 4 3/ /3 Pr,6 t Se a placa for aqecida o resfriada desde a borda, =, temos

124 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 t /3 Pr,6 No desenvolvimento admiti-se δ t < δ o qe é razoável para gases e líqidos Pr / Finalmente, agora, podemos calclar o h, por sbstitição da distribição de velocidades, calclada jnto à parede t h k y y p k( p ) 3 3 k 3 k, o ( p ) t t t 3 / 4 / 3 / 3 3k,6Pr h, o ainda h,33k Pr / 3 / 3/ 4 / 3 Lembrando da definição do número de Nsselt, N,33 Pr /3 Re As eqações anteriores são para valores locais. / N h, vem: k 3/ 4 O coeficiente médio de transferência de calor será, se = : /3 h L L h d L,33Pr / 3 L / L d /, o h L / 3,33Pr L / / L /, o finamente: Analogamente, para esse caso: h / / 3 L,33Pr h L L - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

125 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 hl / / 3 NL N L, 664 ReL Pr k Note qe é a mesma epressão da solção eata! Qando a diferença de temperatra do flido e da placa for sbstancial, as propriedades de transporte do flido devem ser avaliadas á temperatra de pelícla, f f p E se o flo de calor for niforme ao longo da placa, tem-se: NL hl k / / 3, 453ReL Pr Note qe as dependências de Re e Pr são as mesmas, variando somente a constante de mltiplicação (,453 no lgar de,664). Ver eercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5 Eemplo resolvido (etraído do livro de Pitts e Sissom) Nm processo farmacêtico, óleo de rícino (mamona) a 4ºC escoa sobre ma placa aqecida mito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de,6 m/s. Para ma temperatra de 9ºC. Determine: (a) a espessra da camada limite hidrodinâmica ao final da placa (b) a espessra da camada limite térmica t no final da placa (c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa (d) o flo de calor total transferido da sperfície aqecida. São dados: Propriedades calcladas a = 7,38-8 m s /s k =,3 W/m o C f = 6,5-5 m /s = 9,57 k g /m 3 = 6, - N.s/m C p = 36 J k C g 4 9 f 65 C t p 9C - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

126 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 Solção Verificação se o escoamento é laminar ao final da placa Re L L, Re (5 5 transição 6,5 5 ) É laminar! Método Eato a) 5 ; = L = 6m Re 5 6,4m 5538 b) 5 t / 3 / 3 6,5 Pr ( / ) ,38,4 t, 4m / 3 88 c) / /3 h,33k Pr L / 3,6 h,33,3 (88) 5 6,5 W 8,4 m C W hl hl 8,4 6,8 m C d) Ah ) q hl( Lp W 54 m q ( s s 6 ) 6,8 6 (9 4) / 3 / Método Aproimado 4,64 ; = L = 6m Re 4,646,37m 5538 t / 3 Pr,6,37 t, 37m / 3,6 88 / / 3,33 Pr h k L Obs*: anto a solção eata como a aproimada leva a constante ao mesmo valor de,33 W 8,4 m C W hl hl 8,4 6,8 m C Ah ( ) h q s q L p hl( W 54 m s ) 6,8 6 (9 4) Analogia de Reynolds Colbrn o Analogia entre ransf. de Calor e Atrito Como visto nas alas anteriores, a transferência de calor e de qantidade de movimento (atrito sperficial) são regidas por eqações diferenciais análogas. Na verdade, esta analogia entre os dois fenômenos é mito útil e será eplorada nesta seção. Essa é a chamada analogia de Reynolds-Colbrn qe, portanto, relaciona o atrito sperficial com a transferência de calor. Qal a sa tilidade? Bem, em geral dados de medição laboratorial de atrito sperficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

127 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 de transferência de calor. Isto é ma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os dados de atrito eram bem mais abndantes qe os de transferência de calor. Por definição, o coeficiente de atrito é dado por: C f p Mas, por otro lado, para m flido newtoniano (todos os qe vamos lidar neste crso), a tensão de cisalhamento na parede é: p y y Usando o perfil de velocidades desenvolvido na ala 4, o seja: temos qe a derivada jnto à parede reslta em: 3 y y 3 y y, 3 Por otro lado, sando o resltado da solção integral o aproimada da espessra da 4,64 camada limite, isto é, qe, mediante sbstitição na definição da tensão de Re cisalhamento na parede, reslta em: p,33 3 Sbstitindo este resltado na eqação da definição do coeficiente de atrito, vem: Re C f,33 Re,33 Re Por otro lado, da ala anterior, chego-se à seginte epressão para o número de /3 / Nsselt, N,33Pr Re qe, mediante algm rearranjo pode ser escrito como: N,33 Pr Re Pr St /3 Re / reescrevendo de forma compacta:, onde St St Pr / 3 h c p,33 Re é o número de Stanton. Então, - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

128 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 Comparando as das eqações anteriores em destaqe, notamos qe eles são igais a menos de ma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esqecendo desta peqena diferença podemos igalar as das epressões para obter: c St Pr / 3 f Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colbrn. Ela relaciona o coeficiente de atrito com a transferência de calor em escoamento laminar sobre ma placa plana. Dessa forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime trblento (qe será visto adiante) sobre ma placa plana e modificada para escoamento trblento no interior de tbos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios. Eemplo resolvido continação do anterior Calcle a força de arrasto sobre a placa do eemplo anterior. Sabe-se qe C f St Pr / 3 Por otro lado, hl St c p 6,8 9,7 9,57 36,6 5 Assim da analogia, podemos obter C f 9, / 3,78, de forma qe a tensão de cisalhamento na sperfície é: p C f, (,6) N 3,7 m Finalmente, a força de atrito por nidade de largra é: F L p L 3,7 p 6,84 N m - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

129 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 AULA 5 CAMADA LIMIE URBULENA E RANSFERÊNCIA DE CALOR EM ESCOAMENO EXERNO Camada Limite rblenta A transferência de calor convectiva na camada limite trblenta é fenomenologicamente diferente da qe ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da transferência de calor na camada limite trblenta, considere qe a mesma possi três sbcamadas, como ilstrado no esqema abaio: y trblenta Camada amortecedora Sb camada laminar A CL é sbdividida em: - Sbcamada laminar semelhante ao escoamento laminar ação moleclar - Camada amortecedora efeitos moleclares ainda são sentidas - rblento mistras macroscópicas de flido Para entender os mecanismos trblentos, considere o eercício de observar o comportamento da oscilação da velocidade local (isto é, em m ponto do escoamento), o qe é ilstrado no gráfico temporal abaio. t Do gráfico ilstrado, depreende-se qe a velocidade instantânea,, flta consideravelmente em torno de m valor médio,. Este fato da fltação da velocidade local em conjnção com a fltação de otras grandezas, embora possa parecer irrelevante, é o qe introdz as maiores dificldades no eqacionamento e no qe se chama problema da trblência. Para analisar o problema, costma-se dividir a - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

130 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 velocidade instantânea em dois componentes: m valor médio e otro de fltação, como indicado: velocidade na direção paralela: ' velocidade na direção transversal: v v v' O mesmo se faz com o termo de oscilação da pressão local: pressão: P P P ' valor instan táneo medio flctacào Em todos os casos, ma barra sobre a grandeza indica m valor médio e ma apóstrofe, valor de fltação. Os termos de fltação são responsáveis pelo srgimento de forças aparentes qe são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as qais devem ser consideradas na análise. Para se ter ma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilstração da camada limite trblenta abaio. Diferentemente do caso laminar, em qe o flido se desliza sobre a sperfície, no caso trblento há mistras macroscópicas de porções de flido. No eemplo ilstrado, ma porção de flido () está se movimentando para cima levando consigo sa velocidade (qantidade de movimento) e energia interna (transferência de calor). Evidentemente, ma porção correspondente () desce para ocpar o lgar da otra. Isso é o qe dá origem às fltações. Do ponto de vista de modelagem matemática, essas simples movimentações do flido dentro da camada limite dão origem às maiores dificldades de modelagem. Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor trblenta foge do escopo deste crso. Assim, referira-se a ma literatra mais específica para ma análise mais profnda. No entanto, abaio se mostram os passos principais da modelagem. O primeiro passo é escrever as eqações diferenciais de conservação ala 3. Em segida, sbstitem-se os valores instantâneos pelos termos correspondentes de média e fltação, isto é, ', v ' v v e P P ' P. Esse procedimento é chamado de - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

131 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização setembro/7 3 médias temporais de Reynolds. Começando pela eqação da conservação da qantidade de movimento, tem-se: P y y v Agora, sbstitindo a decomposição das grandezas, ', ' v v v e ' P P P, P P y y v v P P y y y v y v y v y v Neste ponto é conveniente realizar ma média temporal sobre m intervalo de tempo = t - t longo o sficiente para captrar as informações relevantes de fltação do escoamento. Para isso, define-se, a seginte média temporal sobre ma grandeza instantânea f (o sa derivada espacial) qalqer: t t ) dt ( t f f As segintes propriedades se aplicam: f e s f s f, f f, C f Cf, f f f f sendo, C ma constante no intervalo de tempo e s é ma coordenada espacial (, y o z). Assim, aplicando a média temporal sobre a eqação anterior, vem: P P y y y v y v y v y v Usando as propriedades de média temporal, obtém-se a seginte eqação:

132 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor - José R. Simões Moreira atalização setembro/7 33 P P y y y v y v y v y v Reescrevendo, vem: y v P y y v Ainda, vamos tratar em separado as médias temporais qe envolvem as fltações (termos entre parênteses). O seginte artifício matemático pode ser escrito: v v v e De forma qe aqeles termos podem ser escritos como: v v v O termo entre parênteses do lado direito é nlo pela lei da conservação de massa. Sbstitindo a igaldade acima, obtém-se a forma da eqação diferencial trblenta da conservação da qantidade de movimento: v P y y v Como indicado acima, no processo de obtenção desta eqação, admiti-se qe a média temporal das fltações e sas derivadas são nlas. Com isso srgiram termos qe envolvem a média temporal da derivada do prodto das fltações, qe são os termos entre parênteses. Por fim, ainda eiste ma última simplificação qe envolve a camada limite. Para o caso do escoamento bidimensional verifica-se qe o gradiente do prodto das fltações na direção principal (primeiro termo dos parênteses) é desprezível em relação ao segndo termo, de forma qe a eqação final da conservação da qantidade de movimento trblenta é:

133 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 34 v y y P v Aqi reside grande parte do problema da trblência qe é jstamente se estabelecer modelos para estimar o gradiente da média temporal do prodto das fltações das das componentes de velocidade. Este termo dá origem às chamadas tensões aparentes de Reynolds qe têm m tratamento à parte. De forma análoga, pode-se estabelecer a eqação da energia para a camada limite trblenta, o qe reslta em: C p v y k y y C pv' ' Por semelhança ao caso laminar, definem-se: Viscosidade trbilhonar: M y v e Difsividade trbilhonar: H y v Assim, definem-se a tensão de cisalhamento total trblenta por: t M y, q C e transferência de calor total trblenta: t p H Distante da parede, o domínio da viscosidade e da difsividade trbilhonares é sperior y em relação às grandezas moleclares, isto é, M e H. De forma qe se pode definir m número de Prandtl trblento, Prt M / H aproimadamente nitário. Isso indica qe os transportes de energia e de qantidade de movimento nessa região ocorrem na mesma proporção e qe os perfis de temperatra e de velocidade médios sejam mais niformes nesta região. O estdo das grandezas trbilhonares dão origem aos perfis de velocidade e temperatra niversais. Importante frisar, qe as mitas análises indicam qe a analogia de Reynolds-Colbrn entre atrito sperficial e transferência de calor pode ser estendida - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

134 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 35 para região trblenta. É objeto dos estdos de trblência adeqadamente modelar os efeitos das variações instantâneas das grandezas, o qe foge do escopo destas notas de ala. É importante saber qe eistem dois regimes de transferência de calor: laminar e trblento. ambém eiste ma região de transição entre os dois regimes. Epressões apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela 7.9 do Incropera e Witt. Resmo das epressões de transferência de calor para regime trblento sobre sperfícies planas: Local :,8 3 8 N,96 Re Pr Re,6 Pr 6,8 3 Médio : L N,37 Re 87 Pr L 8 Re L, 8,37 Re Re L Nota: para otras epressões ver livro-teto o tabela ao final desta ala. As propriedades de transporte são avaliadas à temperatra de mistra (média entre sperfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 5 Eemplo resolvido (Holman 5-7) Ar a o C e atm escoa sobre ma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de comprimento e é mantida a 6ºC. Calcle o flo de calor transferido da placa. 6 Propriedades avaliadas à 4C kj kg c p, 7,8 Pr, 7 3 kgc m 5 kg,7 ms VL 6 Re L,475 N L hl k Pr / 3 (,37 Re k h N L 74,6W / m C L ha ),8 L 87) José R. Simões Moreira atalização setembro/7 k W, 73 mc q ( s 74,6.,75..(6 ) 38W

135 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 36 Escoamento Crzado sobre Cilindros e bos No caso do escoamento eterno crzado sobre cilindros e tbos, a análise se torna mais complea. O número de Nsselt local, dado em fnção do ânglo de incidência, isto é, N(), é fortemente inflenciado não só pela formação das camadas limites, como também pelo efeito do descolamento da camada limite. A figra ao lado indica o qe acontece com o número local de Nsselt. Para Re D 5, o número de Nsselt decresce como conseqência do crescimento da camada limite laminar (CLL) até cerca de 8 o. Após este ponto, o escoamento se descola da sperfície destrindo a CLL e gerando m sistema de vórtices e mistra qe melhora a transferência de calor (amento de N(). Para Re D > 5, ocorre a transição de laminar para trblento e, portanto, a formação da camada limite trblenta (CL). Na fase de transição (8 o a o ) ocorre a melhora da transferência de calor. Uma vez iniciada a CL, novamente se verifica a diminição do coeficiente local de transferência de calor devido ao crescimento da CL para, em torno de 4 o, descolar o escoamento da sperfície qe destrói a CL para, então, gerar o sistema de vórtices e mistra qe volta a melhorar a transferência de calor. No caso trblento há, portanto, dois mínimos. Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante analisar os efeitos locais do número de Nsselt, do ponto de vista do engenheiro e de otros sários é mais proveitoso qe se tenha ma epressão para a transferência de calor média. Assim, ma epressão bastante antiga tem ainda sido sada, trata-se da correlação empírica de Hilpert, dada por: hd N D C Re m D k onde, D é o diâmetro do tbo. As constantes C e m são dadas na tabela abaio como fnção do número de Reynolds. 3 Pr - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

136 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 37 Re D C m,4 4,989,33 4 4,9, ,683, ,93, ,7,85 No caso de escoamento crzado de m gás sobre otras seções transversais, a mesma epresssão de Hipert pode ser sada, tendo otras constantes C e m como indicado na próima tabela (Jakob, 949). Para o escoamento crzado de otros flidos sobre cilindros circlares, ma epressão mais atal bastante sada é devida a Zhkaskas, dada por / 4 m n Pr,7 Pr 5 N D C Re Pr Pr D válida para, 6 s Re D onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaio. odas às propriedades são avaliadas à, eceto Pr s qe é avaliado na temperatra de sperfície (parede). Se Pr, se n =,37 e, se Pr >, se n =, José R. Simões Moreira atalização setembro/7

137 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 38 Re D C m 4,75,4 4.,5,5. 5,6,6 5 6,76,7 Escoamento sobre Banco de bos Escoamento crzado sobre m banco de tbos é mito comm em trocadores de calor. Um dos flidos escoa perpendiclarmente aos tbos, enqanto qe o otro circla internamente. No arranjo abaio, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é chamado de arranjo em linha e o otro de arranjo desalinhado o em qicôncio. Arranjos em linha o qicôncio Eistem várias epressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tbos. Para o ar, pode se sar a epressão de Grimison, qe também pode ser modificada para otros flidos, como disctido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente, Zhkaskas apresento a seginte epressão: N D C Re m D,ma Pr,36 Pr Pr s / 4 válida para N L,7 Pr 5 Re D, ma. 6 onde, N L é o número de fileiras de tbos e todas as propriedades, eceto Pr s (qe é avaliada à temperatra da sperfície dos tbos) são avaliadas à temperatra média entre a entrada e a saída do flido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaio. - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

138 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 39 Configração Re D,ma C m Alinhada -,8,4 Em qicôncio -,9,4 Alinhada Em qicôncio - 3 Aproimado como m único - 3 cilíndro (isolado) Alinhada (S /S L >,7) a 3-5,7,63 Em qicôncio (S /S L <) 3-5,35(S /S L ) /5,6 Em qicôncio (S /S L >) 3-5,4,6 Alinhada 5-6,,84 Em qicôncio 5-6,,84 a Para S /S L >,7 a transferência de calor é ineficiente, e tbos alinhados não deveriam ser tilizados. Se o número de fileiras de tbos for inferior a, isto é, N L <, então deve-se corrigir a epressão acima, mltiplicando o resltado obtido por ma constante C, conforme epressão abaio e valores dados na segnda tabela abaio. N D C N D NL N L abela com o fator de correção C para N L < (Re D > 3 ) N L Alinhada,7,8,86,9,9,95,97,98,99 Em qicôncio,64,76,84,89,9,95,97,98,99 O número de Reynolds Re D,ma é calclado para a velocidade máima do flido qe percorre o banco de tbos. No arranjo em linha, a velocidade máima ocorre em V ma S S V D, onde as grandezas podem ser vistas na figra anterior. No arranjo em qicôncio o desalinhado, a velocidade máima pode ocorrer em das regiões, conforme ilstrado na figra anterior. V ma ocorrerá na seção A se a seginte condição for satisfeita ( S D) ( S D) qe, após ma análise trigonométrica simples, se D obtém a seginte condição eqivalente S D S S D L S. Se isso - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

139 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 acontecer, então: V ma S V. Caso essa condição não seja satisfeita, então, a ( S D) D velocidade máima ocorre em A e, portanto, sa-se novamente V S V S D ma. abelas- resmo com as eqações (Incropera & Witt) - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

140 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 Eercício de Aplicação Verifica-se m escoamento de ar a ma velocidade de 4 m/s e temperatra de 3 C. Neste escoamento de ar é colocada ma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de 5 cm de comprimento e m de largra. A temperatra da placa é de 6 C. Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando m cilindro sobre o qal o escoamento de ar vai se dar de forma crzada. odas as demais condições são mantidas. Pede-se: (a) Em qal caso a troca de calor é maior. (b) Qal o flo de calor trocado em ambos os casos. (c) Analisar se sempre há maior troca de calor nma dada configração do qe na otra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Jstifiqe sa resposta através de m memorial de cálclo. - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

141 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 Solção Propriedades do ar à ν =,68-5 m /s k =,69 - W/mK Pr =,76 p 45C Placa 4m / s p 6C 3C L=,5m Re L L 4,5 4 5,95 Re 5,68 crit 5 5 N L Assim,664 Re h L N k L / L Pr / 3,664 (5,95 ) 4 / (,76) 44,,697 5,56W / m C,5 / 3 44, Cilindro, D s 6C πd = L D =,5/π =,796 m Assim, Re D 4,796,895 5,68 4 Usando a epressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b) / 3 N Pr p/re D =,895 4 C =,93 D C Re m D m =,68 Assim, N D 4,68 / 3,93 (,895 ) (,76) 75, 63 de forma qe: h D N Dk D 75,63,697 5,63W / m,796 a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois h D h L e a área de troca de calor é a mesma. - José R. Simões Moreira atalização setembro/7 K

142 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 43 b) Placa Cilindro Q Q placa placa ha ( p p 6,7W 5,56,5 3 ) Q Q cil cil ha ( c p 5,63,5 3 9,W ) c) Porção laminar Note qe Re Re crit L, 5 5 D Re L/ Re D,59 sendo eqivalente ao crítico. 5 h L,664 k L / / 3 Re L Pr (A) / 3 k 3 m k Pr m h D Pr / C Re D C Re D (B) D L / 3 k Pr h L Portanto de (A),, qe, pode ser sbst. em (B), para obter / L,664 Re h D m C Re D h L,669C Re /,664 Re D L m,5 D h L O h h D L,669C Re m,5 D para o caso laminar na placa Porção laminar-trblenta Re L > Re crit =5 5,8 / 3 N L (,37 Re L 87)Pr (Eq. 7.4 p/camada limite mista) De donde h LL k,8 (,37 Re L 87)Pr / 3 e k Pr L / 3 h L,37 Re,8 L 87 (C) sb. em (B), vem h D C Re,37 Re m D,8 L h L 87 Sbs. Re L = πre D, vem: h h D L m C Re D,8,37 Re 87 L Finalmente para o caso laminar e trblento na placa h h D L m C Re D,8,37 Re 87 L - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

143 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 44 Os diversos valores de C e m da epressão de Hilpert foram sbstitídos nas epressões das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaio e, em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do cilindro (na faia de validade das epressões) Re D C m h D /h L regime 4,898,33,9 laminar 4,9,385,59 4,683,466,38 4,93,68,8 59,7,85,78,7,85,5 lam-trb 4,7,85,43 3, h h D L,5,,5,,5, Re D - José R. Simões Moreira atalização setembro/7

144 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 45 AULA 6 RANSFERÊNCIA DE CALOR NO INERIOR DE UBOS E DUOS - LAMINAR Considerações hidrodinâmicas do Escoamento Diferentemente do escoamento eterno sobre corpos e sperfícies, a camada limite interior tem início e crescimento sobre a sperfície interna do tbo o dto qe, dependendo do comprimento do tbo, vai se coalescer na linha central, como ilstrado abaio. O comprimento até qe isso ocorra é chamado de comprimento de entrada. A partir desse ponto, diz-se qe o escoamento é plenamente desenvolvido. Desenvolvimento da camada limite laminar e comprimento de entrada > e escoamento plenamente desenvolvido O número de Reynolds agora deve ser baseado no diâmetro do tbo (o dto), isto é: Re D D, sendo velocidade média O caso laminar vai ocorrer para Re D 3 e, nesse caso, o comprimento de entrada e se estende até,5 Re D D Desenvolvimento da camada limite trblenta No caso trblento, dá-se início ao desenvolvimento da camada limite laminar, porém, essa camada limite sofre ma transição para camada limite trblenta, como indicado na figra abaio. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

145 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 46 Nesse caso, e D. O número de Reynolds vai indicar se o escoamento é trblento, qando se valor será sperior a 4, isto é, Re 4. Entre 3 e 4 ocorre transição laminar-trblento. Para efeitos práticos, porém, pode-se assmir escoamento trblento a partir de 3. D EMPERAURA MEDIA DE MISURA No caso do escoamento interno, eiste m problema de referenciar a transferência de calor. Para eemplificar essa dificldade, considere os escoamentos eternos e internos ilstrados abaio. No primeiro caso, o cálclo da transferência de calor se dá levando em consideração a temperatra da sperfície, s, e do flido ao longe,, qe é constante. Isso já não ocorre no caso do escoamento no interior de tbos e dtos. Não eiste ma temperatra ao longe constante,, para efetar o cálclo da troca térmica pela lei de resfriamento de Newton. Deve-se, portanto, tilizar ma temperatra representativa do flido na seção de interesse, m. Não se pode ser a temperatra média aritmética simples, pelos motivos epostos abaio. Há de ser ma temperatra qe efetivamente represente a temperatra do flido na seção. Esta é a chamada temperatra média de mistra o de copo. C.L. eterno q ha ) s ( cte interno q ha( s m) s s Para se entender como obter a temperatra média de mistra, considere os segintes perfis de temperatra e velocidade em m flido sendo aqecido: s c - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

146 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 47 Note qe as maiores temperatras ocorrem jnto à parede, porém nessa região é eatamente onde ocorrem as menores velocidades. Assim, a média aritmética simples m A da não representa a temperatra efetiva da seção. Para obter a temperatra efetiva da seção, considere o eercício mental em qe ma porção da seção transversal do tbo com flido é colocada dentro de m copo. Há de se concordar qe a temperatra efetiva qe representa a seção é aqela temperatra decorrente do eqilíbrio térmico daqela porção de flido. Certo? Sim, isto está correto e daí o nome alternativo de temperatra de copo ( cp qe significa literalmente caneca no vernáclo original). d (copo) eqilibrio m Para determinar essa temperatra, considere o flo entálpico, dado por: E hdm hda. h A Assim, pode-se definir a entalpia média, h m, na seção transversal por: Mas, sabendo qe Se C P = cte., vem qe h m A hda E m A hm c pm, então: m C Pm m A da m h C m h P m da Mas, por definição a vazão mássica na seção transversal é dada por E h, na seção transversal m A da Assim, chega-se na epressão da definição da temperatra média de mistra o temperatra de copo, qal seja: m A A da da - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

147 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 48 Para o caso do dto circlar a área da seção transversal é dada por A r da rdr qe, sbstitindo na epressão acima, reslta em: r m r Além do mais, se ρ= cte, vem rdr rdr R m R (Válida para tbo circlar) rdr rdr (válida para tbo circlar) ransferência de Calor no Escoamento Laminar no Interior de Dto Conhecida a epressão para o cálclo da temperatra média de mistra, pode-se determinar a transferência de calor, caso sejam conhecidas as distribições de velocidade e de temperatra na seção transversal, isto é, (r) e (r). O caso laminar fornece tais epressões, como veremos a segir. Considere o perfil laminar de velocidades ilstrado abaio. No diagrama à direita, tem-se m balanço de forças para o elemento de flido. ( rd) r a r p( r ) Elemento de flido ( p dp) r q d d Um balanço de forças, reslta em: r dp (rd ), o rdp d, o ainda: dr r dp d dr d Integrando na direção radial. Note qe a pressão estática é a mesma na seção r dp transversal, isto é, p p(r), vem qe C 4 d A constante C é determinada da condição de parede, isto é, = r = r C. r dp 4 d - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

148 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor José R. Simões Moreira atalização Otbro/7 Assim, ) ( 4 ) ( r r d dp r Velocidade no centro do tbo, : d dp r 4 Finalmente, dividindo ma epressão pela otra, tem-se: ) ( r r r O perfil de velocidades é parabólico (º gra)!! Admitindo-se flo de calor constante na parede do tbo: d dq p Um balanço de energia para o elemento de flido anterior reslta em: r r r r Como o flo de calor e constante ao longo do tbo, então: cte Por otro lado, por simetria no centro do tbo, sabe-se qe r r e, na parede do tbo cte q r k p r r Entrando com estas c.c na eqação acima e integrando, reslta no seginte perfil laminar de temperatras: ) ( r r r r r r Finalmente, pode-se agora introdzir os perfis de velocidade, (r) e temperatra, (r), na eqação da definição da temperatra média de mistra r r m rdr rdr Após algm esforço, se obtém r m 96 7 (para flo de calor constante na parede).

149 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 Para se poder calclar a transferência de calor, ainda é preciso obter a temperatra de parede (r = r ). Isto é prontamente obtido da epressão de (r), qe reslta em: p 3 6 r (flo de calor constante) Agora, finalmente, o coeficiente de transferência de calor laminar em tbo circlar com propriedades constantes, flo de calor constante na parece, e escoamento plenamente desenvolvido pode ser calclado, a partir da sa própria definição: q ha( p m ) ka r rr, o k r h p rr m Sbstitindo as epressões, vem: h k r r r r 6 96 P m r r r r rr Após se efetarem os cálclos, vai-se chegar a k h 4, 364 o, N D 4, 364. Este é D m resltado notável, pois o número de Nsselt para escoamento laminar plenamente desenvolvido, propriedades constantes, sbmetido a m flo de calor constante não depende do número de Reynolds o de qalqer otro parâmetro! Se os cálclos forem efetados para temperatra de parede constante, vai-se obter N 3, 66. rabalhos teóricos também foram realizados para otras geometrias e ses valores são apresentados na tabela abaio. O fator de atrito também é apresentado. Nos problemas práticos, as propriedades devem ser calcladas à média entre as temperatras médias de saída e entrada, isto é: m me ms D qando as diferenças de temperatra não são significativas. Em caso diferenças significativas, deve-se empregar o conceito de diferença média logarítmica de temperatra, DML, visto adiante. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

150 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 No caso de seções transversais não circlares, define-se o chamado diâmetro hidrálico, D h, de acordo com: 4A D h, onde A é a área da seção transversal do tbo e P é o chamado perímetro P molhado (o perímetro qe abarca o flido qe está em contato com a parede da tblação). Qando os tbos são crtos, deve-se considerar qe o escoamento ainda não está plenamente desenvolvido e deve-se sar a epressão corrigida. O gráfico abaio ilstra como o número de Nsselt varia, começando da entrada, até qe o escoamento se torne plenamente desenvolvido. Relação para tbo crto: N D,668( D / L)Re 3,66,4 ( Pr D / L)Re Pr / 3 D D N Plenamente desenvolvido Veja livro para correlações qe consideram o comprimento de entrada. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

151 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 5 DEERMINAÇÃO DE m AO LONGO DO COMPRIMENO DO UBO Em mitas sitações, estamos mais interessados em determinar como a temperatra média de mistra varia ao longo do tbo. Isto é obtido, mediante m balanço de energia, conforme ilstrado na figra abaio. É válida para qalqer regime de escoamento, pois decorre de ma análise da Primeira Lei da ermodinâmica. Note qe, nesta seção, h refere-se à entalpia específica e não ao coeficiente convectivo de calor. q"da p m h m h d dh Epansão em serie de aylor da entalpia, vem h d h d... d d Mas, pela ª lei, temos: m h mh q" da, qe sbstitindo a epansão, já d p desprezando os termos de ordem sperior, tem-se m h dh d mh d q" da dh o, simplesmente m d q" dap, sendo A p = área em contato com o flido. d Mas, por otro lado da Pd ; onde P é o perímetro molhado. dh De forma qe m d q" Pd d dh O, ainda, m q" P. Assmindo h Cpm,o dh CPd p / CP cte, tem-se d p dm q" P CPA d mc P d m d Dois casos podem ser analisados para ser determinar m qe dependem da condição de contorno impostas na parede do tbo. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

152 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 53 (I) Flo de calor constante na parede. q" cte Integrando a eqação, vem m q" P ( ) cte C A P Para =, m = e, de forma qe m q" P ( ) C A P e (II) emperatra de parede constante p = cte Nesse caso, q h ( ) qe, sbstitindo na epressão m, vem O, d p m m " p m dm hp( p m ) mc P d hp hcp d, cja integração reslta em ln( p m ) cte mc mc p P Para =, m = e, de forma qe p p m ( ) e h cp ep mc P p m h p e h e Flo de calor constante na sperfície emperatra de parede constante - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

153 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 54 AULA 7 RANSFERÊNCIA DE CALOR NO INERIOR DE DUOS - URBULENO ransferência de Calor no Escoamento rblento em Dtos Analogia de Reynolds-Colbrn No caso laminar, a transferência de calor da parede para o flido (o vice-versa) é dada q d q d por condção, segndo a lei de Forier, isto é, k, o A dr Ac dr No caso de escoamento trblento, define-se ma epressão análoga qe tem a seginte forma p q Ac p H d dr em qe, artificialmente, define-se H como difsividade térmica trbilhonar. Analogamente à tensão de cisalhamento, tem-se: d dr em qe, m é a viscosidade trbilhonar. ( ) m d dr Hipótese: Admitindo qe o calor e qantidade de movimento sejam transportados a ma mesma taa, o seja, H = m e = α, então tem-se qe Pr =. De forma qe, dividindo as eqações anteriores, vem: q d Ac d p o q d d Ac p - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

154 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 55 Otra hipótese a ser adotada é qe a razão entre o flo de calor por nidade de área e o cisalhamento seja constante na seção transversal, o qe permite escrever qe o qe ocorre na parede, também ocorre dentro do escoamento, isto é: q qp C A C A o qp C A d d P P p p P p p As condições de contorno do problema são: =, = p = m, = m De forma, qe é possível integrar a eqação: p q p A C P p m d m p d qe reslta em q p A C p P p m p m mas, por otro lado, o flo de calor convectivo é dado por q ha ). Agora p p( p m igalando as das epressões, tem-se: ha ( p p p A c p p m ) m p m qe reslta em h c p m (A) p Por otro lado, o eqilíbrio de forças no elemento de flido ilstrado abaio reslta em: P r r p r L, o p P L r L p Pr ( P P) r L p Mas, da mecânica dos flidos, sabe-se qe a perda de pressão distribída é dada por: L P f m, d - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

155 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 56 sendo, f = fator de atrito (sai do diagrama de Moody o de ma epressão de ajste Colebrook, Chrchill, entre otras) Assim, comparando as das epressões, vem qe f p m (B) 8 Finalmente, pode-se conclir a analogia igalando as eqações (A) e (B). Assim: h C m p f 8 Agora é de interesse qe se façam aparecer os adimensionais qe controlam o fenômeno. m Para isso, algmas maniplações serão necessárias, começando por rearranjar a eqação acima, para obter: h f C 8 p Agora, conveniente, esta epressão é mltiplicada e dividida por algmas grandezas, conforme indicado abaio: m hd k f k C p md 8 hd f qe, pode ainda ser maniplada para obter: k / D m / 8 Finalmente, os grpos adimensionais são sbstitídos: N D f, o St Pr ReD 8 8 f Esta é a analogia de Reynolds para escoamento trblento em tbos. Ela está de acordo com dados eperimentais para gases (Pr ~ ). Com base em dados eperimentais Colbrn recomenda qe a relação acima seja mltiplicada por Pr /3 para Pr >,5 (até ). Lembre-se qe essa analogia já havia sido desenvolvida para escoamento laminar. N f D D 8 Pr 3 Re, o St Pr 3 f 8 Na faia de Reynolds entre 4, para tbos lisos, f pode ser aproimado pela seginte eqação de ajste, D f,84re. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

156 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 57 Então, obtém-se a famosa epressão de Ditts-Bolter (ligeiramente modificada) ND,8,3Re D Na prática, sgere-se qe o epoente do número de Prandtl seja do tipo Pr / 3 ND sendo, n =,3 se o flido estiver sendo resfriado n =,4 se o flido estiver sendo aqecido,3re Para tbos rgosos, sar o diagrama de Moody, como mostrado abaio, para obter f.,8 D Pr n O ma epressão de correlação, como por eemplo as epressões de Chrchill o Colebrook: Epressão de Chrchill: em qe, e f 8 A,457 ln B Re D José R. Simões Moreira atalização Otbro/7 8 Re D A B,5,9 7 Re,7 D D 6

157 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 58 A epressão acima tem a vantagem de ajstar de forma save a transição laminartrblento Epressão de Colebrook (clássica): f / / D,5, log 3,7 ReD f / Ver tabela de correlações para otras configrações Correlações válidas considerando a região de entrada para tbos lisos:,5 < Pr <,5,5 < Pr <,5 =,4 / / [ + ( /] ) =,, 8 / [ + ( /] ) CORREÇÃO DEVIDO A PROPRIEDADES VARIAVEIS (A) Laminar As propriedades são calcladas à temperatra de mistra. Acontece qe algmas propriedades dependem fortemente da temperatra como, por eemplo, a viscosidade da ága: ( = 5 C) ~ 8,9-4 kg/ms ( = 3 C) ~ 7,98-4 kg/ms Em 5ºC ocorre ma variação em torno de %. Assim, sege-se qe a seginte epressão seja tilizada para levar este efeito em consideração. n m Ncor N m = viscosidade à temperatra da mistra. p p = viscosidade à temperatra da parede Se o flido for em gás n = (sem correções) Para,5 < m / p <, (B) rblento N cor N m p n - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

158 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 59 temperatra absolta n = (resfriamento de gases) n =,45 para fases sendo aqecidos (n =,5 p/ C o ) se,5 < m / p <, Líqidos N cor Pr N Pr m p, Eemplos resolvidos () Ar escoa pelo interior de m dto de 5cm de diâmetro. A velocidade do ar é 3m/s e sa temperatra é 5ºC. O comprimento aqecido do tbo é,6m com temperatra de parede, p = 38ºC. Sponha qe o escoamento seja plenamente desenvolvido. Obtenha a transferência de calor e a temperatra de saída do ar. e p 38C s,6m Calcle as propriedades à temperatra média m e s Ditts Boelter:,8,4 N D,3ReD Pr () Balanço de energia: ha ) mc ( ) () ( p m p s e Note qe há das eqações e das incógnitas ( s e h) Esses tipos de problema devem normalmente serem resolvidos de forma iterativa, conforme esqema abaio. Primeiro admite-se ma temperatra de saída, calclam-se todas as grandezas envolvidas e depois faz-se a verificação se corresponde ao resltado da segnda eqação. Caso contrário, admite-se ma nova temp. de saída. Admite s Calcla m Calcla h da eq. () Compara s com eq. () igal fim Nova s diferente s = ºC m = 8ºC - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

159 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 abela A.5 (Holman) A.4 (Incropera) Interpolação ρ =,9 kg/m 3 γ = 4,58-6 m /s Pr =,7 c p =,56 kj/kg C k =,554 W/m C Re N h D D VD 3,5,9 6 4,58,3Re N Dk D,8 D Pr,4,3(,9^5) 6,34*,554 W 5,4,5 m C 5 trblento!!!!,8 (,7),4 6,34 De () s 5,4,5, , C ha e p m mc,7,56 p Não confere!! Portanto, nova iteração é necessária Assmindo agora s = 8ºC Logo, m = 6,5ºC, assim: ρ =,6 kg/m 3 = 4,4-6 m /s Pr =,7 c p =,56 kj/kg C k =,54 W/m C 5 Re D,4 m,7kg/ s h W m 5,7 / C s 7, 95C OK! Agora, confere Realizando os próimos cálclos. Pela lei de resfriamento q ha ( ) 5,7,5,6 (38 6,5) 3, W s p m 3 Pela ª. Lei q mc ( ),75,6 (8 5) 7,W p s e As diferenças se jstificam em fnção das aproimações sadas e no cálclo das propriedades. () Ága passa em tbo de cm de diâmetro dotado de ma velocidade média de m/s. A ága entra no tbo a ºC e o deia a 6ºC. A sperfície interna do tbo é mantida a 9ºC. Determine o coeficiente médio de convecção de calor, sabendo qe o tbo é longo. Calcle, também, o flo de calor transferido por nidade de área de tbo. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

160 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 Solção As propriedades termofísicas da ága serão calcladas à média das temperatras de mistras da entrada e saída, isto é, a 4ºC. ρ = 99,3 kg/m 3 k =,686 W/m C c p = 4,74 kj/kg C = 6,53-4 kg/ms Pr = 4,34 O número de Reynolds do escoamento é VD, 99,3 4 ReD 3,39 4 6,53 O escoamento é trblento e o número médio de Nsselt é obtido sando a eqação de Ditts-Bolter, vem. N D,3Re D,8 Pr,4 4,4 Assim, N D,33,39 4,34 59, 5,8 As propriedades termofísicas da ága são dependentes da temperatra, e ma correção deveria ser realizada para o número de Nsselt obtido com a hipótese de propriedades constantes. O número de Prandtl da ága a 9 o C vale,97. Pr m 4,34 N cor N 59,5 Pr,97 P O coeficiente médio de transferência de calor é h N D,, 74, k 74,,686 W 5468,, m C cor 4 73,4kW / q" h( p ) 5468, 9 m - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

161 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 6 DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍMICA DE EMPERAURA DML No eemplo anterior de parede de tbo constante, a temperatra de mistra do flido varia de forma eponencial entre a entrada e saída. Assim, os cálclos realizados acima foram apenas aproimados, pois samos ma temperatra média representativa do flido qe foi simplesmente a média aritmética entre a temp. de mistra de entrada e a de saída. No entanto, prova-se (ver próima ala) qe nestes casos deve-se sar a diferença média logarítmica de temperatra, DML, definida por: s e DML ln s e e p sendo, s p s e e p e Assim, a lei de resfriamento de Newton adeqadamente aplicada é q h A DML Refazendo o eercício, vem: 3 7 o o DML 47, C - compare com 4 C ln 3 7 Assim, q" h( DML) 5468, 47, 58, kw / m Como última informação, perceba qe se as diferenças de temperatra entre a entrada e saída não forem mito grandes, a DML vai tender à diferença entre a temperatra de parede e a média entre as temperatras de mistra de entrada e saída. A DML será estdada detalhadamente na próima ala. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

162 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 63 Otro eemplo de Aplicação Um tbo de m aqecedor solar é eposto a ma radiação térmica niforme e constante de W/m por meio de m concentrador. O diâmetro do tbo é de 6mm. Solção ) se a ága entra no tbo a m,kg/ s e m, = C. Qal o comprimento do tbo necessário para a temperatra de saída alcançar m, = 8 C? ) Qal a temperatra sperficial do tbo na saída? m C s m,kg / s m 8C L ) º Lei Q mc, com Q q" DL e, portanto, q " DL mc p mc p, 48 6 De forma qe: L, o L 3, 3m q" D, 6 qs" ) q s" h( p, m, ) o p, m, h Precisamos, agora, fazer ma estimativa de h Regime de escoamento cálclo do número de Reynolds: m D 4mD 4m ReD D D da tabela 6 8 C Ns / 35 m, então 4, ReD Laminar!! 6,6 35 hd Como se trata de flo de calor constante na parede, tem-se N D 4, 364 k 4,364k Assim, h, mas k8 C,67W / mc D 4,364,67 Logo, h 48,73W / m C,6 Finalmente, p, 8, 5C 48, José R. Simões Moreira atalização Otbro/7 p

163 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 64 AULA 8 ROCADORES DE CALOR MÉODO DA DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍMICA DE EMPERAURA DML O principal objetivo no projeto térmico de trocadores de calor é a determinação da área sperficial necessária para transferir o calor de m flido qente para m flido frio, conhecidas as vazões de pelo menos m dos flidos e as temperatras dos flidos. Este trabalho é facilitado pelo so do coeficiente global de transmissão de calor, U, já definido anteriormente, qe é: q U A Onde, é ma diferença média efetiva o representativa das temperatras dos flidos para todo o trocador de calor; U já foi definido e representa a inverso das resistências térmicas. Para as configrações sais mais encontradas, temos: Paredes plana: U / h L / k h / Parede cilíndrica: U U r / r h, ( q Uo Ao ) i i i i r lnr / r / k/ h i / h, q Ui Ai ri lnri / ro / k ri / ro ho Onde os índices i e o representam as sperfícies interna e eterna do tbo, respectivamente. A tabela a segir fornece valores aproimados de U para algns flidos tilizados em trocadores de calor. As faias relativamente largas de U resltam da diversidade dos - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

164 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 65 materiais empregados e das condições do escoamento, bem como da configração geométrica. Flido (U W/m²K) Óleo para óleo 7-3 Orgânico para orgânico Vapor para Solções aqosas Óleo combstível, pesado 57-7 Óleo combstível, leve 7-34 Gases 8-84 Ága Ága para Álcool Salmora Ar comprimido 57-7 Álcool condensado Amônia condensado Freon condensado Óleo condensado Gasolina 34-5 Óleo lbrificante 3-34 As figras abaio mostram algns tipos de trocadores de calor. Corrente paralela Contra-corrente Corrente crzada Corrente crzada Casco e tbo - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

165 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 66 rocador de placas O ROCADOR DE CALOR DE CORRENES PARALELAS Antes de serem efetados os cálclos da transferência de calor, é necessário definir diferença média efetiva o representativa das temperatras. Seja, por eemplo, m trocador de calor de correntes paralelas, cjos perfis de temperatra estão mostrados na seginte figra. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

166 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 67 Para a configração acima considerar qe:. U é constante ao longo de todo o trocador.. O sistema é adiabático ocorrendo troca de calor somente entre os dois flidos. 3. As temperatras de ambos os flidos são constantes nma dada seção transversal e podem ser representadas pela temperatra de mistra. 4. Os calores específicos dos flidos são constantes. Com base nestas hipóteses, a troca de calor entre os flidos qente (q) e frio (f) para ma espessra infinitesimal d é: dq U( ) da q f onde da é a área elementar de troca de calor. O flo de energia recebida pelo flido frio é igal à fornecida pelo flido qente, isto é, dq m f c f d f m c d q q q onde m é o flo mássico e c é o calor específico. Da eqação anterior reslta: d( q f) dq mqcq mf c f Sbstitindo dq da eqação de transferência de calor, reslta: d( q f) U da ( q f ) mqcq m f c f Cja integração é igal a ln UA mqcq m f c f - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

167 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 68 onde, qe fe e qs fs, como indicado no gráfico de distribição de temperatras da figra anterior ( e refere-se à entrada e s, à saída). Por meio de m balanço de energia em cada flido, tem-se: m c q q m c ( ) ( ) q q f f qe qs fs fe Sbstitindo-se estas epressões na eqação anterior: O: ln ( qe qs ) ( fs fe) UA q q UA ln Comparando-se este resltado com a primeira eqação, nota-se qe diferença média efetiva o representativa das temperatras, procrada é dada por: ln DML Esta diferença média efetiva o representativa de temperatra é chamada de diferença média logarítmica de temperatra (DML). O ROCADOR DE CALOR EM CONRA-CORRENE As distribições de temperatras nos flidos qente e frio associadas a m trocador de calor com escoamento em contracorrente estão mostradas na figra abaio. Note qe a temperatra de saída de flido frio (fs) pode ser maior qe a temperatra de saída de flido qente (qs). - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

168 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 69 De forma similar qe para o caso de correntes paralelas pode-se demonstrar o DML para o caso contra-corrente qe a taa de transferência por conservação de energia infinitesimal e convectivo são respectivamente: dq mqcq dq mf cf df e dq U( ) da Sbtraindo o segndo e terceiro termos da eqação de conservação infinitesimal e sbstitindo a segnda eqação jntamente com a eqação de conservação, tem-se q f o q q f f d( q f ) dq U ( q f ) da mqcq mf c f q q d( q f) U ( q f ) ( q f ) da ( ) q q f Sbstitindo a eqação anterior em termos das seções e do gráfico acima: d( q f ) U ( ) da ( q f ) q Integrando a eqação acima, obtém-se: - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

169 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 o U ln ( ) A q q U A DML onde DML ln Onde qe fs e qs fe Para as mesmas temperatras de entrada e saída, a DML em contra-corrente é maior qe para corrente paralela, dessa forma, admitindo o mesmo U, a área necessária para ma determinada taa de transferência de calor é menor para m trocador em contracorrente. Eemplo resolvido (do Incropera): Um trocador de calor de tbos concêntricos com configração em contracorrente é tilizado para resfriar o óleo lbrificante do motor de ma grande trbina a gás indstrial. A vazão da ága de resfriamento do tbo interno (Di = 5 mm) é de, kg/s, enqanto a vazão do óleo através da região anlar (De = 45 mm) é de, kg/s. O óleo e a ága entram às temperatras de C e 3 C, respectivamente. O coeficiente de transferência de calor por convecção na região anlar (do óleo) é de 38,4 W/m²K. Qal deve ser o comprimento do trocador se a temperatra de saída do óleo deve ser de 6 C? Solção Considerações: Perda de calor para a vizinhança desprezível. Mdanças nas energias cinética e potencial desprezíveis. Propriedades constantes. Resistência térmica na parede do tbo e efeitos da deposição desprezíveis. Condições de escoamento completamente desenvolvidas na ága e no óleo (U independente de ). - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

170 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 Propriedades do óleo de motor novo ( q = 8 C) cp =.3 J/kg-K; μ =,35 N.s/m²; k =,38 W/m K. Propriedades da ága ( 35 C), primeira aproimação! c cp = 4.78 J/kg K; μ =,75 N.s/m²; k =,65 W/m K; Pr = 4,85. q m c, ( ) q p q qe qs q, 3 ( 6) 8.54W A temperatra de saída da ága é: fs q mc f p, f fe 854 fs 3 4, C, 478 Por tanto a primeira aproimação de f = 35 C foi ma boa escolha. A DML é igal a: ( qe fs) ( qs fe) 59,8 3 DML 43, C qe fs 5,98 ln ln qs fe José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

171 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 7 O coeficiente de transferência global é dado por (já desprezando a condção de calor através da parede): U / h i / h e Para o escoamento da ága através do tbo, 4mc 4, ReD 4.5 (rblento) D, 5, 75 e Usando a epressão de Ditts-Boelter modificada para aqecimento (da ága), vem^: N D,3Re 4/5 D Pr,4,345 4/5 4,85,4 9 Assim: h N k D,65 9.5W / m,5 i D ² i K Por tanto o coeficiente global de transferência de calor é: U 37,8W / m² K /.5/38,4 A área necessária para a troca de calor é de: q A U DML E o comprimento será de: q L D U DML i 8.54,5 37,8 43, 66,5 m - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

172 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 73 O MÉODO F Para trocadores de calor mais compleos, como os mltitblares, diversos passes na carcaça o correntes crzadas, a determinação da diferença média efetiva de temperatra é tão difícil qe o procedimento sal é modificar a eqação acima através de m fator de correção F, resltando em: q U A F DML onde, DML é aqela para m trocador de calor de tbo dplo em contracorrente com as mesmas temperatras de entrada e saída da configração mais complicada. As figras a segir fornecem os fatores de correção para diversas configrações. Nestas figras, a notação (, t) representa as temperatras das das correntes de flido, pois não importa se o flido qente escoa nos tbos o na carcaça. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

173 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

174 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

175 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 76 AULA 9 ROCADORES DE CALOR MÉODO DA EFEIVIDADE - NU O método estdado de cálclo térmico de trocadores de calor estdado na ala anterior, DML, é útil qando as temperatras de entrada e saída dos flidos frio e qente são conhecidas. Porém, se mais de ma das temperatras de entrada o saída do trocador de calor forem desconhecidas, o método DML é trabalhoso, necessitando de m método iterativo do tipo tentativa e erro até a convergência final. Nesta ala, vamos ver m segndo método qe dispensa o conhecimento de todas aqelas temperatras. rata-se do método da efetividade () e do número de nidades de transferência (NU). Para isso, considere a seginte definição de efetividade: troca de calor real q máima troca de calor possível q real má Sendo qe a máima troca de calor possível é aqela qe resltaria se m dos flidos sofresse ma variação de temperatra igal à máima diferença de temperatras possível, o qe ocorre com a temperatra de entrada do flido qente (q) menos a temperatra de entrada do flido frio (f). Este método emprega a efetividade para eliminar a temperatra de saída desconhecida e fornece a solção para a efetividade em termos de otros parâmetros conhecidos ( m, c, A e U). Seja a capacidade definida como C m c. Então, pela a Lei da ermodinâmica, temse: q C ( ) C ( ) real q qe qs f fs fe O qe indica qe o flo de calor cedido pelo flido qente é aqele recebido pelo flido frio. A máima troca de calor ocorre qando o flido de menor C sofrer a maior variação de temperatra possível, isto é, q ( ) má Cmin qe fe - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

176 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 77 Esta troca de calor seria consegida nm trocador de calor de contracorrente de área infinita. Combinando as eqações acima, obtém-se: q C ( ) min real qe fe rocador de Calor de Correntes Paralelas Considere o trocador de calor simples de correntes paralelas como aqele da figra abaio: As segintes hipóteses simplificadoras são válidas:. O coeficiente global de transf. de calor U é constante ao longo de todo o trocador.. O sistema é adiabático; ocorre transferência de calor somente entre os dois flidos. 3. As temperatras de ambos os flidos são niformes nma dada seção transversal e podem ser representadas pela temperatra de mistra. 4. Os calores específicos dos flidos são constantes. Note qe são as mesmas hipóteses adoptadas para o cálclo de DML. Combinando as eqações acima, são obtidas as das epressões para a efetividade: Cq ( qe qs ) C f ( fs fe) C ( ) C ( ) min qe fe min qe fe - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

177 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 78 Como o valor mínimo de C pode ocorrer tanto para o flido qente qanto para o flido frio, eistem dois valores possíveis para a efetividade: C C : q f q qe qe qs fe C C : q f f fs qe fe fe Os índices de grande ( A ) indicam qal flido tem o valor mínimo de C. Para m C mito Retomando a eqação da DML, esta pode ser escrita em fnção de C da seginte maneira: ln UA mqcq m f c f, (eq. da DML) fs UA qe fe Cq C f ln qs O qs qe fs fe e UA Cq C q C f - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

178 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 79 Se considerado qe o flido qente tem o valor mínimo de C, a partir da eqação da efetividade, obtém-se: q qe qe qs es qe fe fe qe fs fe fs qs qe qe fe fe qs qe fs fe fs qe fe fe q qs fs fs fe qe fe qe fe qs qe fs fe qreal C f qreal C q q Rearranjando, o C q q C f qs qe fs fe UA Cq C q C f e q C / C q f Se o flido frio tem o valor mínimo de C: f e C UA C f C f C q f / C q O generalizando: e C UA C C min C min min / C má má Denomina-se Número de Unidades de ransferência (NU) ao agrpamento: U A NU C min - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

179 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 Então temos para m.c de corrente paralela: e C C NU C min / C min má má Note qe, para m evaporador o condensador, C = Cmin/Cmá=, porqe m dos flidos permanece nma temperatra constante, tornando se calor específico (aparente) efetivo infinito. Otras Configrações Epressões para a efetividade de otras configrações estão na seginte tabela, em qe C = Cmin/Cmá. NU (na tabela NU está escrito como NU nmber of transfer nits). - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

180 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

181 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 8 Eemplo Uma flo de ága de,75 kg/s entra nm C de tbo dplo, em contra-corrente, a temperatra de 38 C. A ága é aqecida por m flo de óleo de,5 kg/s (cp=,88 kj/kgk) qe entra no C a 6 C. Para ma área de 3 m² e U=34 W/m²K determinar o flo de calor total transferido. Solção: Cága =, = 338 W/ o C = 3,38 kw/ o C Cóleo =,5 88 = 838,8 W/ o C =,8388 kw/ o C Logo, Cmin = Cóleo Então, NU = UA/Cmin = 34 3/838,8 =,557 C = Cmin/Cma = 838,8/338 =,95 Da epressão o do gráfico do C em tbo dplo, em contra-corrente: = =,557,95 =,,,557,95 q q, 67, 8388( 6 38) 38, real ma 8 kw As temperatras de saída das correntes qente e fria são obtidas da eqação de conservação de energia: qs qreal 388, qe 6 67, C C, 8388 óleo fs qreal 388, fe 38 8, C C 338, ága - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

182 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 83 Correntes paralelas Considere o mesmo C, mas agora na configração de correntes paralelas. NU e q C C, 557, e, 95 95, 498 qreal q, 498, 8388( 6 38), 3kW ma qs qreal 3, qe 6 77, C C, 8388 óleo fs qreal 3, fe 38 73, C C 338, ága Eemplo Continação Calcle o flo de calor do trocador de calor do eemplo anterior sando o método F- DML da ala anterior. Admita as temperatras de entrada do problema e as de saída qe foram obtidas para as configrações de contra-corrente e de correntes paralelas. Comente. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

183 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 84 Solção Contra-corrente = =, = =, = =, =, = =, =, =,,,, = =, =, =, Correntes paralelas = =, = =, = = = = =,, =, =,, =, = =, =, Comentários () Nas configrações contra-corrente e correntes paralelas os valores do flo de calor são os mesmos, como era de se esperar. A diferença (,3 e 9, kw) no caso de corrente paralela se deve pelo número de casas decimais sadas. () Evidentemente, esse era m resltado esperado, pois os dois métodos são eqivalentes e devem levar ao mesmo resltado. (3) Note qe, em geral, a configração de contra-corrente tem ma capacidade maior para a mesma carga térmica de trabalho, mantidas as demais condições operacionais. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

184 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 85 AULA CONVECÇÃO NAURAL OU LIVRE Nos casos anteriormente estdados, os de convecção interna e eterna, havia o movimento forçado do flido em relação à sperfície de troca de calor. Esse movimento forçado pode ser casado por m agente eterno como ma bomba, m ventilador, o otra máqina de flo. A força da gravidade desempenhava poco o nenhm efeito sobre a transferência de calor nesses casos. No entanto, qando o flido se encontra em reposo e em contato com ma sperfície aqecida (o resfriada) a transferência de calor da sperfície para o flido deverá ocorrer de forma não forçada. Nesse caso o número de Reynolds é nlo e as correlações desenvolvidas para a convecção forçada não se aplicam. Assim, o movimento do flido jnto à sperfície vai ocorrer como resltado de otro fenômeno, originário da variação de densidade do flido como conseqência de gradientes de temperatra. Para se entender melhor esse aspecto, considere ma sperfície vertical em contato com m flido em reposo. A região em contato com a sperfície aqecida também vai se aqecer e, como conseqência, haverá ma diferença de empo gravitacional entre as porções aqecidas e as menos aqecidas. Assim, as porções aqecidas sobem, enqanto qe as menos aqecidas tomam se lgar dando origem às correntes de convecção. Camadas limites térmicas e hidrodinâmicas também são estabelecidas, como ilstrado abaio. No caso da CLH, as condições de contorno do problema eigem qe a velocidade seja nla jnto à sperfície e também na etremidade da camada limite, como ilstrado. Eqações diferenciais œ = œ CLH CL Qantidade de movimento p v g y y y - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

185 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 86 Mas, p g, de forma qe sbstitindo na eqação da QM, vem v y g( ) y Mas o coeficiente de epansão volntária,, pode ser escrito como: p Bossinesq), logo,, o ) (aproimação de ( v y g ( ) y R P - Note qe para gás perfeito, GP [K ] P R p p A eqação da Energia: v y y Contrariamente à solção das camadas limites hidrodinâmicas e térmicas laminares da convecção forçada, as eqações da conservação da qantidade de movimento e da energia não podem ser resolvidas separadamente, pois o termo de empo g acopla estas das eqações. Não se pretende avançar na discssão da solção dessas camadas limites e sgere-se a leitra da Seção 9.4 do livro do Incropera, como ponto de partida para aqele alno mais interessado. De forma qe, a partir desse ponto, lança-se mão de correlações empíricas, obtidas em eperimentos de laboratório. O primeiro passo para a análise empírica é a definição de m novo grpo adimensional chamado número de Grashof, Gr, por - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

186 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 87 Gr ( g ) s 3 Este adimensional representa a razão entre as forças de empo e as forças viscosas na convecção natral. Ele desempenha m papel semelhante ao do número de Reynolds na convecção forçada, o qal representa a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. Assim, a solção das eqações da qantidade de movimento e da energia pode ser escrita da seginte forma geral: N f (Gr, Pr) A solção aproimada para a placa vertical isotérmica em convecção natral laminar, reslta em: / / 4 / 4,58Pr (,95 Pr) N Gr e o valor médio de Nsselt N L L / / 4 / 4 4 N d Gr L,677Pr (,95 Pr) 3 N L Assim, como ocorre com a convecção forçada, também eiste a transição de camadas limites de laminar para trblenta na placa vertical, o valor normalmente aceito é 9 Gr crit Pr Relações Empíricas Diversas condições de transferência de calor por convecção natral podem ser relacionadas da seginte forma. N C( Gr Pr) m CRa m, - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

187 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 88 sendo as propriedades calcladas a temperatra de pelícla, f, qe é a média entre a temperatra da sperfície e do flido. O prodto Gr.Pr é chamada de número de g s Rayleigh Ra Gr Pr v. L 3 a) Sperfícies Isotérmicas - Convecção natral em cilindros e placas D L 35 Gr L / 4 Geometria Ra C m obs Cilindros e placas verticais 4 9,59 ¼ Laminar 9 3, /3 rblento Cilindros horizontais 4 9,53 ¼ Laminar 9,3 /3 rblento b) Flo de calor constante * gqb Grashof modificado: Gr* Gr Gr. N k 4,6 Gr *. Pr Laminar, placa vertical: 5 N / 5 * Gr,7 Gr *. Pr rblento, placa vertical: 4 N / 3 *. Gr Pr José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

188 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 89 Smário de correlações (Incropera) - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

189 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 Eemplo sgerido Com base em mitos dados eperimentais indicados no gráfico abaio (etraído de Kreith & Bohn), estabeleça sa própria correlação eperimental de N D f (Ra) para cilindros horizontais. - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

190 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 Espaços Confinados Um caso comm de convecção natral é o de das paredes verticais isotérmicas, conforme ilstrado ao lado, separadas por ma distância. A figra seginte mostra os perfis de velocidade e temperatra qe podem ocorrer, de acordo com MacGregor e Emery. Na figra, o número de Grashof é baseado na distância entre as placas: Gr ( g ) 3 Os regimes de escoamento estão indicados no gráfico acima. As correntes de convecção diminem com o número de Grashof e, para números de Grashof mito baios, o calor é transferido por condção de calor. Otros regimes de convecção também eistem, dependendo do número de Grashof, como ilstrado. O número de Nsselt é epresso em - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

191 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 9 fnção da distância das placas, isto é: N algmas correlações empíricas podem ser empregadas: h. Conforme indicado por Kreith, k Gr - número de Grashof baseado na distância entre as placas. No caso de espaço confinado horizontal há das sitações a serem consideradas. Não haverá convecção se a temperatra da placa sperior for maior qe a da placa inferior e, nesse caso, a transferência de calor se dará por meio de condção de calor simples. Já no caso recíproco, isto é, temperatra da placa inferior maior qe a da placa sperior, haverá convecção. Para m número de Grashof baseado na distância entre as placas, Gr, inferior a 7 haverá a formação de céllas heagonais de convecção conhecidas como céllas de Bernard, como ilstrado abaio. O padrão das céllas é destrído pela trblência para Gr 5. Segndo Holman, há certa discordância entre atores, mas a convecção em espaços confinados pode ser epressa por meio de ma epressão geral do tipo: - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

192 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 93 h N CGr Pr k n L C, m e n são dadas na tabela a segir. L é a dimensão característica da placa. Holman adverte qe deve-se sar essa epressão na asência de ma epressão mais específica. m CONVECÇÃO MISA Até o presente os casos de convecção natral e forçada foram tratados separadamente. Claro qe a natreza não está preocpada com nossas classificações e os fenômenos vão ocorrer mediante a presença das forças qe o controlam (forças de empo, atrito e inercial). De forma qe eistem determinadas sitações em qe os dois efeitos convectivos são significativos, para as qais se dá o nome de convecção mista. Considera-se qe a convecção mista ocorra qando Gr / Re. As formas combinadas dessas das formas de convecção podem ser agrpadas em três categorias gerais: (a) escoamento paralelo se dá qando os movimentos indzidos pelas das formas de convecção estão na mesma direção (eemplo de ma placa aqecida com movimento forçado ascendente de ar); (b) escoamento oposto se dá qando os movimentos indzidos pelas das formas de convecção estão em direções opostas (eemplo de ma placa aqecida com movimento forçado descendente de ar); (c) escoamento transversal é eemplificado pelo movimento forçado crzado sobre m - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7 L L

193 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 94 cilindro aqecido, por eemplo. É padrão considerar qe o número de Nsselt misto seja resltante da combinação dos números de Nsselt da convecção forçada, NF, e natral, NN, segndo a seginte epressão: N n N n F N n N Onde, o epoente n é adotado como 3, embora 3,5 e 4 também sejam adotados para escoamentos transversais sobre placas horizontais e cilindros (e esferas), respectivamente. O sinal de (+) se aplica para escoamentos paralelos e transversais, enqanto qe o sinal de (-), para escoamentos opostos. Eemplo Em m determinado eperimento de laboratório, ma peqena esfera de cobre de cm de diâmetro é mantida aqecida atingindo ma temperatra de sperfície constante de S = 69 o C e é circndada por ága a = 5 o C. Determine o flo de calor total em watts transferido da peqena esfera para a ága sob das sitações: (a) a ága está em reposo; (b) a ága se movimenta com ma velocidade ascendente de U =,4 m/s; (c) a partir de qe velocidade da ága a convecção natral poderia ser desprezada? Obs.: para o item (b) considere a transferência de calor combinada de convecção natral (livre) e forçada. Para isso, verifiqe se a condição em qe os dois efeitos são significativos dado por Gr D Re D e se a epressão N 3 = N F 3 + N N 3, onde, N N é o número de Nsselt calclado como se hovesse apenas - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

194 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 95 convecção natral e N F se hovesse apenas convecção forçada. odos os números de Nsselt são baseados no diâmetro da esfera. Solção (a) Propriedades da ága a f s C 7,4366/ K 5,8 m / s k,67w / mk c p 48J / kg K Pr 3,84 (,7),55 7 m / s Ra g 3 3 D 9,8,4366 (69 5), 6 s v 5,8 7,5 7,4 N N h N N,589Ra,469 Pr 6,589(,4 ) 9/6,469 3,84 / 4 / 4 9/6 4/9 4/ 9 N k D,67 379W / m, K A s D,, 34m q 379, , W hn As s N (b) Gr D g s v D 3 9,8,4366 (69 5), 7 (5,8 ) U D,4, Re ,8 D v Gr D , Re 687 D kg / ms s 4 kg / ms - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

195 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 96 N F N F,5,5,5 /3,4,5,5,4 557,4Re,6Re Pr D D,4 687,6687 3,84 s 4 3,8 N 3 N 3 F N 3 N N 33,74 h N k D,67 33,74 5W / m, K 5, , W q ha s s (c) Gr D Re D Gr D portanto, assmindo Re, D U Re D GrD D, U Gr D 7 5, ,434m s D,,, / (o maior) - José R. Simões Moreira atalização Otbro/7

196 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 97 AULA INRODUÇÃO À RADIAÇÃO ÉRMICA A radiação térmica é a terceira e última forma de transferência de calor eistente. Das três formas, é a mais interessante e intrigante, pois é por casa da radiação térmica qe o planeta erra é aqecido pelo Sol e, como conseqência, vida se mantém em nosso planeta. Mais intrigante ainda, é qe todos os corpos emitem radiação térmica, pois a emissão de radiação térmica depende da temperatra absolta do corpo, mais precisamente de sa temperatra absolta elevada à qarta potência. Assim, tdo qe está ao nosso redor nesse eato momento está emitindo radiação térmica, inclindo nós mesmos. Finalmente, diferentemente dos otros dois modos de transferência de calor, a radiação térmica não precisa de m meio material para ocorrer. Assim é com a radiação qe chega do Sol ao planeta erra através do espaço. Não se conhece completamente o mecanismo físico do transporte de energia pela radiação térmica (e por radiação, de ma forma mais ampla). Em determinadas eperiências de laboratório, a energia radiante é considerada como transportada por ondas eletromagnéticas e, em otros eperimentos, como sendo transportada por fótons. É a chamada dalidade onda-partícla. No entanto, sabe-se qe ela viaja à velocidade constante da lz independente do modelo físico considerado. A energia associada a cada fóton é h, onde h é a constante de Planck, qe vale h = 6, Js. E a freqüência,, está relacionado com o comprimento de onda,, por meio de: c =, onde, c é a velocidade da lz qe vale c = 3 8 m/s no váco. Uma nidade corrente do comprimento de onda é o Angstron qe vale A - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7 o micrômetro, o m qe vale m = -6 m, qe será sado. m. Um sbmúltiplo de é o Classificam-se os fenômenos de radiação pelo se comprimento de onda (o freqüência). Claro qe a radiação e se comprimento de onda característico, o comprimentos de onda, dependem de como a radiação foi prodzida. Elétrons de alta freqüência qando bombardeiam ma sperfície metálica prodzem raios X, enqanto qe certos cristais podem ser ecitados para prodzirem ondas de rádio em grandes

197 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 98 comprimentos de onda. Entretanto, a radiação térmica é aqela qe é prodzida por m corpo em virtde tão somente da sa temperatra absolta. O esqema a segir ilstra os diversos tipos de radiação. (b) (a) espectro de radiação eletromagnética e as diversas denominações de acordo com sa faia; (b) detalhe da radiação térmica na faia de comprimento de ondas mais relevante, com detalhe para a região visível. (Kreith e Bohn, 3 e infoescola). Radiação gama é ma forma de radiação de alta freqüência (baios comprimentos de onda) qe é emitida por materiais radioativos e pelo Sol. Encontra aplicações na medicina (tratamento de radioterapia) e na conservação de alimentos. Raios X sa origem se dá no movimento dos elétrons e ses arranjos eletrônicos. Essa forma de radiação é empregada para obtenção de radiografia e análise de estrtra cristalina dos materiais. Gases da alta atmosfera absorvem os raios prodzidos pelo Sol. Radiação ltravioleta faia de radiação compreendida entre, e,4 m e qe é - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

198 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 99 prodzida pelas reações ncleares do sol. A camada de ozônio da atmosfera terrestre absorve esse tipo de radiação nociva aos seres vivos (possível casa de câncer de pele). Radiação visível (lz): é a faia da radiação qe somos capazes de energar e está compreendida entre os comprimentos de onda,4 e,7 m. A lz branca do sol é a combinação de várias cores (ilstração do Wikipedia). Radiação infravermelha - faia de radiação compreendida entre,7 e m. ambém pode ser chamada de radiação térmica. Entretanto, como será visto, a radiação térmica é contína para todos os comprimentos e não se sita em ma faia específica apenas. Microondas faia de radiação de se estende para além dos m. Ondas de rádio faia de freqüência sada para radio e telecomnicações de comprimento de onda speriores a m. Corpo Negro A radiação térmica é a forma de radiação emitida por m corpo em virtde tão somente da sa temperatra absolta. A pergnta natral seginte é: dois corpos à mesma temperatra (digamos 3 K) emitem a mesma qantidade de radiação térmica? A resposta é: não! Então, a otra pergnta natral qe sege é: Eiste, então, algm corpo qe naqela temperatra (sponhamos ainda os 3 K) emita a maior qantidade possível de radiação térmica? A resposta é: sim! Esse corpo idealizado é chamado de corpo negro. O adjetivo negro não tem nada a ver com a cor qe percebemos do corpo (o a asência de cor). O brilhante sol, por eemplo, é m corpo com características próimas de m corpo negro. Assim, m corpo negro, o irradiador ideal, é m corpo - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

199 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor qe emite e também absorve, a ma dada temperatra, a máima qantidade possível de radiação térmica em qalqer comprimento de onda. Assim, o corpo negro se torna ma idealização para efeito de cálclos, pois qe, dada ma temperatra, sabe-se qe ele vai emitir (e também absorver) a maior qantidade de radiação térmica. De forma qe os corpos reais podem ser comparados contra o corpo negro para saber o qanto eles emitem (e absorvem) de radiação térmica relativamente ao corpo negro. É possível calclar o qanto m corpo negro emite de radiação térmica em ma dada temperatra e comprimento de onda por nidade de área de sperfície do corpo. Essa qantidade é definida como poder emissivo espectral o monocromático, E n, onde o índice n se refere ao fato de ser m corpo negro e,, ao fato de ser espectral (para m comprimento de onda do espectro). As nidades de E n são W/m m. Planck mostro qe o poder emissivo espectral do corpo negro se distribi segndo a seginte epressão: E n C 5 ( e C /, ) onde: C = 3,745 8 W(m) 4 /m = 3,745-6 W.m C =, m.k =, m.k A epressão da lei de Planck permite etrair algmas informações bastante relevantes sobre a radiação térmica, destacando-se: () A radiação térmica emitida por m corpo negro (poder emissivo espectral, E n ) é contína no comprimento de onda. Isto é, trata-se de ma grandeza qe se distribi desde = até o maior comprimento de onda possível ( ); () A m dado comprimento de onda,, E n amenta com a temperatra; (3) A região espectral na qal a radiação se concentra depende da temperatra, sendo qe comparativamente a radiação se concentra em menores comprimentos de onda; (4) Uma fração significativa da radiação emitida pelo sol, o qal pode ser aproimado por m corpo negro a 58 K, se encontra na região visível (,35 a,7 m). - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

200 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor As observações acima podem ser melhor compreendidas observando a epressão de Planck no gráfico di-log a segir qe tem o poder emissivo espectral no eio das coordenadas e o comprimento de onda no eio das abscissas. Os pontos de máimo poder emissivo espectral estão nidos por ma linha pontilhada, chamada de lei de deslocamento de Wien, dada por: En C 5 C / ( e ) 3,898 m. K lei de deslocamento de Wien ma poder emissivo espectral, En W/m m Uma vez qe se conhece a distribição espectral da radiação de corpo negro (poder emissivo espectral), é possível calclar o poder emissivo total de corpo negro, E n, isto é, a radiação térmica total emitida em todos os comprimentos de onda para ma dada temperatra. Para isso, basta integrar o poder emissivo espectral. Assim: E n C En d 5 C / ( e ) d 4 E n - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

201 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor Esta é a chamada lei de Stefan-Boltzmann da radiação e σ = 5,669-8 W/m K 4 é a constante de Stefan-Boltzamann (S-B). Spondo qe o Sol seja m corpo negro a 58 K, qal é o se poder emissivo total? De acordo com a lei de S-B, o se poder emissivo é: E sol , ,4 W / m 64MW / m Então, o Sol lança ao espaço a inimaginável qantia de 64 MW por metro qadrado da sa sperfície! Isto significa qe em cerca de 39 m de sperfície solar há ma emissão energética eqivalente à taa de calor necessária (com rendimento de 4%) para acionar ma sina termelétrica de GW. Otra pergnta relevante é a seginte: qanto de radiação térmica solar atinge o planeta erra? Nesse caso, a emissão total do sol para o espaço é Q sol E sol. A sol. Esta qantia é irradiada para todo o espaço e deverá atingir a sperfície aproimadamente esférica qe contém a órbita média da erra, A terra. Nota: não se trata da área da sperfície da erra, mas da sperfície esférica (aproimada) qe engloba a órbita do movimento da erra. Assim, Q sol const. E sol A sol q terra A terra q terra E sol R R sol terra,onde R sol é o raio do sol (7 5 km); R sol é o raio da esfera aproimada qe contém a órbita da erra (5 6 km) e q terra é o flo de calor na forma de radiação térmica solar qe chega por nidade de área na esfera qe contém a órbita da terra. Assim, q terra E sol R R sol terra 64..,7 5 4W / m Então, chega-se à cerca de 4 W/m de flo de calor solar irradiante na região do espaço onde se encontra a erra. Claro qe a parte qe chega na sperfície da erra é menor qe essa qantia, pois depende da latitde da região e da época do ano, além desse valor também ser atenado devido às absorções de radiação da atmosfera. A fração de radiação térmica emitida por m corpo negro no intervalo de comprimento de onda [-λ ], isto é, F [- ], vale. - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

202 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 3 F c 5 / E C ( e, n [ ] 4 En d( ) ) Os valores de F [- ], são mostrados na tabela seginte. Se for preciso calclar a fração de radiação emitida no intervalo -, o seja, dentro de ma janela espectral, então: F [ - ] = F [- ] - F [- ] K José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

203 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor 4 Eemplo: A radiação solar tem aproimadamente a mesma distribição espectral qe a de m corpo negro irradiante ideal a ma temperatra de 58 K. Determine a qantidade de radiação solar qe está na região visível (se,4 a,7 μm) Usando a tabela acima, vem,4,458 3 F,7, F [,4] [,7],45,499 A fração de radiação no faia visível é F [,4-,7] =,499,45 =,3674 E n =,367464,6-6 = 3,57 6 W/m 36,74 % da radiação térmica solar é emitida na faia do visível! O gráfico di-log anterior nos indz a pensar qe é a qantia de radiação solar no visível é peqena. Porém, m gráfico em escalas natrais nos daria o aspecto qantitativo de forma mais precisa. Otro eemplo (etraído de Kreith e Bohn, 3): Vidro de sílica transmite 9% da radiação solar incidente na faia de comprimentos de onda compreendida entre,35 e,7 m (portanto, engloba todo o espectro visível) e é opaco para comprimentos de onda fora dessa faia. Calcle a porcentagem de radiação solar qe o vidro vai transmitir. Pra a faia de comprimentos de onda indicada, tem-se,35,7,3558 3mK, mK tabela tabela F [,35] F [,7],67,97 Assim, F [,35-,7] =,97,67 =,93. Isto significa qe 9,3% da radiação solar incidente atinge o vidro e,93,9=,83, o 83% dessa radiação incidente será transmitida pelo vidro. - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

204 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 5 AULA PROPRIEDADES DA RADIAÇÃO ÉRMICA Propriedades da Radiação Qando energia radiante incide a sperfície de m material, parte da radiação térmica vai ser refletida, parte absorvida e parte será transmitida, conforme diagrama ilstrativo abaio. incidente refletida absorvida transmitida Dessa forma, definem-se as segintes propriedades da sperfície: ρ refletividade o fração de energia radiante qe é refletida da sperfície; α absortividade o fração de energia radiante qe é absorvida pela sperfície; τ transmissividade o fração de energia radiante qe é transmitida através da sperfície; De forma qe a somatória das três parcelas deve ser nitária, isto é: ρ + α + τ = Essas propriedades também podem ser espectrais o monocromática, o seja: O gráfico abaio mostra o eemplo da ala passada sobre a transmissividade do vidro mencionado. - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

205 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 6 Mitos corpos sólidos não transmitem radiação térmica, o seja τ =. Para estes casos de corpos opacos à radiação térmica, tem-se: ρ + α = A radiação térmica emitida por ma sperfície varia em fnção da natreza da sperfície e da direção. Entretanto, é ma boa hipótese assmir qe a radiação térmica é difsa, o seja, a emissão da radiação se dá niformemente em todas as direções. Irradiação A taa de radiação qe atinge ma dada sperfície, G. Ela pode ser espectral o monocromática G λ, o total, G. De forma qe: G G d Lei de Kirchoff Relação entre Emissividade e Absortividade Considere m grande recipiente isotérmico com temperatra sperficial sp, qe se comporta como ma cavidade negra com poder emissivo E n (qe é fnção da temperatra sp ). Agora, coloca-se m corpo no se interior qe está em eqilíbrio térmico com a cavidade. Esse corpo recebe ma irradiação G = E n No eqilíbrio, tem-se qe a radiação térmica total emitida pelo corpo, isto é, o prodto do se poder emissivo total pela sa área, EA, deve ser igal à irradiação, G, absorvida pelo corpo, isto é: EA = αga - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

206 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 7 O, como, no eqilíbrio, G = Em, vem: EA = αe n A Agora dividindo ma epressão pela otra, obtém-se: E/E n = α O qe significa dizer qe a razão entre o poder emissivo do corpo, E, e o poder de m corpo negro idêntico, E n, é igal à absortividade do corpo, α. Mas, por otro lado esta é a própria definição da emissividade do corpo, ε: ε = E/E n então, chega-se a ma importante relação ente a emissividade e a absortividade, isto é: α = ε A igaldade acima é a chamada lei de Kirchoff. As emissividades e absortividades são propriedades medidas dos materiais. Na realidade, a emissividade de m corpo varia com a temperatra e o comprimento de onda. Pode-se definir a emissividade espectral o monocromática como sendo a razão entre os poderes emissivos monocromáticos do corpo e do corpo negro, à mesma temperatra. ε λ = E λ /E nλ De forma qe pode-se definir a emissividade total, da seginte forma: E E n. E E n n d d. E n 4 d A emissividade é ma propriedade do material e do se acabamento sperficial, além da temperatra. A títlo de eemplo, a 3K, a emissividade vale,3 para almínio altamente polido, vale,5 para folhas brilhantes e,84 para sperfície anodizada. - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

207 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 8 Dados mais completos de emissividade encontram-se na seção de apêndices do livroteto. Na figra seginte mostra-se a variação da emissividade em fnção da temperatra. Corpo Cinzento Um corpo cja emissividade e absortividade da sa sperfície são independentes do comprimento de onda e direção é chamado de corpo cinzento. Na prática, os corpos reais são aproimados por corpos cinzentos, eceto em caso de estdos mais detalhados. De forma qe, para o corpo cinzento, é válida a seginte relação: ε = ε λ = constante e α = α λ = constante O gráfico abaio ilstra os poderes emissivos de três corpos. Lembrando qe a emissividade é a razão entre o poder emissivo do corpo e a do corpo negro à mesma temperatra, pode ver qe o corpo real tem m espectro de emissividade monocromática qe depende de vários fatores como natreza da sperfície, inclindo o material e acabamento e tem m padrão geral como ilstrado (em azl). O corpo negro é aqele qe possi emissividade nitária (total e monocromática) e se poder emissivo espectral sege a lei de Stefan-Boltzmann. O corpo cinzento nada mais qe é o corpo - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

208 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 9 qe possi emissividade constante para todos os comprimentos de onda (ilstrado em cor laranja), sendo menor qe a nidade. Poder emissivo espectral Corpo negro Corpo real f() Corpo cinzento cte ( m) Mostra-se na figra seginte a variação da absortividade o emissividade monocromática, com o comprimento de onda para isolantes elétricos. A emissividade espectral pode ser medida em laboratório. - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

209 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa Radiosidade Qantidade de radiação qe deia m corpo G G radiosidades E εe b n refletida G G A radiosidade consiste nas parcelas de refleão da radiação da radiação própria emitida pela sperfície, radiação qe deia a sperfície de m corpo, o seja: J En G [W/m ] G da radiação incidente e En. rata-se, portanto, do flo total de Eemplo Uma rodovia asfaltada recebe 6 W/m de irradiação solar nm certo dia de Verão. A temperatra efetiva do cé vale 7 K. Uma leve brisa de ar a 3ºC passa pela rodovia com m coeficiente de transferência de calor h = 5 W/m ºC. Assma qe nenhma taa de calor seja transmitida para o solo. A absortividade do asfalto para a radiação solar vale,93, enqanto qe a emissividade média da sperfície asfáltica vale,3. Determine a temperatra de eqilíbrio do asfalto. Solção G sol G sol G cé G ceú q" conv E εe b n asfalto V.C. q" solo º Lei: - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

210 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa taa de energia qe entra no V.C. = taa de energia qe deia o V.C G sol G G G q " q " ceú sol sol cé cé conv solo E a n ( sol) Gsol ( ceú ) Gceú q " convq " solo E a sol ceú nlo n sol G 4 ( ) 4 sol ceú cé h a a a,936,35, ( 33,5),35,67 a a após solção dessa eqação polinomial do qarto gra, obtém-se a temperatra do asfalto igal a 389 K o 5,8 o C. (Dá para fritar ovos...) roca de Calor por Radiação érmica entre das Sperfícies Paralelas Infinitas J J Flo líqido de calor trocado entre as das sperfícies: J J Q JA J A já qe A = A = A / A No caso de sperfícies negras, tem-se qe: ε = ε = e α = α = já qe τ = ρ =. De forma qe Q A ( 4 4 ) (corpo negro), - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

211 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa Se o corpo for cinzento e opaco, G sendo a irradiação, pode-se obter a radiosidade J da sperfície de acordo com: J = εe n + ρg = εe n + (-ε)g Onde, foi sado o fato de qe ρ = -ε = - α J En De forma qe, isolando a irradiação, a mesma pode ser escrita como G Olhando somente para ma sperfície, pode-se estabelecer qe a taa líqida de calor transferido da sperfície é dada pela diferença entre a radiosidade, J e a irradiação, G da mesma, isto é: J En A En J Q A( J G) AJ ( En J) (a) ( )/ A Mas, a taa de calor cedida por ma sperfície deve ser igal à recebida pela otra qe, no caso de placas paralelas e infinitas, é: En J En J Q (b) ( )/ A ( )/ A As eqações (a) e (b) apresentam três incógnitas, qais sejam, Q, J e J, ma vez qe as temperatras das sperfícies e, portanto, ses poderes emissivos de corpo negro, jntamente com as emissividades e área são dados conhecidos. As das radiosidades podem ser obtidas por meio das solções simltâneas destas eqações (a eqação b é, na verdade, das eqações). Entretanto, antes de prossegir nessa linha, note a analogia elétrica: Q E n J J E n A A A De forma qe o flo de calor total, Q, qe circla pelo circito é dado por: - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

212 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa José R. Simões Moreira atalização Novembro/7 ( ) 4 4 R R R A A A E E Q n n Note qe eistem resistências entre os potenciais E n e J de ma mesma sperfície, as qais dependem da sa emissividade (além da área) e, portanto, são resistências sperficiais qe, no eemplo, são R e R, dadas por: o de forma geral i i i i A R A R e A R A otra resistência é a resistência espacial qe indica a posição relativa das sperfícies. Mais será dito sobre esse tipo de resistência qando for inclído o conceito de fator de forma à frente. Para esse caso, trata-se apenas do inverso da área das sperfícies. (Nota: claro qe a área infinita é só ma aproimação, caso contrário não há sentido.) A R Eemplo Determine as radiosidades e o flo de calor trocado entre das sperfícies cinzentas e opacas mantidas à 4 K e 3 K, respectivamente. As emissividades valem,5 e há váco entre elas.

213 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 4 Solção,5 AR,5 AR R A A A 3 A Q E n E R n 4 4 ( ) 3/ A 8 4 Q 5,67 (4 3 A 3 Q q 33,75 W / m A E J 4 ) n q J En A R q 33,75 AR J,77 W / J En A R q 3 33,75 J 79,6 W / m 4 m - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

214 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 5 AULA 3 FAORES DE FORMA DE RADIAÇÃO ÉRMICA Considere o caso de das sperfícies negras qaisqer qe trocam calor por radiação térmica entre si. Sponha qe as mesmas possam orientação espacial qalqer como ilstrado na figra abaio da F, JA normal r normal A da da cos A Primeiramente, considere a troca térmica de calor por radiação entre os dois elementos de área indicados, da e da. Os elementos são nidos por m raio vetor r qe formam ânglos e com as respectivas normais. Define-se a Intensidade de radiação do corpo negro, I n, como sendo a energia de radiação térmica emitida por nidade de área, na nidade de tempo, para m ânglo sólido nitário nma dada direção especificada, como indicado na figra abaio. normal da n da dw r da n Direção da intensidade de radiação Energia qe deia da na direção do ânglo =IbdAcos projecção - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

215 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 6 Assim, a energia radiante qe deia da na direção, é EndA In da cos dw qe representa a radiação térmica qe chega em algm elemento de área da n a ma distância da r de A. Mas, dw r n, onde, da n é o elemento de área projetada sobre o raio vetor. da Então: EndA I n da cos dw I n da cos r normal n rsen rd da n r d da Por otro lado, tendo a figra acima em mente pode se escrever a seginte relação trigonométrica: da n r sen d rd. De forma qe, sbstitindo-a na epressão anterior, vem: Integrando em todas as direções, vem r E da I n da cos n / sen dd r EndA I n da cos sen dd, o En I n Voltando ao problema, projetando da na direção radial, vem: da n da cos Assim o flo de energia radiante qe deia A, atinge A é dado por: dq A A E n cos cos da r da - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

216 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 7 E o flo de energia radiante qe deia A e atinge A, é: dq A A E n cos cos da r da e o flo liqido de energia radiante trocado entre as das sperfícies é: Q E E cos cos ) da da A A r ( liq) ( n n A FAF Note qe a integral dpla se refere à tão somente m problema trigonométrico espacial qe considera a posição relativa entre as das sperfícies, bem como as sas dimensões. rata-se, portanto, de m problema de forma geométrica. O cálclo dessas integrais foi realizado para ma série de condições e constitem os chamados fatores de forma de radiação. Fatores de forma são disponíveis na forma gráfica, epressões algébricas o tabelas para mitas sitações e geometrias simples (veja gráficos e tabelas mais adiante). O fator de forma F ij deve ser entendido como a fração de energia radiante qe deia a sperfície i e atinge a sperfície j. Claro qe o fator de forma é sempre menor o igal à nidade, pois é ma fração da energia radiante qe deia a sperfície. ambém como a ordem de integração não importa, pode-se estabelecer a chamada lei da reciprocidade entre os fatores de forma, o seja: A F A F De forma qe, a transferência liqida de calor por radiação entre as das sperfícies é Q A F ( En En) A F( En E ) ( liq) n Generalizando, a lei da reciprocidade, portanto, pode ser escrita para das sperfícies m e n qaisqer como A F A F m mn n nm - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

217 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 8 Qando as sperfícies formam m invólcro fechado, então: F ii Invólcro N fechado F i j j Fica claro qe a somatória das frações de energia radiante qe deia a sperfície deve ser nitária. F, F, F,3... F, n Essa é a chamada Lei de Fechamento. Se a sperfície de interesse i for plana o convea, então F ii =. No caso de sperfície côncava, F ii não é nlo, pois parte da radiação emitida pela sperfície i volta a atingi-la novamente. Fatores de Forma para algma sitações (otras sitações ver livro-teto) - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

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221 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa EXEMPLO : Determine o fator de forma F, e F, para a configração mostrada na figra ao lado de dois tbos concêntricos. Solção: Em particlar, como toda radiação qe deia a sperfície interna atinge necessariamente a sperfície eterna, temos qe F, =. A partir da lei de fechamento temos: F F F, F, então: Mas, pela lei da reciprocidade A D L D A F A F F F A DL D Finalmente, F D, D - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

222 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 3 EXEMPLO : Determine o fator de forma F, para a configração mostrada na figra abaio. Solção: F F F,3 3 F 3 F,3 F gráfico F Z Y : ; F, 3 X,5 X,5,3,5 Z, 5 Y F 3 : ; F 3, X, 5 X, 5 F 5,,, 3 (o 3%) Isto significa qe apenas 3% da radiação térmica qe deia a sperfície atinge a sperfície 3. OURO EXEMPLO Uma peqena lata é formada por dois discos paralelos qe são conectados por ma sperfície cilíndrica como mostra na figra abaio. Determine a fração de energia radiante qe deia a sperfície cilíndrica e atinge a sa própria. - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

223 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 4 Solção: Cálclo de áreas: A D 4, 4 3 A A3 DL 3,,5 5,7 m m Lei de fechamento para a sperfície 3: F3, F3, F3,3 F3,3 F3, F3, Vamos avaliar F 3, e F3, lei da reciprocidade: A3 F3, A F, 3 lei de fechamento para a sperfície : F F,3, mas,. do gráfico do fator de forma de dois discos paralelos: L r 5 5 r e L F, 38, 3 A 7,85 logo F,3,38, 6 F 3, F,3,6, 3 3 A 5,7 Lei de fechamento para a sperfície : F,3 F, e, por simetria, F, F, Logo, F F F,38, 6,3,, 3 A 7,85 F 3, F,3,6,3 3 A 5,7 3 F 3,3,3,3 F3, 3, José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

224 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 5 AULA 4 FAORES DE FORMA DE RADIAÇÃO ÉRMICA- cont... Na ala anterior, estdamos o caso de fatores de forma e como se pode calclar a troca líqida de calor por radiação entre das sperfícies. Vamos eplorar mais este ponto nesta ala e ampliar para mais sperfícies e otra sitações. roca de Calor Entre das Sperfícies Cinzentas JA F, J A F, JA JA Q liq ( ) F, A J F, A J Pela lei de reciprocidade A F, A F, Q ( liq ) J J J J / A F / A F O termo / forma ma resistência espacial entre as sperfícies. Mas, tem-se também qe A F i i, j Q E n é a taa líqida de transferência de calor qe deia a sp.. A J - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

225 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7 6 A R é a resistência da sperfície. A J E Q n é a taa líqida de transferência de calor qe deia a sp.. A R é a resistência da sperfície. De forma qe: 4 4 ) ( ) ( A A F A R E E Q n n liq J J A A A 4 4 ransferência de calor por radiação térmica entre três sperfícies qe formam m involcro fechado A F

226 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7 7 Analogia elétrica: Para resolver este sistema linear, primeiramente adotam-se direções das taas de calor qaisqer, como indicado na figra ; ; A R A R A R ; ; A F R F A R A F R Usa-se o fato de qe a taa de calor em cada nó tem qe se conservar, isto é: Nó : 3 Q Q Q Nó : 3 Q Q Q Nó 3: Q Q Q mas, R J E Q n, R J E Q n, R J E Q n e R J J Q, R J J Q, R J J Q O sistema linear acima tem 9 eqações e 9 incógnitas e pode ser resolvido por qalqer método conhecido.

227 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 8 SUPERFÍCIE NÃO CONDUORA e REIRRADIANE Define-se ma sperfície não-condtora e reirradiante como ma sperfície adiabática, o seja, não transporta calor para o do meio por otra forma qe não seja radiação térmica. Por eemplo, no esqema anterior se a sperfície fosse não condtora reirradiante, então Q =. Isto implicaria qe sa radiosidade seria o se próprio poder emissivo de corpo negro, isto é, J = E n. O eemplo seginte vai fiar este conceito. EXEMPLO A tampa do invólcro (lata) do eemplo da ala anterior é mantida a ma temperatra niforme de 5 C (53, K), enqanto qe a sperfície inferior é mantida a ma temperatra de 6 C (333, K). A sperfície cilíndrica, qe ne as das tampas, é nãocondtora e reirradiante. A emissividade das três sperfícies vale,6. Determine a taa de calor transferido por radiação entre a tampa e o fndo e estime a temperatra da sperfície não-condtora e reirradiante. Solção O circito de radiação para a determinação do calor transferido por radiação entre as sperfícies do invólcro está mostrado abaio. Os valores dos fatores de forma podem ser obtidos do cálclo já realizado acima. Os valores da resistência para o circito são A,6 84,88 / 3,6(7,854 ) m A,6 84,88 / 3,6(7,854 ) m A F 3,3 A F,3 (7,854 5,4 / m )(,6) - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

228 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 9 4 E n 4 (333,) 4 (333,) A J A F 3 J 84,88 5,4 J 84,88 A F J 335, A F 3 J 5,4 J 84,6 A 84,88 84,88 4 E n 4 (53,) 4 (53,) Os valores das resistências, bem como das resistências eqivalente também estão indicados. A resistência eqivalente é R e 4,8(335,) 84,6 / m 4,8 335, A taa de calor transferido entre as sperfícies da tampa e o fndo é determinado sando Q ( liq) E n E R n A soma das resistências entre as das sperfícies é R 84,8884,6 84,88 354,4 / m A taa de calor transferido é , 333,, W 8 5,67 Q ( liq ) 354,4 - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

229 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 3 As radiosidades, J e J, podem ser determinadas por Q ( liq) En J ( ) / A o 8 4 5, 67 ( 53, ) J, 84, 88 4 J 3.398W / m K e Q ( liq) J En ( ) / A O qe dá J =.549 W/m K 4 4. O valor de J 3, qe é igal a 3, é obtido sando J 3 R J 3 J J R 3 3 J 3 J R R 3 3 J R R ,5 W / m K J 3 = 457, K (83,8 C) Comentário Uma parte da taa total de calor por radiação transferido entre a tampa e o fndo acontece diretamente entre as das sperfícies, enqanto qe o restante é trocado com a sperfície não-condtora e reirradiante antes de alcançar a tampa o o fndo. A taa de transferência direta é J J Q D 5, 5 W / A F ) 335, (, E a indireta é J J Q ID 4, 5 W / A F ) (/ A F ) 5,4 5,4 (,3, José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

230 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 3 OURO EXEMPLO Determine a taa de transferência de calor de ma esfera peqena aqecida instalada em ma sperfície cilíndrica fechada mantida em váco, como indicado na figra abaio. A esfera tem cm de diâmetro com ma emissividade de,8 e é mantida a ma temperatra niforme de 3 C (573, K). A sperfície interna do cilindro, cja área é de m, tem ma emissividade de, e é mantida a ma temperatra niforme de C (93, K). A A E J n J A,3m,5 m,8 A A F, E n Esfera inserida em ma cavidade cilíndrica fechada. Solção O circito de radiação eqivalente está mostrado na figra anterior. A área da esfera pode ser rapidamente calclada e vale,3m. O fator de forma de radiação é F, =, já qe toda a radiação emitida pela esfera vai atingir a sperfície cilíndrica. A taa de transferência de calor é obtida através de Q ( liq ) En En R 4 4 ( ) ( ) / A / A F ( ) / A , , 93, (, 8) /, 8(, 3) /, 3( ) (, ) /, ( ) 8 5, , 93,, W 48, José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

231 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 3 PEQUENA SUPERFÍCIE ENVOLVIDA POR OURA MUIO MAIOR Uma simplificação pode ser adotada qando ma peqena sperfície A é completamente envolvida por otra sperfície A qe é mito maior. Nesse caso, a resistência eqivalente, R e, pode assim ser simplificada. Lembrando qe pelo fato da sperfície ser completamente envolvida pela sperfície, tem-se, também, F =. ( ) ( ) Re A A F A ( ) A ( ) Re A A A De forma, qe neste caso, a troca de calor por radiação térmica será, aproimadamente: E E Q n n 4 A ( 4 R e Confira com o resltado acima, do último eemplo! ) RADIAÇÃO ÉRMICA EM CAVIDADE CORPO NEGRO Uma cavidade é ma abertra de m invólcro por onde entra radiação térmica, como ilstrado no esqema abaio. Dessa forma, a cavidade é ma forma geométrica qe visa otimizar a absorção de radiação. Para isso, ma peqena abertra permite a entrada de radiação térmica para dentro da cavidade, o qe casa qe a radiação incidente seja absorvida e refletiva diversas vezes no interior da cavidade até qe seja totalmente absorvido. Nesse processo ma temperatra (adiabática) de eqilíbrio é estabelecida. A absortividade efetiva da cavidade tende para nidade, independentemente do material constrtivo da cavidade, desde qe a razão entre a área de abertra e a área interna total da cavidade seja mito peqena. Isto é, a cavidade se comporta como m corpo negro. - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

232 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 33 Fator de forma da área de abertra para a área interna da cavidade: = Flo total de calor incidente: =, onde: [ ] = (flo de radiação incidente) área da abertra [ ] área da cavidade [ ] absortividade da cavidade emissividade da cavidade (sperfície interna) Pela Lei de Kirchoff, tem-se qe =, como já visto. Circito elétrico eqivalente: = = (A) onde, = +, o rearranjando = [ + ] (B) Sbst. (B) em (A) = [+ ] = ( 4 4 ) + seja, a absortividade efetiva da cavidade definida por: = + logo, = - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

233 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 34 Sendo, = + Independentemente da absortividade do material interno da cavidade,, se a razão das áreas da abertra para a cavidade for mito peqena, então, como pode ser visto pela análise da eqação anterior por meio do gráfico a segir para várias absortividades do material interno da cavidade. Isto significa qe a cavidade se comporta como m corpo negro tendo toda a radiação térmica incidente na área de abertra sendo absorvida, Eemplo : Para ma cavidade cilíndrica de abertra 3 cm, diâmetro interno de cm e comprimento 3 cm, a razão de áreas é bem peqena e, por isso, a absortividade do material escolhido para a cavidade tem poca inflência na sa absortividade efetiva. - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7

234 Notas de ala de PME 336 Processos de ransferência de Calor e Massa 35 Neste caso, =, e a absortividade sege a tabela abaio: Eemplo : (absortividade do material) (absortividade efetiva),9,999,5,994,,975,,945 Spondo qe a cavidade do eemplo anterior seja atingida por ma irradiação de = / ( sois, sendo sol = / ) por meio de m concentrador paraboloide e, desprezando todas as perdas de calor por condção e convecção, determine a temperatra de eqilíbrio da cavidade. Considere a temperatra ambiente de 3 K. Solção: Como = 4 = + 4 = 6, = 49 K Comentário: Percebe-se qe temperatras bastante elevadas podem ser alcançadas em cavidades por meio de concentração solar, o qe as tornam m forma interessante de promover reações qímicas endotérmicas, entre otras. Na prática, haveria o problema desafiador de fazê-la completamente adiabática. - José R. Simões Moreira atalização Novembro/7