Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Transcrição

1 Métodos Nméricos para Mecânica dos Flidos Professores: Antônio Castelo Filho Fernando Marqes Federson Leandro Franco de Soza Lis Gstavo Nonato Michael George Mansell

2 Métodos Nméricos para Mecânica dos Flidos Bibliografia: J. H. Ferziger and M. Peric, 'Comptational Methods for Flid ynamics', Springer Verlag Berlin Heidelberg New York, R. W. Fox e A. T. Mconald, 'Introdção a mecânica dos Flidos', Ganabara, H. Schlichting, 'Bondary Layer Theory', McGraw Hill, F. M. White, 'Flid Mechanics', McGraw Hill, 001.

3 O qe é flido? Mecânica dos Flidos Sbstância qe se deforma continamente sob a ação de m esforço tangencial, não importando qão diminto seja este esforço. (Fox & Mconald) O qe estda a mecânica dos Flidos? Estda o comportamento dos flidos em reposo o em movimento. (Fox & Mconald)

4 Mecânica dos Flidos Exemplos de flidos: Ar; Ága; Sange; Óleo; Petróleo; Gasolina; Álcool; Qerosene; Gases de combstão; Pasta de dente; Mel; Solções; bolhas; gotas; Gelatina; Glicerina; etc.

5 Mecânica dos Flidos Hipótese do CONTÍNUO: O flido é tratado como ma sbstância qe pode ser dividida ao infinito, m contíno, sem nos preocparmos com o comportamento individal de sas moléclas.

6 Mecânica dos Flidos VISCOSIAE: Se a tensão tangencial for diretamente proporcional às respectivas taxas de deformação, o flido é chamado de Newtoniano; caso contrário de não Newtoniano. Este coeficiente de proporcionalidade é chamado viscosidade. Steady state Flid τ = µ zx d dz U

7 Mecânica dos Flidos Escoamentos VISCOSOS: sabemos qe todos os flidos possem viscosidade; Escoamentos NÃO VISCOSOS: a hipótese de viscosidade nla pode ser adotada no estdo de vários problemas, pois simplifica a análise e ao mesmo tempo condz a resltados satisfatórios.

8 Mecânica dos Flidos Escoamentos LAMINARES são caracterizados pelo save movimento em laminas o camadas; Escoamentos TURBULENTOS são caracterizados pelo escoamento tridimensional das partíclas cjos movimentos caóticos sperpôem se ao movimento médio. Escoamentos TRANSICIONAIS caracterizam se pela mdança no regime do escoamento.

9 Mecânica dos Flidos Escoamentos ESTACIONÁRIOS são caracterizados pelo movimento contante no tempo, ex.: escoamento nma trbina de ma hidroelétrica. Escoamentos NÃO ESTACIONÁRIOS são caracterizados por escoamentos qe variam no tempo, ex.: escoamento de gases de combstão de m motor ciclo otto o diesel.

10 Mecânica dos Flidos Escoamentos de flidos COMPRESSÍVEIS são aqeles qe as variações da densidade do flido não são desprezíveis, caso contrário eles são denominados de escoamentos de flidos INCOMPRESSÍVEIS. Mach=V/C V > velocidade do escoamento C > velocidade local do som M<0.3 > escoamentos incompressíveis 0.3<M<1.0 > escoamentos sbsônicos M>1.0 > escoamentos spersônicos M>5.0 > escoamentos hipersônicos

11 Princípios de Conservação: Podem ser derivados levando em consideração ma dada qantidade de matéria o volme de controle e sas propriedades extensivas como massa, momentm e energia. Conservação da massa (continidade); Eqações de momentm (a lei de Newton); Conservação da energia (1a lei da termodinâmica).

12 Volme de controle e Sperfície de controle

13 Conservação de Massa (Continidade): A massa não pode ser criada nem destrída nos escoamentos de interesse da engenharia.

14 Eqações de Momentm: A soma da qantidade de momentm em m VC e o flxo de momentm qe passa através das SC é igal a soma das forças qe agem nm VC. Forças de massa e de sperfície.

15 Eqações de Momentm: Forças de massa: gravidade, centrífga, força de Coriollis, etc...

16 Eqações de Momentm: Forças de sperfície: pressão, tensões normal e de cisalhamento. Elemento diferencial

17 Eqações de Momentm: Eqações de Navier Stokes para movimento

18 Eqações de Navier Stokes forma diferencial coordenadas cartesianas onde:

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20 Eqações de Navier Stokes forma diferencial coordenadas cartesianas er. Temporal local convecção T. fonte pressão difsão

21 Conservação da energia 1a lei da termodinâmica Aplicando o teorema de transporte de Reynolds, a lei de Forier, conceito de entalpia etc... chegamos a eqação de conservação de energia na forma diferencial:

22 Adimensionalização Resltados experimentais > maior número de informações com o menor número de ensaios. MecFl depende de maneira complexa dos parâmetros geométricos e do escoamento. U Parâmetros do escoamento: diâmetro da esfera, velocidade, densidade e viscosidade.

23 Adimensionalização Eq. Navier Stokes p/ escoamento incompressível: = z w y v x t z y x x p g x ρ µ ρ

24 Adimensionalização x y z x p = p = L ρu = = y L z L t Ut = L = U

25 Adimensionalização ( ) = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( L z U U w L y U U v L x U U U L t U L z U L y U L x U L x U p g x ρ µ ρ ρ = x z w y v x t L U z y x L U x p L U g ρ µ ρ ρ Simplificando:

26 Adimensionalização dividindo por ρu /L: = x z w y v x t z y x UL x p U L g ρ µ

27 Adimensionalização onde: Re é o número de Reynolds > F_inercia/F_viscosa Fr é o número de Frode > F_inercia/F_gravitacional = x z w y v x t z y x x p Fr Re 1 1

28 Adimensionalização Escoamentos com o mesmo número de Reynolds tem comportamento semelhante. Ex.: ar > v=30 m/s; L= 10 cm; n=1.5x10^( 5) ága > v=5 m/s; L= 4 cm; n=1.x10^( 6) Re =

29 Modelos Matemáticos Simplificados Eqações de momentm e continidade são complexas > não lineares, acopladas e difíceis de resolver. Solção analítica > escoamentos desenvolvidos em geometrias simples. Casos onde a solção das eqações é possível vários termos nas eqações são nlos; em otros casos a inflência de algns termos pode ser mito peqena. Pode se simplificar as Eqs. de Navier Stokes.

30 Modelos Matemáticos Simplificados Escoamento Incompressível e isotérmico M<0.3 Variações da densidade menores do qe 5% Continidade:

31 Modelos Matemáticos Simplificados Escoamento Incompressível e isotérmico Eq. Navier Stokes

32 Modelos Matemáticos Simplificados Escoamento Invíscido Em escoamentos longe de sperfícies o efeito da viscosidade é mito peqeno. A eqação da continidade fica inalterada:

33 Modelos Matemáticos Simplificados Escoamento Invíscido A eqação de Navier Stokes: é simplificada para:

34 Modelos Matemáticos Simplificados Escoamento Potencial É m dos mais simples modelos para simlação de escoamentos; O escoamento é considerado inviscído; Uma condição a mais é imposta: o campo de velocidades deve ser irrotacional > rot()=0, desta condição existe ma velocidade potencial tal qe =grad(v), então a eqação de continidade vira ma eqação de laplace >div(grad(v))=0.

35 Modelos Matemáticos Simplificados Escoamento Potencial A eqação de Navier Stokes se transforma na eqação de Bernolli:

36 Modelos Matemáticos Simplificados Escoamento de baixo Reynolds Qando a velocidade do escoamento é mito baixa o as dimensões da geometria são mito peqenas os termos convectivos são mito peqenos se comparados aos termos difsivos e podem ser desprezados. A eqação da continidade tem a forma:

37 Modelos Matemáticos Simplificados Escoamento de baixo Reynolds A eqação de Navier Stokes: é simplificada para:

38 Modelos Matemáticos Simplificados Camada Limite Prandtl > 1904 Flido perfeito X Flido real Condição de não deslizamento

39 Modelos Matemáticos Simplificados Camada Limite > Simplificações ifsão na direção do escoamento é peqena e pode ser negligenciado; O componente de velocidade na direção do escoamento é mito maior do qe os componentes nas otras direções; O gradiente de pressão perpendiclar ao escoamento é mito menor do qe na direção principal do escoamento.

40 Modelos Matemáticos Simplificados Modelos de Escoamentos Complexos Trblência; Combstão; Escoamentos mltifásicos; otros... A descrição exata de tais fenômenos é impraticável, portanto é feito o so de modelos semi empíricos, ex.: modelos de trblência, modelos de combstão. O so de modelos afeta a precisão da solção, deve se ter cidado com as conclsões obtidas.

41 Classificação Matemática dos Escoamentos As Eqações iferenciais Parciais (EP) de segnda ordem podem ser divididas em três tipos: Hiperbólicas, Parabólicas e Elípticas. A distinção é baseada na natreza das características, crvas nas qais a informação sobre a solção é transportada.

42 Classificação Matemática dos Escoamentos Eqações iferenciais Parciais Hiperbólicas As características são reais e distintas. A propagação da informação se dá em das direções. Necessita se de das condições iniciais. Ex.: escoamento não estacionário invíscido compressível. Um escoamento compressível sporta ondas de choqe e as eqações para este fenômeno são essencialmente hiperbólicas.

43 Classificação Matemática dos Escoamentos Eqações iferenciais Parciais Parabólicas As Eq. características degenera para m único real. A informação trafega apenas nma direção Conseqentemente apenas ma condição inicial é necessária. Ex.: Camada Limite.

44 Classificação Matemática dos Escoamentos Eqações iferenciais Parciais Elípticas As características são imaginárias o complexas. A informação não tem direção preferencial para propagar, e trafega bem em todas as direções. Necessita se de condições de contorno apropriadas. Ex.: Escoamento com região de recirclação; distribição de temperatra nma placa.

45 Classificação Matemática dos Escoamentos Eqações iferenciais Parciais Mistas Existem diversos fenômenos em qe as eqações governantes são do tipo misto. Ex.: Escoamento incompressível não estacionário > combinação de Eq. Elípticas e Parabólicas Escoamento estacionário transônico > combinação de Eq. Hiperbólicas e Elípticas

46 Mecânica dos Flidos Comptacional CF O qe é? Resolver as Eqações de conservação comptacionalmente É não linear em U; A pressão não tem derivada temporal; A eqação acima não tem solção geral; Só é possível resolver sando comptadores.

47 Mecânica dos Flidos Comptacional CF Por qe? Permite o estdo de fenômenos de escoamentos; É mais barato do qe experimento; É não intrsivo e repetitivo; É mais rápido para realizar estdos paramétricos; É divertido.

48 Mecânica dos Flidos Comptacional CF APLICAÇÕES: Cálclos Climáticos; Combstão; Compressores; Máqinas de resfriamento; Ciclones; Secadores; Filtros; Escoamento de Ága no meio ambiente; Aqecimento o Resfriamento de Ambientes; Reações catalíticas; Manobras de navios; Mistradores; Escoamentos Oceânicos; Fornos; Conforto de Passageiros; Aeronaves; Bombas; Separadores; Trbinas; Válvlas; ispersão de Lixo no Meio Ambiente; Armazenamento de Ága; Previsões Meteorológicas; Forças do vento em Prédios; Escoamentos transicionais; Escoamentos em Meio Poroso; etc...

49 Comptacional X Experimental Comptacional posse modelos qe podem interferir na física do escoamento; Comptacional não sbstiti o experimental mas complementa; Estdos comptacionais ainda não estão avançados o bastante para sbstitir estdos experimentais.

50 Resmo: Escoamentos são bem modelados pelas eq. de Navier Stokes; Mecânica dos Flidos comptacional = resolver eq. NS comptacionalmente; e acordo com o escoamento a ser estdado pode se realizar simplificações para facilitar os cálclos; Eqações parabólicas, hiperbólicas e elípticas possem características diferentes e portanto métodos de solção diferenciados.