Hex. Ludus. Material. OHexé um jogo de conexão, habitualmente jogado num tabuleiro como este: com 60 peças brancas e 60 peças negras.

Transcrição

1 Hex Lds História O Hex foi inventado das vezes. A primeira, pelo cientista e poeta dinamarqês Piet Hein, em, a segnda, pelo matemático americano John Nash, em. Contdo, foi Martin Gardner, nas páginas do Scientific American, qe o poplarizo nos anos 0 ([]). Hoje o Hex está atornar-se cada vez mais poplar, sendo mito estdado, já lhe foi dedicado m livro, por Cameron Browne, qe mais tarde escreve otro sobre jogos da mesma família ([, ]). Material OHexé m jogo de conexão, habitalmente jogado nm tableiro como este: com 0 peças brancas e 0 peças negras.

2 Definições Adjacência das peças dizem-se adjacentes se os hexágonos qe ocpam partilham ma aresta. Grpo m conjnto de peças adjacentes da mesma cor. Regras Há dois jogadores, Branco e Negro, qe alternam colorindo m hexágono do tableiro o colocando ma peça da sa cor nma célla hexagonal. Vale a regra do eqilíbrio, ie, na sa primeira jogada, o segndo jogador pode escolher entre trocar de cores (mantendo a primeira jogada do adversário) o jogar normalmente. Objectivo As Brancas tentam constrir m grpo entre as margens SO e NE, as Negras ligam SE a NO. Um grpo qe daria a vitória às Negras: 0

3 Notas O jogo eqivalente de Nash joga-se nas intersecções de m tableiro como este: Um jogador liga N-S, colocando peças da sa cor nas intersecções, o otro tenta a ligação E-O. O primeiro facto notável sobre este jogo éqeelenão permite empates. Sponha qe o tableiro está completamente preenchido com peças de das cores, aleatoriamente. Interpretemos as peças brancas como reprsentando ága e as negras como terra firme. Então, das das ma: o a ága fli entre as margens SO e NE, o há m diqe a nir as margens SE e NO. Neste último caso ganharam as Negras, no primeiro as Brancas. A asência de empates torna o Hex m jogo mais interessante ainda de jogar. O argmento acima é intitivo, claro, mas a prova rigorosa não édifícil. Como nenhm jogo de Hex pode terminar empatado, o jogo deve poder ser ganho sempre pelo primeiro o sempre pelo segndo jogador, se ambos jogarem perfeitamente. Sponha qe é o segndo jogador qe dispõe de ma estratégia vencedora. Então, o primeiro, na sa primeira jogada, pode jogar aleatoriamente e passar a encarar-se como sendo o segndo. Como m lance a mais, nm jogo de conexão, nnca pode penalizar, o primeiro jogador vai ganhar, sando a estratégia vencedora do segndo. Obtivémos ma contradição. A conclsão éentão qe é o primeiro jogador qe tem ma estratégia vencedora.

4 Este argmento foi tilizado por John Nash e fico conhecido por argmento do robo da estratégia. Provaaexistência de ma estratégia ganhante, mas não a exibe. Conhecem-se explicitamente estratégias vencedoras para o primeiro jogador para tableiros peqenos (até ). Para a dimensão habital,, permanece desconhecida. Contdo, abrir com m lance na diagonal menor é mito forte, desiqilibrando o jogo. É esta vantagem do primeiro qe jstifica a regradoeqilíbrio. Desta forma o primeiro jogador tentará não jogar mito forte no se primeiro lance. Como o Hex é m jogo de conexão, importa saber como estender m grpo. Jogar nma casa contíga parece demasiado lento. 0 Aqi as peças em l e m estão demasiado perto ma da otra, poco ajdando na ligação das margens. Por otro lado, m salto demasiado longo permite a intromissão do adversário:

5 0 Neste caso, as peças l e p podem ser separadas se as Brancas jogarem n. Um exemplo de ma boa ligação, qe não é demasiado ambiciosa, éa ponte, qe consiste em das peças qe partilham das casas vizinhas: 0 Aqi, se as Brancas tentam cortar, jogando l, as Negras replicam em m, e se as Brancas jogam m, as Negras respondem l. As das peças estão virtalmente ligadas ma com a otra.

6 Os movimentos dfensivos também merecem reflexão. Por exemplo, ao tentar bloqear m grpo adversário não devemos jogar mito próximo dele, porqe isso permite extensões imediatas: 0 A tentativa de bloqeio k obtém a resposta l. Até àdistância de ma ponte o bloqeio fraqeja: 0 j k Se as Brancas jogam j, as Negras respondem com k. As boas jogadas estão mitas vezes à distância:

7 0 David Gale ([]) descobri ma ligação srpreendente do resltado, visto acima, da asência de empates no Hex, com m teorema da matemática avançada. Ele provo qe ele é eqivalente ao teorema do ponto fixo de Brower, qe é m resltado sofisticado em matemática, afirmando qe, sob certas hipóteses, ma fnção f tem m ponto fixo(ie, existe m x tal qe f(x) =x). Pode ler sobre isto também em ([]). Referências [] Binmore, K., Fn and Games, D. C. Heath and Co.,. [] Browne, C., Hex Strategy: Making the Right Connections, A. K. Peters 000. [] Browne, C., Connection games, A. K. Peters, 00. [] Gale, David, W., The game of Hex and the Brower fixed-point theorem, American Math. Monthly, Vol.,, pp.. [] Gardner, M., The Game of Hex, in The Scientific American Book of Mathematical Pzzles and Diversions, Simon and Shster, New York,, pp..