COLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE BOM RETIRO. Plano de aula 05 junho de Bolsistas: Guimara Bulegon, Maiara Ghiggi e Viviane Polachini

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1 COLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE BOM RETIRO Plano de aula 05 junho de 2015 Bolsistas: Guimara Bulegon, Maiara Ghiggi e Viviane Polachini Supervisora: Raquel Marchetto Série: 2º ano do Ensino Médio Politécnico Conteúdo: Sequências Objetivo: Retomar o conceito de progressão aritmética utilizando o geoplano para resolver atividades e após uma atividade interativa. Retomar os conceitos de progressão geométrica utilizando p triangulo de Sierpinski. Metodologia: Utilizaremos o geoplano para uma atividade prática, envolvendo perímetro e área. Após os alunos resolverão a sequência de atividades baseados no que foi visto até o momento. Atividade 1: Utilizando o geoplano os alunos irão resolver os problemas propostos sobre Progressão geométrica. Atividade 1 anexa. 1. Observe a sequência a seguir e responda: a) Conte os pontos e indicam os primeiros termos representados na sequência; b) Qual será o próximo termo desta sequência? c) Qual a lei de formação desta sequência?

2 2. Construa no Geoplano a sequência abaixo: a) Conte os pinos que indicam os quatro primeiros termos da sequência; b) Qual será o próximo termo? c) Existe alguma regra para descobrir o n-ésimo termo? Caso positivo, qual? 3. Construa uma sequência de quadrados em que cada um tenha como perímetro o dobro do anterior. Atividade 2: Será aplicado aos alunos um jogo chamado Corrida ao 100. O jogo faz com que os alunos criem uma estratégia para ganhar e, fazendo isso, eles criam na verdade progressões aritméticas e descubram de forma lúdica suas propriedades. Procedimento: Os alunos serão divididos em grupos de 6 alunos, de forma que joguem três em cada equipe. A equipe deve construir uma estratégia vencedora. Cada rodada do jogo tem 2 cartelas, na qual os alunos receberão quatro cartelas impressas. (ANEXO 2). A seguir, serão explicadas as regras do jogo, que são: Decidir de forma justa (par ou ímpar, por exemplo) quem começa o jogo. A cada jogada, os alunos escolhem um número de casas de 1 a P para jogar (P natural). O jogador 1 deverá anotar um círculo(o) em todas as casas P que ele escolheu jogar e o jogador número 2 marcará um X da mesma forma, conforme figura 1. Figura 1

3 Vence o jogo quem marcar a casa de número 100. Para a primeira rodada vamos propor para o jogo P=8. Portanto, os alunos só podem escolher de 1 a 8 casas para jogar, cada um na sua vez. Enquanto eles jogam, vamos pedir para que anotem em uma folha as conclusões que chegaram sobre suas estratégias e as casas que marcaram durante o jogo. Será proposta a seguinte questão: Será que existe uma estratégia em que é possível vencer sempre? Se sim, descreva-a. Para alcançar a estratégia vencedora, eles devem pensar da seguinte maneira: se posso marcar até 8 casas, para ter a certeza que vou ganhar a última casa que devo marcar é a de número 91, pois meu adversário poderá marcar, no máximo, a casa de número 99 e então eu ganho. Mas para marcar a casa 91, devo marcar a casa 82. Seguindo esse raciocínio, o aluno deverá formar a sequência Dessa forma, sua equipe deve ter marcado uma dessas casas para garantir a vitória no jogo. E, se tratar-se do primeiro jogador, tem-se a vantagem de que a primeira casa marcada será menor que P e maior que zero. Para a segunda rodada, vamos propor que P seja diferente de 8. Os alunos devem escolher um P tal que 5 P 15. Assim, pretendemos que os alunos confirmem o raciocínio da primeira rodada e percebam que a estratégia vale para qualquer P escolhido. Conforme figura 2, temos as seguintes sequencias possíveis: Figura 2

4 Após o jogo vamos concluir a atividade da seguinte maneira: Os raciocínios anteriores nos levam a obter os elementos da sequência tomando como penúltimo número 100 n(p + 1), onde n é o maior número natural menor ou igual a 100/(p+1). Vamos analisar a sequência para P = 9. Vamos induzir os alunos a pensar com a seguinte pergunta: Faz diferença ser o jogador 1 ou o jogador 2 nesse caso? Os alunos que não escolheram P =9 dirão que não, que o jogador 1 sempre terá vantagem. Os alunos que jogaram com P = 9vão observar que os dois primeiros números serão 0 e 10, mas 0 não pertence à cartela e 10 não pode ser marcado pelo jogador 1 porque P=9, então nesse caso, o jogador 2 leva vantagem. Então vamos analisar as sequências que fizeram os alunos ganhar o jogo observando suas características. Qual a regularidade nas sequencias? E então vamos apresentar uma Progressão Aritmética, uma sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer e seu procedente é constante. Para essa diferença, damos o nome de Razão R. Ligando essa definição ao jogo, explicamos que a estratégia para o jogo vencedor é uma P.A de razão (P + 1). A partir disso, introduzimos a notação a1. Observamos com eles que é possível obter o restante dos termos da P.A sabendo apenas a razão e o primeiro termo. Finalizamos a aula mostrando que para uma sequencia de 7 números, por exemplo, o termo central (a4) é o termo (a1 + a7)/2 {média aritmética dos termos}, justificando o nome dado à sequência Progressão Aritmética. Atividade 3: Triângulo de Sierpinski ( Adaptado de Carvalho,1997, p.29) Será observado o padrão geométrico Triângulo de Sierpinski, construído a partir de um triângulo equilátero, dividido em 4 triângulos equiláteros congruentes, cujo triângulo do centro é desconsiderado, restando dessa forma apenas 3 triângulos equiláteros, conforme figura 3. Figura 3

5 a) Desenhe a próxima figura da sequência. Quantos triângulos coloridos compõem o tapete? b) Na 5ª figura, quantos triângulos coloridos compõem o tapete? c) E na 9ª figura? d) Complete a tabela abaixo que relaciona os triângulos pintados necessários para contornar os brancos. Etapa Número de triângulos coloridos que compõem o tapete e) A figura que possui o contorno com 243 triângulos coloridos está em que etapa da construção do tapete? f) Escreva uma regra que relaciona o número de triângulos coloridos do tapete a etapa em que se encontra a construção. Resultados: Com a utilização do geoplano os alunos conseguiram facilmente associar as sequencias propostas pelos exercícios, montando as figuras seguindo a lógica da sequência. Os discentes mostraram curiosidade em relação ao geoplano e tiveram dificuldades em interpretar que cada unidade de medida era representada entre dois pontos (tarrachinha). Em relação ao Triângulo de Sierpinski apresentaram dificuldade ao desenhar a próxima sequência de triângulos, mas no decorrer das questões perceberam e associaram o número de triângulos a uma sequência que aumentava proporcionalmente alcançando os objetivos da atividade.

6 Fifura 1 - Atividade sobre PA 1 - Figura 3 - Atividade sobre PA 1 Figura 2 - Atividade sobre PA 1

7 Bibliografia: PIBID/USP, Plano de Aula sobre Progressões Aritméticas, disponível em <http://pibiduspsc.blogspot.com.br/2012/07/plano-de-aula-sobre-progressoes.html>. Acesso em: 23 de abril de 2015.

8 ANEXO 1 1. Observe a sequência a seguir e responda: a) Conte os pontos e indicam os primeiros termos representados na sequência; b) Qual será o próximo termo desta sequência? c) Qual a lei de formação desta sequência? 2. Construa no Geoplano a sequência abaixo: a) Conte os pinos que indicam os quatro primeiros termos da sequência; b) Qual será o próximo termo? c) Existe alguma regra para descobrir o n-ésimo termo? Caso positivo, qual? 3. Construa uma sequência de quadrados em que cada um tenha como perímetro o dobro do anterior.

9

10 ANEXO 3 Figura 3 a) Desenhe a próxima figura da seqüência. Quantos triângulos coloridos compõem o tapete? b) Na 5ª figura, quantos triângulos coloridos compõem o tapete? c) E na 9ª figura?

11 d) Complete a tabela abaixo que relaciona os quadradinhos os quadradinhos brancos necessários para contornar os pretos. Etapa Número de triângulos coloridos que compõem o tapete e) A figura que possui o contorno com 243 triângulos coloridos está em que etapa da construção do tapete? f) Escreva uma regra que relaciona o número de triângulos coloridos do tapete a etapa em que se encontra a construção.

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