Processos em Engenharia: Modelagem Matemática de Sistemas Fluídicos

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1 Processos em Engenharia: Modelagem Matemática de Sistemas Fluídicos Prof. Daniel Coutinho Departamento de Automação e Sistemas DAS Universidade Federal de Santa Catarina UFSC DAS Aula 3 p.1/40

2 Sumário Sistemas Fluídicos Aspectos Práticos: Válvulas Sensores de nível e vazão Modelagem Matemática de Sistemas Fluídicos Escoamento laminar e turbulento Resistência e Capacitância Fluídica Relação Nível - Vazão de Saída Exemplo 1: Sistema com um tanque Exemplo 2: Sistema com dois tanques DAS Aula 3 p.2/40

3 Aspectos Práticos - I As matérias primas, insumos e os principais produtos na indústria química são geralmente armazenados e manipulados no estado líquido. Também, em muitos casos, os fluídos são utilizados como meio auxiliar ou principal de transporte de energia. Nesta disciplina focalizaremos principalmente os processos de estocagem e transporte de fluidos, não do ponto de vista do seu projeto (cálculo), mas fundamentalmente do seu interesse no controle de processos sendo as variáveis relevantes o NÍVEL e a VAZÃO. DAS Aula 3 p.3/40

4 Aspectos Práticos - II Principais componentes: 1. Tubos e acessórios 2. Válvulas reguladoras 3. Válvulas atuadoras 4. Elementos Sensores DAS Aula 3 p.4/40

5 Tubos e Acessórios O transporte de fluidos é realizado ao interior de tubos. Tais tubos, dependendo do tipo e condições do fluído a transportar, podem ser fabricados com os mais diversos materiais: aço, níquel, chumbo, borracha, vidro, plástico, cimento, cobre, bronze, etc. DAS Aula 3 p.5/40

6 Válvulas Reguladoras A vazão de fluídos é regulada com a inserção de válvulas nas tubulações. Para estabelecer as condições de operação do sistema de transporte de fluídos, utilizam-se as chamadas válvulas reguladoras. Estas válvulas podem ser classificadas como: 1. Válvulas de comporta; e 2. Válvulas tipo globo. DAS Aula 3 p.6/40

7 Válvula de Comporta A válvula de comporta (gaveta) é a mais utilizada na prática. O fluído vaza diretamente através da válvula, axial à tubulação. Consiste de uma placa ou comporta, que se desloca num trilho perpendicular à direção do fluxo, acionada, geralmente de forma manual, a através de um volante e um eixo roscado. DAS Aula 3 p.7/40

8 Válvula Globo As válvulas globo se diferenciam das anteriores pelo orifício de passagem do fluído que forma um ângulo (em geral 90 graus) com a direção do fluxo. São boas reguladoras de vazão por estrangulamento, provocando considerável perda de carga devida às duas vezes que o fluído deve girar de um ângulo aproximado de 270 graus. DAS Aula 3 p.8/40

9 Válvulas de Controle As válvulas de controle são similares às globo e fabricadas nos mesmos materiais, mas a sede, o obturador, o corpo e a haste devem satisfazer especificações de qualidade. DAS Aula 3 p.9/40

10 Medição de Nível - I Existem diversas formas de medição de nível. Por diferença de pressão: Se a densidade do líquido permanece constante pode-se medir nível num acumulador por diferença de pressões entre a parte inferior (tomada de alta pressão) e a superior (tomada de baixa pressão). A tomada de baixa pressão pode estar a pressão atmosférica (tanques abertos) ou sob pressão (tanques fechados), devendo, neste caso, conectar-se esta tomada na parte superior do tanque, onde não exista líquido. DAS Aula 3 p.10/40

11 Medição de Nível - II O sensor é constituído por um elemento que mede pressão diferencial. DAS Aula 3 p.11/40

12 Medição de Nível - III Sensor de empuxo: a medição baseia-se no principio de Arquimedes segundo o qual todo corpo submerso num liquido recebe um empuxo de baixo para cima igual ao peso do líquido que desloca. DAS Aula 3 p.12/40

13 Introdução à Modelagem Matemática Fluídos são bastantes utilizados na indústria para transmissão de força (atuadores) e o transporte de energia pode ser feito por líquidos (sistemas hidráulicos) ou gases (sistemas pneumáticos). Líquidos e gases tem características dinâmicas diferentes devido a diversos fatores como compressibilidade, os gases se expandem para preencher um reservatório, tipo de escoamento, etc. A seguir, introduz-se técnicas de obtenção de modelos matemáticos que descrevam o comportamento dinâmico de processos envolvendo nível de líquidos em tanques. DAS Aula 3 p.13/40

14 Regimes de Escoamento Na análise de deslocamento de fluídos, torna-se necessário separar o fluxo de líquidos em dois regimes: laminar e turbulento. DAS Aula 3 p.14/40

15 Escoamento Laminar Ocorre quando as partículas de um fluido se movem ao longo de trajetórias bem definidas, apresentando lâminas ou camadas (daí o nome laminar) cada uma delas preservando sua característica no meio. No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência. Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade. DAS Aula 3 p.15/40

16 Escoamento Turbulento Ocorre quando as partículas de um fluido não se movem ao longo de trajetórias bem definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa líquida. Este escoamento é comum na água, cuja a viscosidade e relativamente baixa. O escoamento turbulento apresenta algumas características particulares: irregularidade, aparecimento de vórtices (flutuações tridimensionais) e dissipação de energia. DAS Aula 3 p.16/40

17 Número de Reynolds - I A natureza de um escoamento, isto é, se laminar ou turbulento e sua posição relativa numa escala de turbulência é indicada pelo número de Reynolds (Re). O número de Reynolds é uma grandeza adimensional que caracteriza a relação entre forças inerciais e viscosas. Para o escoamento em dutos circulares com diâmetro D: Re = ρvd µ, V = Q A onde ρ é a densidade do fluído; V a velocidade média do fluído na tubulação (razão entre a vazão Q e a áreas); D é o diâmetro do tubo; eµéaviscosidade dinâmica. DAS Aula 3 p.17/40

18 Número de Reynolds - II O escoamento é laminar se Re < 1100, nesse caso o perfil da velocidade na tubulação é: O escoamento é turbulento se Re > 3500, nesse caso o perfil de velocidade na tubulação é DAS Aula 3 p.18/40

19 Modelagem Matemática - I Os processos industriais geralmente envolvem o fluxo de líquidos em tubulações e tanques. Para líquidos com baixa viscosidade, o escoamento é turbulento. O escoamento turbulento é em geral descrito por equações diferenciais não lineares. No entanto, o regime de operação é limitado e desta forma pode-se obter uma aproximação linear dentro do regime de operação. DAS Aula 3 p.19/40

20 Modelagem Matemática - II Uma das técnicas mais simples para modelar a dinâmica do escoamento de líquidos em tubos e tanques é através da associação com circuitos elétricos: 1. Resistência Fluídica resistência elétrica 2. Capacitância Fluídica capacitância elétrica 3. Variação de Pressão tensão elétrica 4. Fluxo corrente elétrica DAS Aula 3 p.20/40

21 Resistência Fluídica - I Resistência fluídica é a resistência a passagem de líquido através de um tubo ou restrição sendo definida por R = variação de pressão variação de fluxo A relação entre a variação de pressão e a variação de fluxo difere para escoamentos laminares e turbulentos. DAS Aula 3 p.21/40

22 Resistência Fluídica - II A resistência fluídica também pode ser definida em termos da diferença de altura de coluna de água em tanques interconectados, pois a pressão na saída do tanque é proporcional a altura da coluna de líquido. DAS Aula 3 p.22/40

23 Resistência Fluídica - III Por simplicidade suporemos que a diferença de pressão é causada pela diferença das colunas de líquidos nos dois tanques. Desta forma, pode-se redefinir a resistência pela relação: R = dh dq (1) Quando o escoamento é laminar, a relação em regime permanente entre H e Q é linear: R l = dh dq, Q = KH R l = 1 K onde K é um coeficiente em m 2 /s que depende das dimensões da tubulação. DAS Aula 3 p.23/40

24 Resistência Fluídica - IV Quando o escoamento é turbulento, a relação em regime permanente entre H e Q deixa de ser linear: Q = K H Logo a resistência fluídica turbulenta não será mais uma relação linear entre H e Q: R t = dh dq = 2 H K = 2 H H Q = 2H Q Para pequenas variações de H e Q, pode-se utilizar uma aproximação linear Q = H R t /2 DAS Aula 3 p.24/40

25 Resistência Fluídica - V Na próxima figura, apresenta-se uma exemplificação da relação coluna de líquido e vazão para um escoamento turbulento que pode ser obtida experimentalmente. DAS Aula 3 p.25/40

26 Capacitância Fluídica A capacitância fluídica de um tanque é definida como sendo igual a modificação do volume de líquido acumulado por unida de altura da coluna de líquido: C = variação no volume de líquido(m 3 ) variação na altura da coluna de líquido(m) Portanto, a capacitância de um tanque é igual a área da seção transversal. Se a área do tanque é constante, a capacitância também é constante. DAS Aula 3 p.26/40

27 Exemplo 1 - I Considere o sistema com um tanque: DAS Aula 3 p.27/40

28 Exemplo 1 - II Onde: Q vazão em regime de operação (estado estacionário) q i pequeno desvio em relação ao ponto de operação na vazão de entrada. q o pequeno desvio em relação ao ponto de operação na vazão de saída. H altura da coluna de líquido em regime de operação. h pequeno desvio em relação ao ponto de operação na altura da coluna de líquido. DAS Aula 3 p.28/40

29 Exemplo 1 - III A dinâmica da modificação na vazão de entrada na coluna de líquido (e na vazão de saída) é linear se o escoamento for laminar. Para pequenos desvios q i em relação a Q, pode-se considerar a aproximação linear para o caso do escoamento turbulento. Em ambos os casos, pode-se obter um modelo matemático utilizando o princípio de balanceamento de massa: Cdh }{{} variação de volume armazenado = (q i q 0 )dt } {{ } variação de vazão DAS Aula 3 p.29/40

30 Exemplo 1 - IV Utilizando a definição de resistência fluídica (aproximação linear no caso turbulento ou modelo real no caso laminar): q o = h R A equação diferencial para um valor constante de R: RC dh dt +h = Rq i, q o = h R Aplicando a transformada de Laplace (e supondo que o ponto de operação( H, Q) como sendo a origem) RCsH(s)+H(s) = RQ i (s), Q o (s) = H(s) R DAS Aula 3 p.30/40

31 Exemplo 1 - V Construção de digrama em blocos: srch(s) = ( RQ i (s) H(s) ), Q o (s) = 1 R H(s) srch(s) Q i (s) R + _ 1 RC 1 s H(s) 1 R Q o (s) DAS Aula 3 p.31/40

32 Exemplo 1 - VI Função de transferência entre H(s) eq i (s) srch(s)+h(s) = RQ i (s) H(s) Q i (s) = R RCs+1 Função de transferência entre H(s) eq i (s) 1 R H(s) Q i (s) = 1 R Q o (s) = 1 R H(s) R RCs+1 Q o(s) Q i (s) = 1 RCs+1 DAS Aula 3 p.32/40

33 Exemplo 2 - I Considere o sistema com dois tanques interligados DAS Aula 3 p.33/40

34 Exemplo 2 - II Onde: Q vazão em regime de operação. H i altura da coluna de líquido no tanque i em regime de operação,i = 1,2. q variação da vazão de líquido na entrada. q 1 variação da vazão de líquido do tanque 1 para o 2. q 2 variação da vazão de saída. h i variação da altura da coluna de líquido no tanque i. DAS Aula 3 p.34/40

35 Exemplo 2 - III Supondo que as variaçõesq,q 1,q 2,h 1,h 2 são pequenas em relação ao ponto de operação( Q, H 1, H 2, pode-se considerar o modelo linear (tanto para o escoamento laminar quanto turbulento). Portanto, obtém-se as seguintes equações h 1 h 2 R 1 = q 1, C 1 dh 1 dt = q q 1 (2) h 2 R 2 = q 2, C 2 dh 2 dt = q 1 q 2 (3) DAS Aula 3 p.35/40

36 Exemplo 2 - IV Supondo que q(t) é a entrada e q 2 (t) é a saída e aplicando a transformada de Laplace (considerando que o ponto de operação é a origem), obtém-se a seguinte função de transferência: Q 2 (s) Q(s) =?? DAS Aula 3 p.36/40

37 Exemplo 2 - V A partir das equações (2) e (3) e aplicando a transformada de Laplace, obtém-se os seguintes blocos: DAS Aula 3 p.37/40

38 Exercícios 1. Obtenha o diagrama em blocos completo entre Q(s) e Q 2 (s). 2. Como se poderia simplificar os blocos de maneira a obter a expressão da função de transferênciaq 2 (s)/q(s)? DAS Aula 3 p.38/40

39 Exemplo 2 - VI Simplificação do diagrama em blocos: DAS Aula 3 p.39/40

40 Exemplo 2 - VII Simplificação do diagrama em blocos (continuação): DAS Aula 3 p.40/40

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