Projecções Cartográficas

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1 Facldade de Ciências da Uniersidade de Lisboa Departamento de Engenharia Geográfica, Geofísica e Energia Projecções Cartográficas João Catalão Lisboa,

2 Introdção João Catalão - FCUL ii

3 Introdção Índice Capítlo : Introdção. A cartografia.... Objectio e métodos de representação Classificação das projecções cartográficas O problema extrínseco O problema intrínseco.... Coordenadas Crilíneas.... Geometria diferencial elementar Elemento linear e expressões anglares Matriz de transformação fndamental...7. Teoria das deformações Deformação linear Deformação areal..... Pares ortogonais correspondentes Deformação anglar....4 Adaptação das fórmlas ao caso da representação do elipsóide sobre o plano Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares...5. Definição...7. Eqação diferencial das representações eqialentes no caso da representação do elipsóide sobre o plano...8. Projecção de Bonne Interpretação geométrica da projeção de Bonne Definição Coordenadas isométricas Expressão geral das projecções conformes Relação entre as cratras geodésicas de das linhas Projecção de Mercator Introdção Fórmlas de transformação directa Correcção à corda Correcção a aplicar a m comprimento finito Fórmlas de transformação inersa Comprimento de m arco de loxodrómica Projecção de Lambert (cónica conforme) Introdção Fórmlas de transformação directa Fórmlas de transformação inersa Correcção de redção á corda Correcção a aplicar a m comprimento finito Projecção de Gass Fórmlas de transformação directa Fórmlas de transformação inersa...6 João Catalão - FCUL iii

4 Introdção 4.7. Deformação linear Conergência de meridianos Sistema Pissant Bonne Sistema Bessel Bonne Sistema Hayford Gass / Datm Lisboa Sistema Hayford Gass militar Sistema de coordenadas U.T.M Sistema de coordenadas no Arqipélago dos Açores e da Madeira Sistema Hayford Gass / Datm Sistema PT-TM6 (Hayford Gass / ETRS89)...75 Bibliografia...76 João Catalão - FCUL i

5 Introdção Capítlo Introdção. A cartografia A cartografia tem como objectio a concepção, preparação e realização de cartas. A definição apresentada em 97 pela Associação Internacional de Cartografia (ICA) refere qe a Cartografia: é a arte, ciência e técnica de elaborar cartas, conjntamente com o se estdo como docmento científico e obra de arte. Neste contexto as cartas são istas como ma inclsão de todos os tipos de mapas, plantas, modelos tridimensionais, e globos representando a Terra o qalqer corpo Celeste a qalqer escala. Assim, ma carta é ma representação geométrica, plana, simplificada e conencional de toda a sperfície terrestre o qalqer corpo celeste. No aspecto ciência podemos considerar as preocpações hmanas em tentar representar nm plano a dificilmente concebíel sperfície da Terra, a qe chamamos geóide; é objecto da matemática formlar relações qe permitam essa representação, permitindo ainda conceber m conjnto de qadríclas qe ão permitir a ma pessoa indicar com facilidade a otra, o posicionamento de locais o objectos, o seja, m sistema de referenciação. No aspecto arte podemos considerar a maneira artística como sempre foram representados os diersos aspectos da sperfície terrestre. A única forma de representar João Catalão - FCUL

6 Introdção qase sem alteração a sperfície da Terra, embora com todos os defeitos e alterações pertinentes à transformação não coerente de m geóide nma esfera, é a sa projecção nma esfera o globo. No entanto, somente as representações da Terra em sperfícies planas, como sejam as cartas geográficas o topográficas, permitem m manseamento fácil e não dependem da escala a tilizar. A cartografia engloba todas as operações qe ão desde o leantamento sobre o terreno até à impressão definitia e difsão do docmento cartográfico. Neste sentido a cartografia compreende das etapas conceptalmente distintas. A primeira etapa, etapa científica, sita-se ao níel do conhecimento aprofndado dos elementos a cartografar e dos meios gráficos e matemáticos qe permitem a transmissão eficaz da informação, abrangendo as operações de aqisição de dados e representação sobre o plano. A segnda etapa, etapa técnica, sita-se ao níel da execção material, da transformação de ma minta cartográfica nma carta e na sa reprodção pelos meios sais do desenho, o de impressão. A representação completa do terreno sobre ma carta significa ma escolha dos elementos qe ocpam realmente a sperfície da Terra escolha em número, dado qe algns deerão ser eliminados, e escolha em importância, dado qe serão registados somente os qe correspondem a certos e determinados critérios. A carta é assim m docmento cja constrção é sbjectia, e sbmetida a normas pré-defínidas de selecção e de representação. A sbjectiidade inerente à elaboração de ma carta, aliada ao eleado número de elementos qe compõem a sperfície terrestre leam a qe ma carta seja sempre ma representação incompleta do terreno mesmo a mais detalhada das cartas é ainda ma reprodção simplificada da imagem do terreno. Uma carta o mapa, não constitem m fim em si mesmos, mas antes m meio para qe o homem possa alcançar otro objectio mais complexo, o estdo do se meio ambiente para ma determinada finalidade. Podemos dizer qe ma carta é m modelo teórico adoptado dos leantamentos topográficos e geodésicos da Terra, representada em miniatra. A cartografia como ciência tenta representar no plano a dificilmente definíel sperfície da Terra, a qe chamamos geóide. É objecto da cartografia, consegir relações qe permitam essa representação, permitindo ainda conceber m conjnto de qadríclas qe ão possibilitar o posicionamento de locais o objectos, o seja, m sistema de referenciação. Uma ez qe a sperfície da Terra é cra e a sperfície dos mapas é plana, não é possíel a representação da sperfície nm mapa sem algma distorção. Se a área a representar é considerada peqena, então a sperfície terrestre pode ser considerada como plana, e o mapa pode ser constrído por ma projecção ortogonal e a localização relatia dos pontos é feita sem distorção. Com o amento da área a representar, este modelo torna-se inadeqado e é necessário empregar otras técnicas de projecção com o objectio de minimizar as distorções. A tilização dos diferentes métodos o processos de representação, depende de ários factores, tais como, da escala da carta, das características da região, dos meios disponíeis e do fim a qe a carta se destina. João Catalão - FCUL

7 Introdção O domínio da cartografia é bastante asto. O número de temas e assntos possíeis, a mltiplicidade de fenómenos ssceptíeis de serem cartografados, a ariedade de meios de expressão gráfica são tais qe ma classificação metódica e lógica poderá tornar-se complexa e proaelmente inútil. Uma classificação metódica e científica deerá agrpar tipos de cartas segndo as sas afinidades fndamentais, o seja, o se objecto. Neste sentido, as cartas são classificadas em das classes principais: cartas topográficas, em qe figram essencialmente os resltados de obserações respeitantes a posição planimétrica e altimétrica, a forma, a dimensão e a identificação de fenómenos concretos e fixos sobre a sperfície terrestre; as cartas temáticas em qe é representado, geralmente sobre ma carta topográfica, os fenómenos qalitatios e qantitatios, concretos e limitados pela escolha de m tema o de m assnto particlar. Uma carta topográfica é ma representação exacta e detalhada da sperfície terrestre, no qe concerne à posição, forma, dimensão e identificação dos acidentes do terreno. Ela implica, além de m conhecimento matemático e físico correcto, m sentir do modelo do releo, e ma apreciação correcta do alor de significância e de interesse relatio dos elementos isíeis do terreno. As cartas topográficas representam o releo do terreno de tal forma qe seja possíel a sa medição na carta. Uma carta topográfica é assim m desenho, qe nos permite apreciar não só as dimensões e as formas do terreno nma dada região, mas também o se releo. As cartas topográficas têm ma infinidade de aplicações. Elas são necessárias no apoio a qalqer projecto de engenharia qe reqeira considerações sobre a forma do terreno, eleação o gradiente e são também necessárias no fornecimento de informação geral aos estdos de geólogos, economistas, e a todos os qe se dediqem a estdos sobre o desenolimento dos recrsos natrais da sperfície terrestre. Tradicionalmente as cartas eram constrídas com base nos métodos clássicos de leantamento no terreno por meio de técnicas topográficas. A topografia era a única ciência qe tinha por objectio o estdo e a descrição exacta e minciosa da forma da sperfície terrestre, apresentando os resltados sob a forma de cartas topográficas, desenhadas manalmente. Assim, a topografia apoiaa-se na cartografia para representar a sperfície terrestre nma carta, por otro lado a cartografia apoiaa-se na topografia para aqisição de dados e elaboração das cartas. Após a ª gerra mndial a cartografia tem recorrido cada ez com mais insistência a técnicas de fotografia aérea para representar a sperfície terrestre. A fotografia aérea, complementada com a imagem por satélite, abri ma noa fase na exploração da figra da Terra. Com efeito, esta técnica permite ter ma imagem global da sperfície terrestre na qal é isíel tdo o qe caracteriza a sperfície. A fotografia aérea permite nm interalo de tempo mito crto m grande olme de registos detalhados, precisos e mensráeis, ssceptíeis de m exame prolongado. João Catalão - FCUL

8 Introdção Presentemente os mapas são elaborados por técnicas fotogramétricas sando dados de fotografia aérea o mesmo de satélite. Este tipo de cartas é desenhado recorrendo à combinação de técnicas manais, fotográficas e atomáticas. Este facto lea a qe a representação da sperfície terrestre escape em geral à cartografia isoladamente, recorrendo-se à geodesia, à topografia e à fotogrametria como ciências sbsidiárias da cartografia. A descrição do terreno, com a precisão e rapidez reqeridas por determinados tipos de projectos, é m trabalho cja complexidade pode ser aaliada pela simples obseração da grande qantidade de objectos qe constitem a paisagem e qe deem ser identificados, medidos, e desenhados nas sas posições relatias, determinando-se também as altitdes e formas do terreno. Como a sperfície do terreno não é matematicamente definíel, por maior qe seja o número de pontos recolhidos, nnca poderá ser representada exactamente, mesmo porqe, a morfologia da sperfície aria com as estações do ano e sofre modificações constantes deido aos agentes qímicos e aos mecanismos internos e externos. O bom senso, o conhecimento da morfologia geológica do terreno e a boa obseração permitem qe se consiga com pocos pontos leantados, representar com fidelidade necessária, o terreno obserado com ma forma próxima, o mais possíel da sa forma real. Neste docmento serão abordados os aspectos teóricos da projecção da figra da Terra no plano, a qe designamos por Cartografia Matemática e são também apresentados os principais sistemas de projecção tilizados em Portgal.. Objectio e métodos de representação O objectio da Cartografia Matemática consiste no estdo analítico das possíeis formas de representar a sperfície da Terra nma sperfície plana minimizando as distorções dessa representação. É precisamente esta transformação da sperfície da Terra nma sperfície plana a operação mais difícil de consegir. No entanto, pode-se projectar a sperfície física da Terra sobre o elipsóide de referência escolhido, por meio de projectantes normais ao elipsóide em cada m dos ses pontos (método de projecção de Helmert). Assim sendo, cada m dos pontos da sperfície física da Terra fica assim definido por coordenadas, a latitde (ânglo entre a normal do lgar e o plano do eqador) e a longitde (ânglo entre o meridiano do lgar e o meridiano de referência, medido no plano do eqador) das respectias projecções sobre o elipsóide, e, pela altitde ortométrica (altitde acima do geóide medida segndo a linha de força do campo graítico terrestre nesse ponto da Terra). João Catalão - FCUL 4

9 Introdção GEODESIA TERRA (GEÓIDE) CARTOGRAFIA ELIPSÓIDE PLANO Fig.. - Esqema de representação da Terra no plano. A projecção da sperfície da Terra nm plano tem como principal objectio a representação das posições de pontos discretos na sperfície original nm sistema de coordenadas plana qe permite o cálclo de distâncias e ânglos entre esse conjnto discreto de pontos. O problema consiste pois em transferir os pontos da sperfície terrestre para o plano, entrando pelo meio com a projecção de Helmert para passar ao elipsóide, obedecendo a ma determinada lei, geométrica o analítica, qe tradza a posição de cada m dos pontos na carta, em fnção da correspondente posição sobre aqela sperfície. Esta lei, qe relaciona as coordenadas geodésicas dos pontos sobre o elipsóide, com as correspondentes na carta, constiti o qe se chama m sistema de projecção, o m sistema de representação. O problema básico das projecções consiste na representação de ma sperfície cra no plano. A figra da Terra é salmente representada por m elipsóide de reolção, o ma esfera, sperfície sobre a qal são representados todos os elementos da sperfície física da Terra. A fim de minimizar as deformações qe lhe estão associadas, dee o cartógrafo escolher qal a característica qe dee aparecer correctamente, em prejízo das otras, o contemporizar com todas elas, não aparecendo nenhma correcta. Os nmerosos sistemas existentes de representação cartográfica, têm pois cada m as sas antagens e inconenientes, sendo o critério de escolha de cada m, fnção dos segintes parâmetros: extensão da região a representar, configração da região a representar, latitde média da região, fim a qe a carta se destina, etc.. A representação plana é obtida por ma transformação analítica, isto é, ma correspondência pontal biníoca entre o elipsóide e o plano, o seja, a todo o ponto P de coordenadas geográficas (, ) do elipsóide corresponde m ponto imagem p do plano, de coordenadas (M, P) e ice-ersa. João Catalão - FCUL 5

10 Introdção As fórmlas gerais de ma projecção serão assim: M = f (, ) P = g (, ) E as inersas são dados de ma forma genérica por: =F (M,P ) =G (M,P) Em conclsão, pode-se dizer qe para simplificação do sistema de leitra (passa-se a ter rectas em ez de cras) sa-se m sistema de eixos centrado nm ponto escolhido, a partir do qal se traça a qadrícla. Existem três critérios cartográficos para a caracterização das projecções: a) Eqidistância representação correcta das distâncias b) Conformidade representação correcta das formas c) Eqialência representação correcta das áreas Estes três critérios são básicos e mtamente exclsios, sendo do ponto de ista cartográfico, irreleantes qaisqer otras características de ma dada projecção. Deerá ser notado qe não existem representações ideais, nicamente a melhor representação para m determinado propósito. Os métodos de projecção o representação podem ser classificados como: a) projecção directa do elipsóide na sperfície de projecção b) dpla projecção enolendo ma transformação do elipsóide nma sperfície esférica e posterior representação da sperfície esférica na sperfície de projecção. Existem, assim, dois tipos de sperfícies datm elipsóide e esfera. Existem tipos de sperfícies de projecção plano, cone e cilindro em qe as das últimas são conertidas nm plano (fig..). A transformação da sperfície datm na sperfície projecção pode ser de natreza geométrica, semi-geométrica o matemática. Mito pocas projecções são projecções erdadeiramente perspectias em sentido geométrico. É coneniente definir ma projecção cartográfica com m arranjo sistemático de linhas qe se intersectam no plano, qe representam e têm ma correspondência de m para m com os meridianos e paralelos da sperfície datm. O arranjo sege algm princípio consistente de modo a erificar determinadas condições pré-definidas. João Catalão - FCUL 6

11 Introdção Cada conjnto de noas condições reslta nma projecção cartográfica diferente e, conseqentemente, existem m número ilimitado de projecções cartográficas. Contdo, na prática, os três ennciados critérios cartográficos são aplicados com m número limitado de otras condições resltando nm número de cerca de cem projecções criadas para fins específicos (eja-se a lista de projecções de Maling, 965). Fig.. Classificação das projecções cartográficas qanto à natreza: a) plana, b) cónica e c) cilíndrica.. Classificação das projecções cartográficas A classificação de projecções cartográficas deerá segir m standard de modo qe qalqer projecção (não conencional) possa ser descrita por m conjnto de critérios e inersamente m conjnto de critérios definirá ma qalqer projecção. Assim, m esqema de classificação deerá segir m número de critérios sbdiididos em classes e ariedades conforme sgerido por Gonssinsky (95). João Catalão - FCUL 7

12 Introdção As classes podem ser consideradas de diferentes pontos de ista, sendo estes não mtamente exclsios. As ariedades são as sbdiisões de cada classe e são mtamente exclsios. Para facilitar o processo de constrção do esqema de classificação das projecções cartográficas composta por classes e ariedades deerão ser consideradas determinados factores específicos: a) O objecto projectado o sperfície datm b) A sperfície projecção na qal a sperfície datm é projectada c) A projecção o representação de per si A sperfície de projecção é considerada como o problema externo e o processo de projecção o representação como o problema intrínseco. Fig.. Classificação das projecções cartográficas qanto à coincidência: a) tangente, b) secante e c) polisperfícial. João Catalão - FCUL 8

13 Introdção.. O problema extrínseco Este problema enole a consideração das propriedades da sperfície relatiamente à sperfície datm dando origem a três classes: Natreza : natreza da sperfície projecção definida como a figra geométrica Coincidência : contacto da sperfície projecção com a sperfície datm Posição : alinhamento da sperfície projecção em relação com a sperfície datm. Qanto à natreza (fig..), as projecções podem ainda ser diidida em três ariedades, representando, cada ma, as sperfícies básicas de projecção, nomeadamente o plano, o cone e o cilindro. A mais simples destas sperfícies de projecção é o plano, qe qando tangente à sperfície datm terá m único ponto de contacto a qe corresponde o centro da área da área de mínima distorção. O cone e o cilindro, qe são ambos desenrolados nm plano e são introdzidos com o objectio de amentar a região de contacto e conseqentemente amentarem a região de mínima distorção. Fig..4 Classificação das projecções cartográficas qanto à posição: a) normal, b) transersa e c) oblíqa. João Catalão - FCUL 9

14 Introdção A classe coincidência (fig..) pode ser diidida em três ariedades representando os três tipos de coincidência entre a sperfície datm e a sperfície projecção, nomeadamente tangente, secante e polisperficial. É facilmente erificado qe a tangência entre a sperfície datm e a sperfície projecção reslta nm ponto o nma linha de contacto, a primeira no caso da sperfície projecção ser m plano e a segnda no caso em qe a sperfície é m cilindro o m cone. Para amentar a área de contacto entre as das sperfícies, e conseqentemente a área de mínima distorção, é introdzido o modo secante, resltando nma linha de contacto no caso em qe a sperfície é o plano e em das linhas de contacto no caso em qe a sperfície é o cilindro o o cone. Para ma ainda maior área de contacto é introdzido o múltiplo contacto designado por polisperficial. Neste caso ma série de planos scessios prodzirá ma projecção poliédrica (plano scessios), ma seqência de cones prodzirá ma projecção policónica e ma série de cilindros prodzirá ma projecção policilíndrica. Qanto à posição (fig..4) as projecções são sbdiididas em três ariedades representando as três posições básicas o alinhamentos da sperfície projecção relatiamente à sperfície datm, nomeadamente, normal, transersa e obliqa. Se o eixo de simetria da sperfície de projecção coincide com o eixo de rotação do elipsóide designamos a projecção de normal. Se o eixo de simetria é perpendiclar ao eixo de rotação então nesse caso designamos por transerso e todas as otras atitdes são designadas por obliqas... O problema intrínseco Este problema enole a consideração da projecção do ponto de ista das sas propriedades cartográficas e modo de constrção e é diidido em classes: eqidistantes, conformes e eqialentes. A Eqidistância significa qe existe ma correcta representação da distância entre dois pontos na sperfície datm e na sperfície projecção, de modo qe a escala é mantida ao longo de linhas qe ligem qaisqer dois pontos. Esta característica é natralmente limitada a m número redzido de pontos e não é de forma algma ma característica geral das projecções. A Conformidade representa a mantenção da forma dos elementos, e conseqentemente a mantenção dos ânglos e direcções. Esta propriedade é limitada a pontos mito próximos e não é certamente a figras geométricas de grandes dimensões. A Eqialência significa mantenção das áreas dos elementos mas com a deformação da sa forma e dos ânglos e direcções. João Catalão - FCUL

15 Introdção O tipo de constrção da carta pode ser diidido em ariedades mtamente exclsias representando os três principais modos de constrção de ma projecção. As três ariedades são: geométrica, semi-geométrica e matemática. As projecções geométricas o semi-geométricas resltam de ma representação geométrica o perspectia pra o por meio de m processo parcialmente projectio. Neste caso enqadram-se as projecções gonómica e estereográfica. Nas projecções do tipo matemático não existe qalqer relação do tipo projectio o geométrico sendo a representação obtida por m processo matemático. João Catalão - FCUL

16 Introdção João Catalão - FCUL

17 Introdção João Catalão - FCUL Capítlo Representação de ma sperfície sobre otra. Coordenadas Crilíneas Seja S ma sperfície cra qalqer onde se adopto m sistema de cras de referência o cras paramétricas. Se estas cras forem designadas por e respectiamente, então m qalqer ponto da sperfície pode ser dado em coordenadas cartesianas rectanglares x, y, z em fnção das coordenadas e (fig..). ), ( ), ( ), ( p z p y p x (.) Por ma qestão de coneniência esta sperfície é designada por sperfície de referência. A mesma relação pode ser escrita para ma segnda sperfície designada por projecção o sperfície imagem (fig..). ), ( ), ( ), ( p z p y p x ), ( ), ( ), ( p z p y p x (.)

18 Representação de ma sperfície sobre otra Fig.. - Sperfície de referência Fig.. Sperfície projecção As cras paramétricas na primeira sperfície estão relacionadas com m sistema arbitrário de cras da segnda sperfície se existir ma relação matemática entre os parâmetros, e, : q q (, ) (, ) (.) Se o objectio é a representação da sperfície da Terra nma esfera, o nm plano, é óbio qe deerão ser satisfeitas pelo menos das condições: a) A projecção o imagem dee ser única, b) A projecção dee ser reersíel. Isto significa qe m ponto da sperfície de referência deerá corresponder m e m só ponto na sperfície imagem. O inerso deerá também ser erificado. Matematicamente esta condição pode ser expressa pela condição de qe os parâmetros e deam ser resolúeis a partir da eqação., exprimindo directamente os parâmetros e em fnção de e. q q (, ) (, ) (.4) Sem mais restrições, as cras paramétricas e não correspondem, em regra, ao sistema,, representando m otro sistema arbitrário de referência. A relação entre as coordenadas e da sperfície S e as coordenadas cartesianas da sperfície S pode ser obtida relacionando a eqação.,.,. obtendo-se: João Catalão - FCUL 4

19 Representação de ma sperfície sobre otra João Catalão - FCUL 5 ) (, p z ) (, p y ) (, p x (.5). Geometria diferencial elementar.. Elemento linear e expressões anglares Representando por ds o elemento linear o comprimento infinitésimal de ma parte de ma cra nma qalqer sperfície, o qadrado desse elemento linear é dado por: ds = dx + dy + dz (.6) e a relação entre estes deslocamentos dx, dy e dz e os deslocamentos d e d é dada por: d z d z dz d y d y dy d x d x dx (.7) Então o elemento linear em coordenadas crilíneas é dado pela primeira forma fndamental: ds = E d + F d d + G d (.8) Em qe z y x E z z y y x x F (.9) z y x G

20 Representação de ma sperfície sobre otra Os elementos E, F e G são designados primeiros coeficientes sperficiais de Gass. As qantidades E e G actam como nidade de medida ao longo das cras e na sperfície. Na Fig.. é apresentado o paralelogramo diferencial nm ponto P de ma cra qalqer. =const E d (,) G d =const Fig.. - Paralelogramo diferencial nm ponto P de ma cra qalqer. Consideremos + = em qe é o ânglo da intersecção entre as cras e no ponto P, o seja o ânglo da intersecção das das tangentes às cras no ponto P. O paralelogramo pode ser considerado como plano, dada a sa área infinitamente peqena, de modo qe aplicando a regra do coseno se obtém: ds E d G d EG d d cos (.) comparando esta expressão com a expressão do elemento linear (eq..8) erificamos qe: cos F EG (.) Para os ânglos e obtêm-se as segintes expressões: Ed Gd cos d d cos E F ds E ds ds (.) Gd Ed cos d d cos G F ds G ds ds (.) Para a fnção seno obtêm-se as segintes expressões: e EG F cos sin (.4) EG João Catalão - FCUL 6

21 Representação de ma sperfície sobre otra d EG F d sin G sin (.5) ds E ds d EG F d sin E sin (.6) ds G ds O ânglo é designado por azimte de ds. A área elementar do paralelogramo será dada por: A EG sin d d EG F d d (.7) (prodto externo de dois ectores: ab= a.b.sen).. Matriz de transformação fndamental Considerando das sperfícies S e S, fig.. e., se sobre cada ma delas, tiermos m sistema de coordenadas crilíneas (, ) e (, ), obtemos os elementos lineares ds e ds dados por : e ds = E d + F d d + G d (.8) ds = E d + F d d + G d (.9) Estabelecendo ma correspondência entre os pontos das das sperfícies poder-se-à escreer a eqação (.): q (, ) (.) q (, ) e o elemento linear ds em termos das coordenadas e será dado por: em qe ds = e d + f d d + g d (.) e x y z f x x y y z z (.) x g y z João Catalão - FCUL 7

22 Representação de ma sperfície sobre otra João Catalão - FCUL 8 Diferenciando a eqação.5, obtém-se: x x x x x x (.) Similarmente para as deriadas de y e z em ordem a e. Após o cálclo destas deriadas estabelece-se a relação entre os coeficientes e, f, g e os coeficientes E, F, G atraés da seginte relação matricial: G F E g f e (.4) esta matriz é designada por matriz fndamental da transformação. O descriminante e g f pode ser dedzido das expressões anteriores e pode ser expresso como o prodto de dois determinantes: ) ( F E G G F F E f g e (.5) em qe o segndo determinante (designado abreiadamente por no segimento da exposição) é o determinante do Jacobeano da transformação de e em e. Com as fnções descritas desta forma pode garantir-se qe a cada par (, ) corresponde m ponto sobre a sperfície S e otro sobre a sperfície S, dado qe este determinante é sempre diferente de zero.. Teoria das deformações.. Deformação linear Chama-se módlo da deformação linear o módlo linear, à razão dada por:

23 Representação de ma sperfície sobre otra ds ds E d F d d G d E d F d d G d / k (.6) Tendo em atenção a eqação., erificamos qe a razão anterior pode ser determinada por : k d d d d e f g (.7) ds ds ds ds Atendendo à expressão do seno e coseno do azimte de ma linha sobre a sperfície (eq.. e.5) considerando qe se está perante m sistema de coordenadas ortogonal (F=) então a expressão anterior pode ser escrita como: / sendo: k ecos f sin cos gsin (.8) e f g e f g (.9) E EG G Considerando ma qalqer linha s sobre a sperfície S e marcando sobre a tangente a esta linha dois pontos A e B a ma distância r dada como o inerso da deformação linear, então ao lgar geométrico dos pontos obtidos desta forma, para qalqer, chama-se indicatriz da deformação. Verifica-se qe a indicatriz da deformação é ma elipse. A eqação em coordenadas polares da indicatriz é: k ecos f sin cos g sin (.) r Pelos conhecimentos de geometria analítica, facilmente se erifica qe a eqação anterior se trata da eqação geral de ma cónica com centro. Para se confirmar qe esta indicatriz é ma elipse, amos analisar minnciosamente qe tipo de cónica se trata. Para tal determinamos o sinal do descriminante da eqação.. EG eg f (e g f ) (.) EG EG qe é sempre maior qe zero. Portanto, como o discriminante f -eg é sempre inferior a zero, erifica-se analiticamente qe se trata de ma elipse. Se designarmos por k e k respectiamente as deformações máxima e mínima, é eidente qe estas serão os inersos dos semi-eixos menores da elipse indicatriz. As direcções principais, obtêm-se anlando a deriada em ordem a do qadrado da deformação linear. Isto é : dk (.) d como João Catalão - FCUL 9

24 Representação de ma sperfície sobre otra dk d d ecos d f sin cos gsin (.) então as direcções de deformação linear máxima e mínima são dadas pela expressão: o seja: sin (g e) f cos (.4) f tg e g (.5) Se sbstitirmos na eqação (.8) a expressão anterior, obtemos os alores k e k, deformação máxima e mínima respectiamente: k (e g) (e g) 4f (.9) k (e g) (e g) 4f (.4) Analisando as das igaldades anteriores rapidamente se erifica qe : k k e g (.4) A indicatriz da deformação, /k, é também designada por elipse de Tissot. /k /k /k Fig..4 Indicatriz de deformação o indicatriz de Tissot. Portanto, a elipse de Tissot é ma elipse cjos semi-eixos são os inersos das deformações lineares máxima e mínima, k e k. Um raio genérico da elipse, de qalqer direcção, representa o inerso da de formação linear nessa direcção. João Catalão - FCUL

25 Representação de ma sperfície sobre otra.. Deformação areal Considerando as das sperfícies S e S e o sistema de coordenadas ortogonais,, em S, então os respectios elementos lineares são dados por : ds = E d + G d (.4) ds = e d + f d d + g d (.4) S S Fig..5 Elemento de área em S e sa representação em S. As áreas elementares correspondentes às sperfícies são : da EG d d (.44) da e g f d d (.45) À razão entre o alor das das áreas chama-se módlo areal : da m (.46) da atendendo às expressões anteriores: m e g f eg f (.47) EG Da definição dos coeficientes e, g, f obtém-se : João Catalão - FCUL

26 Representação de ma sperfície sobre otra EG m (.48) EG Sendo a deformação máxima e mínima dadas pelas eqações.9 e.4 facilmente erificamos qe: m k k (.49) O seja, o módlo de deformação areal é igal ao prodto da deformação linear máxima pela deformação linear mínima. Esta eqação pode ser erificada por sbstitição das expressões de k e k de terminando-se qe.. Pares ortogonais correspondentes m eg f. Pretende-se agora demonstrar qe para cada ponto de S existe m par de elementos ortogonais ao qal corresponde também m par de elementos ortogonais em S. Partindo dos elementos lineares: E atendendo a qe (er.5 e.): ds = E d + G d (.5) ds = E d + G d (.5) Então : sin d G ds d cos E (.5) ds tg G E d d em qe é o ânglo correspondente em S. tg G E (.5) d d Diidindo ambos os termos de d /d por d e desenolendo: d G tg d (.54) E d d sbstitindo o alor de d/d, da eqação.5, obtém-se, em S: João Catalão - FCUL

27 Representação de ma sperfície sobre otra tg E tg G G (.55) E E tg G Assim, se tiermos m elemento ds de azimte + /, o se correspondente ds em S terá m azimte : E cot g G G tg (.56) E E cot g G (porqe tg(+/) = -cotg()) Então, o problema consiste em determinar de modo a qe = + /, o seja : tg tg (.57) Considerando as definições de e, f, g e e, f, g, chegamos a : f tg (.58) e g o seja, as direcções procradas coincidem com as direcções principais de deformação definidas por (.5). Considerando sobre S as linhas coordenadas (,) tangentes em cada ponto às direcções principais de deformação e sobre S as correspondentes a estas, qe pelo resltado anterior é sabido serem também ortogonais, então o módlo de deformação linear é dado por: k ecos gsin (.59) Neste caso para o azimte e azimte 9, obtém-se k = e k = g, e conseqentemente: k k cos k sin (.6) Sendo k o módlo principal da direcção da linha origem da contagem dos azimtes...4 Deformação anglar Definindo sobre S m sistema de coordenadas ortogonais (,) e sobre S o correspondente par ortogonal (, ), o elemento linear em cada ma das sperfícies é dado por: João Catalão - FCUL

28 Representação de ma sperfície sobre otra ds = E d + G d ds = e d + g d (.6) Chama-se deformação anglar, à diferença entre os ânglos e (ânglos qe os elementos lineares, ds e ds, fazem com as linhas = constante ). Atendendo a qe : e tg g e G d tg (.6) E d d d g e E tg G g k tg e k tg (.6) Sendo = -, então : k tg tg tg k tg (.64) tgtg k tg k k tg tg (.65) k k tg k Como seria esperado, para = o = / a deformação anglar é nla (tg = ). O azimte para o qal a deformação anglar é máxima é designado por m. Esta alor é obtido anlando a eqação da deriada da deformação anglar em ordem a, o seja: d tg (.66) d obtendo-se k tg m (.67) k Sbstitindo este alor na expressão da deformação anglar obtém-se a deformação anglar máxima k k tg m (.68) k k João Catalão - FCUL 4

29 Representação de ma sperfície sobre otra.4 Adaptação das fórmlas anteriores ao caso da representação do elipsóide sobre o plano Abordár-se-á de segida a representação da sperfície S elipsóidica sobre a sperfície S plana. Normalmente, consideram-se a latitde e longitde (, ) as coordenadas sobre S. Sobre S tilizam-se coordenadas cartesianas (x, y) o coordenadas polares (R, ). Segidamente analisar-se-ão estes dois tipos de coordenadas sobre S..4. Coordenadas Cartesianas Considerando =, deido à contagem dos azimtes a partir das linhas = c. te, de acordo com as fórmlas anteriormente apresentadas, as notações sadas habitalmente são : Elipsóide : Plano : ds d r d ds = = y = = x E = E = G = r G = F = F = dx dy.4. Coordenadas Polares Neste caso, as notações habitais são : Elipsóide : Plano : ds d r d ds = = = = R E = E = G = r G = R F = F = dr R d João Catalão - FCUL 5

30 Representações Eqialentes João Catalão - FCUL 6

31 Representações Eqialentes Capítlo Representações Eqialentes. Definição Uma representação diz-se eqialente se o módlo areal tier m alor constante em todos os pontos. Teremos então a seginte eqação diferencial para as representações eqialentes. E G EG m cte. (.) Notar-se-á qe erificando-se a relação da = m da para áreas elementares, o mesmo scederá para áreas finitas. Segidamente proaremos qe não existem em geral representações simltaneamente conformes e eqialentes. Para ma representação ser eqialente tem-se qe: e para ser conforme ter-se-ia em cada ponto k k = m = cte. (.) k = k (.) Se o módlo da deformação máxima e mínima são igais e se designar esse alor por k, então: João Catalão - FCUL 7

32 Representações Eqialentes k. k = k = m (.4) Logo conclí-se qe k = cte em todos os pontos da sperfície, o qe sabemos não ser geralmente possíel.. Eqação diferencial das representações eqialentes no caso da representação do elipsóide sobre o plano Considerando sobre o elipsóide as coordenadas crilíneas e, sendo = e = então os coeficientes sperficiais de Gass são E = e G = r, em qe é o raio principal de cratra na direcção do meridiano e r é o raio do paralelo nm determinado ponto P sobre o elipsóide. Então o elemento linear é dado por: ds d r d (.5) e sobre o plano, o elemento linear em coordenadas cartesianas x e y (em qe = x; = y) é dado por: ds dx dy (.6) Fazendo as respectias sbstitições na eqação. e não esqecendo qe é o determinante em fnção de e obtem-se: x x m (.7) r y y x y x y m r (.8) Tomando agora sobre o plano as coordenadas polares R e, em qe = R e =, o elemento linear é dado por: ds dr R d (.9) Obtém-se a expressão geral das representações eqialentes em coodenadas polares: R R m r R (.) João Catalão - FCUL 8

33 Representações Eqialentes As expressões.8 e. são as expressões gerais das representações eqialentes entre o elipsóide, com m sistema de coordenadas ortogonal (, ), e o plano com m sistema de coordenadas cartesiano (x,y) e polar (R, ).. Projecção de Bonne A projecção de Bonne é ma projecção cónica, eqialente, normal com linha de contacto tangente ao paralelo de referência. A primeira condição imposta nesta projecção é qe os paralelos sejam representados por arcos de circnferência concêntricos. Neste caso conirá adoptar coordenadas polares sobre o plano e fazer com qe R seja fnção exclsia da latitde, o seja: R = R () (.) Impondo esta condição a eqação geral das projecções eqialentes (eq..) ficará: dr m r R (.) d m r dr R d (.) Pela imposição feita anteriormente as formlas de transformação ficam: R = R() (.4) mr d R R d f sendo f() ma fnção arbitrária da latitde. Considerando desde já qe f()=, reslta qe para = o alor de = e portanto o meridiano origem das longitdes qe tomaremos como o meridiano central, será representado pelo eixo polar, obtendo-se assim as segintes formlas: R = R() (.5) João Catalão - FCUL 9

34 Representações Eqialentes mr d R R d Temos assim gras de liberdade representados pela fnção arbitrária R() e pela constante m. Relembrando os elementos lineares sobre o elipsóide e sobre o plano: e introdzindo a qantidade: na eqação.5, obtemos: ds ds F d r d (.6) dr R d R R( ) r d R R d m F (.7) Para calclar ds é necessário calclar dr e d d R dr d (.8) d df df d d d m d mf( )d m d F( ) d d (.9) d O elemento ds será então dado por: ds R df d R m d F( ) d d (.) O módlo linear sobre o meridiano central (=) e na direcção do meridiano central (d=) será: ds ds dr d d d dr d R ' (.) e impondo qe este módlo seja o mesmo em todos os pontos do meridiano central, reslta qe: João Catalão - FCUL

35 Representações Eqialentes ' R k ' R k R k d c (.) sendo o sinal + correspondente ao caso de R crescer com e o sinal ao caso de R decrescer com. Se representarmos por a latitde do paralelo central e por R o raio do arco de circnferência correspondente: R k d c (.) Sendo c ma constante qalqer pode ser eliminada conjgando as eqações. e. R R k d (.4) No caso de estarmos perante ma sitação do hemisfério Norte, deerá ser adoptado o sinal negatio de forma qe o alor de R cresça no sentido do polo norte para o ponto e a latitde cresça do eqador para o polo norte, o seja, qe as das coordenadas tenham sentidos contrários de crescimento. Neste caso a expressão assme o aspecto: R R k d (.5) Vamos tentar inferir a conformidade no meridiano central. Para qe o sistema seja conforme no meridiano central é necessário impor qe o módlo no meridiano central (=) e na direcção do paralelo (d=) seja igal. Obtêm-se assim os segintes elementos lineares: ds r d ds R m F dλ (.6) Logo ds RmF d λ k (.7) ds rd Sbstitindo F() pela sa expressão obtém-se r Rm dr R d m m m k (.8) r dr k k d donde k = m. João Catalão - FCUL

36 Representações Eqialentes Introdzindo este noo elemento nas eqações.7 e.5 obtêm-se as fórmlas de transformação gerais: R R m d (.9) m r R A última etapa consiste na imposição de qe o módlo linear seja tanto qanto possíel constante, o seja, qe a projecção seja qanto possíel conforme. Nesta ordem de ideias é imposta como condição qe seja m o módlo linear respeitante aos elementos lineares no paralelo central (= ) dirigidos segndo o meridiano (d=). Assim, sobre o elipsóide: e sobre o plano como ds ds d (.) dr R d (.) R R dr d d m d então Relatiamente a d: e d dr m d (.) d d mλ sin. R mλ R dr d m r R m r m d. (.) R m d então o elemento linear é: mλ m r ds m d R sin m d (.4) R R Obtém-se assim: João Catalão - FCUL

37 Representações Eqialentes k ds m mr m R sin m ds (.5) R R Deendo a igaldade erificar-se para qalqer alor de, então: m sin R mr R o seja R m sin mr R m r m N cotg sin As fórmlas de transformação finais são: R R m d R m Ncotg m r R (.6) Fazendo m=, como é o caso da cartografia portgesa continental obtém-se: R R d R R Ncotg r R (.7) Para regiões alongadas na direcção Norte/Sl e estreitas na direcção Este/Oeste, como é o caso de Portgal, a projecção de Bonne tem mas deformações anglares peqenas o, por otras palaras, ela é qase conforme; ela é mesmo rigorosamente conforme sobre o meridiano central e sobre o paralelo central... Interpretação geométrica da projeção de Bonne João Catalão - FCUL

38 Representações Eqialentes Traçando a recta representatia do meridiano central e escolhendo m ponto O para centro dos arcos de circnferência representatios do paralelo, traça-se o arco de raio R : R = N cot Desta forma está representado o paralelo central. De notar qe R é o lado do cone circnscrito ao elipsóide e tangente ao longo do paralelo central. Para representar m ponto genérico P traça-se o arco de circnferência de raio R = R - sendo o arco de meridiano entre as latitdes e ; o arco traçado é a imagem do paralelo de P. Marcando sobre ele m comprimento A P igal ao correspondente AP sobre o elipsóide. Fica assim definido o mecanismo geométrico de correspondência. As coordenadas cartográficas (M, P) são dadas pelas expressões: M Rsin (R )sin P R Rcos R em qe R Ncotg R R r R R cos (.8) R R A transformação inersa é dada pelas segintes expressões: M tg R P R P M R c os sin R R R r P João Catalão - FCUL 4

39 Representações Conformes o Isogónicas Capítlo 4 Representações Conformes o Isogónicas 4. Definição Uma projecção diz-se conforme o isogónica se o módlo da deformação linear k for independente do azimte, donde qe para qe tal aconteça a deriada de k em ordem a seja nla. Sendo a deformação linear dada pela expressão: então o seja d k ecos f sin cos gsin (4.) d k ecos f sin cos gsin d d (4.) ( g e)sin f cos (4.) Deendo esta eqação ser erificada para qalqer alor de, erifica-se qe em particlar para = e = /4 o alor de f= e g-e =. Assim para ma representação conforme a expressão (4.) escree-se: k = e (4.4) A indicatriz da deformação linear será ma circnferência; sendo k = k a expressão da deformação anglar (.65) redz-se a: tg = (4.5) João Catalão - FCUL 5

40 Representações Conformes o Isogónicas o seja, a deformação anglar é nla em todos os azimtes. Sendo assim o ânglo de dois elementos não é alterado pela representação. 4. Coordenadas isométricas Um sistema de coordenadas crilíneas diz-se isométrico se o elemento linear tier a forma: ds = (d + d ) (4.6) sendo ma fnção de e. No caso das coordenadas cartesianas ortogonais (x,y) no plano, o elemento linear é dado por: ds = dx + dy o qe significa, pela definição anterior, qe este tipo de coordenadas constiti m sistema isométrico. No caso das coordenadas polares R e no plano, o elemento linear é dado por: ds = dr + R d pelo qe o sistema não é isométrico. No entanto é possíel transformar este sistema nm otro sistema eqialente qe seja isométrico. Pondo em eidência a ariáel R, obtém-se: dr ds R d R fazendo d = dr / R (=logr + p), do qe reslta R = p e, em qe p é ma constante de integração, então é possíel reescreer a expressão do elemento linear sob a forma: em qe as coordenadas e são isométricas. ds = p e (d + d ) (4.7) No caso do elipsóide, o sistema de coordenadas (, ), latitde e longitde, também não é m sistema isométrico, ma ez qe o elemento linear é dado por: ds = d + r d (4.8) A exemplo do qe foi efectado para as coordenadas polares é possíel efectando ma operação de mdança de ariáel encontrar m sistema isométrico sobre o elipsóide. Para isso, colocando r em eidência: João Catalão - FCUL 6

41 Representações Conformes o Isogónicas ds r d d (4.9) r e introdzindo ma noa coordenada, designada latitde isométrica, cja relação com a latitde geodésica é dada por: d (4.) r obtém-se ma noa expressão do elemento linear dado por: ds = r (d + d ) (4.) O sistema de coordenadas (, ) no elipsóide definido desta forma é m sistema isométrico. Atendendo às expressões de r e o integral indefinido da latitde isométrica é escrito como : e / esin l n tg (4.) 4 esin em qe e representa a excentricidade do elipsóide e l n o logaritmo natral. De notar qe a latitde isométrica se torna infinita nas regiões polares e assme o alor zero no eqador. Dma maneira geral pode demonstrar-se qe, dada ma sperfície S, é possíel escolher-se sobre essa sperfície e de ma infinidade de maneiras, m sistema de coordenadas isométrico. Chamam-se linhas isométricas às linhas coordenadas de m sistema isométrico. É também fácil erificar qe ma projecção conforme faz corresponder às linhas isométricas de ma sperfície linhas isométricas da otra. Seja ds o elemento linear na sperfície S e ds o elemento linear na sperfície S, então, se a projecção for conforme, o elemento linear ds = k ds em qe k é o módlo de deformação linear (constante em todas as direcções, nma projecção conforme). Conseqentemente ds = k (d + d ) e o sistema é ainda isométrico dada o alor constante do módlo linear. 4. Expressão geral das projecções conformes Sejam das sperfícies S e S e sobre elas os sistemas isométricos (, ) e (, ) ds = (d + d ) (4.) ds = (d + d ) (4.4) e sejam as segintes fórmlas de transformação entre as das sperfícies: João Catalão - FCUL 7

42 Representações Conformes o Isogónicas = (, ) = (, ) d d d d Pretende-se determinar a forma das fnções (, ) e (, ) de modo qe a representação seja conforme. Calclando d e d e sbstitindo no elemento linear 4.4, obtém-se a seginte expressão para o módlo da deformação linear: em qe: k ds d e d f dd g d (4.5) ds e f g d A condição necessária e sficiente para qe o módlo de deformação linear seja independente da orientação de ds é qe: (4.6) (4.7) Com efeito, neste caso o módlo da deformação linear fica redzido a k e, o seja é constante para cada ponto e independente de d e d. A segnda das condições (eq. 4.7) pode escreer-se da seginte forma: João Catalão - FCUL 8

43 Representações Conformes o Isogónicas (4.8) representando por o alor comm das das fracções. Reescreendo esta expressão separando as das fracções, reslta qe: (4.9) Sbstitindo na igaldade 4.6 e considerando ainda a igaldade 4.7, obtêm-se as segintes condições: e (4.) Estas igaldades constitem ma das expressões das projecções conformes. Estas expressões contêm as condições de Rieman qe definem a condição necessária e sficiente para qe ma qalqer fnção f seja analítica. Deste modo, definindo ma fnção f qalqer da seginte forma: z = f (z) em qe z e z são ariáeis complexas (definidas por z = + i, e z = + i), então se a fnção f for ma fnção analítica define ma representação conforme. Resmindo, diz-se qe se estabelece ma representação conforme escreendo: i = f ( i) (4.) onde f é o símbolo de fnção analítica arbitrária e onde e são coordenadas isométricas. Esta expressão é designada expressão geral das projecções conformes. 4.4 Relação entre as cratras geodésicas de das linhas Seja ma linha de S e a sa transformada em S, nma representação conforme de S sobre S. Tomemos sobre S m sistema de coordenadas ortogonais, tal qe a linha seja ma linha coordenada =const. A representação sendo conforme fará corresponder às linhas coordenadas de S, linhas coordenadas também ortogonais, sobre S e será : ds = E d + G d (4.) ds = k E d + k G d (4.) João Catalão - FCUL 9

44 Representações Conformes o Isogónicas As cratras geodésicas e de e serão dadas por : G k G (4.4) EG k EG resolendo a deriada parcial em ordem a, obtém-se: donde G k k EG k E k k k E k k (4.5) k E É fácil er o significado de E k ; a deriada de k segndo ma direcção s qalqer é: dk ds Se essa direcção for a das linhas =const. (d=) dk ds k d k d (4.6) ds ds k d (4.7) ds e atendendo a qe d / ds / E então: dk k (4.8) ds E donde dk k (4.9) k ds Deerá notar-se qe esta fórmla tem m significado independente das coordenadas crilíneas adoptadas, apenas por comodidade as coordenadas foram escolhidas por forma a qe =const. em ambas as sperfícies. A igaldade anterior poderá então escreer-se: dk k (4.) k dn No caso em qe a linha é ma linha geodésica, então = e a eqação anterior transforma-se na seginte expressão: João Catalão - FCUL 4

45 Representações Conformes o Isogónicas mas isto qe k dn = dn k dk dn será então dk (4.) k dn Esta igaldade constiti o Teorema de Schols. 4.5 Projecção de Mercator 4.5. Introdção A projecção de Mercator é ma projecção cilíndrica conforme. Gerardo Kramer (5-59), cartógrafo Flamengo, tenta corrigir a representação do Mediterrâneo de Ptlome e constrói m Mapa Mndo com base nma projecção matemática, onde os paralelos e meridianos se projectam nm plano todos perpendiclares entre si, projecto também a esfera nm cilindro tangente ao eqador, onde os meridianos são paralelos eqidistantes entre si e os paralelos afastam-se ns dos otros a medida qe se aproximam dos pólos. A projecção de Mercator, imaginada no séclo XVI, foi concebida para redzir os problemas de orientação no decorrer da naegação. O principal problema, de m naegador, é saber como orientar o se naio, para qe, partindo de m determinado lgar (A), consiga atingir m destino preiamente definido (B). A linha mais simples de percorrer será a linha de azimte constante loxodrómica, com o axílio de ma bússola é possíel manter a constância do azimte. Para sabermos qal o azimte da loxodrómica qe ne A e B (fig. 4.), imaginamos ma carta conforme em qe os meridianos são representados por rectas paralelas. Deido à conformidade do sistema a transformada de ma loxodrómica é ma recta cortando as transformadas dos meridianos segndo o ânglo, dispondo de ma tal carta basta nir os pontos A e B por ma recta e medir o ânglo. A formlação existente na projecção de Mercator baseia-se fndamentalmente no elipsóide sobre o qal escolhemos as coordenadas e, respectiamente a latitde isométrica e longitde, sobre o plano escolhemos as coordenadas cartesianas x, y cja a relação com a latitde isométrica e longitde é obtida por ma fnção f qalqer analítica qe obedece à condição geral das projecções conformes. João Catalão - FCUL 4

46 Representações Conformes o Isogónicas 4.5. Fórmlas de transformação directa Estabelecendo m sistema cartesiano (x,y) sobre o plano e adoptando o sistema crilíneo (, ) no elipsóide, em qe é a latitde isométrica, erifica-se qe pela expressão 4. para = tem-se x=, o qe significa qe o meridiano central é representado pelo eixo oy das ordenadas, logo os otros meridianos terão de ser representados por rectas paralelas a esse eixo, isto é: para = constante tem-se x=constante Desenolendo f em serie de McLarin e separando as partes reais das partes imaginárias, obtem-se: d f y f! d df x d d f! d (4.) A B Fig. 4. Loxodrómica, linha de azimte constante. Para qe a coordenada x dependa nicamente da longitde é necessário impor qe: João Catalão - FCUL 4