ENILSON PALMEIRA CAVALCANTI

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1 ENILSON PALMEIRA CAVALCANTI Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências e Tecnologia Departamento de Ciências Atmosféricas Av. Aprígio Veloso, 88 Bodocongó Campina Grande PB Copyright 001- Enilson Palmeira Cavalcanti NOVEMBRO DE 001

2 NOTAS DE DINÂMICA DE FLUIDOS NOVEMBRO DE 001

3 Agradecimentos aos colegas Dr. Skaran Ram Patel e Dra. Maria Regina da Silva Aragão pelas sgestões apresentadas. Célia, Erika Renata, Edyla Raqel e Enilson José, dedico-lhes. 3

4 ÍNDICE Capítlo I - Características Cinemáticas do Escoamento de Flidos I.1 Conceito de Flido 01 I. O Contíno 03 I.3 Descrição Lagrangeana e Eleriana 04 I.4 Derivada Sbstantiva o Material 04 I.4.1 Derivada Sbstantiva como derivada total 04 I.4. Derivada Sbstantiva pela análise integral 05 I.5 Eqação da Continidade de Massa 07 I.6 Divergência Horizontal em Coordenadas Natrais 08 I.6.1 Interpretação da contribição do termo V s para a Divergência 09 I.6. Interpretação da contribição do termo θ n para a Divergência 09 I.7 Medidas de Rotação nm Flido 10 I.7.1 Vorticidade 10 I Interpretação da contribição do termo V R para a vorticidade 11 I.7.1. Interpretação da contribição do termo V n para a vorticidade 1 I.7. Circlação 1 I.8 Potencial de Velocidade 14 I.9 Fnção de Corrente 15 I.10 Exercícios 17 Capítlo II - Princípios de Momentm, Calor e Massa II.1 Conservação da qantidade de movimento linear 19 II.1.1 Eqação do movimento para m flido ideal o eqação de Eler 19 II Força do gradiente de pressão 19 II.1.1. Força Gravitacional 0 II.1. Eqação de Bernolli 1 4

5 II. Teorema da Circlação II.3 Eqação da Vorticidade 5 II.4 Eqação de Navier-Stokes 6 II.5 Eqação de transferência de calor 8 II.6 Eqação de transferência de vapor 31 II.7 Exercícios 3 Capítlo III - Processos na Camada Limite Sperficial III.1 Experiência de Reynolds 34 III. O conceito de camada limite 35 III..1 Espessra da camada limite 35 III.. Considerações sobre a eqação de Navier-Stokes dentro da camada limite laminar para m escoamento permanente 36 III.3 Camada limite térmica 38 III.4 Escoamento trblento 39 III.4.1 A trblência medida em relação ao tempo 39 III.4. Eqação de Reynolds 40 III.4..1 Teoria de comprimento de mistra de Pranl 4 III.4.. Perfil de velocidade nm escoamento trblento 43 III.4.3 Analogia de Reynolds para a temperatra 45 III Eqação de transferência de calor para escoamento trblento45 III.4.3. Flxo de calor na camada limite térmica trblenta 46 III.4.4 Analogia de Reynolds para o vapor III Eqação de transferência de vapor na camada limite trblenta 47 III.4.4. Flxo de vapor na camada limite trblenta 47 III.5 Exercícios 48 Capítlo IV - Análise Dimensional IV.1 Análise Dimensional 50 IV.1.1 Teorema de Bchinghan 51 5

6 IV. Exercícios 53 Bibliografia e Apêndices Bibliografia Consltada 54 A.1 Coordenadas Crvilíneas 55 A.1.1 Coordenadas Cilíndricas 56 A.1. Coordenadas Esféricas 57 Alfabeto Grego 59 6

7 CAPÍTULO I Características Cinemáticas do Escoamento de Flidos 7

8 I.1 CONCEITO DE FLUIDO Um flido é ma sbstância qe se deforma continamente qando sbmetido a ma tensão de cisalhamento, não importando o qão peqena possa ser essa tensão. Uma força de cisalhamento é a componente tangencial da força qe age sobre à sperfície e qando dividida pela área da sperfície dá origem à tensão de cisalhamento média sobre a área. Tensão de cisalhamento nm ponto é o valor limite da relação entre a força de cisalhamento e a área, qando a área tende a zero, o seja: τ lim Fx =. (I.1) δa 0 δ A Sponhamos ma sbstância confinada entre das placas paralelas bem próximas e grandes de modo qe as pertrbações nas bordas possam ser desprezadas ( Figra I.1). A placa inferior é fixa e ma força F é aplicada na placa sperior, a qal exerce ma tensão de cisalhamento Fx A na sbstância, em qe A é a área da placa sperior. Se a força Fx movimenta a placa sperior com ma velocidade (não nla) constante não importando qão peqena seja a intensidade de Fx, pode-se conclir qe a sbstância entre as das placas é m flido. y = U F δy δθ Fx PLACA FIXA ( = 0) x Figra I.1 - Placas paralelas contendo ma sbstância qe se deforma continamente qando sbmetida a ação de ma tensão de cisalhamento. Foi observado experimentalmente qe: τ δθ (I.) δ t sendo δ s= δ θδ y, tem-se qe δθ = δs δy em qe δ s δ x(figra I.). Portanto τ δ x δ t δ y e ma vez qe δ = δ x δ t pode-se reescrever I. como: τ δ δ y (I.3) A Figra I. ilstra o resltado obtido, em qe m delta de espaço é dado pelo prodto de m delta de ânglo pelo raio (no caso o δ ). y Foi observado também qe a constante de proporcionalidade é ma propriedade inerente do flido a qal chamo-se de VISCOSIDADE, simbolizada por: µ Viscosidade dinâmica; ν Viscosidade cinemática ( µ ). 8

9 Portanto, no limite tem-se θ τ = µ d (I.4) o τ = µ d. (I.5) dy δx δs δy δθ Figra I. - Visalização da propriedade trigonométrica. A eqação I.5 é conhecida como Lei de Newton da Viscosidade. Em experiências posteriores, com otros flidos, observo-se qe estes não apresentavam ma relação linear entre a tensão de cisalhamento (τ ) e a velocidade de deformação (d θ o d dy ) e sim ma do tipo: d n τ = µ ( ) (I.6) dy em qe n é m número inteiro diferente de 1. Esses flidos são classificados como não Newtonianos. Para melhor compreensão, vejamos a classificação mostrada através da Figra I.3 para flidos e otras sbstâncias. São exemplos de flidos as sbstâncias no estado líqido e gasoso. A viscosidade de m gás amenta com a temperatra, mas a viscosidade de m líqido dimini. A variação com a temperatra pode ser explicada examinando-se o mecanismo da viscosidade. A resistência de m flido ao cisalhamento depende da coesão moleclar e da velocidade de transferência da qantidade de movimento moleclar. Nm líqido, cjas moléclas estão mais próximas qe nm gás, existem forças de coesão mito maiores qe nos gases. A coesão parece ser a casa predominante da viscosidade nm líqido e como a coesão dimini com o amento da temperatra a viscosidade sege o mesmo comportamento. Por otro lado, nm gás existem forças de coesão mito peqenas, sa resistência ao cisalhamento é principalmente o resltado da qantidade de movimento moleclar qe amenta com o amento da temperatra com o conseqüente amento da viscosidade. 9

10 I. O CONTÍNUO Todos os materiais, evidentemente, são constitídos de átomos moléclas. Assim, o estdo das propriedades de m flido a partir do comportamento de sas moléclas consiste no enfoqe moleclar. O estdo de m flido a partir do enfoqe moleclar traz mitas complicações para as eqações governantes tornando-as, qase sempre, incapazes de serem solcionadas. Por esta razão é conveniente tratar o flido qe está-se lidando como m meio contíno. A hipótese do contíno consiste em abstrair-se da composição moleclar e sa conseqüente descontinidade o seja, por menor qe venha a ser ma divisão do flido, esta parte isolada deverá apresentar as mesmas propriedades qe a matéria tratada como m todo. A esta peqena parte do flido costma-se chamar de Partícla o Ponto Material. Com base na hipótese do contíno, pode-se definir densidade de m flido em m ponto como sendo o limite da razão entre δ (massa) e δ (volme) qando δ tende para m certo valor limite δ. Logo, m v v v * lim = δv δ v * δ m δ v. (I.7) Para gases e líqidos sbmetidos a condições normais, δ é da ordem de 10. Por exemplo: m volme de mm de ar nas condições normais de temperatra e pressão, contem aproximadamente moléclas de ar (número de Avogadro é igal 6, moléclas). Portanto, evidencia-se qe m volme desta ordem de grandeza é sficientemente peqeno para qe em Meteorologia, Engenharia, etc., seja tomado como sendo ma Partícla o Ponto Material enqanto qe a qantidade de moléclas existentes neste volme é sficiente para caracterizar o flido como m todo. v * 9 mm 3 No caso de gases rarefeitos, a hipótese do contíno não pode ser assmida em virtde das moléclas estarem dispersas de forma qe m volme desta ordem de grandeza pode não conter moléclas sficientes para caracterizar o gás. A hipótese do contíno permite estdar as propriedades do flido através do cálclo diferencial e (o) integral, ma vez qe continidade é fndamental na teoria do cálclo. 10

11 I.3 DESCRIÇÃO LAGRANGEANA E EULERIANA Estes dois tipos de descrições permitem analisar problemas em mecânica de flidos de das formas diferentes: 1) Descrição Lagrangeana consiste em identificar certas partíclas do flido e a partir daí observar variações de propriedades tais como temperatra; velocidade; pressão; etc. ao longo do tempo o seja, necessitase conhecer as propriedades das partíclas a medida qe estas se deslocam no espaço com o passar do tempo. Isto dificlta consideravelmente o estdo de m escoamento. A otra forma, a Eleriana, apresenta vantagens por oferecer maior simplicidade com precisões satisfatórias. ) A Descrição Eleriana é a mais apropriada para se estdar as propriedades do flido em escoamento. Este método consiste em fixar-se o tempo e observar-se propriedades do flido em vários pontos pré-estabelecidos podendo-se assim obter ma "visão" do comportamento do escoamento naqele instante. Repetindo-se estes procedimentos para instantes diferentes, pode-se ter m entendimento do comportamento do escoamento ao longo do tempo o seja, a tendência do comportamento do escoamento. Em Meteorologia, por exemplo, o escoamento do ar, em geral, é estdado pelo método Eleriano. As Estações Meteorológicas representam pontos pré-fixados do espaço e para certos instantes determinados pela Organização Meteorológica Mndial (OMM) são feitas observações de parâmetros, tais como: temperatra; pressão; vento; midade do ar; etc. qe irão descrever as características do escoamento atmosférico. O conceito de trajetória está ligado à Descrição Lagrangeana enqanto qe o conceito de linhas de corrente está ligado à Descrição Eleriana. Trajetória: dx = dy = v (I.8) dz = w. Linhas de corrente: dx = dy dz v = w. (I.9) I.4 DERIVADA SUBSTANTIVA OU MATERIAL Vejamos aqi dois enfoqes diferentes, m tilizando-se do cálclo diferencial e o otro do cálclo integral. I.4.1 A DERIVADA SUBSTANTIVA COMO DERIVADA TOTAL Considere a Descrição Eleriana f=f(x,y,z,t) qe descreve o campo da propriedade f. O incremento infinitesimal df é dado pela diferencial total como df = f (I.10) x dx + f y dy + f z dz + f t d t em qe os incrementos, dx, dy e dz são arbitrariamente independentes. Dividindo ambos os membros da eqação I.10 por, tem-se 11

12 df f f dx f dy = t x y f z dz (I.11) ma vez qe = dx/; v = dy/ e w = dz/ a eqação I.11 pode ser reescrita como df f f f = + + v +w f t x y z (I.1) o, de forma mais compacta, simplesmente por df f = + V. f (I.13) t em qe V = i + vj + w k. Esta expressão é conhecida como derivada sbstantiva o material, em qe d = + + v +w é simplesmente m operador. t x y z O termo f t é a taxa de variação local da propriedade f e o termo V. f é a taxa de variação advectiva (advecção) da propriedade f. Portanto a taxa de variação sbstantiva é dada pela soma da taxa de variação local e da advecção. I.4. DERIVADA SUBSTANTIVA PELA ANÁLISE INTEGRAL Neste caso iremos tilizar m volme de controle qalqer para a formlação da taxa de variação total em termos de parâmetros integrais. Seja N o valor de algma grandeza associada ao sistema no instante t (massa, energia, qantidade de movimento, etc.) e n o valor desta grandeza por nidade de massa. Em t +δ t, (Figra I.4) o sistema constitise dos volmes II e III, enqanto no instante t ocpava os volmes I e II. A variação da grandeza N no sistema, no intervalo de tempo δ t é dado por: N N = ( n dv + n dv) ( ndv + ndv) sis ( t + δ t ) sis ( t ) ( t + δ t) ( t ) II III I II rearranjando os termos e dividindo por δ t, tem-se (I.14) N δ t ndv n dv δ t + n dv δ t n dv δ t. (I.15) sis( t + δt ) Nsis( t ) II( t + δt ) II( t ) III ( t + δt ) I ( t ) = O primeiro membro é a taxa média de variação do valor de N no sistema no intervalo de tempo δ t. No limite, qando δ t tende a zero, pode-se escrever dn/. 1

13 III II I Figra I.4 - Volme de controle e sistema para m escoamento em dois instantes diferentes. O limite da primeira parcela do segndo membro, relativo ao volme II, é pela definição de derivada parcial escrita como n dv t. (I.16) vc A parcela seginte, qe é o flxo de saída de N do volme de controle, no limite pode ser escrita como δ lim t 0 III ( t + δ t ) n dv δ t = Asaída ( ) nv. nda (I.17) Da mesma forma para o último termo da eqação, sendo qe o valor negativo indica entrada do flxo de N no volme de controle ( contrário ao vetor nitário n ). No limite tem-se lim δ t 0 I( t) n dv δ t = A( entrada ) nv. nda. (I.18) Sbstitindo-se todos os termos na eqação I.15 tem-se dn = n dv+ n V nda t. (I.19) vc sc portanto, dn/ é dado pela soma da taxa de variação de N no volme de controle mais o flxo resltante de N através da sperfície de controle. 13

14 I.5 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DE MASSA Partindo do princípio de conservação de massa, em qe a massa é conservada desde qe não haja fonte nem smidoro desta, tem-se dm = 0. (I.0) Para esse caso o N m (massa), logo n = N m de em qe se concli qe n = 1. Conforme a expressão para derivada sbstantiva dm/ é dado por: dm = dv + t vc sc V. nda (I.1) portanto, na forma integral temos qe a eqação da continidade de massa é dada como t vc dv + sc V. nda = 0 (I.) sendo o primeiro termo a taxa de variação da massa no volme de controle (taxa de variação local) e o segndo termo o flxo de massa resltante qe entra (negativo) o sai (positivo) através da sperfície de controle e normal a esta. forma: Aplicando o teorema da divergência de Gass no segndo termo da eqação I., esta toma a seginte t vc dv +. Vdv = 0 (I.3) vc o ( +. V) dv = 0. (I.4) t vc A eqação da continidade de massa na forma diferencial é obtida da eqação I.4. Como essa integral é zero qem deve ser zero é o integrando. Logo, tem-se t +. V = 0 (I.5) qe desmembrando o segndo termo assme a forma t + V. +. V = 0 (I.6) o a forma d +. V = 0 (I.7) 14

15 mediante o conceito de derivada sbstantiva. forma Para m flido homogêneo ( = 0) e incompressível ( t = 0) a eqação I.6 o I.7 assme a. V = 0 (I.8) qe em termos das componentes da velocidade, fica x + v w y + z = 0. (I.9) O termo. V é chamado de divergência e é representado pelo símbolo δ. I.6 DIVERGÊNCIA HORIZONTAL EM COORDENADAS NATURAIS A divergência horizontal é dada por v δ h = +. (I.30) x y y n s θ o x Figra I.5 - Eixos cartesianos x,y e natrais s,n rotacionados de m ânglo θ e vetor velocidade associado. Com base na Figra I.5 temos qe = V cosθ, v = V sen θ logo, = ( V, θ) e v = v ( V, θ). Portanto as variações de com x e de v com y são dadas por: x v y V θ = + ; (I.31) V x θ x v V v θ = +. (I.3) V y θ y Obtendo as derivadas correspondentes tem-se x θ V = cos V sen θ θ ; (I.33) x x 15

16 v y θ V = sen + V cos θ θ. (I.34) y y Observe qe qando θ tende para zero (θ 0 ) tem-se x s e y n, logo V θ δ h = + V. (I.35) s n I.6.1 INTERPRETAÇÃO DA CONTRIBUIÇÃO DO TERMO V s PARA A DIVERGÊNCIA Considere o escoamento da Figra I.6, onde a intensidade da velocidade (V) é representada pelo tamanho da seta (qanto maior for o tamanho da seta maior será o valor de V). No caso (a) V s> 0 e no caso (b) V s< 0 contribindo para divergência e convergência (divergência < 0) respectivamente. (a) (b) DIVERGÊNCIA CONVERGÊNCIA Figra I.6 - Contribições para (a) divergência (b) convergência. I.6. INTERPRETAÇÃO DA CONTRIBUIÇÃO DO TERMO θ n PARA A DIVERGÊNCIA Considere o caso da Figra I.7 onde as linhas de corrente apresentam crvatras diferentes. Na parte a) θ n < 0 e na parte (b) θ n > 0 contribindo para convergência e divergência respectivamente. Figra I.7 - Parte (a): convergência. Parte (b): divergência. I.7 MEDIDAS DE ROTAÇÃO NUM FLUIDO I.7.1 VORTICIDADE O rotacional de m campo vetorial qalqer é dado pela aplicação do operador (nabla) ao campo vetorial sob forma de prodto vetorial o seja, F. No caso do campo vetorial ser m campo de velocidade 16

17 em m escoamento, esta medida indica a rotação existente no escoamento e é chamada de Vorticidade. A vorticidade é das vezes a velocidade de rotação, logo a Vorticidade é dada por: Resolvendo, tem-se i j k V = (I.36) x y z v w V = ( w v + + (I.37) y z ) i ( w z x ) j ( v ) x y k qe representa medidas de rotação nm escoamento e cjos eixos de rotação são i, j, k. A componente k do rotacional o seja, a rotação no plano x,y é de fndamental importância no estdo da cinemática de flidos. Representada pelo símbolo ζ (zeta) pode também ser expressa por o ζ = k.( V ) (I.38) ζ = v x y (I.39) portanto, a componente vertical da vorticidade é ma medida de rotação para m ponto do plano o seja é ma medida "microscópica" da rotação nm escoamento plano. Para ma melhor interpretação física da vorticidade ( ζ ), convém escrevê-la em coordenadas natrais. Lembrando qe = V cosθ e v = V sen θ (Figra I.5) tem-se = ( V, θ) e v = v ( V, θ) e portanto v x y v V v θ = + ; (I.40) V x θ x V θ = +. (I.41) V y θ y Logo v x y θ V = sen + V cos θ θ ; x x (I.4) θ V = cos V sen θ θ. y y (I.43) x Qando θ tende a zero, e y n. Portanto, v x s θ = V e s y = V n. (I.44) 17

18 Considerando qe δ s= R δ θ em qe R é o raio de crvatra ver (Figra I.8) logo δθ δ s= 1 R, o qe torna o termo v x = V θ s igal a V R (a crvatra K é obtida por K=1/R). Dessa maneira, a vorticidade toma a seginte forma δs δθ R Figra I.8 - δs = Rδθ ζ V = R V n. (I.45) I INTERPRETAÇÃO DA CONTRIBUIÇÃO DO TERMO V R PARA A VORTICIDADE Considere dois casos de escoamentos com crvatra (Figra I.9). No caso (a) a crvatra está no mesmo sentido do vetor normal nitário e portanto positiva, sendo V o módlo da velocidade V a contribição oferecida para a vorticidade é positiva. No caso (b) a crvatra está no sentido contrário ao vetor normal nitário e portanto negativa, oferecendo ma contribição negativa para a vorticidade. Figra I.9 - Contribição do termo de crvatra no caso de: (a) vorticidade positiva e b) vorticidade negativa. I.7.1. INTERPRETAÇÃO DA CONTRIBUIÇÃO DO TERMO V n PARA A VORTICIDADE Considere m escoamento com cisalhamento conforme mostra a Figra I.10 ( R = o K = 0). No caso (a) o termo V n > 0 contribi para vorticidade positiva (anti-horária), já no caso (b) o termo V n < 0 contribi para vorticidade negativa (horária). 18

19 Figra I.10 - Contribição do cisalhamento lateral para a vorticidade no caso de: a) vorticidade positiva e b) vorticidade negativa. Pode acontecer casos em qe existam crvatra e cisalhamento lateral de forma qe essas contribições se compensem anlando a vorticidade o se somem tornando-a máxima. A títlo de informação adicional, em Meteorologia chama-se vorticidade ciclônica qando a rotação se dá no mesmo sentido do movimento de rotação da terra e vorticidade anticiclônica caso contrário. Logo: I.7. CIRCULAÇÃO ζ> 0 Vorticidade Ciclônica no Hemisfério Norte; Vorticidade Anticiclônica no Hemisfério Sl; ζ< 0 Vorticidade Anticiclônica no Hemisfério Norte; Vorticidade Ciclônica no Hemisfério Sl. Circlação é ma medida "macroscópica" da rotação nm flido. É definida como a integral de linha do vetor velocidade tangente em cada ponto a ma determinada crva fechada ( l ) (Figra I.11). Portanto, circlação mede a rotação nma área. A expressão matemática é dada como: C = V. dl (I.46) l Figra I.11 - Linhas de corrente e crva (linha) fechada para cálclo da circlação. Por convenção o sentido de integração anti-horário é considerado positivo. Uma relação entre a circlação e vorticidade pode ser obtida, para tal considere o caso da Figra I.1 qe representa ma área qadrada e infinitesimal de lados δ e δ. x y 19

20 y x Figra I.1 - Qadrado infinitesimal para definição da relação entre circlação e vorticidade. Calclando a circlação considerando a Figra I.1 tem-se C = V. dl = dx + vdy. (I.47) l Considerando cada lado do contorno a eqação I.47 fica l v C dx v (I.48) x dx dy = + ( + ) ( + dy) dx y vdy l1 l l3 l4 rearranjando os termos e eliminando os termos igais e de sinais contrários, tem-se v C = ( (I.49) x y ) dxdy s o da forma, ma vez qe ζ = v x y, fica C = ζ da. (I.50) s Tomando a vorticidade média pode-se escrever a seginte relação entre circlação e vorticidade C C = ζ A ζ =. (I.51) A Para o caso da vorticidade nm ponto a relação existente é lim C ζ = A δa A. (I.5) A relação mostrada anteriormente já é assegrada pelo teorema de Stokes, qe para o caso da circlação l Vdl. = ( V). kda (I.53) como ζ = ( V). k, pode-se escrever I.53 como s 0

21 Vdl. = ζ da. (I.54) l s I.8 POTENCIAL DE VELOCIDADE Sendo V m campo de velocidade, tal qe seja gerado de m campo escalar φ da forma V = φ, então diz-se qe V é m campo conservativo e φ é o potencial de V o seja, φ é o potencial de velocidade. Dessa forma, o campo de velocidade qe é m campo vetorial, pode ser convertido nm campo escalar. Um vez qe V = φ, pode-se afirmar qe este campo é irrotacional, pois V = ( φ ) = 0. (I.55) A recíproca também é verdadeira, para qe exista potencial de velocidade o campo de velocidade tem qe ser irrotacional, o seja v x = y ; w y = v z ; z = w x. (I.56) Para o caso de m escoamento plano a condição de irrotacionalidade é simplesmente v x = y, qe é também a condição para qe dx + vdy seja ma diferencial exata o total, digamos d φ, logo dx + vdy = φ. (I.57) x dx φ y dy O sinal negativo é ma convenção qe faz com qe o valor de φ decresça no sentido da velocidade. Comparando os termos da eqação I.57 tem-se O qe leva à expressão φ φ = e = v. (I.58) x y V = φ. (I.59) φ Isso prova a existência de ma fnção potencial φ tal qe sa derivada em relação a qalqer direção é a componente da velocidade nessa direção. A figra potencial. I.13 exemplifica a direção e sentido do vetor velocidade potencial nm campo da fnção 1

22 Figra I.13 - Potencial de velocidade e vetor velocidade (parte irrotacional). I.9 FUNÇÃO DE CORRENTE Da eqação das linhas de corrente para m movimento horizontal, dx dy =, (I.60) v tem-se qe vdx dy = 0. Sendo ψ ma fnção de corrente, para ψ = constante pode-se escrever vdx dy = ψ x dx + ψ y dy (I.61) portanto, comparando os termos da eqação I.61 concli-se qe ψ x ψ = v; =. (I.6) y Nesse caso. V = 0 o seja, o escoamento é não divergente. Nma forma vetorial, pode-se escrever qe o campo da velocidade não divergente é dado por V = k ψ (I.63) ψ em qe k é o vetor nitário na direção vertical. A figra I.14 exemplifica a direção e sentido do vetor velocidade nm campo da fnção de corrente Figra I.14 - Fnção de corrente e vetor velocidade (parte não divergente)

23 Eqacionando as expressões correspondentes das velocidades envolvidas, a fnção de corrente e o potencial de velocidade apresentam as segintes relações ψ y = φ x ; ψ x = φ y. (I.64) Portanto, se φ o ψ for conhecida, pelas relações I.64 pode-se obter a otra fnção. Um campo de velocidade V é composto por V = V + V (I.65) ψ φ em qe V e V são as partes não divergente e irrotacional respectivamente, tal qe ψ φ. V ψ = 0 e V φ = 0 (I.66) portanto, o campo de velocidade horizontal pode ser expresso em termos de sas componentes cartesianas como ψ φ = ; y x ψ φ v =. (I.67) x y Conseqüentemente, a vorticidade e a divergência tomam as formas ζ v = = + ψ = x y ( x y ) ψ; (I.68) v δ = + = + φ =. (I.69) x y ( x y ) φ As linhas de potencial de velocidade e de fnção de corrente formam m sistema ortogonal. Para verificar a relação de ortogonalidade, basta mostrar qe as inclinações das linhas de corrente e de potencial são recíprocas negativas em qalqer interseção, o seja 1 dy dy ( ) φ= cte = ( ) ψ cte (I.70) dx = dx 3

24 I.10 EXERCÍCIOS 1 - Uma tensão de cisalhamento de 4 dinas cm casa nm flido Newtoniano ma velocidade de deformação anglar de 1 rad/seg. Qal é a viscosidade do flido. - Analise qais as dimensões de viscosidade dinâmica e viscosidade cinemática. 3 - Calcle o número de moléclas encontradas nm volme de 10 9 mm 3 de ar nas condições normais de temperatra e pressão. 4 - Dado o campo de velocidade por = x e v = y, obter as eqações paramétricas da trajetória e a eqação das linhas de corrente. Compare-as. 5 - Expliqe fisicamente o teorema de Gass para o caso de V. n da =. Vdv. sc 6 - Calcle a advecção de temperatra nos pontos A e B da figra abaixo. vc 7 - Dê o conceito de a) flido compressível e incompressível; b)flido ideal o perfeito; c) escoamento permanente e escoamento variado. 8 - Calcle a densidade média da Terra. 9 - Classifiqe as sbstâncias segndo a relação apresentada abaixo (a) τ d/dy (b) τ d/dy Mostre qe sendo V = Vt, em qe t é o vetor tangente nitário, a aceleração em coordenadas natrais é composta de ma aceleração tangencial e ma aceleração centrípeta da forma dv dv t V Kn = + em qe K é a crvatra ( K = 1 R) e n é o vetor normal nitário Dado o campo de velocidade por = x y + 3 e v = x y calclar a divergência e a vorticidade no ponto x = 1 e y = Verifiqe se o campo de velocidade horizontal dado por 4

25 y = e x + y v x = x + y satisfaz a eqação da continidade de massa para m flido incompressível Os valores da divergência horizontal para vários níveis, obtidos com base nos dados de ma radiossondagem, são dados abaixo. Pressão (hpa) divergência ( seg ) , , , , , ,0 Calclar a velocidade vertical para cada nível, assmindo ma atmosfera isotérmica com T = 00 K e condição de contorno dada por W = 0 para 1000 hpa Qal é a circlação em torno de m qadrado de 1000 Km de aresta, para m escoamento qe decresse em 1 magnitde na direção positiva do eixo y à razão de 10 m. seg / 500Km Escreva a divergência e a vorticidade em coordenadas natrais e expliqe a contribição de cada termo isoladamente O potencial de velocidade de m escoamento plano é φ = y + x y + cte. Determine a fnção de corrente desse escoamento A fnção de corrente de m escoamento plano é ψ = 9+ 6x 4y+ 7xy. Determine o potencial de velocidade φ Dada a fnção de corrente por ψ ( x, y) = cos( y) + cos( x). Obter a vorticidade para o ponto x=0 e y= Obter o campo de ψ ( x, y ) e o campo de ζ ( x, y) relacionados com a fnção dada no problema anterior. Considere os intervalos: 0 x π e 0 y π. 0 - Mostre qe as linhas de potencial de velocidade e de fnção de corrente, formam m sistema ortogonal de coordenadas. 5

26 CAPÍTULO II Princípios de Momentm, Calor e Massa 6

27 II.1 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR Desprezando-se as forças eletromagnéticas e eletroqimicas, as principais forças qe agem nm flido são: força devido ao gradiente de pressão (, força gravitacional ( F p ) F G ) e força viscosa ( F v ). O princípio de conservação da qantidade de movimento linear diz qe: a taxa de variação sbstantiva da qantidade de movimento é igal ao somatório das forças qe agem nm flido, logo dmv = F (II.1) em qe, mv é a qantidade de movimento linear e F é a força resltante qe age no flido. Observe qe essa expressão corresponde a segnda lei de Newton ( F = ma ) formlada na mecânica clássica. II.1.1 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA UM FLUIDO IDEAL OU EQUAÇÃO DE EULER Como se trata de m flido ideal, a viscosidade é nla ( µ=0) logo, não existe força viscosa atando, existem somente as forças devido ao gradiente de pressão e à atração gravitacional. Para se obter a variação sbstantiva da qantidade de movimento linear tem-se qe: N = mv, como n = N m concli-se qe n = V. Sbstitindo-se na expressão qe dá a variação sbstantiva, expressa por dn = ndv+ t vc sc nv. nda (II.) assme a forma dmv = Vdv + VV n da t.. (II.3) vc sc Para se obter a eqação em sa forma final, resta saber a expressão das forças devido ao gradiente de pressão e à atração gravitacional. II FORÇA DO GRADIENTE DE PRESSÃO Esta força existe devido a diferença de pressão entre pontos do flido. Logo, expressa em termos do gradiente de pressão tem a forma F p = p dv vc (II.4) onde o sinal negativo indica qe essa força ata no sentido contrário ao gradiente de pressão p. 7

28 II.1.1. FORÇA GRAVITACIONAL Esta força é obtida do prodto da massa pela aceleração da gravidade ( g). Para m volme qalqer esta força pode ser expressa como = gdv, (II.5) em qe g = g F G vc k é o vetor aceleração da gravidade e ata no sentido contrário ao vetor nitário k (vertical). Retornando à qestão da eqação II.1 e considerando o flido incompressível ( =cte.) pode-se escrever a eqação com a introdção das forças expressas anteriormente. Portanto, o t V dv + VV. n da = p dv + g dv (II.6) vc sc vc vc t 1 V dv + VV. n da = p dv + g dv vc sc vc vc (II.7) qe expressa a eqação do movimento para m flido ideal e incompressível, chamada de eqação de Eler do movimento. Aplicando o teorema da divergência de Gass ao segndo termo do lado esqerdo de II.7 e rearranjando os termos tem-se t 1 Vdv+ ( V. ) Vdv+ pdv gdv= 0 (II.8) vc vc vc vc como a soma das integrais é igal a integral da soma dos integrandos, tem-se V [ + ( V. ) V + 1 p g] dv = 0. (II.9) t vc Para se obter a eqação de Eler na forma diferencial, basta considerar qe sendo esta integral de volme igal a zero então qem deve ser nlo é o integrando. Logo, V t 1 + ( V. ) V + p g = 0 (II.10) o apresentada nma forma mais sal, por V t 1 + ( V. ) V = p+ g. (II.11) 8

29 Lembre-se qe V t é a taxa de variação local do vetor velocidade e ( V. ) V é a taxa de variação advectiva, ambas também denominadas acelerações inerciais. Os termos 1 p e g são as forças do gradiente de pressão e gravitacional, ambas por nidade de massa. A eqação II.11 é ma eqação vetorial e portanto pode ser decomposta em sas componentes cartesianas na forma t v t w t 1 + V. = 1 + V. v = p x p y ; (II.1) ; (II.13) 1 p + V. w= g ; (II.14) z o tilizando o conceito de derivada sbstantiva como d dv dw p = 1 ; (II.15) x p = 1 ; (II.16) y 1 p = g ; (II.17) z em qe d = V v t + = t + + x y +w. z é m operador qe dá a variação sbstantiva. Vale salientar qe, qando é sposto o flido estático o seja, em reposo, não existem acelerações em nenhma das direções, e portanto, d/, dv/ e dw/ são nlos. Assim, as eqações II.15 a II.17 restringem-se a p = g z (II.18) qe é a eqação para o balanço hidrostático o eqação hidrostática. II.1. EQUAÇÃO DE BERNOULLI A eqação de Bernolli é ma caso particlar da eqação de Eler, o seja, é obtida pela integração da eqação de Eler ao longo de ma linha de corrente para o caso de m escoamento permanente e potencial ( V = 0). Portanto, considerando a eqação II.11 no caso de m escoamento permanente ( V t = 0) tem-se 1 ( V. ) V = p+ g. (II.19) 9

30 Aplicando a seginte proprie dade vetorial, em qe ( V. ) V = 1 ( V. V) V ( V) caso de irrotacionalidade redz-se a ( V. ) V = 1 ( V. V), a eqação II.19 toma a forma qe no 1 1 V + p g = 0. (II.0) Integrando II.0 ao longo de ma linha de corrente ( l) na forma o V. dl + p. dl + gk. dl = l l l l l 0 (II.1) 1 d( V )+ dp + gdz = cte. (II.) l l Desta forma, tem-se qe a eqação de Bernolli é dada por V p + + gz = cte. (II.3) Em qe: 1 V energia cinética por nidade de massa; gz energia potencial por nidade de massa e 1 p energia de pressão por nidade de massa. A eqação de Bernolli expressa ma lei de conservação das energias cinética, potencial e de pressão. II. TEOREMA DA CIRCULAÇÃO forma Seja a eqação do movimento para m flido incompressível e não viscoso (eqação de Eler) na dv 1 = p+ g. (II.4) Uma vez qe o campo gravitacional é m campo conservativo, este admite fnção potencial e pode ser escrito como g = φem qe φ é o geopotencial ( φ=gz), logo dv 1 = p φ. Tomando a integral de linha da eqação II.5 em m circito fechado, tem-se dv 1. dl = p. dl dl φ. l l l (II.5). (II.6) Analisando o integrando do primeiro termo do lado esqerdo da eqação II.6 verifica-se qe dvdl (. ) dv. dl V. d ( dl = + ). (II.7) 30

31 Por sa vez, o segndo termo do lado direito de II.7 é Vd. V dv ( dv = 1 ). Portanto, tem-se finalmente dvdl (. ). dl = 1 dv ( ), (II.8) conseqüentemente dv dvdl (. ) 1. dl = dv ( ). (II.9) l l l Reescrevendo a eqação II.6 com a tilização de II.9, ela toma a seginte forma d l V. dl = 1 d( V ) 1 p. dl φ. dl (II.30) qe apresentada em termos da diferencial exata fica d l l l 1 1 Vdl. = dv ( ) dp dφ. (II.31) l l l l Sendo a circlação definida como C = V. dl e sendo a integral de linha de ma diferencial exata nm circito fechado igal a zero, a eqação II.31 redz-se a l dc = 1 dp. (II.3) l Portanto, a variação da circlação (absolta) com o tempo se dá devido a ação do termo termo SOLENOIDAL. Essa eqação expressa o teorema de Bjerknes da circlação. 1 dp, chamado de l Para melhor explicar a inflência do termo solenoidal para a variação da circlação com o tempo, vamos considerar m recipiente contendo m determinado flido aqecido por ma fonte de calor, conforme mostra a Figra II.1. Pode-se observar qe as sperfícies de pressão constante apresentam crvatras para a parte sperior do recipiente enqanto qe as sperfícies de volme específico constante apresentam crvatras no sentido oposto o seja, para o lado da fonte de calor. Figra II.1 - Corte no plano x,z mostrando linhas de interseção com sperfícies de pressão 31

32 Para qe o termo solenoidal tenha ma forma conveniente à análise da Figra II.1, ele será expresso de otra forma tilizando-se o teorema de Stokes. Logo 1 1 dp = ( p). jda. (II.33) l A Fazendo so das propriedades vetoriais e do fato de qe p = 0 pode-se escrever o termo solenoidal da seginte forma ( p α ). jda. (II.34) A Observando a Figra II. pode-se verificar qe: 1) na parte A, existe ma contribição dos solenóides com giro no sentido anti-horário e, portanto, ma contribição do termo solenoidal para a taxa de variação da circlação na região A; ) na parte B, o solenóide é nlo pois p e α são paralelos e, portanto, p α = 0; 3) na parte C, tem-se a presença de solenóides com giro no sentido horário e, portanto, ma contribição do termo solenoidal para ma taxa de variação da circlação na região C. Em resmo tem-se, movimento ascendente no centro do recipiente e movimento descendente nas bordas do mesmo. Esse efeito, apesar de esperado, esclarece a contribição do termo solenoidal. Um otro exemplo da importante contribição do termo solenoidal pode ser verificado nos casos de brisa marítima e brisa terrestre. Observe ainda qe qando as sperfícies de pressão constante são paralelas às sperfícies de volme específico, densidade o temperatra constantes o termo solenoidal é nlo e é dito qe o flido é barotrópico p = p( ). Qando existem inclinações entre estas, diz-se qe o flido é baroclínico p = p(, T) o seja, a pressão é fnção da densidade e da temperatra. Para m flido barotrópico a expressão II.3 redz-se a Figra II. - Esqema da contribição do termo solenoidal para dc/, nas regiões A, B e C. dc = 0. (II.35) Portanto, ao integrar essa eqação tem-se qe C = cte. A eqação II.35 expressa o teorema de Kelvin da Circlação: "em m flido barotrópico a circlação (absolta) se conserva com o tempo". 3

33 II.3 EQUAÇÃO DA VORTICIDADE Para se obter a eqação da vorticidade para m escoamento no plano x, y em relação a m referencial absolto, vamos tomar a eqação de Eler para a direção x e derivar com relação a y, e tomar a eqação de Eler para a direção y e derivar em relação a x. Portanto v w p ( = 1 ); (II.36) y t x y z x v v v v w v p ( = 1 ). (II.37) x t x y z y Procedendo as derivadas, sbtraindo II.36 de II.37 e arranjando devidamente os termos obtém-se ζ t ζ ζ ζ ζ v w v w + + v + w = ( + ) ( ) + x y z x y x z y z o 1 ( p p x y y x ) (II.38) dζ v w v w p ζ 1 = ( + ) ( ) + ( x y x z y z x y y (A) (B) (C) p x ) (II.39) em qe os termos representam: A - termo da divergência, B - termo de torção e C - termo solenoidal. II.4 EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES A eqação de Navier-Stokes consiste basicamente da eqação de Eler acrescida do termo devido ao efeito da viscosidade. Nma forma simples tem-se dv = p+ g+ F vis cos a (II.40) Para estdar a força viscosa, considera-se m volme de controle infinitesimal na forma apresentada na Figra II.3. Vejamos como se comportam as tensões em cada ma das faces do volme. 33

34 Por exemplo: σ xx significa qe a tensão de cisalhamento ata na face normal ao eixo x e na direção do eixo x, já σ significa qe a tensão de cisalhamento ata na face normal ao eixo x e na direção do eixo y, e xy assim por diante. Logo, o primeiro índice está ligado ao eixo normal a face e o segndo índice está ligado a direção da tensão em relação aos eixos coordenados. Passando agora a fazer o balanço das forças viscosas para a direção y e por analogia obter para as direções dos eixos x e z. Portanto, na direção y agem as forças viscosas segndo mostra a Figra II.4. Figra II.4 - Balanço das forças viscosas na direção do eixo y. As forças viscosas nmeradas de 1 a 6 na Figra II.4 correspondem a σyy σzy 1) ( σ yy + δy) δxδz; ) σ yyδxδz ; 3) ( σ zy + δz) δxδy; y z σxy 4) σzyδ xδy ; 5) ( σ xy + δx) δyδz 6) σ xyδyδz. x Logo a força viscosa resltante na direção do eixo y é dada por F viscos a( y ) ( σ σ σ = + + x y z Analogamente, tem-se para as direções x e z F F viscos a( x ) ( viscos a( z ) ( xy yy zy σ σ σ = + + x y z xx yx zx σ σ σ = + + x y z xz yz zz ) δδδ x y z. (II.41) ) δδδ x y z; (II.4) ) δδδ x y z. (II.43) Sbstitindo estas forças viscosas por nidade de volme nas componentes cartesianas da expressão II.40 temse d dv p σ σ xx yx σzx = x x y z ; p σxy σyy σzy = y x y z ; (II.44) (II.45) 34

35 dw p σ σ xz yz σzz = g (II.46) z x y z Por otro lado, as tensões de cisalhamento qe agem nm flido são dadas (genericamente) pela Lei de Stokes para a viscosidade, na forma σ xx µ = λ. V ; (II.47) x σ σ yy zz µ v = λ V. ; y (II.48) µ w = λ. V ; z (II.49) σ σ µ v xy = yx = ( + ); y x (II.50) σ σ µ w xz = zx = ( + ); x z (II.51) σ σ µ v w yz = zy = ( + ); z y (II.5) em qe λ é chamado de segndo coeficiente de viscosidade. Sbstitindo-se os termos de II.47 a II.5 nas eqações de II.44 a II.46 tem-se d dv µ. = p µ λ x + ( x + y + ) z + ( ) x V (. ); (II.53) µ = p v µ λ y + v v ( x + y + ) z + ( ) y V (. ); (II.54) dw µ = p w g µ λ z + w w ( x + y + ) z + ( ) z V (. ).(II.55) Para o caso de m flido incompressível o seja, para. V = 0, as eqações acima redzem-se a d dv p = + µ ; (II.56) x p = + µ v ; (II.57) y 35

36 dw p = g+ µ w; (II.58) z em qe é o operador Laplaciano e não deve-se esqecer também do operador da variação sbstantiva d/. II.5 EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor por condção é dada pela primeira Lei de Forier como T q '. (II.59) z A Figra II.5 mostra m esqema para a transferência de calor por condção. Tomando o limite de II.59 qando z tende a zero e chamando a constante de proporcionalidade de k (condtividade térmica), tem-se Figra II.5 - Tranferência de calor por condção. T q' = k (II.60) z o sinal negativo é devido ao sentido da transferência de calor qe se dá dos altos valores de T para os mais baixos. Considerando as três direções dos eixos cartesianos tem-se qe q ' = k T. (II.61) O flxo de calor por condção pode também ser obtido da seginte forma: considere o volme e a sperfície de controle segndo a Figra II.6. Figra II.6 - Volme de controle para obtenção do flxo de calor por condção. 36

37 Logo, o flxo de calor o qantidade de calor é dado por k T. n da (II.6) sc qe, aplicando o teorema da divergência de Gass, fica k Tdv. (II.63) vc A qantidade de calor (Q) em m sistema é dada pela soma da energia interna (U) e do trabalho realizado (W), logo Q = U + W. (II.64) Pela primeira lei da termodinâmica tem-se dq c dt p d α = v + (II.65) o dq c dt dp = p α. (II.66) Essas expressões fornecem a taxa de variação de calor por nidade de massa. Portanto, o princípio de conservação de calor é dado por dq = k Tdv, (II.67) vc o desprezando-se a parte do trabalho realizado (sposto processo isobárico), por dt c p = k Td (II.68) v vc conhecida como segnda Lei de Forier para a transferência de calor nm flido. Para o caso de m flido em escoamento, aplicando-se o conceito da derivada sbstantiva expresso pela Eqação I.19 fica o c p( T dv VT. n da) k T dv (II.69) t + = vc sc vc T c p( dv +. VT dv) k T dv (II.70) t = vc vc vc o ainda para o caso de m flido incompressível 37

38 T dv V T dv K T dv t +. =. (II.71) vc vc vc II.71 é a eqação de transferência de calor para m flido incompressível, em qe K = k c p é chamado de coeficiente de difsividade térmica. Essa eqação pode ser obtida na forma diferencial considerando qe T ( + V. T K T) dv = 0. (II.7) t vc Portanto, para qe essa integral seja nla o integrando é qe deve ser nlo. Logo T + V. T = K T t (II.73) também pode ser escrita sob a forma T t T T v w T T T T = K( + + ). (II.74) x y z x y z II.6 EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE VAPOR A transferência de vapor por condção sege o mesmo raciocínio qe o apresentado para a transferência de calor. Portanto, chamaremos de q ma medida da qantidade de vapor (por exemplo: midade específica - q = 0,6 e ( p e ), em qe e é a pressão parcial do vapor). Logo q f q z. (II.75) Qando da igaldade, e no limite qando z tende para zero, tem-se f q = k q q z (II.76) em qe k é m coeficiente de condção de vapor. Nma forma genérica pode-se escrever q f q = k q. (II.77) q A notação em termos de m volme de controle qalqer fica f = k q. n da = k q dv. (II.78) q sc q O princípio de conservação de vapor é dado por vc q dq = k q dv+ Φ vc q (II.79) em qe Φ representa ma fonte o smidoro de vapor. 38

39 Desprezando-se fontes o smidoros de vapor e aplicando a derivada sbstantiva tem-se q dv Vq n da kq q dv t +. = (II.80) vc sc vc o q dv Vq dv kq q dv t +. = (II.81) vc vc vc qe, para o caso de m flido incompressível, toma a forma q dv V q dv Kq q dv t +. =. (II.8) vc Neste caso K = k é m coeficiente de difsividade. logo o, ainda, q q vc Para se obter essa eqação na forma diferencial, toma-se vc q ( + V. q Kq q) dv = 0 (II.83) t vc q + V. q = K q q (II.84) t q t q q v w q q q = Kq( + + x y z x y q ). (II.85) z 39

40 II.7 EXERCÍCIOS 1 - Dada a eqação de Eler na forma dv aproximação hidrostática. 1 = p+ g, obtenha as eqações cartesianas e comente a - Mostre qe a expressão da aceleração vertical de m parcela de flido com pressão p', temperatra T ' e densidade ' em m flido estático com pt, e é dada por dw ' ' = g( ) ' o dw ' g T ' = ( T ). T 3 - Escreva a eqação de Eler em coordenadas natrais. 4 - Determine a velocidade de saída no bocal instalado na parede do reservatório da figra abaixo. Determine também a vazão no bocal. 5 - Desprezando-se a resistência do ar, determine a altra alcançada por m jato d'ága vertical, cja velocidade inicial é de 1, m/s. 6 - Mostre qe para o caso dos gases, pode-se escrever dp = R ( ln p T). n da em qe n é m vetor nitário normal a área A. 7 - Mostre qe se o flido é barotrópico p = p( ), o termo solenoidal é zero. 8 - Calcle a taxa de variação da circlação para m qadrado no plano x, y com lados igais a Km cada se a temperatra amenta na direção x a ma taxa de C 00Km e a pressão amenta na direção y a ma taxa de hpa / 00Km. A pressão na origem é hpa. 9 - Obtenha a aceleração tangencial média para os dados fornecidos no problema anterior Esqematize a contribição do termo solenoidal, para os casos de brisa marítima e brisa terrestre, com relação a taxa de variação da circlação Obtenha a expressão para o perfil de velocidade em m escoamento laminar bidimensional (x, z) entre placas paralelas (fixa e móvel). Considere o escoamento permanente e qe a variação da pressão na direção do escoamento é constante. 1 - Nas condições do problema anterior, obtenha o perfil de velocidade em m tbo cilíndrico o seja obtenha =(r) em qe r é o raio do tbo. 40

41 CAPÍTULO III Processos na Camada Limite Sperficial 41

42 III.1 EXPERIÊNCIA DE REYNOLDS Examinaremos a clássica experiência de Reynolds relativa ao escoamento viscoso. Ága escoa através de m tbo de vidro, como mostra a Figra III.1, tendo a velocidade controlada por ma válvla. válvla não provoca pertrbação). Na entrada do tbo, injeta-se tinta com o mesmo peso específico qe a ága. Qando a válvla de descarga encontra-se ligeiramente aberta a tinta escoa pelo tbo de vidro sem ser pertrbada, formando m fio. Entretanto, à medida qe se abre a válvla, atinge-se ma condição em qe a tinta adqire m movimento oscilatório à proporção qe se desloca pelo tbo. Um gráfico da velocidade verss tempo em dada posição do tbo do aparelho de Reynolds poderia aparecer como mostra a Figra III.. Figra III. Série temporal da velocidade para escoamento: (a) laminar permanente, O escoamento trblento variado (não permanente) pode ser considerado como aqele em qe o campo de velocidade média mda com o tempo. Reynolds verifico qe o critério para transição de laminar para trblento dependia do diâmetro do tbo, da velocidade e do tipo de flido. Logo, crio m número admensional chamado de Número de Reynolds qe, na verdade, é a relação entre a força inercial e a força viscosa sob a forma 4

43 1 x U L UL R = e x µ µ UL = ν. (III.1) Sob condições experimentais cidadosamente controladas, sando m tbo bem liso e permitindo qe o flido permanecesse tranqüilo no tanqe por longo tempo, verifico qe o escoamento laminar pode ser mantido para número de Reynolds até cerca de Todas as experiências até o momento indicaram qe abaixo de.300 pode existir escoamento apenas laminar. Assim, acima de.300 pode ocorrer ma transição, dependendo da extensão das pertrbações locais. Chamamos a este valor (.300) número de Reynolds crítico. Entretanto, deve-se lembrar qe o R e crítico acima mencionado aplica-se apenas ao escoamento em tbos e qe deve-se efetar m estdo separado sobre condições de transição de escoamento laminar para trblento na camada limite. III. O CONCEITO DE CAMADA LIMITE Considerando o escoamento sobre ma placa plana (Figra III.3), observe qe ma região laminar se forma na borda de ataqe e cresce em espessra, como mostra o diagrama. Atinge-se em segida ma região de transição onde o escoamento mda de laminar para trblento, com o conseqüente amento de espessra da camada limite. Na região trblenta veremos qe, à medida qe nos aproximamos do contorno, a trblência dimini em tal extensão qe predominam os efeitos laminares, condzindo-nos ao conceito de ma sbcamada laminar. Você não deve ficar com a impressão de qe essas várias regiões mostradas em nosso diagrama são demarcações vivas dos diferentes escoamentos. Há na realidade ma mdança gradativa das regiões onde certos efeitos predominam para otras onde efeitos diferentes prevalecem. Ainda qe a camada limite seja delgada, ela desempenha m papel importante na dinâmica de flidos. Figra III.3 - Diagrama mostrando as camadas limites laminar e trblenta. III..1 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE Falamos a cerca da espessra da camada limite de forma qalitativa, como a elevação acima do contorno qe cobre ma região do escoamento onde existe m grande gradiente de velocidade e, conseqüentemente, efeitos viscosos não desprezíveis. De forma bastante simples a espessra da camada limite é dada qando U 099, (III.) isso qer dizer qe a espessra da camada limite é aqela em qe a velocidade se aproxima da velocidade do escoamento livre U. 43

44 Uma otra forma de se obter ma expressão para a espessra da camada limite é considerando qe na interface entre a camada limite e o escoamento livre as forças de inércia e viscosa se eqilibram. Logo x µ z. (III.3) Portanto, em termos das dimensões, tem-se U L U µ (III.4) δ qe, resolvendo para obter o valor de δ fica L δ= (III.5) R e o genericamente como fnção de x, sob a forma x δ ( x) =. (III.6) R e III.. CONSIDERAÇÕES SOBRE A EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES DENTRO DA CAMADA LIMITE LAMINAR PARA UM ESCOAMENTO PERMANENTE. Considerando qe tal tipo de escoamento se dá no plano x, z, tem-se qe a eqação de Navier- Stokes (sem a presença de força externa) se restringi às expressões para essas das dimensões. Logo w p ν 1 + = + ( + ) (III.7) x z x x z w w w p w w ν 1 + = + ( + ). (III.8) x z z x z Mas, antes de qalqer coisa, vamos analisar qal é a dimensão de w. Para isso tilizaremos a eqação da continidade de massa para m flido incompressível qe, para as condições estabelecidas, fica x + w z = 0. (III.9) Portanto, integrando de 0 até δ para obter a dimensão de w, tem-se δ 0 U W, (III.10) L z δ UL o, em termos do número de Reynolds, como U W. (III.11) R e 44

45 Agora pode-se retornar e analisar cada termo das eqações III.7 e III.8. Veja: U ; (III.1) x L U U U w = ; (III.13) z R δ L 1 p x e U ; (III.14) x L ν U 1 U ν = (peqeno); (III.15) x L R L e ν U U ν = ; (III.16) δ z L w U U U = 1 (peqeno); (III.17) x L R R L e e w W 1 U w = (peqeno); (III.18) z δ R L e 1 p 1 w w w U = (peqeno); (III.19) z x z R L e ν w W 1 U ν = (peqeno); (III.0) x L 3 R L e ν w W 1 U ν = (peqeno). (III.1) δ z R L e Após essas considerações, tem-se w p + = +ν 1 ; (III.) x z x z x + w z = 0. (III.3) A eqaçõe III. jntamente com a eqação da continidade de massa III.3, formam m conjnto de eqações simplificadas para a camada limite laminar. São chamadas de eqações de Pranl para a camada limite laminar. 45

46 III.3 CAMADA LIMITE TÉRMICA A camada limite térmica pode ser entendida por analogia à camada limite disctida anteriormente. Corresponde a ma faixa do flido qe vai da sperfície de ataqe a ma altra onde o transporte de calor por advecção se eqipara ao transporte de calor por condção o seja, T T K. (III.4) x z Define-se o número de Piclet como sendo a razão entre T x e K T x. Logo P e = T x K T x UΘ L KΘ L UL =. (III.5) K Define-se também o número de Pranl como sendo a razão entre a viscosidade cinemática (ν) e o coeficiente de difsividade térmica ( K ). Logo P = ν r K (III.6) e, conseqüentemente, tem-se P R P. (III.7) e = e r Podemos agora obter ma expressão para a espessra da camada limite térmica em fnção desses números admensionais já definidos. Sendo em termos das dimensões, tem-se portanto, T T K (III.8) x z U Θ L K Θ, (III.9) δ T L L δ T = =. (III.30) P RP e e r Vejamos agora as simplificações da eqação de transferência de calor para a camada limite térmica. Para o plano x, z a eqação de transferência de calor tem a forma T t T w T T + + = K( + x z x T ). (III.31) z Logo, as dimensões de cada m dos termos são: T t U Θ ; L (III.3) 46

47 T U Θ ; (III.33) x L T W Θ w P U Θ U Θ = r ; (III.34) z δ L L T K T x K Θ = L 1 RP e r U Θ L (peqeno); (III.35) K T z T K Θ UΘ. (III.36) δ L Após essas análises, a eqação simplificada para transferência de calor na camada limite térmica é simplesmente T t + T + w T = K x z T z. (III.37) III.4 ESCOAMENTO TURBULENTO Observo-se qe ma solção teórica completa para o escoamento trblento, análoga àqela do escoamento laminar, é impossível devido a complexidade e natreza aparentemente aleatória das fltações de velocidade no escoamento trblento. Todavia, a análise semi teórica, ajdada pelos dados experimentais, será apresentada. Isso permitirá formlar m perfil de velocidade para escoamento com elevado número de Reynolds. III.4.1 A TURBULÊNCIA MEDIDA EM RELAÇÃO AO TEMPO Nm escoamento trblento, a média em relação ao tempo representa a parte bem ordenada do escoamento. Tais qantidades são as medidas por m observador mnido de instrmentos padrão. A parte fltante do escoamento é indicada pelos desvios em relação a média (Figra III.4). Figra III.4 - Série temporal da componente da velocidade para escoamento trblento: parte média e desvios. Para m determinado intervalo de tempo t (peqeno), a média é obtida por 47