Capítulo 8: Transferência de calor por condução

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1 Capítulo 8: ransferência de calor por condução Condução de calor em regime transiente

2 Condução de calor em regime transiente Até o momento só foi analisada a transferência de calor por condução em regime permanente. No entanto, na prática a temperatura, e outras propriedades, pode variar no espaço e no tempo, o que faz com que as condições de contorno térmicas sejam dependentes do tempo. Neste caso, a transferência de calor ocorre em regime transiente

3 Formulação Sistema infinitesimal ou elemento do sólido z y Q & Q + & y y Q & y y y Q + & z z Q & z z z Q + & d d z d y Considerando que a conversão de alguma forma de energia em energia térmica pode ocorrer dentro do sistema.

4 Primeira Lei da ermodinâmica A taa de transferência de calor do elemento é a soma da taa de transferência de calor através das fronteiras do elemento e a taa na qual energia térmica é gerada internamente. ( Q & ) Aplicando a 1ª lei e considerando que não há realização de trabalho e nem variação de energia cinética e potencial, pode-se escrever que: g Q & + Q & g U t onde U é energia interna do sistema.

5 Equação da condução de calor Considerando que: a única forma de energia presente no elemento é a energia interna do material: a condutibilidade térmica do material é constante: O calor gerado dentro do elemento é epresso em termos de volume: t ρc t U " c " c " c z y k z q y q q & & & ( ) q& "'

6 Equação da condução de calor No sistema de coordenadas cartesianas, a equação da condução de calor é: No sistema de coordenadas cilíndricas é: A obtenção do campo de temperaturas através da solução analítica ou numérica destas equações não é trivial. Vamos estudar técnicas aproimadas. t ρc q r r k "' & z r r θ 1 1 t ρc q z y k "' &

7 ransferência de calor Regime transiente Considere que um corpo possua uma temperatura uniforme e eperimente uma mudança térmica repentina em seu meio circunvizinho. O calor transferido por convecção para o corpo sólido é difundido por condução em seu interior. A taa com que esta mudança é sentida no interior do corpo irá depender da resistência à transferência de calor oferecida em suas superfícies e a oferecida internamente (dentro do material). ransferência de calor por convecção

8 ransferência de calor Regime transiente Caso a resistência térmica oferecida pelas superfícies (convecção) seja muito maior que internamente (condução), a distribuição de temperatura no sólido será praticamente uniforme. O caso limite será aquele em que a condutibilidade térmica do material for infinita, causando uma resistência interna nula à transferência de calor. A temperatura dependente do tempo pode ser determinada através da análise concentrada. ransferência de calor por convecção

9 Análise concentrada A 1 a lei para um corpo irregular, sem geração interna de calor, é: d ρcv ha( ) 1443 q 1443 dt c h( -) taa de variação de energia interna taa de calor que cruza a superfície Onde V é o volume e A é a área da superfície do corpo. d ( ) ha ρcv A distribuição de temperatura no corpo é obtida pela integração desta equação. dt

10 Modelo concentrado: distribuição de ln( temperatura Onde a é a constante de integração. ) ha ρcv t + a q c h( -) A condição inicial pode ser escrita como: Para t A epressão final para a temperatura no corpo é: ( ) ep a ln( ) hat ρcv

11 Constante de tempo (τ) ( ) ep hat ρcv ( ) t ep τ onde τ ρcv ha Onde τ é chamada de constante de tempo (um parâmetro do sistema que define uma escala de tempo).

12 Constante de tempo (τ) (-)/(-) 1,8,6,4, t/τ ( ) t ep τ ( ) t 1τ,36 t τ,13 t 3τ,5 Se τ >> 1, o corpo apresenta uma variação de temperatura lenta. Se τ << 1, o corpo apresenta uma variação mais rápida.

13 Quando é válido aplicar a análise concentrada? A análise concentrada só é válida quando a temperatura no interior do corpo varia uniformemente. Como há dois mecanismos de transferência de calor envolvidos (convecção e condução), para determinar a validade devese analisá-los.

14 Quando é válido aplicar a análise q k q c concentrada? A temperatura é uniforme quando R k << R c ou Bi R R k c hl k <<1 Bi L 1 { k A { h A R k i R c Biot (Bi) compara as resistências interna e eterna ao corpo sólido. L é uma dimensão característica do corpo. Análise concentrada é válida quando Bi,1

15 Análise concentrada: taa de transferência de calor A taa de transferência de calor, em qualquer instante de tempo, é determinada por: Q& ha( ) Q& -ha( - )e (t/ τ ) O calor total transferido do ou para o corpo sólido será: Q ρcv( ) [ (t/ ) ] τ ρcv( ) 1 e Note que para t, Q, como deveria ser! Q

16 Máimo calor transferido (Q ) Q/Q Q 1 e Q ( t τ ) 1,8,6,4, t/τ Q ρcv( Q/Q t 1τ,64 t τ,87 t 3τ,95 ) o O máimo calor que pode ser transferido, Q, ocorre quando o corpo é aquecido da temperatura inicial a.

17 Eemplo: Um esfera sólida de aço, AISI 11, com 1 cm de diâmetro, inicialmente a 15 o C é colocada em uma corrente de ar, 6 o C. Estimar a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de ar quente. Estimar também a taa de calor transferido para a esfera. O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é de W/m o C. As propriedades da esfera de aço são: k 63,9 W/m o C ρ 783 kg/m 3 c 434 J/kg. o C Caso Bi,1, usar a análise concentrada: O comprimento característico, L V/A Neste caso, L d/6,1/6 1, m Logo: Bi hl k 3 *1, ,9 51,8.1 Bi hl k

18 Eemplo: Um esfera sólida de aço, AISI 11, com 1 cm de diâmetro, inicialmente a 15 o C é colocada em uma corrente de ar, 6 o C. Estimar a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de ar quente. Estimar também a taa de calor transferido para a esfera. O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é de W/m o C. As propriedades da esfera de aço são: k 63,9 W/m o C ρ 783 kg/m 3 c 434 J/kg. o C ( ) ep t τ onde τ ρcv ha τ ρcv ha + ( ) 783 * 434 *1,667.1 ep t τ ,31 s 45ep(-3, t)

19 Eemplo: Um esfera sólida de aço, AISI 11, com 1 cm de diâmetro, inicialmente a 15 o C é colocada em uma corrente de ar, 6 o C. Estimar a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de ar quente. Estimar também a taa de calor transferido para a esfera. O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é de W/m o C. A taa de transferência de calor é: Q& ha( ) Q& Q & -ha( - )e ha( )e (t/ τ ) -(t/ τ ) Q& * π(,1) *45 ep(-3, t),87ep(-3, t)

20 Condução ransiente, Bi >,1 Não se considera a temperatura uniforme: Não se aplica a análise concentrada. Deve-se considerar a variação da temperatura no tempo e no espaço. Veja (filme) numa placa de aço com bordas isoladas: Condução bi-dimensional & transiente Corpo inicialmente o C, tendo uma das fronteiras subitamente alterada para 1 o C. O distúrbio da fronteira se propaga por difusão no interior do sólido.

21 Condução transiente unidimensional, Bi >,1 Serão abordados casos transientes e unidimensionais (isto é, a temperatura só varia em uma direção). Considere um bloco de aço submetido a uma variação de temperatura na face: 1. Condução unidimensional & transiente. Corpo inicialmente o C tem a temperatura numa face subitamente alterada para 1 o C. 3. O distúrbio da fronteira se propaga por difusão no interior do sólido somente ao longo da direção.

22 Formulação para Bi >,1 A 1 a lei não se altera, sendo escrita como: ρc t k t α onde α k ρc Equação diferencial parcial de segunda ordem linear parabólica. A sua análise dependerá de configurações específicas, nas quais serão definidas uma condição inicial (associado ao tempo) e duas condições de contorno (em ).

23 Sólido semi-infinito Possui uma face com largura infinita: Qualquer distúrbio na temperatura nessa face NUNCA atingirá a outra etremidade; Qualquer sólido com dimensões finitas pode ser aproimado como um sólido semi-infinito desde que o distúrbio de temperatura da face não atinja a sua outra fronteira. largura

24 Aproimação de sólido semi-inifinito Distúrbio não chegou na outra face Distúrbio chegou na outra face

25 Solução: sólido semi-infinito Considere um sólido inicialmente a temperatura. Subitamente, em uma face a temperatura muda para 1 (condição de mudança súbita da temperatura da superfície): O calor começa a se difundir no interior do sólido. As condições de contorno e inicial nesse caso serão: C.I. (,) C.C. (,t) 1 C.C. (,t)

26 Solução: sólido semi-infinito A distribuição de temperatura será determinada por: (, t) 1 erf αt 1 onde α k ρc Onde erf é a função erro de Gauss e αt encontra-se tabulada na abela 8-4.

27 Solução: sólido semi-infinito (, t) 1 + ( 1) erf αt face 1 tempo

28 Eemplo: Um teste de incêndio é conduzido sobre uma grande massa de concreto inicialmente a uma temperatura de 15 o C. A temperatura da superfície atinge 5 o C instantaneamente. Estime o tempo requerido para que a temperatura a uma profundidade de 3cm atinja 1 o C. O concreto pode ser considerado como um sólido semi-infinito. ab. A-15.1 k 1,4 W/m o C ρ 3 kg/m 3 c 88 J/kg o C α k/ρ.c 6,9.1-7 m /s ( ) 1, t erf αt ,847 erf αt Pela abela 8.4 tem-se que: αt,96 t *,96 α (,3/1,9) 7 6, s 9,8 h

29 Solução: sólido semi-infinito Além da condição de mudança súbita da temperatura da superfície, eistem outras condições, como por eemplo: Mudança súbita no fluo de calor. Mudança súbita na temperatura do fluido. Para cada uma eiste condições de contorno e inicial específicas e, conseqüentemente, equações distintas para a distribuição da temperatura (p. 34).

30 Solução gráfica, Bi >,1 Será apresentada uma solução gráfica para condução unidimensional transiente em casos onde Bi >,1. Para que a transferência de calor seja unidimensional é necessário que as dimensões do corpo, normal a direção do fluo, sejam muito grandes.

31 Solução gráfica, Bi >,1 W z ransferência de calor unidimensional: H L y L L L é muito menor que as dimensões W e H, assim o fluo de calor ocorre somente em. Neste caso as condições de contorno nas outras direções terão pouca influência no campo de temperatura.

32 Condução transiente unidimensional A solução gráfica é apresentada para corpos sólidos com espessura L submetidos a um fluo de calor imposto por um coeficiente de transferência de calor, h, idêntico em ambas as faces. Linha de simetria, adiabática, q L L, h t α (, ) t ( ) L h k L

33 Condução transiente unidimensional Uma análise do modelo matemático, descrito pela equação diferencial e as condições inicial e de contorno, indica que a distribuição da temperatura na placa é uma função de NOVE variáveis: (, ρ,,l,, k, h, c, t) Para reduzir o número de variáveis recorre-se ao uso de grupos adimensionais.

34 Condução transiente unidimensional Pode-se mostrar que o campo de temperatura depende dos grupos adimensionais: - f(bi, Fo) L α k/ρc A solução gráfica (Fig 8- e 8-1) fornece a temperatura na linha de centro e na superfície ( L) relacionando Bi Fo com diferentes curvas Bi. A solução gráfica para o calor transferido (Fig 8-) permite encontrá-lo através: Q calor transferido g(bi, Fo) Q ρcv( ) onde Bi hl k e Fo αt

35 PLACA PLANA hl Bi Fo k αt L Onde L é a espessura da linha adiabática à superfície em contato com o fluido.

36 CILINDRO hro Bi k αt Fo ro Onde ro é o raio eterno do cilindro.

37 Eemplo: Uma grande parede sólida de tijolo com 15 cm de espessura atinge uma temperatura uniforme de o C durante uma noite de inverno. Às 9 h da manhã o ar adjacente à parede se aquece até uma temperatura de 15 o C. O ar se mantém nesta temperatura até as 15 h. Estimar a temperatura na linha de centro e na superfície da parede de tijolo às 1 h. Determinar também a temperatura média do tijolo e a quantidade de calor/m que foi transferida do ar para o tijolo. h pode ser considerado constante e igual a 5W/m o C. A parede é grande (dimensões maiores que a espessura) e pode-se considerar que a transferência de calor é unidimensional. As propriedades do tijolo são: k,7 W/m. o C ρ 19kg/m 3 c 835J/kg o C α k/ρc 449,1.1-9 m /s Caso Bi >,1, pode-se usar a análise gráfica: Bi hl/k 5*,75/,7 5,8

38 Eemplo: Uma grande parede sólida de tijolo com 15 cm de espessura atinge uma temperatura uniforme de o C durante uma noite de inverno. Às 9 h da manhã o ar adjacente à parede aquece-se até uma temperatura de 15 o C. O ar mantém-se nesta temperatura até as 15 h. Estimar a temperatura na linha de centro e na superfície da parede de tijolo às 1 h. Determinar também a temperatura média do tijolo e a quantidade de calor/m que foi transferida do ar para o tijolo. h pode ser considerado constante e igual a 5W/m o C. As propriedades do tijolo: k,7 W/m. o C α 449,1.1-9 m /s Bi 5,8 Às 1 h: Fo αt/l 449,1.1-9 *(3*36)/(,75),863 Logo: Bi Fo 3,39 Pela Fig 8-1, a temperatura na superfície será:,7 s s +,7(o ) 15 +,7( 15) o 13,95 o C

39 Eemplo: Uma grande parede sólida de tijolo com 15 cm de espessura atinge uma temperatura uniforme de o C durante uma noite de inverno. Às 9 h da manhã o ar adjacente à parede aquece-se até uma temperatura de 15 o C. O ar mantém-se nesta temperatura até as 15 h. Estimar a temperatura na linha de centro e na superfície da parede de tijolo às 1 h. Determinar também a temperatura média do tijolo e a quantidade de calor/m que foi transferida do ar para o tijolo. h pode ser considerado constante e igual a 5W/m o C. As propriedades do tijolo: k,7 W/m. o C α 449,1.1-9 m /s Para Bi Fo 3,39, pela Fig 8-, a temperatura na superfície adiabática (linha de centro) será:,6 LC 15 +,6( 15) o E a transferência de calor será: LC Q Q calor transferido ρcv( ),8 11,1 o C

40 Eemplo: Uma grande parede sólida de tijolo com 15 cm de espessura atinge uma temperatura uniforme de o C durante uma noite de inverno. Às 9 h da manhã o ar adjacente à parede aquece-se até uma temperatura de 15 o C. O ar mantém-se nesta temperatura até as 15 h. Estimar a temperatura na linha de centro e na superfície da parede de tijolo às 1 h. Determinar também a temperatura média do tijolo e a quantidade de calor/m que foi transferida do ar para o tijolo. h pode ser considerado constante e igual a 5W/m o C. As propriedades do tijolo: k,7 W/m. o C α 449,1.1-9 m /s Q transf. Q A transf.,8ρcv( 9 Qtransf. k Qtransf. α 6 449,1.1 L(m o ) m * + o 1,443.1 * + 1 A α A kl,7*,75,7,8* 449,1.1 9 A temperatura média será: ),8 ( k/α) L* A( (,75)( 15) 1,443.1 ) 6 J/m o C

41 Eercícios - Capítulo 8 ransferência de calor por condução Proposição de eercícios: 8.7/ 8.9/ 8.11/ 8.1/ 8./ 8.5/ 8.8/ 8.3/ 8.38

42 F I M

43 Condições de contorno As condições de contorno podem ser escritas como: i L C.I. (,) i C.C. (,t) 1 1 C.C. (L,t)

44 Error Function In mathematics, the error function (also called the Gauss error function) is a nonelementary function which occurs in probability, statistics and partial differential equations. It is defined as: [ ] t erf e dt π

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