Capítulo 8: Transferência de calor por condução

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1 Capítulo 8: Transferência de calor por condução Aletas Condução de calor bidimensional

2 Transferência de calor É desejável em muitas aplicações industriais aumentar a taxa de transferência de calor de uma superfície sólida para um fluido adjacente. Para tanto é preciso analisar os parâmetros de projeto e fazer as alterações necessárias para aumentar esta transferência de calor.

3 Aumento de transferência de calor Considerando uma placa plana com temperatura da superfície fixa (uniforme), a taxa de transferência de calor pode ser elevada: Com o aumento da velocidade do fluido, que tem o efeito de aumentar o coeficiente de transferência de calor (h); Com o aumento da diferença de temperaturas da superfície e do fluido; Com o aumento da área da superfície transversal, através da qual ocorre a convecção. As duas primeiras medidas podem, em alguns casos, ser limitadas e se tornarem insuficientes, dispendiosas e/ou impraticáveis. Uma das opções mais comuns é aumentar a área da superfície transversal. Ar: T, h Q& ha(ts T s, A T ) ALETAS

4 Aletas São superfícies estendidas, que vão desde a parede da superfície sólida em direção ao fluido adjacente. São utilizadas para o aquecimento e para o resfriamento de sistemas. A condutibilidade térmica do material da aleta tem forte efeito na distribuição de temperatura ao longo da aleta e afeta o grau no qual a taxa de transferência de calor é aumentada ou diminuída. O ideal é que a aleta tenha uma condutibilidade térmica alta para minimizar as variações de temperatura de sua base para a extremidade. No caso limite (condutibilidade infinita), toda a aleta estaria à mesma temperatura da base.

5 Aletas Aleta tipo pino Aleta tipo retangular Como a área de contato entre o fluido e a superfície (área molhada) no caso aletado é superior, o fluxo de calor total é maior que no caso sem aletas. O problema básico no projeto térmico das superfícies aletadas é determinar uma correlação entre o fluxo de calor e as grandezas pertinentes ao sistema ( T, h e k).

6 Aletas Aletas que aquecem Aletas que resfriam

7 Aletas O calor é transportado da base (ou para a base) por meio da condução térmica e adicionado (ou removido) ao ambiente externo pela convecção térmica. T 0 Base aleta T 0 Convecção Temp. Ambiente ( T ) Condução Base aleta T 0 Convecção Temp. Ambiente ( T ) Condução T Distribuição temp. Aleta T T 0 Distribuição temp. Aleta

8 Aletas de seção transversal constante É a aleta mais simples de se analisar. A hipótese básica desse tipo de aleta é que a distribuição de temperatura nela é função unicamente de x (fluxo de calor unidimensional na aleta): esta hipótese é uma boa aproximação para certas condições.

9 Balanço de energia: análise preliminar Antes de iniciar o balanço de energia é importante notar que a área da superfície original (sem aletas) é a soma da área das bases das aletas com a área não aletada restante: A A + A ba na Base aleta T Convecção Temp. Ambiente ( T ) Logo, a transferência de calor total será: Q& " " q& A + q& A Q& q& ba a na na " ba A a + ha na (T T ) Onde o índice ba refere-se a base das aletas e na a parte não aletada.

10 Balanço de energia na aleta Da hipótese unidimensional, o fluxo de calor na base da aleta é independente de y e pode ser determinado por: q " ba k dt dx x 0

11 Balanço de energia na aleta Aplicando a a lei a um sistema composto pela fatia de aleta com espessura x: Q & & + x Qx+ x Q& conv " q x A q c " x+ x Ac T ( P x) h( T ) onde P é o perímetro molhado da aleta e o último termo é a taxa de transferência de calor por convecção da fatia de aleta para o fluido. 0

12 Balanço de energia na aleta Aplicando a lei de Fourier nos termos referentes a condução, obtém-se: A c (q " x " q + x x ) A c dq dx " x x A c d dx k dt dx x Considerando a condutibilidade constante, obtémse que: 2 " " d T Ac(qx qx + x ) Ack 2 dx x

13 Equação da aleta Substituindo a expressão anterior na a lei: 2 d T ka hp(t T ) c dx 2 0 Esta equação mostra que a taxa líquida de transferência de calor por condução na fatia de aleta é igual a taxa de transferência de calor por convecção do fluido através da superfície lateral da fatia considerada.

14 Aleta Longa A ponta da aleta está em equilíbrio térmico com o fluido, impondo neste caso a seguinte condição de contorno: T T quando x A outra condição é que a temperatura na base da aleta é igual a temperatura da superfície onde estão montadas as aletas: T T b quando x 0

15 Equação da aleta longa d T ka hp(t T ) c dx 2 Fazendo uma transformação de variável: θ(x) T(x) - T A equação diferencial torna-se: 2 θ 2 dx d 2 Como condições de contorno: 2 mθ 0 m para x 0 > θ θ b e para x > θ 0 0 hp ka c

16 Aleta longa: solução em θ Sendo h constante ao longo da aleta, a solução da equação diferencial é: θ(x) θ exp( mx) b A temperatura decai exponencialmente a partir da temperatura da base até a do fluido numa posição remota da base.

17 Aleta finita e ponta isolada Neste caso as condições de contorno são dadas por: x 0 T T b x L a dt/dx 0 dθ/dx 0 E o perfil de temperaturas é dado por: θ(x) θ b [ ( x) ] cosh m L a cosh(ml a ) θ(la ) θb cosh(ml a )

18 Transferência de calor: aleta finita e ponta isolada A taxa de transferência de calor da aleta pode ser determinado como: Q& a ka hp.(t c b T ).tanh(ml a ) Onde: tanh(ml a ) e e mla mla + e e mla mla

19 Transferência de calor: aleta finita e ponta isolada Analisando através do circuito térmico, a resistência térmica da aleta: a N ka hp.tanh(ml c a ) onde N é o número de aletas fixadas à superfície.

20 Transferência de calor: parte não aletada No entanto, existe ainda a resistência térmica associada a parte não aletada: na ha na onde A na é área referente a parte não aletada.

21 Transferência de calor total T b, A na h T Q & Q& a + Q& na h 2 T 2 A c na ha na L 2 k Q na T 2 h2a ka T b Q a T a N ka hp.tanh(ml c a ) a

22 esistência equivalente na 2 k Q na T 2 T b Q a T Como a resistência térmica da aleta e da parte não aletada estão em paralelo, tem-se uma resistência térmica equivalente: eq na na Q & Q& a + Q& na a + a a eq

23 Taxa de transferência de calor total na 2 k Q na T 2 T b Q a T A taxa de transferência de calor será: (T - T Q& 2 ) a Q & Q& a + Q& na E neste exemplo: eq k eq

24 Transferência de calor: aleta finita e condição de convecção Caso exista uma condição de contorno de convecção na extremidade da aleta (com transferência de calor para o ambiente, por exemplo), o comprimento da aleta precisa ser alterado: Este novo comprimento de aleta (L c ) será usado no cálculo da resistência térmica da aleta: a L L + c a N A P ka hp.tanh(ml c c c )

25 Aleta cilíndrica Para o caso de uma aleta cilíndrica com diâmetro D, a correção do comprimento da aleta será: L L + c a D 4

26 Exemplo: Água quente a 98 o C escoa através de um tubo de bronze comercial com diâmetro interno de 2 cm. O tubo é extrudado e tem o perfil da seção transversal mostrado abaixo. O diâmetro externo do tubo aletado é de 4,8 cm e as aletas têm cm de comprimento e 2 mm de espessura. O coeficiente de calor por convecção do lado da água é de 200W/m 2. o C O tubo aletado está exposto ao ar a 5 o C e o coeficiente de calor por convecção é 5 W/m 2. o C Determine a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo. de 28 mm di20mm 98 o C h200w/ m 2. o C h5 W/m 2o C 5 o C Material do Tubo & Aletas: Bronze (tab. A4) k 52 W/m. o C 0 mm 2 mm

27 de 28 mm h5 W/m 2o C 5 o C Material do Tubo & Aletas: Bronze (tab. A4) k 52 W/m. o C 2 mm Logo: 0 mm di20mm 98 o C h200w/ m 2. o C Q (T i -T e )/ T Circuito térmico equivalente T i 98 o C c,i k na a T e 5 o C E: T c,i + k +[( na. a )/( na + a )]

28 c,i T i 98 o C h i.π c,i k na d i.l a T e 5 o C 200* 3,4* 0,02* L,327.0 L de 28 mm 2 di20mm 98 o C h200w/ m 2. o C h5 W/m 2o C 5 o C k ln(de/d 2πkL i ) ln(0,028/0,02) 2* 3,4* 52*L,030.0 L 3 2 mm 0 mm na na h e.a na h e.l.p na h e.l.[πd 5.L.[3,4* 0,028 (2* 0,002)] e (2* 0,002)] 3,29 L

29 T i 98 o C c,i k na a N a T e 5 o C ka hp.tanh(ml) Perímetro da aleta: P 2 L (m) c de 28 mm 2 mm 0 mm di20mm 98 o C h200w/ m 2. o C h5 W/m 2o C 5 o C Área transv. Aleta: Ac 0,002 L (m) Comprimento da aleta: Lc La+(Ac/P) 0,0 m m hep ka c 5* 2L 52* 0,002L 9,806 tanh(ml c ) e e + ml c e e 0,08 0,08 0,08 0,08 9,806*0,0 0,076 0,08

30 a T i 98 o C 2 c,i k na a T e 5 o C 52*0,002L*5* 2L *0,0977 0,7595 L de 28 mm 0 mm di20mm 98 o C h200w/ m 2. o C h5 W/m 2o C 5 o C Assim: T c,i + k + na na * + E: a a,327.0 L Q & L 2, L (98 5) 6, mm 3,29 L 3,29 L 32,7 0,7595 * L 0, L W/m 6,254.0 L

31 h5 W/m 2o C 5 o C de 28 mm di20mm 98 o C h200w/ m 2. o C Caso não houvessem as aletas, a taxa de transferência de calor seria: 2 mm 0 mm 2 3,327.0, ,275 c,i + k + T c,e + + L L L 2,289 L E: Q & L (98 5) 2,289 36,3 W/m

32 Condução de calor bidimensional Soluções analíticas para condução térmica em casos 2D requer um esforço muito maior daquelas para casos D. Há no entanto inúmeras soluções baseadas em técnicas da Física-Matemática, tais como: séries de Fourier, séries de Bessel, séries de Legendre, Transformada de Laplace entre outras. Baseado nestas soluções analíticas o Livro Texto propõe a determinação da taxa de calor para algumas situações bidimensionais baseado em fatores de forma de condução.

33 Fator de forma de condução Considerando que a geometria contém somente DUAS superfícies ISOTÉMICAS, T e T2, e que o material é homogêneo: & ( ) Q S k T2 T S k Onde S é o fator de forma de condução e tem dimensão de comprimento (m). Comparando esta equação com a das placas planas infinitas (unidimensional) pode-se determinar que o seu fator de forma de condução é: ka A Q& (T2 T ) S L L

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36 Exemplo: Uma tubulação com vapor d agua a 200 o C está enterrada a 2 m abaixo do solo (k solo 4 W/m o C) que está a 0 o C. O tubo (k 4W/m o C) tem um diâmetro interno de 20 cm, uma espessura de 5mm e um coeficiente de transferência de calor interno de 000 W/m 2o C. O tubo é envolto em uma manta isolante (k 0,06 W/m o C) com 6 cm de diâmetro. Determine a taxa de calor perdida por metro linear de tubo. T 2 0 o C z 2m A taxa de transferência de calor do vapor para o solo pode ser determinada pelo circuito equivalente: D33cm isol Ln d ( d ) 3 2 2πk L isol 200 o C d c,i h i.π i.l aco ( d ) Ln d2 2 π k L aco s S k 0 o C

37 200 o C c h.πd i i.l aco ( d ) Ln d2 2 π k L aco isol Ln d ( d ) 3 2 2πk L isol s S k Z 2 m k solo 4 W/m o C k tubo 4W/m o C d 20 cm d 2 2 cm hi000 W/m 2o C d 3 33 cm k m 0,06 W/m o C 0 o C.A ( ) ( ) Ln d2 d Ln aco, 89 0 / L 2πk L 2π4 L aco 000 *π * 0,2 * L c h i i 2πk m L 0,006/L ln(d3/d2) ln(33/2) m,20/l 2*π* 0,06* L S T 2πL ln(4z/d s Q/L & S*k 3 solo,24/l (200-0),24,970 L ),238.0 L 2 64,8W/m

38 FIM!

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