UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA I/2013 DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 18/7/13

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1 UNIVRSIDAD D BRASÍLIA I/3 DPARTANTO D CONOIA 8/7/3 TORIA DOS JOGOS - PÓS PROFSSOR AURÍCIO SOARS BUGARIN CO bgarin@nb.br htttp:// PROVA GABARITO Problema -Direito e conomia A área de conomia e Direito tem por objetivo desenvolver ma análise econômica das leis. m particlar, essa área do conhecimento se preocpa em entender os incentivos qe certas leis geram no comportamento dos cidadãos. O presente problema, baseado em R. A. accain, Game Theory: A Non-Technical Introdction to the Analysis of Strategy (Thomson, 4, pretende ilstrar o tipo de análise feito nessa área do conhecimento. Descrição Uma importante fnção da legislação é determinar responsabilidades em sitações envolvendo perdas. Considere a seginte sitação estratégica envolvendo dois agentes, m pedestre e m motorista de carro. O pedestre deve atravessar a ra por onde passa o motorista. Para tanto, pode decidir ser mito cidadoso ( o poco cidadoso (P. Por otro lado, o motorista também deve decidir ser mito cidadoso em sa direção (m o poco cidadoso (p. Ser cidadoso envolve manter grade atenção, o qe representa m csto eqivalente a nidades de tilidade para qalqer dos dois agentes qe decida ser mito cidadoso. Não há csto de tilidade se o agente decidir ser poco cidadoso. Se pelo menos m dos agentes for poco cidadoso, haverá acidente com certeza. O acidente ocasionará m csto em termos de tilidade ao pedestre de nidades, inclindo nesse valor o csto médico-hospitalar e demais cstos associados ao tratamento. Sponha inicialmente qe a legislação não prevê qalqer responsabilização pelo acidente ao motorista, de forma qe o pedestre arca com esse csto sozinho em caso de acidente. Se os dois agentes decidirem ser mito cidadosos, as chances de acidente serão redzidas consideravelmente, mas ainda assim haverá m acidente com % de probabilidade. Portanto, pela hipótese da tilidade esperada, o pedestre terá ma tilidade

2 esperada de = x% casada pela expectativa de acidente, ao qal deve ser adicionado o csto do elevado cidado. (i Constra m jogo na forma normal correspondendo à sitação estratégica acima descrita, sando, caso lhe pareça mais simples, a forma matricial do jogo. m p,, P,, (ii Usando o conceito de liminação Iterativa de stratégias stritamente Dominadas, encontre o eqilíbrio de Nash do jogo, descrevendo cada etapa de se raciocínio. Há acidente em eqilíbrio? A estratégia p é dominante para o jogador. Portanto, podemos exclir a estratégia m. No jogo redzido, a estratégia P é dominante para o jogador. Portanto, jogará P e jogará p. O eqilíbrio de Nash correspondente é: (P, p. Portanto, nenhm dos dois agentes será mito cidadoso e necessariamente haverá acidente. (iii Preocpados em redzir a probabilidade de acidente e, ao mesmo tempo, com o fato do pedestre ser mais fraco qe o motorista, sponha qe a lei atriba ao motorista a responsabilidade de arcar com todo o csto do acidente. ntão, em caso de acidente, o motorista terá ma perda de nidades de tilidade. Lembre qe, se os dois agentes forem mito cidadosos, ainda assim haverá acidente com probabilidade, (%, o qe corresponde a m csto esperado de nidades de tilidade, agora para o motorista, ao qal deve ser adicionado o csto do cidado. Apresente ma forma matricial para o jogo indzido por essa nova legislação e derive se eqilíbrio de Nash. A legislação atende à intenção dos legisladores de redzir a probabilidade de acidentes? m p,, P,,

3 A estratégia P é dominante para o jogador. Portanto, podemos exclir a estratégia. No jogo redzido, a estratégia p é dominante para o jogador. Portanto, jogará P e jogará p. O eqilíbrio de Nash correspondente é o mesmo: (P, p. Portanto, nenhm dos dois agentes será mito cidadoso, necessariamente haverá acidente e essa mdança na legislação não atinge o objetivo de redzir a probabilidade de acidentes. (iv Sponha agora qe os legisladores, além da preocpação em redzir a probabilidade de acidentes, estão preocpados em atribir responsabilidades aos agentes poco cidadosos, e criem a seginte lei: em caso de acidente, o motorista deverá arcar com os cstos caso ele tenha sido poco cidadoso e o pedestre tenha sido cidadoso. m qalqer otra sitação, o pedestre arcará com os cstos. sse é o princípio da legislação de torts Anglo-Americana. Apresente ma forma matricial para o jogo indzido por essa nova legislação e derive se eqilíbrio de Nash. A legislação atende à preocpação dos legisladores em redzir a probabilidade de acidentes? m p,, P,, A estratégia é dominante para o jogador. Portanto, podemos exclir a estratégia P. No jogo redzido, a estratégia m é dominante para o jogador. Portanto, jogará e jogará m. O eqilíbrio de Nash correspondente é: (, m. Portanto, ambos os agentes serão mito cidadosos e a probabilidade de acidente será redzida de % nos eqilíbrios anteriores para %. Logo, essa mdança na legislação atinge o objetivo de redzir a probabilidade de acidentes. (v Sponha agora qe os legisladores decidam qe, toda vez qe hover acidente, os cstos sejam divididos igalmente entre os agentes envolvidos. Apresente ma forma matricial para o jogo indzido por essa nova legislação e derive se(s eqilíbrio(s de Nash. A legislação resolve atende à preocpação dos legisladores em redzir a probabilidade de acidentes? 3

4 m p 5, 5 6, 5 P 5, 6 5, 5 sse jogo não possi estratégias dominantes. Se escolher, a melhor resposta de será m. se escolher m, a melhor resposta de será. Portanto, encontramos m eqilíbrio de Nash (, m. Se escolher P, a melhor resposta de será p. se escolher p, a melhor resposta de será P. Portanto, encontramos m segndo eqilíbrio de Nash (P, p. Natralmente, há m terceiro eqilíbrio, em estratégias mistas, mas não havia necessidade de calclá-lo. Qem o fez, recebe ponto extra. A legislação atende à preocpação de evitar acidentes se os agentes jogarem o eqilíbrio de Nash (, m, mas não a atende se eles escolherem o eqilíbrio de Nash (P, p. A priori não se pode garantir qe o objetivo seja atingido. (vi Na sa opinião, qal das das legislações acima (em (iv e em (v é mais apropriada? Jstifiqe sa resposta. m primeiro lgar, observe qe os dois eqilíbrios de Nash em (v são comparáveis do ponto de vista de Pareto: o eqilíbrio (, m domina estritamente o eqilíbrio (P, p do ponto de vista de Pareto. Portanto, também dominará o eqilíbrio em estratégia mistas e temos m forte argmento para prever qe o eqilíbrio (, m será o jogado nesse jogo. m segndo lgar, a legislação em (iv apresenta algmas dificldades em ser aplicada na prática, pois não é tão evidente determinar se m agente foi poco cidadoso. Assim sendo, a legislação em (v parece mais apropriada dada sa simplicidade. CARO(AS ALUNO(A: NÃO HÁ UA RSPOSTA CORRTA A STA QUSTÃO. BUSCO, POR IO DLA, TSTAR SUA CAPACIDAD ARGUNTATIVA. Problema -conomia Indstrial Considere a seginte variação do dopólio de Stackelberg. Uma indústria prodz m bem X cja crva de demanda inversa é dada por p=6 X. xiste no país ma única empresa capaz de prodzir esse bem, sendo ela, portanto, m monopolista, denotada por. O csto de prodção de ma qantidade x para a monopolista é c (x =x. No entanto, esse bem 4

5 é prodzido no exterior e pode ser importado. Uma única empresa tem condições de importar esse bem, desde qe invista m montante irrecperável S=5 em infraestrtra de armazenamento. ssa empresa deve decidir se entra o não no mercado, arcando com esse csto irrecperável S sendo, portanto, chamada de entrante e denotada por. O csto de importação de ma qantidade x por é dado pela fnção de csto c (x ; i=(6+ix, em qe 6 é o csto nitário do prodto importado, inclído transporte, e i corresponde ao montante do imposto de importação qe S deve pagar por cada nidade importada. O jogo se inicia com o governo, denotado por G, decidindo se cobra o imposto i=8 o se isenta de imposto (i= a importação desse bem. Tendo observado a decisão irreversível do governo, o monopolista decide de forma irreversível qanto vai prodzir, x, decisão essa qe se torna pública. Por simplicidade, sponha qe tem apenas das escolhas: x =4 e x =3. Tendo observado as decisões de G e de, decide se entra (e, arcando com o csto irrecperável S, o não entra (ne no mercado. Se decidir não entrar, o jogo se encerra apenas com a prodção de. Se decidir entrar, o jogador tem ainda qe decidir a qantidade a ser prodzida, x. ssa escolha pode ser qalqer valor entre e 6. O jogo então se concli, com as prodções agregadas de e de. Os payoffs correspondentes são os segintes. O governo preocpa-se apenas com a qantidade do bem prodzida internamente; portanto, sa tilidade será G =x. O monopolista terá como tilidade se lcro. O entrante terá tilidade se não entrar e, se entrar, terá como tilidade se lcro, sbtraído do csto de entrada S. (i O objetivo deste primeiro item é constrir ma forma extensiva para este jogo. Para facilitar se trabalho, calcle: (a Utilidade de qando não entra e x =4 ( = 4 4 = 576. (b Utilidade de qando não entra e x =3 ( = 8 3 = 54. (c Utilidade de qando entra, prodz x e prodz x, em fnção de i, de x e de x. x x i 6 x + x x 6+ i x S = 44 i x x x. (, = ( S, (d O valor de x qe maximiza essa tilidade (em fnção de i e de x. x ( x, i 5

6 = x ( x, i = 44 i x. x (e Os valores correspondentes do x ótimo para x =4 o 3 e i= o 8. x ( x = 4, i = 8, x ( x = 3, i = 8, x ( x = 4, i =, x ( x = 3, i = x ( x = 4, i = 8 = = = x ( x = 3, i = 8 = = = x ( x = 4, i = = = = x ( x = 3, i = = = = 7. (f O valor da tilidade de calclada em (c, sbstitindo x pela expressão encontrada em (d. 44 i x ( 44 i x x x S = 5 (g Agora basta sbstitir os valores de x =4 o 3 e de i= o 8 para encontrar a tilidade de correspondente. ( x = 4, i = 8, ( x = 3, i = 8, ( x = 4, i =, ( x = 3, i = ( x = 4, i = 8 = 36 S = 4. ( x = 3, i = 8 = 9 S = 4. ( x = 4, i = = S = 5. ( x = 3, i = = 49 S =. (h Utilidade de qando entra, x =4 o 3, i= o 8, dado qe, ao entrar escolherá x otimamente, de acordo com (e. ( x = 4, i = 8 = ( = 8 4 = 43. ( x = 3, i = 8 = ( = 5 3 = 45. ( x = 4, i = = ( = 4 4 = 336 ( x = 3, i = = ( = 3 = 33.. Apresente agora a forma extensiva procrada, em qe, se decidir entrar (e, prodzirá a qantidade ótima x calclada em (e. ssa simplificação permite redzir as escolhas de em cada m de ses nós de decisão a ne (não entrar e e (entrar, em cjo caso já escolhe a prodção ótima. Portanto, sa forma extensiva terá 7 nós de decisão: para G, para e 4 para, cada jogador tendo apenas das possíveis decisões em cada nó. (Há 8 nós terminais, o seja 8 nós contendo os payoffs do jogo. 6

7 G t i=8 i= x =4 t t x =3 x =4 x =3 e t 3 ne e t 4 ne e t 5 ne e t 6 ne (ii ncontre o eqilíbrio perfeito em sbjogos desse jogo, sando indção retroativa e apresente os payoffs resltantes. No nó t 6 : O jogador escolhe ne pois > No nó t 5 : O jogador escolhe e pois 5> No nó t 4 : O jogador escolhe ne pois > 4 No nó t 3 : O jogador escolhe ne pois > 4 No nó t : O jogador escolhe x =3 pois 54>336 No nó t : O jogador escolhe x =4 pois 576>54 No nó t : O jogador G escolhe i= pois 3>4 O eqilíbrio resltante é: (, (4, 3, (ne, ne, e, ne O payoff de eqilíbrio é: (3, 54,. (iii Comente o resltado obtido: O qe acontecerá em eqilíbrio? O qe este jogo nos sgere em termos de política de importação para m governo? m eqilíbrio, o governo redz a zero o imposto de importação. O monopolista, percebendo qe importar se torno potencialmente lcrativo para o entrante, decide prodzir mita qantidade (x =3, para desestimlar o importador a entrar no mercado. Observando a 7

8 prodção de, o entrante concli qe não vale a pena incorrer no csto de abrir m negócio de importação, mesmo sem ter qe pagar impostos de importação, e permanece fora do mercado. ntão permanece monopolista, mas graças à política do governo, prodz mais do qe o ótimo de monopólio, 4. ste exercício nos mostra como o governo pode sar estrategicamente sa política de importação para amentar a prodção interna. Problema 3-conomia do Setor Público O objetivo deste exercício é estender a análise de leilões aos procedimentos de aqisição de serviços pelo setor público, o seja, as licitações. Para tanto, considere m governo qe deseja adqirir m bem e para tanto divlga o seginte mecanismo para a seleção da empresa qe fornecerá o bem ao governo. Cada empresa deverá escrever em envelope lacrado m valor para o fornecimento do bem. Os envelopes são abertos ao mesmo tempo e a empresa qe apresentar o menor preço para o fornecimento do bem será escolhida, sendo o preço solicitado aqele qe será pago pelo governo à vencedora. Sponha qe existem das empresas i=, concorrendo. A empresa i consege prodzir o bem demandando ao csto c i [,]. A empresa i conhece se csto c i. No entanto, sa competidora (e o governo sabe apenas qe se csto encontra-se niformemente distribída no intervalo [,]. (i Apresente a tilidade ex-post do jogador qando se csto é c, o csto do jogador é c e os jogadores segem o perfil de estratégias (d (., d (.. ( = ( d (c, d (c, c,c " # % d (c c se d (c < d (c d (c c se d (c = d (c se d (c > d (c (ii Sponha qe o jogador escolhe ma estratégia d (. estritamente crescente. Apresente a tilidade esperada ínterim do jogador qando se csto é c, se lance é γ. U ( γ, d (.;c = γ c Pr"# γ < d ( c % + λ c Pr"# γ = d ( c % 8

9 (iii Qal é o problema de maximização qe deve resolver para escolher o valor de γ qe será ma melhor resposta à estratégia d (. (estritamente crescente de, dado se tipo c? Resolva esse problema spondo simetria na solção: d (c=d (c=d(c, para todo c em [,]. max γ c γ Pr"# γ < d ( c % + γ c Pr "# γ = d ( c % Seja d=d =d. Como d é estritamente crescente, o problema acima é eqivalente a: max( γ c Pr[ γ < d(c ] λ Como γ<d(c c >d (γ, Pr γ < d(c Portanto, o problema acima é eqivalente a: max γ c γ d ( γ [ ] = Pr" c > d ( γ # % = Pr " # c < d γ % Se a fnção objetivo acima for côncava, a condição de primeira ordem nos dará a solção. ssa condição é: ( γ c ( d " (γ+ ( d (γ = m m eqilíbrio de Nash bayesiano γ é escolhido de forma qe γ=d(c. Assim, a eqação acima pode ser reescrita como: ( d ( c c ( d " (d(c = c Como d é a inversa de d, temos: d transforma em: c d c d" c = c d ( c c = c Observe qe # ( c d ( c % & = d c c temos: k + c = ( c d ( c " (d(c = " ( d (c, de forma qe a eqação acima se d" ( c c = d ( c ( c d" ( c ( c d' ( c. Portanto, integrando a eqação acima Na expressão acima k é ma constante de integração. Observe agora qe qando o jogador tem csto máximo, c =, ele não aceitará fornecer o objeto por menos qe esse csto máximo, o seja d(=. Sbstitindo na eqação acima obtemos: k + =, portanto k =. 9

10 Destarte, a eqação se redz a: + c = ( c d c ( c + c c = ( c d ( c = ( c d ( c + c = d ( c Portanto, o lance do jogador em eqilíbrio é: d ( c = + c Por simetria, o jogador também escolhe a mesma fnção de lance. m princípio deveríamos agora confirmar qe, se escolhe d, o problema de maximização de é côncavo. No entanto, isso não é pedido nesta prova. (iv Calcle o csto esperada para o governo. O pagamento esperado do leiloeiro ao jogador é: d ( c dc dc = d ( c ( c dc = + c ( c dc = c ( + c ( c dc = ( c dc = # c 3 c 3& % ' ( =, +. = * 3-3 Por simetria, esse também é o pagamento esperado do leiloeiro ao jogador. Portanto, o pagamento esperado total do governo é: 3. (v Sponha agora qe, devido à incerteza a respeito do verdadeiro csto para as licitantes, o governo decide adotar a política de atorizar, se solicitado pela empresa vencedora, m amento de até 5% do valor vencedor no momento da entrega do bem. As empresas participantes têm conhecimento desse ajste atomático e o incorporam em ses cálclos. Os próximos itens dizem respeito a este novo leilão com ajste de valores. Apresente a nova tilidade ex-post do jogador qando ele incorpora o amento qe receberá ao entregar o bem graças a esse ajste. Seja δ=,5. ntão,

11 ( = ( d (c, d (c, c, c " # % δd (c c se d (c < d (c δd (c c se d (c = d (c se d (c > d (c (vi Constra e resolva o novo problema de maximização do jogador. Apresente o eqilíbrio de Nash do novo jogo. O argmento é completamente análogo àqele apresentado anteriormente, bastando sbstitir d por δd. Sege a resolção. max( δγ c Pr[ γ < d(c ] λ Como γ< d(c c > d ( γ, Pr γ < d(c [ ] = Pr" c > d ( γ Portanto, o problema acima é eqivalente a: # % = Pr " # c < d γ % max δγ c γ d ( γ Se a fnção objetivo acima for côncava, a condição de primeira ordem nos dará a solção. ssa condição é: ( δγ c ( d " (γ+δ ( d (γ = m m eqilíbrio de Nash bayesiano γ é escolhido de forma qe γ=d(c. Assim, a eqação acima pode ser reescrita como: ( δd ( c c ( d " (d(c = δ ( c Como d é a inversa de d, temos: d transforma em: c δd c d" c " (d(c = " = δ ( c δd ( c c = δ c Observe qe # ( c d ( c % & = d c c temos: k + c = δ ( c d ( c ( d (c, de forma qe a eqação acima se d" ( c c = δ d ( c ( c d" ( c # % & ( c d' ( c. Portanto, integrando a eqação acima Na expressão acima k é ma constante de integração. Observe agora qe qando o jogador tem csto máximo, c =, ele não aceitará fornecer o objeto por menos qe esse csto máximo,

12 o seja d(=. Sbstitindo na eqação acima obtemos: k + =, portanto k =. Destarte, a eqação se redz a: + c = δ ( c d c ( c + c c = δ ( c d ( c = δ ( c d ( c + c δ = d ( c Portanto, o lance do jogador em eqilíbrio é: d ( c = + c δ Por simetria, o jogador também escolhe a mesma fnção de lance. m princípio deveríamos agora confirmar qe, se escolhe d, o problema de maximização de é côncavo. No entanto, isso não é pedido nesta prova. (viii Calcle o csto esperado para o governo e discta o efeito dessa nova regra. O pagamento esperado do leiloeiro ao jogador é: δd ( c dc dc = δ d ( c ( c dc = δ + c δ ( c dc = + c ( c dc = 3 c Por simetria, esse também é o pagamento esperado do leiloeiro ao jogador. Portanto, o pagamento esperado total do comprador é: 3. Observe qe não hove qalqer alteração no pagamento do governo, nem do ponto de vista esperado, nem do ponto de vista ex-post, o seja, o governo paga exatamente o mesmo montante qe antes para o vencedor do tipo c. A razão disso é qe o jogador divide se lance d por δ e em segida o governo mltiplica esse valor por δ, voltando ao mesmo valor do modelo anterior. A principal conclsão qe se tira deste estdo é qe a regra de amento (semiatomático de m percental δ não afeta o csto em eqilíbrio para o governo, mas o mascara, ao fazer com qe os valores vitoriosos não sejam os valores finais realmente pagos. O qe ocorre aqi é qe os jogadores incorporam esse benefício nos ses cálclos e a competição entre eles faz com qe abaixem sas propostas na proporção inversa, fazendo com qe o efeito final seja nlo em comparação com o mecanismo original. Pontação:

13 Problema ½ cada item. Total 3 pontos. Problema pontos a constrção, ponto a resolção e o comentário. Total 3 pontos Problema 3 ½ ponto os dois primeiros itens, 3 pontos a resolção, mais três pontos a qestão do amento. Total 7 pontos. Total geral: 3 pontos sobre. Três pontos extras. 3