MALHAS COMPUTACIONAIS PARA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS DE FLUIDOS ENTRE CILINDROS COM EXCENTRICIDADE

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1 0 a 05 de jnho de 009, Ijí/RS MALHAS COMPUACIONAIS PARA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENOS DE FLUIDOS ENRE CILINDROS COM EXCENRICIDADE G 04 Modelagem Matemática Ricardo Vargas Del Frari URI/Erechim ricardodf@hotmail.com M.Sc. Clemerson Alberi Pedroso URI/Erechim cpedroso@ri.com.br smo: Neste trabalho de iniciação cientifica foi desenolido ma rotina comptacional capaz de gerar malhas estrtradas em das dimensões, para cilindros concêntricos e com ecentricidade. Estas malhas podem ser tilizadas na simlação nmérica de escoamentos de flidos, tendo como modelo matemático as eqações diferenciais parciais de Naier-Stokes e técnicas nméricas, como por eemplo: diferenças finitas, Rnge-Ktta e coordenadas generalizadas. Salienta-se qe, as eqações diferenciais de Naier-Stokes não apresentam solção analítica, restando como alternatia para resolção o so de técnicas nméricas. A rotina comptacional foi implementada atraés da lingagem de programação Fortran 90 e a isalização das malhas atraés do software Visal. Atalmente a rotina comptacional desenolida para gerar malhas as malhas citadas já está sendo tilizada para simlação nmérica da conecção natral, mista e forçada, segndo m sistema de eqações do tipo Naier-Stokes com aproimação de Bossinesq. Palaras-chae: Matemática Aplicada, Simlações Nméricas, Malhas Comptacionais. Introdção A Flidodinâmica Comptacional, bastante conhecida como CFD (Comptational Flid Dnamics) é ma área de grande interesse comercial e acadêmico para solção de problemas de aerodinâmica, termodinâmica, hidrálica, entre otros. As pesqisas nesta área podem ser desenolidas com base em eperimentos em laboratórios, bem como simlações nméricas pelo so de comptadores baseado em modelos matemáticos. O modelo matemático geralmente é estabelecido com base nas eqações de conseração da qantidade de moimento, de massa, de pressão e de temperatra, formando m conjnto de eqações diferenciais parciais não-lineares, conhecidas como eqações de do tipo Naier-Stokes, qe não tem solção analítica. Estas eqações, qando sbmetidas a condições iniciais e de contorno apropriadas, podem representar diferentes sitações de escoamentos de flidos.

2 0 a 05 de jnho de 009, Ijí/RS A finalidade deste teto é apresentar algmas malhas comptacionais para cilindros concêntricos e com ecentricidade a partir de rotinas comptacionais desenolidas na lingagem de programação Fortran 90. Além disso, apresentar m conjnto de eqações diferenciais parciais do tipo Naier-Stokes, na sa forma adimensional, com a aproimação de Bossinesq, qe são tilizadas para simlação nmérica de escoamentos laminares de flidos Newtonianos por conecção natral, mista e forçada. Malhas Comptacionais Uma malha comptacional é constitída por linhas e pontos, os pontos são considerados onde essas linhas se interceptam e serem de orientação para o cálclo de propriedades físicas baseado nm modelo matemático. Uma malha comptacional nada mais é qe ma representação o a discretização do plano físico tilizado na simlação nmérica. A solção de m sistema de eqações diferenciais (modelo matemático) pode ser geralmente simples qando empregado ma malha bem constrída. O método mais simples, para se gerar ma malha comptacional é fazê-la manalmente, desenhando a geometria qe se deseja discretizar nma folha de papel milimetrado, identificando as coordenadas de cada ponto formado pela intersecção de árias linhas qe representam toda região da geometria desejada. Essas coordenadas então são informadas ao comptador, qe atomaticamente são lidas formando a malha comptacional da geometria (MALISKA, 995). Ainda segndo Maliska (995) há otros métodos classificados como atomáticos, para se gerar malhas comptacionais: os algébricos e os diferenciais. Os algébricos empregam diferentes tipos de interpolações e são bastante ersáteis e rápidos. Os diferenciais, assim chamados por empregarem eqações diferenciais, são mais gerais, mas, em contrapartida, apresentam tempo de comptação sensielmente maior e ma maior elaboração matemática. (MALISKA, 995, p. 53). Qanto à classificação das malhas, ma malha dita estrtrada é qando cada olme interno tem sempre o mesmo número de izinhos e a nmeração dos mesmos tem ma seqüência natral. E qando se diz qe ma malha é não-estrtrada, temos o número de izinhos ariando de olme para olme, ficando difícil estabelecer ma regra de ordenação (BOROLI, 000).

3 0 a 05 de jnho de 009, Ijí/RS A figra representa a sitação qe se qer representar atraés dma malha comptacional, de m cilindro interno com raio r i e temperatra i, e otro eterno de raio r e e temperatra e. É na região entre os dois cilindros qe o escoamento de flido por conecção será simlado nmericamente. R e i R i e Figra presentação da sitação física a ser representada por ma malha comptacional. As figras (a) e (b) representam ma malha comptacional estrtrada para dois cilindros concêntricos de 34 por 70 pontos, respectiamente ao longo do raio e anglarmente, com refinamento nas paredes. Jstifica-se o refinamento pela necessidade de melhor captação das ariações das propriedades física (temperatra, pressão e elocidade) do escoamento nas proimidades das paredes dos cilindros. (a) (b) Figra Malha comptacional de 34 (radialmente) por 70 (anglarmente) pontos (a) e zoom da malha comptacional (b).

4 0 a 05 de jnho de 009, Ijí/RS As figras 3 (a) e (b) representam das malhas com diferentes ecentricidades,,4 e,, respectiamente. Note qe, o comprimento dos raios dos cilindros internos também são diferentes, entretanto, o número de pontos é o mesmo para ambas as malhas 34 por 70 pontos. (a) (b) Figra 3 Malhas para cilindros com ecentricidade de 34 (radialmente) por 70 (anglarmente) pontos com ecentricidade de,4 (a) e, (b). As figras 4 (a) e (b) representam ma malha sem refinamento nas proimidades das paredes dos cilindros para o caso em qe a ecentricidade entre os cilindros é 0,8, também, com 34 por 70 pontos, além do detalhe da região mais estreita por onde o flido deerá passar. (a) (b) Figra 4 Malha para cilindros de 34 (radialmente) por 70 (anglarmente) pontos com ecentricidade de 0,8 (a) e parte da região mais estreita (b).

5 0 a 05 de jnho de 009, Ijí/RS As malhas comptacionais aqi apresentadas pelas figras, 3 e 4, foram obtidas de forma algébrica atraés de rotinas comptacionais desenolidas na lingagem de programação Fortran 90, qe consideram a localização de todos os pontos qe representam a região entre os cilindros interno e eterno. As linhas apresentadas pelas figras foram obtidas por ma interpolação linear por cálclos de distâncias e ânglos específicos. Modelo Matemático O modelo matemático do tipo Naier-Stokes na forma adimensional tilizado para simlações nméricas de escoamentos de flidos com conecção, é constitído de ma eqação para a qantidade de moimento na direção, ma eqação para a qantidade de moimento na direção, com a aproimação de Bossinesq, ma eqação do tipo Poisson para a pressão e ma eqação para a temperatra, respectiamente, representadas pelas eqações (), (), (3) e (4) (BEJAN, 996; MUNSON, 004). = p () () t () Pr Ra p () () t = () = D D t D p (3) = Pr t (4) Sendo: o etor elocidade na direção do eio ; o etor elocidade na direção do eio ; t a ariáel temporal; p o etor da pressão; o etor da temperatra; Ra o parâmetro adimensional de Raleigh; o parâmetro adimensional de nolds; Pr o parâmetro adimensional de Prandtl e o termo D igal a, proindo da eqação da conseração da massa. O parâmetro adimensional de nolds, sem dúida, é o parâmetro adimensional mais famoso da mecânica dos flidos. O engenheiro Osborne nolds demonstro, pela primeira ez, qe a combinação de ariáeis podia ser tilizada como critérios para a

6 0 a 05 de jnho de 009, Ijí/RS distinção entre escoamento laminar e trblento. Escoamentos com grandes números de nolds em geral são trblentos e aqeles em qe as forças de inércia são peqenas em comparação com as forças iscosas são caracteristicamente escoamentos laminares. Para o caso de m flo de ága nm tbo cilíndrico, admitem-se os alores de.000 e como limites. Dessa forma, para alores menores qe.000 o flo será laminar e para alores maiores qe o flo será trblento. Entre estes dois alores o flo é considerado como de transição. O parâmetro de Prandtl, esta relacionado às propriedades do flido, no qe se refere à distribição de temperatra e à distribição de elocidade para o escoamento sobre ma placa plana. Os metais líqidos possem geralmente ma condtiidade térmica alta e m calor específico peqeno. Portanto, ses números de Prandtl são peqenos, ariando de 0,005 a 0,0, se tomarmos os gases como referencia esse aria de 0,6 a,0. A maioria dos óleos, por otro lado, possem número de Prandtl eleados, algns até o mais, pois sa iscosidade é grande a baias temperatras, e sa condtiidade térmica peqena (KREIH, 003; FOX, 995). Já o parâmetro adimensional chamado de número de Raleigh mede as forças de empo e iscosidade de m flido, o seja, representa a amplitde de sas conecções térmicas. A aproimação de Bossinesq, termo qe aparece na eqação () da qantidade de moimento na direção, epressa o acoplamento entre o campo de temperatra e o campo de elocidade (escoamento). Esta definição é álida para casos de escoamentos em qe o gradiente de temperatra é peqeno, o seja, naqeles em qe a diferença de temperatra implica em peqena o nla compressibilidade do flido. Com o so da aproimação de Bossinesq pode-se caracterizar os diferentes tipos de conecções se o qociente dos Ra parâmetros adimensionais for mito maior qe m (,0) trata-se de m escoamento Pr por conecção natral, se for aproimadamente m (,0) conecção mista e se mito menor qe m (,0) conecção forçada (BEJAN, 996; INCROPERA, 99) Considerações Finais Segndo Maliska (995) atalmente as indústrias já tilizam o comptador em larga escala, inclsie reolcionando projetos em detalhes, já qe a simlação nmérica permite eectar mitas eperiências rapidamente a m baio csto. A conecção é m fenômeno de

7 0 a 05 de jnho de 009, Ijí/RS grande interesse comercial e acadêmico, os problemas de conecção forçada e natral têm sido bastante estdados, ários trabalhos são encontrados em liros e artigos da área. Neste trabalho, foram desenolidas malhas comptacionais geradas por rotinas comptacionais próprias, desenolidas na lingagem de programação FORRAN 90, para simlação nmérica da conecção baseado nas eqações diferenciais do tipo Naier-Stokes, entre cilindros concêntricos e com ecentricidade. O modelo matemático estdado considera as eqações na forma adimensional, permitindo qe as simlações nméricas obtidas possam ser alidadas segndo comparações com sitações reais, desde qe a condição de similaridade seja satisfeita, (OBERKAMPF, 998) torna-se útil o emprego do modelo matemático considerado na forma adimensional. Um fator fndamental da adimensionalização das eqações são os parâmetros adimensionais qe podem ser obtidos pelo método da análise dimensional o diretamente das eqações diferenciais, os mesmos podem ser descritos como ma relação algébrica entre as dimensões de propriedades físicas e as grandezas enolidas. Os parâmetros adimensionais permitem a simlação similar às condições reais do fenômeno em qestão (FOX, 995). As rotinas comptacionais desenolidas em Fortran 90, qe geram as malhas apresentadas neste teto, bem como, o sistema de eqações diferenciais já estão sendo tilizadas para simlação nmérica de diferentes tipos de escoamentos por conecção, baseado em técnicas nméricas de resolção: diferenças-finitas, relaações scessia, Rnge-Ktta de três estágios e coordenadas generalizadas. Os resltados obtidos tem se aproimado satisfatoriamente aos apresentados por Ming-I (998) qe tiliza técnicas nméricas diferentes das citadas, olmes-finitos e métodos espectrais, das sadas. ferências BEJAN, A.; ransferência de calor. São Palo: Ed. Edgard Blücher, 996. CUNHA, M.C.C.; Métodos Nméricos. ed. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 000. BOROLI, Á.L.; Introdção à Dinâmica de Flidos Comptacional. Porto Alegre: Ed. Uniersidade/UFRGS, 000. FOX, R.W.; McDONALD, A..; Introdção à Mecânica dos Flidos. 4 ed. Rio de Janeiro: Ed. LC, 995. INCROPERA, F. P.; DeWI, D. P.; Fndamentos de ransferência de Calor e Massa. 3 ed. Rio de Janeiro: Editora Ganabara Koogan S.A., 99.

8 0 a 05 de jnho de 009, Ijí/RS MALISKA, C. R.; ransferência de Calor e Mecânica dos Flidos Comptacional. Rio de Janeiro: Ed. LC Liros écnicos e Científicos, 995. MING-I, C.; HSU, Y.-H.; Comptation of Boanc-Drien Flow in an Eccentric Centrifgal Annls With a Non-Orthogonal Collocated Finite Volme Algorithm. International Jornal for Nmerical Methods in Flids..6, p , 998. MUNSON, B. R.; YOUNG, D.F.; OKIISHI,.H.; Fndamentos da Mecânica dos Flidos. 4 ed., São Palo: Ed. Edgard Blücher, 004. PEDROSO, C. A. Simlação Nmérica de Flos Bidimensionais,Laminares e Incompressíeis entre Sperfícies Móeis. jan. 00. Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada) PPGMAp/UFRGS, Porto Alegre, 00.