Keywords: 1 INTRODUÇÃO

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1 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM A APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO SARMENTO, CARLOS VITOR DA SILVA engenheiroitor@hotmail.com SOUZA JUNIOR, MARCELO ALEXANDRE marceloalexj@yahoo.com.br RIBEIRO, PAULO MARCELO VIEIRA palo.ribeiro@fpe.br Uniersidade Federal de Pernambco UFPE Centro de Tecnologia e Geociências Departamento de Engenharia Ciil Ra Acadêmico Hélio Ramos, s/n, Cidade Uniersitária Recife-PE, Brasil Abstract. Estrtras estão constantemente sjeitas a ações dinâmicas do ento. O procedimento padrão de análise de esforços consiste em ma estimatia do coeficiente de arrasto (C.A.) e posterior aplicação de forças estáticas eqialentes aos nós o sperfície de inflência do modelo nmérico. De maneira geral o C.A. é obtido atraés de ábacos e tabelas disponíeis na literatra e normas igentes. No Brasil a norma qe fornece esses coeficientes é a NBR-613/1988. Um problema srge em constrções especiais o obras de arte, tais como: reseratórios eleados, torres de transmissão, pontes, dentre otros. Assim, edificações não contempladas por aspectos normatios exigem ma análise especial. Uma alternatia srge com o emprego de ensaios em túnel de ento para estimatia do coeficiente de arrasto. Entretanto, além da dificldade de mdança das dimensões do modelo, o túnel de ento também pode ir a apresentar erros de escalas, instrmentação e incerteas do processo. Uma alternatia qe já é bastante tiliada nas indstrias aeroespacial e atomobilística e em ganhando espaço na constrção ciil é a Dinâmica dos Flidos Comptacional ( Comptational Flid Dynamics-C.F.D. ). Atraés de simlações Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

2 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO nméricas por meio de m soler para eqações completas de Naier-Stokes é possíel aaliar o C.A. para diersas formas geométricas e também para diferentes parâmetros de entrada, tais como: elocidade do escoamento, iscosidade e densidade do flido. Na literatra é comm encontrar a denominação: "Túnel de Vento Nmérico", para esse tipo de abordagem. As antagens srgem com a solção de geometrias especiais e casos particlares não contemplados pela norma. Acrescenta-se também a redção de cstos para solção do problema. Foi realiada a interação flido estrtra por método particionado (one-way), onde inicialmente se obtém o campo de pressões na parede da estrtra, esta saída de dados é sada na erificação de tensões e deformações da estrtra em ma etapa independente. Neste trabalho foi analisado m caso prático de m aqedto da transposição do Rio São Francisco, com extensão de até 800m e eleações da ordem de 5m. Simlações nméricas com o axílio do software ANSYS CFX foram condidas e os resltados foram posteriormente confrontados com as prescrições da NBR-613/1988. Desta forma o CFD se mostro bastante promissor em termos de csto comptacional, estimatia do C.A. e ersatilidade na mdança de parâmetros do problema. Keywords: CFD, Arrasto, Nmérico, Vento, Aqedto. 1 INTRODUÇÃO Os aqedtos são estrtras tiliadas na condção de ága por graidade e representam ma categoria de pontes (semelhante a ma ponte canal, por exemplo), já qe axiliam na transposição de obstáclos. Segndo Chanson (008), os aqedtos romanos foram as primeiras demonstrações de m alto níel de conhecimento em Engenharia Hidrálica. Assim como em aqedtos, as pontes também possem ma dimensão dominante em relação às demais. Segndo Daria (009) a ação do ento é m dos principais agentes de carga nas pontes, principalmente naqelas detentoras de grandes ãos e com tableiros esbeltos. Billah e Scanlan (1990) destacam qe a ciência da aerodinâmica de pontes nasce após o colapso da ponte Tacoma Narrows, qe ocorre em ma tempestade de ento moderado em O arrasto em tableiros de pontes é objeto de estdo de diersos atores, para análise de efeitos estáticos e dinâmicos da estrtra. Uma dificldade encontrada em algns trabalhos srge com a forma da seção transersal da ponte, inflenciada pela geometria do tableiro e elementos estrtrais. Desta forma, simplificações podem ser necessárias para possibilitar simlações a baixo csto comptacional. Neste tipo de análise é de grande importância a interação flido-estrtra, ma e qe as características do escoamento dependem de diersos fatores, entre eles, a geometria do corpo imerso no flido. O objetio deste trabalho é o estdo do coeficiente de arrasto em ma seção típica de aqedto da transposição do Rio São Francisco qando sbmetido ao escoamento do ento conforme preconia as normas igentes. Segndo Hirai (010) apd Ross, a obra de transposição é o primeiro passo a ser realiado na possíel solção dos problemas da seca na região. Deido à dimensão do percrso de ága e também à qantidade de obstáclos a serem encidos, túneis, aqedtos, comportas e estações de bombeamento deem ser implantados. Desta forma, isto a necessidade de constrção dessas obras de arte, é necessário analisar todas as ações atantes nestas estrtras, dentre elas: peso próprio, sismos, ações do ento, entre otras. Neste estdo serão tratadas apenas as ações do ento incidentes na estrtra, objetiando a obtenção do coeficiente de arrasto proocado pelo deslocamento do flido (ar) e demais características do escoamento. Para as ações do ento e conseqente obtenção dos coeficientes de arrasto da estrtra foram comparados: (1) alores da literatra com os prescritos na Norma NBR 613/1988 e também Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

3 Sarmento, C.V.S, Sila, M,A, Ribeiro, P.M.V com () alores de m caso real obtido atraés de simlações por software comercial ANSYS -CFX. A necessidade de estdar, calclar e mensrar o coeficiente de arrasto em algmas estrtras especiais é importante para qantificar as ações do ento e ses efeitos. Segndo Bran e Awrch (009) os modelos nméricos tem sido empregados com scesso em determinação de parâmetros para aaliação da ação do ento em estrtras ciis. Knd e Cohen (00) apontam qe a simlação nmérica de escoamentos proporciona economia relacionada aos cstos experimentais e maior celeridade no ensaio. Os atores destacam ainda qe a simlação permite a mdança fácil dos parâmetros de entrada facilitando a otimiação, assim como simlar em escalas reais onde nos experimentos são sadas escalas redidas. Ribeiro (009) apd Feriger e Peric (00) indica qe problemas atribidos ao eento experimental podem ser facilmente eliminados pelo CFD. Condições de contorno também podem ser inseridas na modelagem comptacional. Destaca-se ainda como antagem do túnel de ento nmérico a elocidade do experimento assim como a precisão e facilidade na modificação das dimensões do objeto a ser simlado. ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL Escoamentos bidimensionais são aqeles onde apenas das dimensões do sólido são empregadas na análise. Em estrtras como aqedtos e pontes, em qe ma das dimensões impera sobre as demais e o perfil de elocidades horiontal é praticamente constante, é possíel aproximar o alor do arrasto ao definido para figras planas (bidimensional) deido à redção dos erros inerentes ao efeito tridimensional, normaliando assim o eixo da maior dimensão. Limas(003), Alé (010) e Braga (014) afirmam qe o escoamento pode ser considerado bidimensional qando a estrtra tem comprimento idealmente infinito, como aerofólios, pontes, entre otros..1 Arrasto De acordo com a mecânica dos flidos, White (013) aponta qe o arrasto é ma perda de escoamento e qe qando o corpo tier qe se moer, este dee ser sperado. Çengel e Cimbala (007) conceitam Arrasto como a força qe m flido em moimento exerce em m corpo na direção do escoamento. Segndo os atores, a força de arrasto é m efeito indesejáel e se dee tomar decisões a ponto de minimiá-la, esta ação dee ser tomada para redir o consmo de combstíeis nos atomóeis, aiões, embarcações. Nas estrtras, a redção do arrasto é procrada objetiando a melhor segrança e drabilidade, consegindo também redir ibrações e rídos. Segndo Ramos (01), escoamentos em baixas elocidades em torno de corpos com geometrias semelhantes, orientação e rgosidades idênticas, terá coeficientes de arrasto (C A ) em fnção do número de Reynolds, conforme explicitado na Eq. (1). C A = f (Re) (1) Onde este número de Reynolds é fnção da elocidade de corrente lire (V), dimensão característica (L) e iscosidade dinâmica (υ), conforme a Eq. (). O coeficiente de arrasto é dado pela Eq. (3). V L R E = () FA C A = (3) 1 V A Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

4 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO Sabendo qe V é a elocidade, A é a área frontal da seção transersal, ρ é a massa específica do flxo, e F é a força de arrasto resltante. Roqe e Olieira (008) ressaltam a dificldade da teoria da mecânica dos flidos em mensrar analiticamente o nmericamente o arrasto, deido à necessidade de conhecer as dimensões do corpo, fato este qe na constrção ciil é ameniado, pois as características geométricas da estrtra são conhecidas como saída de projeto, podendo ser alteradas em fnção de parâmetros aerodinâmicos. Na literatra há alores predefinidos para o coeficiente de arrasto em figras de seções conhecidas. Na Fig. 1 temos indicações do arrasto de acordo com Çengel e Cimbala(007), CA=,. Ambos foram para Re> ,1 1,9 0,5,5 1,0,,0 1,7 3,0 1,3 Figra 01- Coeficientes de arrasto de corpos bidimensionais com Re Çengel e Cimbala (007) Ferreira (008) ilstra a ariação do arrasto em diersas seções com cantos arredondados, cjos raios de cratra sejam preiamente estabelecidos, e algns até conhecidos em norma. conforme a fig. 0. L/D C A Figra 0- Inflência do número de Reynolds e da força da estrtra no coeficiente de arrasto nma ona de baixa rgosidade (Ferreira, 008 apd Holmes, 001) COEFICIENTE DE ARRASTO DE ACORDO COM A NBR 613- FORÇAS DEVIDO AO VENTO EM EDIFICAÇÕES A NBR 613/1988 (Forças deidas ao ento em edificações) indica em se item qe a relação entre a largra (h) e altra (l 1 ) dos corpos pode ser tomada como infinita qando o corpo está confinado em ambos os extremos por sperfícies sficientes extensas. Desta forma para estrtras não assentes no terreno, a ma distância maior qe sa altra com ento incidente perpendiclar ao plano desta página (Fig. 3). Este item indica coeficientes de arrasto apropriados (seção transersal da estrtra na Fig.4). Figra 03- Seção sbmetida a ento perpendiclar ao plano da figra (NBR 613/1988) Percebe-se na Fig. 4 qe as recomendações de norma exigem estrtras afastadas do solo a ma distância mínima l 1. Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

5 Sarmento, C.V.S, Sila, M,A, Ribeiro, P.M.V Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014 Na NBR 613/1988 não existe referência a seções retanglares onde a relação entre base e altra é igal a 1,5, o seja: l 1 /l =/3. Planta Re h/l 1 = l 1 / l = 1 r/ l 1 = 1/6 7 x ,3 8 x ,6 l 1 / l = 1/ r/ l 1 = 1/6 Todos os Valores 0,7 Figra 04- Coeficiente de arrasto em estrtras de seção qadrada sbmetida ao escoamento do ento (Trecho adaptado da Tabela 10 da NBR 613/1988). Resolção do escoamento Nmericamente Sila(1995) aponta qe os aanços na dinâmica dos flidos comptacionais têm proporcionado o amento da eficiência das análises de complexas simlações ao redor de corpos rombdos. As solções podem ser obtidas por algoritmos qe tiliam descrição Eleriana, Lagrangeana o podem ser tiliadas descrições mista. O ator ainda ressalta qe as técnicas mais indicadas para solção das descrições Eleriana em simlações são o Método das Diferenças Finitas (MDF), Métodos dos Elementos Finitos (MEF) e Método dos Volmes Finitos (MVF). Esses escoamentos são descritos pelas eqações de Naier-Stokes. Segndo o pesqisador, os problemas mais comns qando se deseja simlar escoamentos com alto número de Reynolds são: Necessidade de recrsos comptacionais são proporcionais ao número de Reynolds; Problemas de estabilidade na solção; Dificldades de implementação das condições de contorno na região da esteira. Segndo Çengel e Cimbala(007) as eqações de Naier-Stokes e da continidade podem ser redidas para casos mais simples, como considerando o escoamento como incompressíel, iscoso e isotérmico, isto red o problema ao seginte conjnto de eqações, referente a eqação da continidade incompressíel, Eq. 4 e também as eqações de Naier-Stokes incompressíel conforme Eq. 5, 6 e 7. 0 w y x (4) y x g x P w y x t x (5) y x g y P w y x t y (6) y x g P w w y w x w t w (7) Sendo, e w a elocidade no plano cartesiano na direção x, y e respectiamente. é a massa específica do flido, P é a pressão, g é o etor aceleração, é a iscosidade dinâmica do flido.

6 Interface ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO..1 Dinâmica dos Flidos Comptacional (CFD) Segndo Potter e Wiggert (004) a Dinâmica dos Flidos Comptacionais (Comptational Flid Dinamics- CFD) objetia solções nméricas para problemas de escoamentos de flidos tiliando o comptador. Os atores salientam qe o aanço da tecnologia comptacional e, conseqentemente, maior capacidade de armaenamento e alta elocidade de processamento tem proporcionado ao CFD ma maior capacidade de obtenção de solções para diferentes problemas de escoamento, tais como: compressíeis e incompressíeis; laminares e trblentos; qimicamente reagente e não reagente; fase única e mltifásico..3 Interação Flido Estrtra (IFE) Neste trabalho foi realiada a primeira etapa da interação flido estrtra pelo método particionado (one-way). Conforme Almeida (010), Teixeira (001) e Bran (007) a interação por este método, considerada a mais simples, é aqela onde as informações do escoamento flem apenas em ma única direção, isto é as eqações goernantes de cada fenômeno são integradas de maneira desacopladas. O seja, os campos de pressão são obtidos na interface (flido-estrtra) a partir da análise flida considerando qe a estrtra não sofre deformação, em ma próxima etapa tilia a pressão na interface para mensrar as cargas na estrtra e finamente tensões e deformações. No método particionado, esta última etapa não retorna para a análise flidodinâmica. A fig. 05 detalha o processo da interação oneway. Modelo Flido Dinâmico Soler Geração de Malha Mecânica Pré processamento dos Flidos Saída de dados: (Pressão,arrasto, força,entre otras) Modelo Estrtral Soler Geração de Malha Mecânica Pré processamento dos Sólidos Saída de dados: (Tensão, deformação,etc) Figra 05- Flxograma esqemático da interação nidirecional. Adaptado de Almeida (010) Neste trabalho foi realiado apenas o modelo flido dinâmico, ficando os dados de saída para a aplicação em m modelo estrtral qalqer a depender da análise desejada. 3 ESTUDO DE CASO 3.1 Geometria- Estrtra do Aqedto A geometria do problema é definida por ma seção U com abertra na face sperior, conforme indicado na Fig.06. Para efeito de cálclo a seção transersal é tomada como m retânglo com dimensões de 655 x 440cm tendo ariações sobre os apoios e abertra sperior, despreadas neste artigo. A seção transersal será considerada como m retânglo hermético, mesmo sabendo qe no caso real há ma região de aia sobre a lâmina d'ága para a borda sperior, e também qe a rgosidade da ága é diferente do concreto, sendo despreada também a eaporação do flido pelo arrasto do ar. Sabe-se ainda qe a colisão do flido, qando em baixa elocidade, nas paredes interna poderá amentar o arrasto, entretanto foi despreado este efeito. Conforme analisado o aqedto permite o escoamento do flido pela parte inferior e sperior do tableiro conforme isto na Fig. 06. Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

7 Sarmento, C.V.S, Sila, M,A, Ribeiro, P.M.V (a) (b) Figra 06- Aqedto São Francisco. a) Trecho da Obra, b) Seção Transersal (nidades em centímetro) Com base nas dimensões do aqedto, e de acordo com a Fig. 1, é possíel indicar qe para esta obra especial a relação: L/D esperada é de 1,489, qe pode ser aproximado para 1,5 por ser apenas estimatio. De acordo com a Fig. 1, é possíel faer a interpolação linear: Tabela 01- Interpolação linear do arrasto a partir de ma tabela 11.1 em Çengel e Cimbala (007, p.501) L/D 1,0 1,5,0 Coeficiente de arrasto, 1,95 1,7 Desta forma o coeficiente de arrasto esperado para o aqedto, segndo ma interpolação linear da tabela disponíel em Çengel e Cimbala (007) para seções retanglares com relação entre a largra e altra de 1,5 é: CA=1,95. Este é alor teórico esperado para a simlação do aqedto. 3. Características de acordo com a NBR 613 Os fatores adotados de acordo com o item 5 NBR 613 no projeto do aqedto foram: S1= 1,00; S= 1,04; S3= 0,95; V 0 = 30,0m/s V K Desta forma a elocidade característica conforme a NBR 613 é dada por: V (9) 0 S1 S S3 Sbstitindo, encontraremos: Vk= 9,64m/s 4 SIMULAÇÃO 4.1 Geometria dos Modelos adotados Foram tiliados três modelos para as simlações, partindo desde ma estrtra de grande simplicidade com peqenas dimensões até chegar ao aqedto da transposição com sas dimensões reais. Inicialmente foi analisado m modelo simples deido aos ses alores serem bastante conhecidos na literatra, e desta forma permitir ma calibração dos modelos. Esta eolção da modelagem pode ser isto na fig. 07. Modelo 01-Representa ma seção qadrada. Foram normaliadas todas as constantes (massa específica, iscosidade dinâmica, etc), o seja, considerado qe todas as constantes tem alor nitário, conforme Toassi (013) assim como Soa Jnior e Antnes (010): Massa específica(ρ)=1,0kg/m³ Viscosidade dinâmica(μ) = 1,0kg.s/m² Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

8 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO Esta estratégia foi adotada para sar números de Reynolds específicos, ariando apenas a elocidade conforme isto na Eq (). Dimensões: 1,00m x 1,00m, espessra de 0,01m. Modelo 0- Geometria com dimensões reais do aqedto, conforme item 3.1, normaliando a massa específica, iscosidade dinâmica, para qe o número de Reynolds, nmericamente, direto à elocidades, assim como nos demais modelos citados até o momento. Modelo 03- Geometria real do aqedto, conforme item 3.1, considerando alores reais, tais como: elocidade, massa específica, iscosidade dinâmica, entre otros. MODELO 01 MODELO 0 MODELO 03 Seção Qadrada com Aqedto com Mdança na Aqedto com entos idealiados Mdança elocidade, entos idealiados entos reais apenas nas densidade e dimensões. iscosidade do ar Vento Ideal Vento Ideal Vento real Figra 07-Eolção da modelagem partindo de m modelo simples até o aqedto. Para garantir as características do escoamento bidimensional, a espessra foi minorada, mantendo ma peqena dimensão, forçando-a a não participar dos efeitos. Todas as estrtras modeladas tem a espessra(e) dada conforme Saito e Morooka (010): e = D/0 Onde D é dado pelo diâmetro característico, podendo ser tomado como a menor dimensão não acarretando prejios a simlação. Para todos os modelos foram tiliados dimensões de domínio conforme prescree Najafi et al(01), ilstrado na Fig. 08. E qe consta basicamente de 4D a montante e 1D a jsante, mantendo também 4D acima e abaixo do eixo da peça, sendo D o diâmetro característico da seção. Figra 08- Dimensões do domínio e detalhe da malha. Fonte: Najafi et al(01) Para a redção do csto comptacional, foram delimitadas sbdiisões conforme ilstra Najafi et al(01), o objetio desta ação foi permitir ma redção do tamanho dos elementos na região de interesse, minimiando maiores detalhes do escoamento em regiões onde o moimento for inalterado. Desta forma foi preciso m maior refino na região de esteira, qe garda informações de órtices. Foram criados sempre três retânglos menores ao domínio e espaçados niformemente. Dois dos retânglos mais externos foram prolongados à extremidade, contemplando toda a região de esteira. Maiores detalhes podem ser isaliados na Fig. 09. Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

9 Sarmento, C.V.S, Sila, M,A, Ribeiro, P.M.V Modelo 01 Modelo 0 e 03 Figra 09- Detalhes da geometria e sas sbregiões. Em ambos os modelos foi considerado como condição de contorno: - Velocidade de entrada igal a depender do escoamento o adotando o caso real; - Saida com pressão relatia de 0 Pa; - Condição de não-desliamento na parede do objeto (Seção qadrada e Aqedto); - Paredes com desliamento nas demais faces do domínio. 4. Malha Foram tiliados olmes tetraédricos sendo mdadas diersas malhas para erificação da conergência. O domínio foi sbdiidido para melhor refinamento da malha na região de esteira, ficando a região de interesse com menores tamanhos dos olmes de controle, conforme já isto na Fig. 09. Regiões de interfaces foram criadas para melhor transição dos efeitos. Nos sbdomínios foram discretiados sempre em malhas com fatores de o número do tamanho do elemento conforme a Tabela 0, sabendo qe o sbdomínio 1 é o qe enole a seção (Objeto) e o sbdomínio 4 é o último (Domínio total) qe abrange a entrada e saida do escoamento. Todos os dados abaixo foram baseados no diâmetro característico (D) da seção transersal do objeto. Para o refino de malhas na direção de menor direção (espessra do domínio) foram diididos em dois olmes de controle para garantir pelo menos dois nós adjacentes. Para esta fnção foi tiliado o comando Sweep do Software. Testes consectios com maiores sbdiisões ( Sweep ) foram realiados, tiliando 3,4,5,6 e 10 camadas de olmes de controle, entretanto alores mito próximos (erro de 10-5 ) foram encontrados, amentando apenas o csto comptacional, desta forma opto-se por apenas das sbdiisões, conforme pode ser isto na Fig. 10. Para o teste de conergência foram tiliadas malhas refinadas e erificada a tendência para o arrasto, tomando-o como ma assíntota horiontal, admitindo qe para ma malha de número de olmes de controle infinitos, o alor do coeficiente de arrasto encontrado é o conergente. Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

10 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Detalhe da diisão transersal do objeto Figra 10- Detalhes das malhas e sas sbregiões (Modelo 1). Tabela 0- Refinamento da malha nos sbdomínios Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Malha 06 Sbdomíni (Grosseira) Siing Siing (Intermediária) Siing Siing Siing (Fina) Siing o 1 1,0 0, 0,1 0,05 0,0 0,01,0 0,4 0, 0,1 0,04 0,0 3 4,0 0,8 0,4 0, 0,08 0,04 4 8,0 1,6 0,8 0,4 0,16 0,08 Interface 0,1 0,0 0,01 0,005 0,00 0,001 Qantidade de Nós Modelo Modelo Modelo Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

11 4.3 Soler Sarmento, C.V.S, Sila, M,A, Ribeiro, P.M.V Neste trabalho foi escolhido o programa comercial Ansys, mais especificamente se módlo CFX para a simlação dos escoamentos. Conforme Ansys(009),o CFX tilia para o acoplamento de pressão-elocidade m arranjo tal qe todos os olmes de controle sejam idênticos para as eqações de transporte. Foram tiliadas eqações de continidade e momento para a solção do escoamento. Para a execção do programa comptacional foi tiliado m comptador doméstico com configrações: Processador Core(TM) i5-3337u 1.80GH com núcleos de processamento Memória de 6,00GB Sistema operacional de 64Bits Hd de 500GB 4.4 Critério de Conergência Na literatra há critérios de conergência para este tipo de simlação, tais como as instrções propostas por Cóstola (006) apd Cost (004) e CFX(003): -Número de iterações igal a 100 e Resído(RMS) inferior a O resído (RMS) é a diferença entre a elocidade do flido em ma iteração e a elocidade na iteração seginte. Entretanto para criação de critério próprio foi realiado m teste de conergência do número de iterações, onde atraés de ma malha intermediária, e para todas as demais ariáeis constantes, foi realiado testes de ariação do número de iterações, para qe desta forma fosse estiplado qal seria o número padrão para as demais interações, e pdesse estimar o erro do resído RMS para o menor alor possíel. A partir desta etapa foi possíel tiliar os critérios de conergência de malha conforme o item Modelo de trblência Foi tiliado para esta simlação o modelo de trblência k-ε (K- Epsilon)- Trblence Eddy Dissipation and Trblence Kinetic Energy, Ansys (009), conforme indicado em Alencar(009) apd Arantes (007). O ator ressalta qe o modelo semi-empirico citado é baseado nas eqações de modelo de transporte para a energia cinética trblenta (k), qe são deriadas da eqação de Naier-Stokes, e sa dissipação (ε). Alencar ressalta qe este modelo é indicado para escoamentos completamente trblentos com alta escala de trblência, limitando-o para baixo regimes de escoamentos e em geometrias complexas. No caso estdado (Aqedto) a geometria era de grande simplicidades, e o escoamento era bastante trblento, com número de Reynolds ariando de a Foi adotada a trblência média (5%) na entrada conforme indica Cóstolas (006) e ratificado por Saito e Morooka (010), este alor é o defalt do programa. 4.6 Característica do escoamento adotado Foi adotado inicialmente o estado estacionário (permanente) apenas para estimatia do escoamento e alor do coeficiente de arrasto. Em segida, foram realiadas simlações em estado transiente, onde os termos das eqações de conseração (Eqs. 4-7) deem ser calclados a cada passo de tempo. Para o tempo total do escoamento e passo de tempo foi adotado o seginte critério: Para o tempo de dração do escoamento, foi adotado no mínimo Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

12 Coeficiente de Arrasto - CA Tempo de processamento (s) ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO 10 ees o tempo necessário para o escoamento do flido ao longo do domínio. Para o passo de tempo foi adotado inicialmente m teste de conergência para o número de Corrant, qe segndo Ansys (009), dee estar entre e 10, podendo ser amentando caso não crie problemas de conergência. Este número descree o tamanho dos elementos qe deem ser abrangidos no passo de tempo escolhido, e pode ser calclado pela Eq. 9. Onde é a elocidade do flido, Δt é o passo de tempo e l é o tamanho do elemento. Desta forma foi realiado m teste de conergência no número de Corant, objetiando encontrar m alor, tal qe indicasse qal o máximo passo de tempo qe dee ser escolhido para cada modelo, sem perda das informações. Esse teste de conergência foi realiado mantendo a malha (Intermediária) constante e ariando apenas o passo de tempo. t Corant. (9) l 5 RESULTADOS 5.1 Simlação Estacionária. Inicialmente foi adotado o estado estacionário apenas para ma estimatia do arrasto. O objetio inicial é ma análise com baixo csto comptacional, qe será posteriormente confrontada com resltados obtidos em ma simlação transiente Seção Qadrada (Re=10 4 ) Foram realiados escoamentos para a seção qadrada, ariando o número de iterações e fixando as demais ariáeis do problema. Desta forma foi possíel analisar graficamente, qal a iteração qe mais se aproximaa do alor esperado (CA =,0) comparado com Çengel (007). A partir deste alor, foi erificado qe a iteração de número 00 apresento m baixo erro, representando confiança com baixo csto comptacional, definido assim o número de iterações a ser empregado nas análises. Então com este critério foi possíel realiar as simlações para conergência das malhas, conforme indicado na Fig. 11.a., Coeficiente de arrasto - CA Seção Qadrada - Re = 10 4 CA =, (Çengel e Cimbala, 007) Tempo de Simlação (s) Seção Qadrada - Re = ,0, 00 1, 99 1, 974,06 3, , 8 1, 7 6 (a) ,19 93, (b) 1, Número de Nós Malha Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Malha 06 Figra 11- a)seção qadrada - Conergência de Malhas. b)tempo de processamento- (Modelo 01) Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

13 Coeficiente de Arrasto - CA Tempo de processamento (s) Coeficiente de Arrasto - CA Tempo de processamento (s) Sarmento, C.V.S, Sila, M,A, Ribeiro, P.M.V A Figra 11.b apresenta graficamente o tempo de processamento, qe ario de 1 minto para a malha mais grosseira à 1h na malha mais refinada Simlação da seção retanglar (Aqedto Re=10 4 ) Diante dos dados de 4.1 foi possíel simlar o escoamento em torno do aqedto para m número de Reynolds ideal (Modelo ), preiamente simlado na seção qadrada. De maneira análoga foi simlado o teste de número de iterações, resltando em 00 iterações como m número estáel das simlações. O coeficiente de arrasto e tempo de processamento para o aqedto com Re= podem ser istos na Fig. 1. 1,8 Coeficiente de arrasto - CA Aqedto - Re = Tempo de Processamento (s) Aqedto - Re = ,7 1,6 44 1,690 1, ,6 1,5 1, 571 1, 5 3 1, 4 60 (a) 1, Número de Nós ,83 87,97 153,3 385,6 (b) Malha Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Malha 06 Figra 1- a)aqedto com ento ideal- Conergência de Malhas b)tempo de processamento (Modelo ) Simlação da seção retanglar (Aqedto Ventos reais- Re=1,9x10 6 ) 1,8 Coeficiente de arrasto - CA Aqedto - Re = 1,918x10 6 Ventos Reais 1,758 1, Tempo de Processamento (s) Aqedto - Re = 1,9x10 6 Ventos Reais 555 1,7 1,6 1,5 1,551 1,497 1,611 1,675 (a) 1, Número de Nós , ,3 66,13 9,58 (b) Malha Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Malha 06 Figra 13-a) Aqedto- entos reais-conergência de Malhas. b) Tempo de processamento (Modelo 3). Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

14 Coeficiente de Arrasto - CA Coeficiente de Arrasto - CA ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO 5. Simlação no Estado Transiente. A Figra 11a (Modelo 1) indica ma não conergência dos coeficientes de arrasto apesar de ma aparente conergência nas Figs. 1a e 13a (Modelos e 3). Desta forma, foram realiadas simlações adicionais em estado transiente conforme indicado no item 4.6, isando ma análise de possíeis efeitos tribtários do tempo. No estado estacionário foi percebido ma lnerabilidade dos resltados em fnção da malha adotada, para cada forma de refino da malha alores diferentes eram encontrados para o coeficiente de arrasto, mostrando qe não estaa sendo fornecido o arrasto médio e sim o instantâneo para a última iteração. Pelo fato da simlação em estado transiente reqerer maior tempo de simlação, foi necessário eliminar a malha mais refinada (MALHA 06) e simlar apenas com as restantes Seção Qadrada (Re=10 4 ) Inicialmente foi realiado m teste de conergência do número de Corant, com tempo total de escoamento de 0,05s para a malha 03. Foram adotados passos de tempo de acordo com a tabela 03. Tabela 03- Conergência do número de Corant- Seção Qadrada Passo de Tempo 1x10-4 5x10-5 x10-5 1x10-5 5x10-6,5x10-6 x10-6 1x10-6 Corant De acordo com a Fig. 14.a foi erificado ma conergência para Corant menor qe 6, permitindo amentar o passo de tempo e redir cstos comptacionais. Na Fig. 14.b é possíel isaliar as amplitdes do arrasto para cada malha, coletando o arrasto médio e sendo plotado na Fig. 15.a. Com esta figra foi possíel perceber ma tendência no alor se aproximando de ma assintota horiontal, cjo alor é,17, para este refino de malha. Desta forma foi traçado o gráfico do erro na Fig. 15.b, tomando como alor absolto o disponíel na literatra e já citado na Fig. 1., Conergência do número de Corant,, 1,0,0 1,8 1, 9 1,6 Simlações Seção Qadrada- Re=10 4 1, 8 0 0, ,00 0, ,0 04 0,0 0 5 Tempo de escoamento (s) (a) 1,4 (b) Número de Corant , 0 0, 004 0,008 0, 0 1 0,016 0,0 Tempo de escoamento (s) Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Figra 14- a)conergência do número de Corant. b) Simlação para diferentes malhas. Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

15 Coeficiente de Arrasto - CA Coeficiente de Arrasto - CA Erro (%),4,,0 CA=,0 Çengel e Cimbala (007) CA=,17 Conergência de Malhas Qadrado Re=10 4 Sarmento, C.V.S, Sila, M,A, Ribeiro, P.M.V 40 Erro da Simlação , , Número de Nós (a) Número de Nós (b) Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Figra 15-a)Conergência de malhas. b)erro(%) comparado aos alores da literatra (Modelo 01) 5.. Simlação da seção retanglar (Aqedto Ventos reais- Re=1,9x10 6 ) De maneira análoga ao item 5..1, foi realiado o teste de conergência do número de Corant para o aqedto com entos reais segindo os critérios da tabela 04, bscando a conergência do alor do arrasto para ma malha intermediária (Malha03) a ariando apenas o passo de tempo. Tabela 04- Conergência do número de Corant- Aqedto Passo de Tempo 0,1 0,05 0,0 0,01 Corant ,0 Conergência do número de Corant 1,9 1,8 1, Tempo de escoamento (s) Número de Corant Figra 16-Conergência do número de Corant Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

16 Coeficiente de Arrasto - CA Erro (%) Coeficiente de Arrasto - CA Tempo de processamento (s) ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO Diante dos resltados de conergência, atraés da Fig. 16, foi analisado qe para cada malha, deeria se estabelecer o máximo número de Corant igal a 0, pois para alores inferiores a este, ma cra se sita aproximadamente sobre a otra. Desta forma foi simlado o aqedto em estado transiente considerando todas as características reais da obra de arte especial. Os gráficos da simlação para diferentes malhas são apresentados na Fig. 15. Para calclar o coeficiente de arrasto da estrtra foi aplicada a Eq. (3), sendo tiliado como força, a média aritmética dos alores resltantes da simlação. Para eitar m maior erro deido à discrepância inicial, foram despreadas as primeiras iterações. O coeficiente de arrasto médio encontrado para o aqedto foi de 1,93 para a malha mais refinada (Malha05). Simlações Aqedto Re=1,9x Tempo de Processamento (s) Aqedto - Re = 1,9x10 6 Ventos Reais, ,0 1, , Tempo de escoamento (s) (a) Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Figra 17-a)Simlação Aqedto- Variação de Malhas. b)tempo de processamento (Modelo 03) Número de Nós (b),0 CA= 1,95-Adaptado de Çengel e Cimbala (007) 8 0 Erro da Simlação CA=1,93 1,8 Conergência de Malhas Aqedto Re=1,9x , ,4 0 1, Número de Nós (a) 0 (b) Número de Nós Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Figra 18-a)Conergência de malhas. b)erro(%) comparado aos alores da literatra- (Modelo 03) Deido ao resltado do Aqedto em sa malha mais refinada, malha 05,não apresentar m ciclo, conforme a Fig. 17.a) foi necessário simlar o modelo para m tempo de Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

17 Coeficiente de Arrasto - CA Sarmento, C.V.S, Sila, M,A, Ribeiro, P.M.V escoamento maior, neste caso sado 15s. Isso foi necessário deido à espera de qe o fenômeno de ariação do arrasto se apresente com oscilações em torno de m alor médio. Desta forma foi plotado o gráfico na Fig.19 e erificado qe o arrasto descree m moimento harmônico, como esperado.,4 Simlação Malha 05- Tempo escoamento=15s,,0 1,8 1,6 1, Tempo de escoamento (s) Figra 19- Aqedto- Malha 05 - Escoamento drante 15s 5..3 Resmo dos resltados Diante dos resltados dos escoamentos, m resmo das simlações foi descrito na Tabela 05. Nesta foi descrito o modelo, o resído (RMS), mesmo o soler disponibiliando o RMS para a elocidade em todas as direções, nesta tabela foi tiliada apenas na direção dominante do escoamento, eixo x. Na tabela também foi apontado se ocorre a conergência dos resídos. Foi indicado o coeficiente de arrasto da simlação, o indicado na literatra por Çengel e Cimbala (007) e também pela norma NBR613. Como não haia o alor exato para cada estrtra, foi indicado o alor mais próximo de acordo com as Figs 04 e 05. Tabela 05- Resmo das simlações Coeficiente de Arrasto (CA) Modelo V-RMS Conergência Simlação Çengel e NBR613 Médio Máximo Cimbala Estado Estacionário 01-Seção Qadrada 1x10-4 NÃO,15,15,0 1,30 03-Aqedto 1x10-3 NÃO 1,76 1,76 1,95 0,60-0,70 Estado Transiente 01-Seção Qadrado 6x10-7 SIM,17,,0 1,30 03-Aqedto x10-7 SIM 1,93,33 1,95 0,60-0, Streamlines simlação da seção retanglar. Aqedto Ventos reais Foi esboçado, apenas em caráter ilstratio, as linhas de corrente do escoamento, denominadas Streamlines, para o aqedto com ento real, Utiliando-se de 150 pontos a partir da entrada. Foi possíel analisar a formação de órtices e região de esteira (Fig. 0). Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

18 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO Malha 01 Malha 0 Malha 03 Malha 04 Malha 05 Malha 05. Figra 0- StreamLines - Eolção das linhas de corrente do escoamento- Estado estacionário (Modelo 3). CONCLUSÕES Para o modelo flido dinâmico da interação flido-estrtra do aqedto, tiliando o método one-way (particionado), foram realiadas simlações nméricas de escoamentos bidimensionais em regimes trblentos para ma extensa faixa de número de Reynolds (Re= ) onde foi possíel mensrar os coeficientes de arrasto (CA) de m aqedto da transposição do Rio São Francisco. O estdo demonstro qe mesmo serindo como estimatia da ordem de grandea, e a baixo tempo de processamento, o coeficiente de arrasto não dee ser tiliado a partir do estado estacionário (permanente), pois esta ariáel oscila com o tempo para m dado escoamento de flido em regime trblento. De acordo com essas simlações, foi possíel qantificar o coeficiente de arrasto para o aqedto com seção Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

19 Sarmento, C.V.S, Sila, M,A, Ribeiro, P.M.V retanglar simplificada e sbmetido a ento real, qe conergi para m alor de CA= 1,93. A malha intermediária (03) apresento m erro da ordem de 8,5%, entretanto com tempo de processamento cerca de 5 ees menor qe a malha mais refinada. Assim, com aproximadamente 5 horas de simlação, é possíel determinar o coeficiente de arrasto para ma estrtra de geometria rombda (com pocas ariações nas dimensões). A simlação por CFD mostro ser bastante promissora e indicada para estdos aerodinâmicos das obras de artes especiais. Ela é de grande importância ma e qe nas normas igentes não há dados específicos para cada geometria de estrtra, dificltando a qantificação do arrasto, necessitando de aproximações grosseiras para assemelhar a estrtra às geometrias conencionais da norma existente. Desta forma é possíel tiliar esta modelagem para diersas estrtras onde exista a possibilidade de considerar m escoamento bidimensional. Como sgestões para trabalhos ftros srgem as segintes considerações: (1) a inserção de características qe aproximem o modelo ao aqedto real, tais como: abertra na face sperior, inflência do flido transportado (ága), ariação na geometria (apoios), ariação na elocidade do ento, entre otras; () também é possíel a consideração de otros modelos de trblências e efeitos resltantes do escoamento, tais como ariações nos órtices, resposta dinâmica da estrtra, entre otras; (3) é indicado ainda a otimiação do processo, bscando a redção nos cstos comptacionais e maior precisão nos alores do arrasto. REFERÊNCIAS Ale, J. V. Forças aerodinâmicas- Escoamento Viscoso Externo, Cap 11 do Liro Mecânica dos Flidos. PUC- RS. Alencar, H.S Estdo da distribição da elocidade em tbo Ventri Utiliando Medidas experimentais e técnicas de CFD. In: Reista Brasileira de Recrsos Hídricos- RBRH. ol. 14, n. 4, pp Almeida, R. F Simlação comptacional da interação Flido-Estrtra em bombas de caidade progressias. Dissertação apresentada a Uniersidade Federal do Rio grande do Norte/RN Ansys 009. Training Manal. Chapter 08. Ansys, Incorporation. Braga, W. A ciência da Mecânica. 14 anoii. Departamento de Engenharia Mecânica- PUC/RJ Bilah, K.Y., Scanlan, R.H Ressonance, Tacoma Narrows bridge failre, and ndergradate physics textbooks. Am.J.Phys.59. Bran, A.L Simlação nmérica na engenharia Inclindo efeitos de interação flidoestrtra. Tese de dotorado apresentada ao programa de pós gradação em engenharia ciil, Uniersidade Federal do Rio Grande do Sl- Porto Alegre/RS Bran, A. L., Awrch, A. M Simlação nmérica na engenharia do ento. In: Reista Sl- Americana de Engenharia Estrtral-ASAEE,.5, n/3, p.81-10, Passo fndo. Chason, H The Hydralics of roman aqedcts: What do we know? Why shold we learn?. In World Enironmental and Water resorces Congress 008 ahpa a. Cóstola, D Ventilação por ação do ento no edifício: Procedimento para qantificação. Dissertação apresentada a Facldade de Arqitetra e Urbanismo, USP/SP. Çengel, Y. A. e Cimbala, J.M Mecânica dos flidos Fndamentos e aplicações. Mc Graw Hill. AMGH Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014

20 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE ARRASTO COM APLICAÇÃO DA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAIS: ESTUDO DE CASO DE UM AQUEDUTO DA TRANSPOSIÇÃO DO RIO SÃO Daria, J.F Dispositios aerodinâmicos em pontes: Inflência na estabilidade e nas características aerodinâmicas. Trabalho de diplomação. Departamento de engenharia ciil. Uniersidade Federal do Rio Grande do Sl/ RS Ferreira, N. A. C Efeito do Vento em edifícios altos-aplicação a m caso concreto. Dissertação de Mestrado. Departamento de Engenharia Ciil, Uniersidade do Porto. Gabbi, R Modelagem matemática do escoamento trblento em canal axissimétrico com "Blff-Body". Dissertação de mestrado. Pós gradação em Matemática. Uniersidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sl (UNIJUI)/RS Hirai, M. N Planejamento Nacional da transposição do Rio São Francisco. Facldade de Arqitetra e Urbanismo.Uniersidade de São Palo- USP/SP. Knd, P.K e Cohen, I.M.00. FLid Mechanics. Second Edition. Academic Press. Limas, L.F Determinação das características aerodinâmicas de seções transersais de pontes em túnel de ento. Dissertação de Mestrado. UFRGS/RS. Méhaté, B.L An introdction to hydrodynamics and water waes.springer Verlag/NY. Najafi, M. Arefmanesh, A, Enjilela, V. 01. Meshless local Petro-Galerkin method-higher Reynolds nmber flid flow applications. Engineering Analysis with Bondary Elements 36. Pereira, I. A. B. B Escoamento trblento em torno de m cilindro a baixo número de Reynolds 'Comparação entre modelos de trblência'. Dissertação de Mestrado. Facldade de Engenharia da Uniersidade do Porto- FEUP. Ramos, M. O. 01. Estdo das melhores práticas da aerodinâmica eiclar, isando a melhoria de consmo de combstíeis e redção de emissões de polentes aplicadas a eíclos de passeio. Monografia. Pós gradação em Engenharia Atomotia. IMT. Ribeiro, A.F.P.009. Análise aerodinâmica de m edifício por dinâmica dos flidos comptacionais.. Trabalho de diplomação. Departamento de Engenharia Ciil. UFRGS/RS. Roqe, B.A. Olieira, G.A Determinação experimental do coeficiente de arrasto sobre cilindros de base crclar. Trabalho de Gradação.LTCM- UFU/MG Saito, J. S. Morooka, C.K Simlação comptacional do escoamento em torno de ma seção de m dto maritimo. VI Congresso Nacional de Engenharia Mecânica. ABCM/ PB Sila, M.N.M Estdo do escoamento ao redor de cilindros retanglares tiliado o método de órtices. Tese de Dotorado, Uniersidade Federal do Rio de Janeiro/RJ. Soa Jnior, M.A. Antnes, A. R. E. Estdo do escoamento flido sobre m cilindro circlar tiliando do software Ansys-CFX. In: Congresso de Iniciação Científica-UFPE, 010. Potter, M.C., Wiggert, D.C.004. Mecânica dos Flidos. Ed Pioneira Thomson Learning. NBR Forças deidas ao ento em edificações. ABNT_ Associação Brasileira de Normas técnicas. Teixeira, P.R.F Simlação nmérica da interação de escoamentos tridimensionais de flidos compressíeis e incompressíeis e estrtras deformáeis sando o método de elementos finitos. Tese de dotorado, UFRGS/ RS Toassi, T. L.M. Análise de esforços de ento em estrtras de barra tiliando o método dos olmes finitos. Trabalho de conclsão de crso. Departamento de Engenharia Ciil- UFPR/PR. Eandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortalea, CE, Brail, Noember 3-6, 014