HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FÍSICA 2 CAPÍTULO 16 FLUIDOS. v s

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1 HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 996. FÍSICA CAPÍTULO 6 FLUIDOS 67. Se a elocidade de escoamento, passando de baixo de uma asa, é 0 m/s, que elocidade de escoamento na parte de cima criará uma diferença de pressão de 900 Pa entre as superfícies de cima e de baixo? Considere a densidade do ar =, g/cm 3. (Ver Exercício 66.) (Pág. 73) Considere o seguinte esquema: B ps s A i pi Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos A e B, localizados sobre as linhas de corrente do ar bem próximas à asa, nas partes inferior (i) e superior (s): p gy p gy s s s i i i Os termos gy i e gy s são aproximadamente iguais. Logo: p p s i s i s / Pa,30 kg/m 0 m/s 6,3 m/s 3,30 kg/m 6 m/s s / Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 6 Fluidos

2 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 996. FÍSICA CAPÍTULO 8 DINÂMICA DOS FLUIDOS. Em um furacão, o ar (densidade, kg/m 3 ) sopra sobre o telhado de uma casa a 0 km/h. (a) Qual a diferença de pressão entre o interior e o exterior da casa que tende a arrancar o teto? (b) Qual o módulo da força deida a esta diferença de pressão sobre um teto de 93 m? (Pág. 94) Considere o seguinte esquema da situação, onde A é a área do telhado: i e e F A (a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) do telhado da casa: pi gyi i pe gye e A pressão no interior é a pressão atmosférica (p 0 ), enquanto que a pressão no exterior é p. Considerando-se que os pontos i e e encontram-se no mesmo níel em relação ao solo, teremos y i = y e = y. Pode-se considerar que a elocidade do ar no interior ( i ) é aproximadamente zero. Logo: (b) p gy 0 p gy i e e 3 0 pi pe e, kg/m m/s 560,85 Pa 3,6 p p 560 Pa i e i e F p p A 560,85 Pa 93 m 5.097, N F 5 kn Esta força é equialente ao peso de uma massa de cerca de 5 toneladas, ou seja, cerca de cinco carros de passeio. 3. As janelas de um edifício medem 4,6 m por 5,6 m. Num dia de tempestade, o ento está soprando a 8 m/s paralelamente a uma janela do 53 o andar. Calcule a força resultante sobre a janela. A densidade do ar é,3 kg/m 3. (Pág. 94), Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos

3 Aplicando-se a equação de Bernoulli a pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) da janela do prédio: pi gyi i pe gye e Considerando-se que a pressão no interior é a pressão atmosférica (p 0 ), que a pressão no exterior é p, que y i = y e e que a elocidade do ar no interior ( i ) é aproximadamente zero, teremos: p0 p Nesta equação, chamamos a elocidade do ar no exterior simplesmente de. Logo: p p A força resultante sobre o idro será: 0 () F p p A p p DH () 0 0 Na Eq. (), D é a largura e H é a altura da janela. Substituindo-se () em ():,3 kg/m 3 DH 8 m/s 4,6 m 5,6 m 0.804,048 N F F 0,8 kn Esta força é exercida de dentro para fora do edifício. Quanto maior for a elocidade do ento no exterior, maior será a diferença de pressão sobre a janela e, portanto, maior será a força. Caso esta força seja maior que a força máxima de coesão do material que compõe o idro, haerá ruptura do mesmo. 5. A Fig. 30 mostra um líquido escoando por um orifício em um tanque de grandes dimensões a uma distância h abaixo da superfície do líquido. O tanque é aberto na parte superior. (a) Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que liga os pontos, e 3, mostre que a elocidade com que o líquido sai do orifício é gh. Este resultado é conhecido como lei de Torricelli. (b) Se a saída do orifício apontasse diretamente para cima, qual seria a altura máxima atingida pelo jato de líquido? (c) Como a iscosidade ou a turbulência afetariam a sua análise? (a) Considere o seguinte esquema da situação: (Pág. 94), Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos 3

4 y h 0 Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos e, teremos: p gy p gy A análise da situação reela que p = p = p 0, em que p 0 é a pressão atmosférica. Considerando-se que o diâmetro do tanque é muito maior do que o diâmetro do orifício, temos que. Logo, se obserarmos o escoamento por curto período de tempo podemos supor que 0. De acordo com o referencial adotado temos y = 0. Portanto: p0 gh 0 p0 0 gh gh Este resultado é o mesmo obtido para um corpo solto em queda lire de uma altura h. (b) Considere o seguinte esquema: y h 0 3 Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 3 e 4, teremos: p3 gy3 3 p4 gy4 4 No topo do jato líquido a elocidade de escoamento é zero. p0 0 p0 ghmax 0 Substituindo-se o resultado do item (a): gh gh hmax h max Este resultado é esperado, pois sendo o fluido ideal não há dissipação de energia mecânica durante o fluxo. Logo, a energia potencial graitacional inicial que é conertida em energia cinética no item (a) é reconertida em potencial no item (b)., Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos 4

5 (c) A iscosidade do líquido dissiparia parte da energia mecânica do sistema, enquanto que a turbulência ocasionaria perda de pressão. Em ambos os casos, o resultado prático seria a diminuição da elocidade de saída do fluido em (a) e da altura em (b). 6. Um tanque contém água até a altura H. É feito um pequeno orifício em sua parede, à profundidade h abaixo da superfície da água (Fig. 3). (a) Mostre que a distância x da base da parede até onde o jato atinge o solo é dado por x = [h(h h)] /. (b) Poderia ser perfurado um orifício a outra profundidade, de modo que este segundo jato tiesse o mesmo alcance? Em caso afirmatio, a que profundidade? (c) Determinar a que profundidade h deeria ser feito um pequeno orifício para que a água que sair por ele atinja o solo à distância máxima da base. Qual é esta distância máxima? Considere o seguinte esquema da situação: y h H (Pág. 94) x x Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos e : p gy p gy p0 gy 0 p0 gy g y y Como y y = h, temos: gh () Na coordenada x, o jato de fluido possui elocidade constante:, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos 5

6 x x0 xt x 0 t () Substituindo-se () em (): x t gh (3) Na coordenada y, o jato de fluido possui moimento com aceleração constante: y y0 0yt at 0 y0 0t gt H h gt H h t (4) g Na Eq. (4), t é o tempo que o jato de fluido lea para atingir o solo. Substituindo-se (4) em (3): x H h gh g x H h h (5) (b) Sim. Veja o esquema a seguir. y H h h x x A outra profundidade (h ) dee produzir o mesmo alcance x. Isto significa que na expressão: ' ' ' ' H h h H hh h ' Hh ' Hh h 0 x H h h H h h As raízes desta equação são: Logo: ' h h ' h H h ' h H h, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos 6

7 (c) O alcance máximo é obtido deriando-se (5) em relação a h e igualando-se o resultado a zero (ponto de máximo da função): dx d H hh 0 dh dh H h 0 H h h H h 0. A água represada por um dique tem 5, m de profundidade. Um cano horizontal de 4,30 cm de diâmetro passa atraés do dique 6,5 m abaixo da superfície da água, como ilustra a Fig. 34. A extremidade do cano no lado seco do dique está tampada. (a) Calcule a força de atrito entre a parede do cano e a tampa. (b) A tampa é remoida. Qual o olume de água que escoa pelo cano em 3 horas? Considere o seguinte esquema da situação: y h 3 0 F d/ fat (Pág. 94) (a) Para que a rolha permaneça em equilíbrio estático na horizontal (coordenada x), a força deido à pressão hidrostática, exercida da esquerda para a direita, dee ter o mesmo módulo da força de atrito estático entre a rolha e a represa, exercida da direita para a esquerda. Logo: d fat F pa gh f at 3 ghd 998 kg/m 9,8 m/s 6,5 m 0,043 m 87, 438 N 4 4 f 87 N at (b) Considere agora o seguinte esquema para a noa situação:, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos 7

8 y h 0 3 d/ 3 Para determinar o olume escoado é preciso calcular a azão, que por sua ez depende do cálculo da elocidade de escoamento ( 3 ). Este é feito por meio da aplicação da equação de Bernoulli aos pontos e 3: p gy p gy p0 gy 0 p0 gy3 3 g y y Como y y 3 = h, temos: 3 gh A azão no ponto 3 (V z ) ale: d 3 3 V Vz A gh t d V gh t 4 0,043 m s V 9,8 m/s 6,5 m 3 h 7, 80 m 4 h V 70 m 3 3. Um sifão é um dispositio para remoer líquidos de um recipiente que não pode ser tombado. Ele funciona como mostra a Fig. 35. O tubo dee ser inicialmente cheio, mas tão logo isso tenha sido feito, o líquido escoará até que seu níel paire abaixo da abertura do tubo em A. O líquido tem densidade e iscosidade desprezíel. (a) Com que elocidade o líquido sai do tubo em C? (b) Qual é a pressão no líquido no ponto máximo B? (c) Qual é a maior altura possíel h, a que um sifão pode fazer subir a água?, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos 8

9 y 0 (a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e C, teremos: p gy p gy S S S C C C Como S C, é razoáel desprezar o termo que enole S. Logo: p0 g d h 0 p0 0 C (Pág. 95) g d h C (b) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos B e C, teremos: pb gyb B pc gyc C pb g d h h B p0 0 C () De acordo com a equação de continuidade, temos: A A B B C C Como A B = A C, isto implica em B = C. Aplicando-se este raciocínio em (), teremos: B p g d h h p B 0 p p g d h h 0 (c) Uma das condições que limitam a altura h é a elocidade com que o líquido passa pelo ponto B. Quanto maior for h, menor será B. O maior alor que h pode ter é quando B = 0. Logo, aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e B, teremos: p gy p gy S S S B B B p g d h 0 p g d h h 0 0 B p p gh () 0 B, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos 9

10 Na Eq. (), a soma p B + gh dee ter o alor constante p 0 (pressão atmosférica). Quanto maior for h, menor deerá ser p B para que a soma continue dando p 0. O limite dessa situação ocorre quando p B = 0. Neste caso, h = h max. Portanto: p h 0 gh 0 max 5, 0 Pa 998 kg/m 9,8 m/s p 0,36 m g 0 max 3 h 0,3 m max 5. Um tubo oco está colado, em uma das extremidades, a um disco DD (Fig. 37). O conjunto é colocado um pouco acima de um outro disco CC de papelão. Soprando-se pelo tubo, o disco CC é atraído para DD. Seja A a área do papelão e a elocidade média do ar entre CC e DD. Determinar a força dirigida para cima que atua no papelão, cujo peso dee ser desprezado. Suponha que 0, onde 0 é a elocidade do ar no interior do tubo. Considere o seguinte esquema da situação: (Pág. 95) - A força resultante sobre o papelão ale: res p p0 res Fres 0 F p A p p A () Para calcular p B, aplicamos a equação de Bernoulli aos pontos e : p gy p gy Como p = p 0, gy gy (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezíel) e 0, teremos: p0 p p0 p () Substituindo-se () em ():, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos 0

11 Fres A 7. O ar escoa sobre a parte superior da asa de um aião, cuja área é A, com elocidade s, e sob a parte inferior da asa com elocidade i. Mostre que a equação de Bernoulli preê que a força de sustentação S orientada para cima sobre a asa será S As i onde é a densidade do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à superfície inferior. Você pode justificar o fato de termos considerado as constantes para as duas linhas de corrente iguais?) (Pág. 96) Considere o seguinte esquema da situação: B S s A i A força de sustentação (S) é a força resultante da diferença de pressão do ar imediatamente acima e abaixo da asa (p i p s ). res i s F S p p A () O termo p i p s é pode ser calculado por meio da aplicação da equação de Bernoulli às linhas de corrente do ar bem próximas à asa, nas partes superior e inferior: ps gys s pi gyi i Como gy s gy i (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezíel), teremos: pi ps s i () Substituindo-se () em (): S A s i A equação de Bernoulli somente tem alidade quando aplicada a pontos sobre a mesma linha de corrente. Para que ela possa ser plicada a pontos que estejam em linhas de corrente diferentes, o escoamento além de ser estacionário, incompressíel e não-iscoso, deerá ser irrotacional. Para que seja irrotacional e homogêneo, as linhas de corrente do escoamento deem ser paralelas e igualmente espaçadas, como no esquema abaixo:, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos

12 No caso das linhas de corrente que fluem ao longo da asa do aião, essa condição não é satisfeita. Pode-se obter boa aproximação ao tomarmos pontos sobre linhas de corrente próximas à asa, acima e abaixo da mesma, como os pontos A e B do esquema inicial. 3. Considere o medidor de Venturi da Fig. 9. Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos e, e a equação de continuidade (Eq. 3), erifique a Eq. para a elocidade do escoamento no ponto. A A Eq. 3 a ' gh A a Eq. Aplicando-se a equação de continuidade aos pontos e, teremos: A A A (Pág. 96) () A Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos e, teremos: p gy p gy Como os pontos e estão no mesmo níel em relação ao solo horizontal, temos y = y. Logo: p p Mas, p p = ( )gh, em que é a densidade do líquido no tubo curo. Logo: ' gh, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos

13 ' gh () Substituindo-se () em (): ' A A ' gh A A A A gh ' gh A A, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 8 Dinâmica dos Fluidos 3

14 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 003. FÍSICA CAPÍTULO 6 DINÂMICA DOS FLUIDOS 05. (a) Considere um fluido de massa específica que escoa com elocidade e passa abruptamente de uma tubulação cilíndrica com área de seção transersal a, para outra tubulação cilíndrica mais larga, cuja área de seção transersal é a (eja a Fig. 36). O jato de líquido que emerge da tubulação estreita mistura-se com o que se encontra na tubulação mais larga, depois ele escoa quase uniformemente com elocidade média. Sem se preocupar com os detalhes de menor importância relacionados à mistura, utilize o conceito de momento linear para mostrar que o aumento de pressão deido à mistura é aproximadamente igual a p p. (b) Mostre, partindo-se da equação de Bernoulli, que em uma tubulação cuja seção transersal aumente gradatiamente, esta diferença de pressão pode ser expressa por p p. (c) Determine a perda de pressão deida ao alargamento brusco da tubulação. Você seria capaz de fazer uma analogia com os choques elásticos e inelásticos entre partículas, estudados na mecânica? (Pág. 8) (a) Vamos considerar uma porção do fluido de massa m que ocupe a região de turbulência durante um interalo de tempo t. Uma ez que a pressão dee ser contínua, esperamos que no ponto A, imediatamente após o estreitamento e no limite esquerdo de m, a pressão seja p e no ponto B, imediatamente após a região de turbulência e no limite direito de m, seja p. Veja o esquema a seguir. m a, p, p A B a y z x A força horizontal resultante F sobre a porção de massa m é dada por: Resnick, Halliday, Krane - Física - 5 a Ed. - LTC Cap. 6 Dinâmica dos Fluidos 4

15 F p a i p a i F p p a i Como o escoamento é estacionário antes e após a região de turbulência (antes do ponto A e após o ponto B), o momento linear de m antes de ocupar a região de turbulência é: p m i E após ocupar a região de turbulência é: p m i A ariação do momento linear p sofrida por m é igual ao impulso recebido pela força resultante deido à ariação de pressão quando esta ocupa a região de turbulência. Sendo t o interalo de tempo que m permanece na região de turbulência, temos: p p p F t m i m i p p a i t a t m p p () Como a azão mássica é a mesma antes e após a turbulência, temos: m a a t () Substituindo-se () em (): p p a a p p Note que se tiéssemos substituído () em () da forma seguinte: p p a a (3) Da equação de continuidade temos: a a (4) Substituindo-se (4) em (3): p p a a p p (b) No caso de o fluxo ser estacionário ao longo de toda a tubulação, podemos aplicar a equação de Bernoulli: p gy p gy Desprezando-se a ariação de níel na tubulação (y = y ): p p p p Resnick, Halliday, Krane - Física - 5 a Ed. - LTC Cap. 6 Dinâmica dos Fluidos 5

16 (c) A perda de pressão p corresponde à diferença das respostas obtidas nos itens (b) e (a): p p p Resnick, Halliday, Krane - Física - 5 a Ed. - LTC Cap. 6 Dinâmica dos Fluidos 6